1.3一元二次方程的根与系数的关系 过关检测-2025-2026学年苏科版数学九年级上册

1.3一元二次方程的根与系数的关系过关检测-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 一．选择题（共8小题） 1．（2025•临沭县一模）已知x1，x2是一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两个不相等的实数根，且，则m的值是（　　） A． B．﹣3 C． D． 2．（2025•如皋市校级模拟）设a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 3．（2025•柳州三模）若x1、x2是方程x2+x﹣6＝0的两个根，则x1+x2的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6 4．（2024秋•揭阳期末）已知关于x的方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根为x1，x2，则x1x2的值为（　　） A． B．﹣3 C． D．﹣5 5．（2025•洪泽区一模）若关于x的方程x2+（m+1）x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1或﹣1 C．1 D．2 6．（2025•广东模拟）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x12+x22＝（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．10 7．（2025•秦皇岛模拟）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣（k+1）x﹣k2＝0的两个根，下列结论一定正确的是（　　） A．x1≠x2 B．x1＝x2 C．x1，x2＞0 D．x1+x2＞0 8．（2025春•江阳区校级月考）已知关于x的一元二次方程2x2﹣8x+3＝0有两个根为x1和x2，则2x1x2﹣x1﹣x2的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 二．填空题（共7小题） 9．（2025•合江县模拟）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x﹣k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝　 　 ． 10．（2025•吐鲁番市二模）已知a，b是关于x的方程x2﹣2x+k＝0的两个实数根，若a2﹣2a﹣ab＝4，则k＝ 　 　 ． 11．（2025•沙坪坝区校级开学）若x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则的值为　 　 ． 12．（2025春•沙坪坝区校级期末）若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个根，则的值为　 　 ． 13．（2025春•海州区校级月考）已知m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根，则（m2﹣2024m+2025）（n2﹣2024n+2025）＝　 　 ． 14．（2025•平原县一模）若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣8＝0的两个根，则α2﹣4α﹣β的值为　 　 ． 15．（2025•邯郸模拟）一元二次方程x2﹣□x+2＝0的两根为m，n，且mn（m+n）＝46，其中“□”表示一个数，则“□”为　 　 ． 三．解答题（共6小题） 16．（2024秋•泰和县期末）已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程有一个根为x＝1，求k的值及另一个根． 17．（2025•吉州区一模）关于x的方程为x2+（m﹣3）x+m﹣7＝0． （1）证明：方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2．且满足2（x1+x2）+x1x2＞0，求m的取值范围． 18．（2024秋•孝昌县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1＝m，求x2的值． 19．（2025春•青州市校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根x1，x2满足|x1﹣x2|＝3，求a的值． 20．（2025•嘉陵区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m+1＝0有实数根． （1）求实数m的取值范围． （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，设，求y关于m的函数关系式．点（a，y1），（4﹣a，y2）为其图象上两点，已知y1＜y2，求整数a的值． 21．（2025春•威海期末）【阅读材料】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则，.这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）【材料理解】 一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝　 　 ，x1x2＝　 　 ； （2）【类比运用】已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1、x2，满足x1+x2＝2x1x2+5，求k的值． （3）【思维拓展】已知实数m，n，满足3m2+6m﹣5＝0，3n2+6n﹣5＝0，且m≠n，求的值． 1.3一元二次方程的根与系数的关系过关检测-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A D C D A D 一．选择题（共8小题） 1．（2025•临沭县一模）已知x1，x2是一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两个不相等的实数根，且，则m的值是（　　） A． B．﹣3 C． D． 【解答】解：根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0， 解得m， 根据根与系数的关系的x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1， ∵， ∴（x1+x2）2﹣x1x2﹣17＝0， ∴（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣17＝0， 整理得3m2+4m﹣15＝0，解得m1，m2＝﹣3， ∵m， ∴m的值为． 故选：C． 2．（2025•如皋市校级模拟）设a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2020＝0的实数根， ∴a2+a﹣2020＝0， ∴a2＝﹣a+2020， ∴a2+2a+b＝﹣a+2020+2a+b＝a+b+2020， ∵a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣1， ∴a2+2a+b＝﹣1+2020＝2019． 故选：C． 3．（2025•柳州三模）若x1、x2是方程x2+x﹣6＝0的两个根，则x1+x2的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6 【解答】解：由条件可知x1+x2＝﹣1． 故选：A． 4．（2024秋•揭阳期末）已知关于x的方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根为x1，x2，则x1x2的值为（　　） A． B．﹣3 C． D．﹣5 【解答】解：∵方程的两个实数根为x1，x2， ∴x1x2＝﹣5， 故选：D． 5．（2025•洪泽区一模）若关于x的方程x2+（m+1）x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1或﹣1 C．1 D．2 【解答】解：由题意可知：Δ＝（m+1）2﹣4m2＝﹣3m2+2m+1， 由题意可知：m2＝1， ∴m＝±1， 当m＝1时，Δ＝﹣3+2+1＝0， 当m＝﹣1时，Δ＝﹣3﹣2+1＝﹣4＜0，不满足题意， 故选：C． 6．（2025•广东模拟）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x12+x22＝（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．10 【解答】解：根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1x2＝﹣3， 所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4﹣2×（﹣3）＝10． 故选：D． 7．（2025•秦皇岛模拟）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣（k+1）x﹣k2＝0的两个根，下列结论一定正确的是（　　） A．x1≠x2 B．x1＝x2 C．x1，x2＞0 D．x1+x2＞0 【解答】解：由题意可知：Δ＝[﹣（k+1）]2+4k2＝（k+1）2+4k2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∵x1，x2是关于x的方程x2﹣（k+1）x﹣k2＝0的两个根， ∴x1≠x2；故A正确，B错误； ∴， ∴x1，x2异号或其中一个的值为0，x1+x2的值不一定大于0；故C，D错误； 故选A． 8．（2025春•江阳区校级月考）已知关于x的一元二次方程2x2﹣8x+3＝0有两个根为x1和x2，则2x1x2﹣x1﹣x2的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【解答】解：由题意可知：， ∴． 故选：D． 二．填空题（共7小题） 9．（2025•合江县模拟）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x﹣k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝　﹣2　 ． 【解答】解：根据题意知x1+x2＝3x2＝3，则x2＝1， 将其代入关于x的方程x2﹣3x﹣k＝0，得12﹣3×1﹣k＝0． 解得k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 10．（2025•吐鲁番市二模）已知a，b是关于x的方程x2﹣2x+k＝0的两个实数根，若a2﹣2a﹣ab＝4，则k＝ 　﹣2　 ． 【解答】解：∵a，b是关于x的方程x2﹣2x+k＝0的两个实数根， ∴a2﹣2a+k＝0，ab＝k， ∴a2﹣2a＝﹣k， ∵a2﹣2a﹣ab＝4， ∴﹣k﹣k＝4， ∴k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 11．（2025•沙坪坝区校级开学）若x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则的值为　7　 ． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根， ∴由韦达定理可知：x1+x2＝3，x1x2＝1， ∴； 故答案为：7． 12．（2025春•沙坪坝区校级期末）若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个根，则的值为　　 ． 【解答】解：由根与系数的关系得， m+n＝5，mn＝2， 则． 故答案为：． 13．（2025春•海州区校级月考）已知m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根，则（m2﹣2024m+2025）（n2﹣2024n+2025）＝　2　 ． 【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根， ∴m+n＝2023，mn＝2024， m2﹣2023m+2024＝0， n2﹣2023n+2024＝0， （m2﹣2024m+2025）（n2﹣2024n+2025） ＝（m2﹣2023m+2024﹣m+1）（n2﹣2023n+2024﹣n+1） ＝（0﹣m+1）（0﹣n+1） ＝（1﹣m）（1﹣n） ＝1﹣n﹣m+mn ＝1﹣（m+n）+mn ＝1﹣2023+2024 ＝2， 故答案为：2． 14．（2025•平原县一模）若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣8＝0的两个根，则α2﹣4α﹣β的值为　5　 ． 【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2﹣3x﹣8的两个根， ∴α2﹣3α﹣8＝0， ∴α2﹣3α＝8， ∵α+β＝3， ∴α2﹣4α﹣β＝α2﹣3α﹣α﹣β＝α2﹣3α﹣（α+β）＝8﹣3＝5． 故答案为：5． 15．（2025•邯郸模拟）一元二次方程x2﹣□x+2＝0的两根为m，n，且mn（m+n）＝46，其中“□”表示一个数，则“□”为　23　 ． 【解答】解：由条件可得m+n＝□，mn＝2， 又mn（m+n）＝46， 故2×□＝46， 解得□＝23． 故答案为：23． 三．解答题（共6小题） 16．（2024秋•泰和县期末）已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程有一个根为x＝1，求k的值及另一个根． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根， 则有Δ＝（﹣6）2﹣4×k×9≥0，且k≠0， 解得k≤1且k≠0； （2）若方程有一个根为x＝1， 则有k×12﹣6×1+9＝0，解得k＝﹣3， 即该方程为﹣3x2﹣6x+9＝0， 整理可得x2+2x﹣3＝0， ∴（x+3）（x﹣1）＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣3， 该方程的另一个根为﹣3． 17．（2025•吉州区一模）关于x的方程为x2+（m﹣3）x+m﹣7＝0． （1）证明：方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2．且满足2（x1+x2）+x1x2＞0，求m的取值范围． 【解答】解：（1）∵Δ＝（m﹣3）2﹣4（m﹣7）＝（m﹣5）2+12＞0， ∴无论m取何值方程总有两个不相等的实数根． （2）根据题意得x1+x2＝3﹣m，x1x2＝m﹣7， ∵2（x1+x2）+x1x2＞0， ∴2（3﹣m）+m﹣7＞0， ∴m＜﹣1， ∴m的取值范围为m＜﹣1． 18．（2024秋•孝昌县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1＝m，求x2的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＞0， 解得：m＞﹣1， ∴实数m的取值范围为m＞﹣1； （2）由条件可知： ，， 若x1＝m，则： m+x2＝2，mx2＝﹣m， 当m＝0时，x2＝2﹣m＝2﹣0＝2， 当m≠0时，， ∴x2的值为2或﹣1． 19．（2025春•青州市校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根x1，x2满足|x1﹣x2|＝3，求a的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣a）2﹣4（a﹣1） ＝a2﹣4a+4 ＝（a﹣2）2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：由题意，x1+x2＝a，x1•x2＝a﹣1， ∴|， ∴a2﹣4a﹣5＝0． ∴a＝5或a＝﹣1． 20．（2025•嘉陵区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m+1＝0有实数根． （1）求实数m的取值范围． （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，设，求y关于m的函数关系式．点（a，y1），（4﹣a，y2）为其图象上两点，已知y1＜y2，求整数a的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m+1＝0有实数根， ∴Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣2m+1）＝4m﹣3≥0， 解得：m， ∴实数m的取值范围为m； （2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m+1＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2﹣2m+1， ∴y＝（x1﹣x2）2+5＝（x1+x2）2﹣4x1x2+5＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣2m+1）+5＝4m+2， ∵4＞0， ∴y随m的增大而增大， ∵点（a，y1），（4﹣a，y2）为其图象上两点，且y1＜y2，m， ∴a＜4﹣a， ∴a＜2， 又∵a为整数， ∴a＝1， ∴整数a的值为1． 21．（2025春•威海期末）【阅读材料】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则，.这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）【材料理解】 一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝　　 ，x1x2＝　　 ； （2）【类比运用】已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1、x2，满足x1+x2＝2x1x2+5，求k的值． （3）【思维拓展】已知实数m，n，满足3m2+6m﹣5＝0，3n2+6n﹣5＝0，且m≠n，求的值． 【解答】解：（1）由题知， 因为一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1、x2， 所以． 故答案为：． （2）因为所给方程的两个实数根为x1、x2， 所以． 又因为x1+x2＝2x1x2+5， 所以2k+1＝2（）+5， 解得k1＝0，k2＝2， 所以k的值为0或2． （3）由题知， m，n可看成方程3x2+6x﹣5＝0的两个根， 所以m+n，mn， 所以． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $