精品解析：浙江省台州市北京师范大学台州附属中学2022-2023学年九年级上学期学科特长生竞赛数学试卷

数理思维素养试题卷 一、 选择题（本题共8小题，共48分） 1. 下列语句所描述的事件是随机事件的是（ ） A. 任意画一个四边形，其内角和为360° B. 经过任意两点画一条直线 C. 任意画一个菱形，是中心对称图形 D. 过平面内任意三点画一个圆 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机事件的定义，判断各选项是否为可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A． 四边形的内角和恒为，是必然事件； B． 两点确定一条直线，是必然事件； C． 菱形对角线相互平分，必为中心对称图形，是必然事件； D． 过三点画圆需三点不共线，而“任意三点”可能共线也可能不共线，故为随机事件． 故选D． 2. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埔最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，确定第八个单音与第一个单音之间的比例关系是本题解题的关键．根据幂的运算方法求解即可． 【详解】解：根据题意可得，第八个单音的频率为． 故选：D． 3. 观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得尾数，，，的规律是4个数一循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴尾数，，，的规律是4个数一循环， ∵， ∴的个位数字是， 又∵， ∴的结果的个位数字与的个位数字相同， ∴的结果的个位数字是． 故选：A． 【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键． 4. 三个关于的方程：，已知常数，若、、分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是（ ) A. B. C. D. 不能确定的大小 【答案】A 【解析】 【分析】由y=a（x+1）（x-2）=a（x-）2-a得到顶点坐标是（，-a），抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0），（2，0）据此作出函数图象，结合函数图象作出判断． 【详解】解：∵a1＞a2＞a3＞0， ∴二次函数y1=a1（x+1）（x-2），y2=a2（x+1）（x-2），y3=a3（x+1）（x-2）开口大小为：y1＜y2＜y3． ∴其函数图象大致为： ∴x1＜x2＜x3． 故选：A． 【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，解题的技巧性在于根据题意作出函数图象，由函数图象直接得到答案，“数形结合”的数学思想的使问题变得直观化． 5. 已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求函数值，涉及解二元一次方程组、平方差公式、因式分解、有理数的混合运算等，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键． 先根据题意求出a、b值，再代值求解函数值即可． 【详解】解：∵当时，， ∴，整理，得； ∵当时，． ∴，整理，得； 得，解得， 将代入①中，得， ∴， ∴当时， ∴ ． 故选：C． 6. 方程有四个实数解，实数k的取值范围为（　　） A. 1＜k＜3 B. k＞3 C. k＞1 D. 0＜k＜1 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，关于x的方程有3个不同的非零的实数解，即方程有3个不同的非零的实数解，函数的图象和函数的图象有3个交点，画出函数g（x）的图象，数形结合求得k的取值范围． 【详解】解：由于关于x的方程有四个不同的实数解， 当x＝0时，是此方程的1个根， ∴关于x的方程有3个不同的非零的实数解． 即方程 的图象有3个交点，画出函数g（x）的图象，如图所示： 故， 解得k＞1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了方程的根与函数交点的相互转化，体现了分类讨论、转化思想与数形结合思想在解题中的应用，属于中档题． 7. 已知是非零实数，若对于任意的，都有，则下列不可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 根据题意分3种情况讨论，分别根据不等式的性质求解判断即可． 【详解】∵对于任意的，都有， ∴①当，，时， ∴，， ∵ ∴，， ∴，； ②当，，时， ∴，， ∵ ∴，， ∴，； ③当，，时， ∴，， ∵ ∴，， ∴，， ∴，； 综上所述，不可能的是． 故选：D． 8. 如图，正方形 和正方形 的顶点在同一条直线上，顶点在同一条直线上．是的中点，且的平分线过点交于点连接交于点，连接交于点．给出以下结论∶①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】①先利用正方形的性质证明，然后有，通过等量代换可得，则，即可判断①的正误； ②首先证明 ，则有，进而可得，由此可判断②的正误； ③通过直角三角形斜边中线的性质得出点H在正方形的外接圆上，然后根据圆周角定理的推论得出，即可判断③的正误； ④先得出是的中位线，则，然后根据平行线分线段成比例得出 ，则有，进而可求出 ，又因为 ，则可判断④的正误． 【详解】∵四边形和四边形是正方形， ∴ ． 在和中， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ∵平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，故②正确； 是直角三角形，是的中点， ， 点H在正方形的外接圆上， ， ， ，故③正确； ∵四边形是正方形，．是的中点， ∴， ， ， ， 是的中位线， ， ， ∴， ， ， ， 与高相同， ， ， ， ，故④正确； 故选：A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，掌握正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例是解题的关键． 二、填空题（本题共7小题，共42分） 9. 若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____． 【答案】1或 【解析】 【详解】解：去分母得：x-3a=2a（x-3）， 整理得：（1-2a）x=-3a， 当1-2a=0时，方程无解，故a=； 当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解， 则a=1， ∴关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或． 故答案为：1或． 10. 一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的，…按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是________． 【答案】升 【解析】 【分析】根据题意，易知倒出的水的规律，第次倒出的水，然后从1升水中逐次减去每一次倒的水，再进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知 第一次倒出：， 第二次倒出：， 第三次倒出：， 第次倒出：， 第10次倒出：， 倒了10次后容器内剩余的水量． 故答案是． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算的应用及数字规律问题，熟练掌握有理数的混合运算的应用及数字规律问题是解题的关键． 11. 将六个字母排成一排，若均互不相邻且在的同一侧，则不同的排列法有_________种（用数字作答）． 【答案】96 【解析】 【分析】本题考查了排列组合，根据将六个字母排成一排，若均互不相邻且在的同一侧，进行分类讨论，再把所有的情况数相加，即可作答． 【详解】解：当在的左侧时，且均互不相邻， 再将插空，即，此时有种情况， 或，此时有种情况， 或，此时有种情况， 或，此时有种情况， 或，此时有种情况， 或，此时有种情况， 或，此时有种情况， 或，此时有种情况， ∴（种）， 当在的右侧时，且均互不相邻， 再将插空，即，此时有种情况， 或，此时有种情况， 或，此时有种情况， 或，此时有种情况， 或，此时有种情况， 或，此时有种情况， ∴（种）， ∴（种）． 故答案为：96． 12. 如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】将绕点A顺时针旋转至，将绕点D逆时针旋转至，则和是正三角形，进而可证当六点共线时,的值最小．连接，则和是等边三角形，然后分别求出的值即可． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转至；将绕点D逆时针旋转至， ∴，，，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴ ， ∴当六点共线时,的值最小． 连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴在的垂直平分线上， 同理可证， ∴在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， 同理可求， ∴， 即的值最小为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 13. 如图所示，可以在等边三角形内部任意位置移动，记，若，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正切的应用，等边三角形性质，直角三角形性质，勾股定理，解题的关键在于根据圆的运动情况找出最大最小的临界状态． 连接并延长交于点，连接，，过点分别作．设等边三角形边长为，的半径为，根据等边三角形性质可知，，，结合等边三角形性质，直角三角形性质，推出，，结合，推出，再结合勾股定理得到，进而得到，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接，，过点分别作． 可以在等边三角形内部任意位置移动， 圆心的运动范围为以为顶点的等边三角形内部及边上． 设等边三角形边长为，的半径为， 则， 根据等边三角形性质可知，，， ， ，， 同理可得， ， 记，若， ， 即， 整理得， ， ， 的最小值为； 故答案为：． 14. 设a，b，c，d都是正数，且S＝+，那么S的取值范围是__． 【答案】1＜S＜2 【解析】 【分析】根据分式的性质，分别将分母扩大、缩小，通过分式加减，计算即可得到结论． 【详解】∵a，b，c，d都是正数 ∴S＝+＞+＝＝1 S＝+＜+＝+＝2 ∴1＜S＜2 故答案为：1＜S＜2． 【点睛】本题考查了分式的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算的性质，从而完成求解． 15. 对于实数，用表示不超过的最大整数．若，则_________． 【答案】88 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化和实数大小比较，根据，利用放缩法来估计S的范围，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 故答案为88． 三、解答题（本题共4小题，共60分） 16. 阅读以下资料： 在中，若记内角所对的三条边分别为，则，或写成．这称为余弦定理，余弦定理可以在已知三角形三条边的情况下，求出任意一个角的余弦值；也可以在已知两条边和任意一个角的情况下，求出第三条边． 请尝试解决以下问题： （1）若，求角的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解三角形，余弦定理的定义，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）将化为，求出，即可求出角的值； （2）根据得到，两边同时除以得，设，解方程即可． 【小问1详解】 即 ∵ ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴ 即 两边同时除以得， 设， 则 即 解得：，（舍去） ∴ 17. 已知二次函数，其图像与轴的交点记为C． （1）当时，记二次函数与轴的交点为，求的面积 （2）已知，线段与二次函数有两个不同的交点，求实数的取值范围． （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，根据二次函数的性质以及二次函数与一元二次方程的关系来求解是本题解题的关键， （1）当  时，函数为 ．求出抛物线坐标轴交点坐标，进而求出三角形面积； （2）联立二次函数  与直线  ：，得方程，根据线段与二次函数有两个不同的交点，可得函数，与x轴有两个交点，且和3中间．由此可得得顶点在第一象限，当时，，由此解不等式即可； （3）根据对称轴的位置分类讨论，由当时，的最大值为1，最小值，列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：当  时，函数为 ． 当时，，解得， 所以，点 ， ， ∴ 当时， ，所以 ． 【小问2详解】 ∵点 ， ， ∴直线  函数解析式为 ． 联立二次函数  与直线  ：，得 整理得：， ∵线段与二次函数有两个不同的交点， ∴函数，与x轴有两个交点，且和3中间．如图： ∴当时，，即 ， 解得： 当时，， 当时，，即 ∴， 综上所述： 的取值范围为  【小问3详解】 ∵当  时， 恒成立， ∴当  时，， ∵的图象开口向下，对称轴是，如图： 此时最大值为 当  时，即 ．   解得：， 当 时，即 ． ，不等式组无解； 当 时，即 ． ，不等式组无解； 综上， 的取值范围为 ． 18. 如图，在平面内，以为边分别向两边作． （1）若，连接与直线交于点，且满足，求的长度． （2）若，求长度的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过作交于，根据相似三角形的性质和判定得出，再根据三角形三边关系得出为锐角三角形，从而得出和重合，所以共线，从而得解； （2）分别求出点和点的轨迹，根据轨迹判断长度的最大值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 过作交于， ∴， ， ∴， ∵， ， ， ∴为锐角三角形， ∴点Q与点重合， ∴重合，共线， ； 【小问2详解】 解：作的外接圆，连接，作于，作交延长线于，连接，如图： ， ， ， ， ， ， ， ∴ O在以为圆心，2为半径的圆上， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴长度的最大值为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识点，找出点运动的轨迹是本题解题的关键． 19. 已知实数满足 （1）求所有满足条件的实数的值； （2）若实数满足，且，求实数的取值范围． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】本题考查了换元法求解方程和利用一元二次方程根的判别式求出参数的取值范围， （1）设，，，利用方程特殊的系数关系消除常数项，再将三式相乘得：，由此找到满足条件的实数的值； （2）把，，代入，可得，进而可得，整理得到关于的方程，由方程有实数解可得，进而结合二次函数性质求出实数的取值范围 【小问1详解】 解：设，，，则原方程组可以化为： 整理得： ∴ 将三式相乘得： 当时，观察方程可得，此时，，， 当时，，此时不存在满足条件的、、． 综上所述：所有满足条件的实数为，，． 【小问2详解】 由（1）可知：，，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴， 当时，或， ∵二次函数的开口方向向下，故不等式 的解为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数理思维素养试题卷 一、 选择题（本题共8小题，共48分） 1. 下列语句所描述的事件是随机事件的是（ ） A. 任意画一个四边形，其内角和为360° B. 经过任意两点画一条直线 C. 任意画一个菱形，是中心对称图形 D. 过平面内任意三点画一个圆 2. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埔最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为（ ） A. B. C. D. 3. 观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ） A. B. C. D. 4. 三个关于的方程：，已知常数，若、、分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是（ ) A. B. C. D. 不能确定的大小 5. 已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 6. 方程有四个实数解，实数k的取值范围为（　　） A. 1＜k＜3 B. k＞3 C. k＞1 D. 0＜k＜1 7. 已知是非零实数，若对于任意的，都有，则下列不可能的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形 和正方形 的顶点在同一条直线上，顶点在同一条直线上．是的中点，且的平分线过点交于点连接交于点，连接交于点．给出以下结论∶①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本题共7小题，共42分） 9. 若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____． 10. 一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的，…按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是________． 11. 将六个字母排成一排，若均互不相邻且在的同一侧，则不同的排列法有_________种（用数字作答）． 12. 如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为_________． 13. 如图所示，可以在等边三角形内部任意位置移动，记，若，则的最小值为_______． 14. 设a，b，c，d都是正数，且S＝+，那么S的取值范围是__． 15. 对于实数，用表示不超过的最大整数．若，则_________． 三、解答题（本题共4小题，共60分） 16. 阅读以下资料： 在中，若记内角所对的三条边分别为，则，或写成．这称为余弦定理，余弦定理可以在已知三角形三条边的情况下，求出任意一个角的余弦值；也可以在已知两条边和任意一个角的情况下，求出第三条边． 请尝试解决以下问题： （1）若，求角的值； （2）若，且，求的值． 17. 已知二次函数，其图像与轴的交点记为C． （1）当时，记二次函数与轴的交点为，求的面积 （2）已知，线段与二次函数有两个不同的交点，求实数的取值范围． （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 18. 如图，在平面内，以为边分别向两边作． （1）若，连接与直线交于点，且满足，求的长度． （2）若，求长度的最大值． 19. 已知实数满足 （1）求所有满足条件的实数的值； （2）若实数满足，且，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $