1.2一元二次方程的解法 过关检测-2025-2026学年苏科版数学九年级上册

1.2一元二次方程的解法过关检测-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 一．选择题（共8小题） 1．（2025•麒麟区一模）方程x2+2x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 2．（2024秋•吉林期末）一元二次方程﹣x2+7x＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝7 B．x1＝1，x2＝7 C．x1＝0，x2＝﹣7 D．x1＝1，x2＝﹣7 3．（2025•唐山校级二模）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤﹣1且k＝0 4．（2025•四平一模）下列一元二次方程没有实数根的是（　　） A．x2﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+x+1＝0 D．（x﹣1）（x﹣3）＝0 5．（2025•西山区二模）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的值可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2025•亳州三模）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个不相等的实数根分别为α，β，关于x的一元二次方程x2+cx+b＝0的两个实数根分别为α+1，β+1，则下列方程中，其两实数根分别为α﹣1，β﹣1的是（　　） A．x2﹣x﹣3＝0 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+x﹣3＝0 D．x2+x﹣2＝0 7．（2025春•崇川区校级期末）关于x的一元二次方程a（x﹣h）2＝k（a≠0）的两根分别为﹣1，3，则关于x的一元二次方程a（2x﹣h+1）2＝k的两根分别为（　　） A．x1＝﹣2，x2＝6 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1 8．（2025春•沙坪坝区校级期末）若关于x的一元二次方程x2+4x+（a+6）＝0有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．﹣7 B．﹣9 C．﹣14 D．﹣16 二．填空题（共8小题） 9．（2025春•招远市期末）关于x的一元二次方程（x+5）2＝m有实数根，则m的值可以为 　 　 （写出一个即可）． 10．（2025春•长安区校级月考）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，则边长c的最大值是　 　 ． 11．（2025春•靖江市校级月考）已知a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+2b﹣3c的值为 　 　 ． 12．（2025春•海州区校级月考）若关于x的一元二次方程（x﹣3）2＝1﹣k有两个相等的实数根，则k的取值范围是 　 　 ． 13．（2025•新余二模）如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣2＝0有两个不相等的实数根，且a为小于2的整数，那么a的值是 　 　 ． 14．（2025•连城县模拟）若一元二次方程x2﹣3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值为　 　 ． 15．（2024秋•宜州区期末）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为 　 　 ． 16．（2025春•闵行区校级月考）关于x的方程只有一个实数根，那么a的值是　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2024秋•海伦市期末）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣2x＝5； （2）x（x﹣1）＝2﹣2x； （3）x2﹣5x﹣6＝0． 18．（2025春•南通校级月考）解方程： （1）用直接开平方法：（x﹣2）2﹣4＝0； （2）用配方法：x2﹣4x﹣3＝0； （3）用公式法：x2﹣3x+1＝0； （4）用因式分解法：（5x﹣1）2＝3（5x﹣1）． 19．（2024秋•新余期末）关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求出此时方程的根． 20．（2025•海淀区校级开学）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3＝0． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）求证：无论m为何非零实数，该方程总有一个固定的根． 21．（2025春•琅琊区校级期中）先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式x2+6x+10的最小值． 解：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1， ∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+1≥1， ∴x2+6x+10的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： （1）求代数式y2+10y+27的最小值． （2）判断代数式8﹣m2+4m有最大值还是有最小值，并求出该最值． （3）已知a，b为任意值，试比较4a2+b2+11与12a﹣2b的大小关系，并说明理由． 22．（2025春•宁远县期末）我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“理想数”，例如，10是“理想数”，理由：因为10＝12+32所以10是“理想数”． （1）解决问题：已知53是“理想数”，请将它写成a2+b2（a，b是整数）的形式； （2）探究问题：已知x2+2y2﹣4x+4y+6＝0，则x+y＝　 　 ； （3）融会贯通：已知s＝2x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整数，k是常数）要使S为“理想数”，试求出符合条件的k值，并说明理由； （4）举一反三：已知实数x，y满足，求y﹣x最值． 1.2一元二次方程的解法过关检测-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B C A C C A 一．选择题（共8小题） 1．（2025•麒麟区一模）方程x2+2x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0， ∴方程没有实数根， 故选：C． 2．（2024秋•吉林期末）一元二次方程﹣x2+7x＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝7 B．x1＝1，x2＝7 C．x1＝0，x2＝﹣7 D．x1＝1，x2＝﹣7 【解答】解：因式分解得﹣x（x﹣7）＝0， 则x＝0或x﹣7＝0， 解得：x1＝0，x2＝7； 故选A． 3．（2025•唐山校级二模）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤﹣1且k＝0 【解答】解：由题意得，k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4k•（﹣1）≥0， 解得：k≥﹣1且k≠0， 故选：B． 4．（2025•四平一模）下列一元二次方程没有实数根的是（　　） A．x2﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+x+1＝0 D．（x﹣1）（x﹣3）＝0 【解答】解：A、Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意； B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意； C、Δ＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，则方程没有实数根，所以该选项符合题意； D、解（x﹣1）（x﹣3）＝0得x1＝1，x2＝3，所以该选项不符合题意． 故选：C． 5．（2025•西山区二模）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的值可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根， 所以Δ＝（﹣3）2﹣4×1×k≥0， 解得k， 显然只有A选项符合题意． 故选：A． 6．（2025•亳州三模）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个不相等的实数根分别为α，β，关于x的一元二次方程x2+cx+b＝0的两个实数根分别为α+1，β+1，则下列方程中，其两实数根分别为α﹣1，β﹣1的是（　　） A．x2﹣x﹣3＝0 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+x﹣3＝0 D．x2+x﹣2＝0 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个不相等的实数根分别为α，β， ∴α+β＝﹣b，αβ＝c， ∵关于x的一元二次方程x2+cx+b＝0的两个实数根分别为α+1，β+1， ∴α+1+β+1＝﹣c，（α+1）（β+1）＝b， ∴﹣b+2＝﹣c，2b＝c+1， 由，解得， ∴α﹣1+β﹣1＝1﹣2＝﹣1，（α﹣1）（β﹣1）＝αβ﹣（α+β）+1＝c+b+1＝﹣3﹣1+1＝﹣3， ∴以两实数根分别为α﹣1，β﹣1的方程是x2+x﹣3＝0， 故选：C． 7．（2025春•崇川区校级期末）关于x的一元二次方程a（x﹣h）2＝k（a≠0）的两根分别为﹣1，3，则关于x的一元二次方程a（2x﹣h+1）2＝k的两根分别为（　　） A．x1＝﹣2，x2＝6 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1 【解答】解：由题意知2x+1＝﹣1或2x+1＝3， 解得x1＝﹣1，x2＝1， 故选：C． 8．（2025春•沙坪坝区校级期末）若关于x的一元二次方程x2+4x+（a+6）＝0有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．﹣7 B．﹣9 C．﹣14 D．﹣16 【解答】解：由条件可知：Δ＝42﹣4（a+6）＞0， 解得：a＜﹣2， 分式方程， 去分母得：ay+y﹣1＝﹣7， 解得：y， ∵分式方程的解为正整数， ∴为负整数， ∵a＜﹣2， ∴a+1＜﹣1， ∴a+1＝﹣2，﹣3，﹣6， ∴整数a＝﹣3，﹣4，﹣7， ∵y≠1， ∴整数a＝﹣3，﹣4， 则符合条件的所有整数a的值之和为﹣7． 故选：A． 二．填空题（共8小题） 9．（2025春•招远市期末）关于x的一元二次方程（x+5）2＝m有实数根，则m的值可以为 　2（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【解答】解：∵一元二次方程（x+5）2＝m有实数根， ∴m≥0， ∴m可以取2； 故答案为：2（答案不唯一）． 10．（2025春•长安区校级月考）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，则边长c的最大值是　6　 ． 【解答】解：∵a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0， ∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）＝0， ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0， ∴a﹣3＝0， ∴a＝3， ∴4﹣3＜c＜3+4， ∴1＜c＜7， 又∵c是正整数， ∴△ABC的边c的值2，3，4，5，6； ∴△ABC的边c的最大值6． 故答案为：6． 11．（2025春•靖江市校级月考）已知a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+2b﹣3c的值为 　﹣2　 ． 【解答】解：由条件可知a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a+11＝0， ∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0， ∴a＝3，b＝﹣1，c＝1， ∴a+2b﹣3c＝3+2×（﹣1）﹣3×1＝﹣2， 故答案为：﹣2． 12．（2025春•海州区校级月考）若关于x的一元二次方程（x﹣3）2＝1﹣k有两个相等的实数根，则k的取值范围是 　k＝1　 ． 【解答】解：由条件可得x2﹣6x+8+k＝0， Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（8+k）＝0， 解得：k＝1． 故答案为：k＝1． 13．（2025•新余二模）如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣2＝0有两个不相等的实数根，且a为小于2的整数，那么a的值是 　1　 ． 【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝12﹣4a×（﹣2）＞0， 解得a且a≠0， ∵a为小于2的整数， ∴a的值为1． 故答案为：1． 14．（2025•连城县模拟）若一元二次方程x2﹣3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值为　﹣3　 ． 【解答】解：x2﹣3＝0， ∴x＝±， ∴x1，x2， ∴x1•x2＝﹣3， 故答案为：﹣3． 15．（2024秋•宜州区期末）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为 　10　 ． 【解答】解：x2﹣6x+8＝0， （x﹣2）（x﹣4）＝0， x﹣2＝0或x﹣4＝0， 所以x1＝2，x2＝4， 当三角形的腰为4，底为2时，三角形的周长为4+4+2＝10， 当三角形的腰为2，底为4时不符合三角形三边的关系，舍去， 所以三角形的周长为10． 故答案为：10． 16．（2025春•闵行区校级月考）关于x的方程只有一个实数根，那么a的值是　﹣3.5　 ． 【解答】解：原方程去分母得x2+（x﹣2）2+2x+a＝0， 整理得2x2﹣2x+a+4＝0， ∵原方程只有一个实数根， ∴（﹣2）2﹣4×2（a+4）＝0， 解得：a＝﹣3.5， 故答案为：﹣3.5． 三．解答题（共6小题） 17．（2024秋•海伦市期末）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣2x＝5； （2）x（x﹣1）＝2﹣2x； （3）x2﹣5x﹣6＝0． 【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝5， ∴x2﹣2x+1＝6， ∴（x﹣1）2＝6， ∴， ∴x11，x21； （2）x（x﹣1）＝2﹣2x， ∴（x+2）（x﹣1）＝0， ∴x+2＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝1； （3）x2﹣5x﹣6＝0， ∴（x﹣6）（x+1）＝0， ∴x﹣6＝0或x+1＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣1． 18．（2025春•南通校级月考）解方程： （1）用直接开平方法：（x﹣2）2﹣4＝0； （2）用配方法：x2﹣4x﹣3＝0； （3）用公式法：x2﹣3x+1＝0； （4）用因式分解法：（5x﹣1）2＝3（5x﹣1）． 【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣4＝0， （x﹣2）2＝4， x﹣2＝±2， x1＝4，x2＝0； （2）x2﹣4x﹣3＝0， x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝7， （x﹣2）2＝7， ， ； （3）∵x2﹣3x+1＝0， ∴a＝1，b＝﹣3，c＝1， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0， ∴， ∴； （4）（5x﹣1）2＝3（5x﹣1）， （5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）＝0， （5x﹣1）（5x﹣4）＝0， 5x﹣1＝0或5x﹣4＝0， ． 19．（2024秋•新余期末）关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求出此时方程的根． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根， ∴， 解得：m且m≠0， ∴m的取值范围为m且m≠0； （2）∵m且m≠0，m为正整数， ∴m＝1， ∴原方程为x2﹣4x+3＝0， 即（x﹣1）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴此时方程的根为1和3． 20．（2025•海淀区校级开学）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3＝0． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）求证：无论m为何非零实数，该方程总有一个固定的根． 【解答】（1）解：根据题意得m≠0且Δ＝9（m﹣1）2﹣4m（2m﹣3）＞0， 解得m≠0且m≠3， 即m的取值范围为m≠0且m≠3； （2）证明：∵Δ＝9（m﹣1）2﹣4m（2m﹣3）＝（m﹣3）2， ∴x， ∴x1，x2＝1， ∴无论m为何非零实数，该方程总有一个固定的根为1． 21．（2025春•琅琊区校级期中）先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式x2+6x+10的最小值． 解：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1， ∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+1≥1， ∴x2+6x+10的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： （1）求代数式y2+10y+27的最小值． （2）判断代数式8﹣m2+4m有最大值还是有最小值，并求出该最值． （3）已知a，b为任意值，试比较4a2+b2+11与12a﹣2b的大小关系，并说明理由． 【解答】解：（1）y2+10y+27 ＝y2+10y+25+2 ＝（y+5）2+2， ∵（y+5）2≥0， ∴（y+5）2+2≥2， ∴y2+10y+27的最小值是2； （2）8﹣m2+4m ＝﹣（m2﹣4m）+8 ＝﹣（m2﹣4m+4）+4+8 ＝﹣（m﹣2）2+12， ∵﹣（m﹣2）2≤0， ∴﹣（m﹣2）2+12≤12， ∴8﹣m2+4m有最大值，最大值为12； （3）4a2+b2+11＞12a﹣2b，理由如下： 4a2+b2+11﹣（12a﹣2b） ＝4a2+b2+11﹣12a+2b ＝（4a2﹣12a+9）+（b2+2b+1）+1 ＝（2a﹣3）2+（b+1）2+1， ∵（2a﹣3）2≥0，（b+1）2≥0， ∴（2a﹣3）2+（b+1）2+1≥1＞0， ∴4a2+b2+11＞12a﹣2b． 22．（2025春•宁远县期末）我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“理想数”，例如，10是“理想数”，理由：因为10＝12+32所以10是“理想数”． （1）解决问题：已知53是“理想数”，请将它写成a2+b2（a，b是整数）的形式； （2）探究问题：已知x2+2y2﹣4x+4y+6＝0，则x+y＝　1　 ； （3）融会贯通：已知s＝2x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整数，k是常数）要使S为“理想数”，试求出符合条件的k值，并说明理由； （4）举一反三：已知实数x，y满足，求y﹣x最值． 【解答】解：（1）由题意可得：53＝72+22； （2）∵x2+2y2﹣4x+4y+6＝0， ∴（x﹣2）2+2（y+1）2＝0， ∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0， ∴x﹣2＝0，y+1＝0， ∴x＝2，y＝﹣1， ∴x+y＝2+（﹣1）＝1； 故答案为：1； （3）k＝36，理由如下： s＝2x2+y2+2xy+12x+k＝（x+y）2+（x+6）2+（k﹣36）， ∵S为“理想数”， ∴k﹣36＝0， ∴k＝36； （4）由条件可知， ∴， ∵， ∴y﹣x的最小值为，无最大值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $