第一单元长方体和正方体【从新情境到新素养】-2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列（原卷版+解析版）苏教版

多学科网 www zxxk com 让教与学更高效 昨夜西风调碧树，独上高楼，望尽天涯路。 —宋·晏殊《蝶恋花槛菊愁烟兰泣露》 第1页共7页 命学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋J 第一单元长方体和正方体【从新情境到新素养】 新 情境主题 吕【典型例题】 【新情境解决生活问题】学习了容积和容积单位后，小明决定用所学知识在实践中检验一番， 他发现一个标示净含量为250毫升”的长方体牛奶纸盒，从外部量得长宽高分别是；5厘米、 3.5厘米和13厘米。请根据小明的测量判断这个标示广告是否真实，并说明理由。 肥【对应练习】 1.【新情境。传统文化习俗】中秋节做花灯是一种古老的传统民俗。东东用一根铁丝正好围 成一个长4分米、宽3分米、高5分米的长方体花灯框架。若用这根铁丝围成一个正方体花灯 框架，棱长是多少分米？ 2.【新情境。对话主题】张师傅给长方体A的表面刷油漆，正好用了一桶油漆。王师傅要给 长方体B的表面刷油漆，长方体B的长、宽、高正好都是长方体A长、宽、高的2倍。王师 傅说：我去购买两桶张师傅这样的油漆就够了。王师傅说的对吗？说说你的理由。 第2页共7页 画学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 3.【跨学科主题。安全知识】暑假即将来临，张明想约同学李亮一起去小区旁边的池塘游泳， 你认为他们是（)的。（填“安全”或危险”) 夏季是溺水安全事故的高发期，我们要牢记老师告诉我们的预防溷水六不准”原则，珍爱自己 的生命，最终张明和同学选择了设施齐全的正规游泳馆。游泳馆内一个标准的泳池，长50米， 宽25米，并且泳池底部是有一定的倾斜度，泳池由1.2米深的浅水区，自然过渡到1.8米的深 水区。怎样求这个泳池最多能装多少立方米水呢？ 张明和李亮想到在数学课上推导图形的面积和体积时常常用到转化思想，受到启发，找到了解 决这一问题的不同思路。 我的思路是这样的： 我觉得还可以这样： 张明 李亮 请根据上面两位同学的研究思路，选择一种解答这个泳池最多能装多少立方米水呢？这个问 题。 新 素养培优 吕【典型例题】 【新素养几何直观能力】如图是一个无盖的长方体纸盒展开图，请你根据图中的数据，求出 这个纸盒的容积（纸板的厚度忽略不计）。（单位：分米） 6 4 4 2 第3页共7页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 肥【对应练习】 1.【新素养·几何直观能力】一个无盖的长方体纸盒的长、宽、高分别是4厘米、3厘米和2 厘米。在图中画出余下几个面并标出名称，再算出长方体的表面积。 1cm 后面 右面 2.【新素养。几何直观能力】下图是一个长方体纸盒的展开图，求它的体积。 24cm 10cm 3.【新素养。几何直观能力】在一块长方形铁皮的两个角上各剪掉一个边长为20厘米的小正 方形，并把剪下的两个小正方形焊接到长方形另一边的中间（如图），然后制成一个无盖的长 方体盒子。这个盒子的体积是多少？（铁皮的损耗不计） 80 米 100厘米习 第4页共7页 命学科网 www zxx k com 让教与学更高效 新 趋势命题 吕【典型例题】 【新趋势·实验活动探究】小实验：测量一块石头的体积。 步骤1：准备一个长方体玻璃缸，从里面测量长是25cm,宽是8cm,高是12cm。 步骤2：往玻璃缸中倒入1升水。 步骤3：把一块石头放入玻璃缸中，被水完全浸没。 步骤4：测出水面上升3cm。 升3cn 12c 25cm 25cm (1)这块石头的体积是多少立方厘米？ (2)如果再往这个长方体玻璃缸中倒入1升的水，水会溢出吗？ 即【对应练习】 1.【新趋势。实验活动探究】数学课上，小明准备了一个长方体无盖玻璃缸和一些水做实验。 图1 图2 图3 图4 第一步：测量出这个长方体无盖玻璃缸的长、宽、高分别是30厘米、20厘米、20厘米，并往 玻璃缸里倒入9升水（如图1）： 第二步：将玻璃缸倾斜，慢慢倒出水，直到AB边和CD边正好在同一水平面上（如图2）； 第三步：将玻璃缸放正，在水面处做标记EF（如图3)； 第四步：继续倒出一些水后，再将玻璃缸倾斜，发现AB边和EF边正好在同一水平面上（如 第5页共7页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 图4)。 (1)制作这个玻璃缸需要多少平方分米的玻璃？ (2)图1的玻璃缸中水深多少分米？ (3)图4的玻璃缸中还剩多少升水？ 2.【新趋势。实验活动探究】数学课上，同学们为了测量一个桃子的体积，设计了以下实验 步骤（步骤被打乱了顺序）。 ①列式计算出桃子的体积：②找一个无盖的长方体透明塑料罐，量得底面长8厘米，宽6厘米， 高30厘米；③将桃子浸没在水中，量出水面高度20厘米；④倒入适量的水，量出水面高度 15厘米。 (1)正确的实验顺序是()。（填序号） (2)这个桃子的体积是多少立方厘米？ (3)如果要制作这个无盖的长方体透明塑料罐，至少需要多少平方厘米的透明塑料？ 3.【新趋势。实验活动探究】数学课上同学们正在测量铁球的体积，步骤如下： 4cm ① ② 6cm 乙 ③ ④ 第6页共7页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (1)取一个底面长20厘米，宽15厘米的长方体容器，注入部分水（如图①) (2)放入甲球，完全浸没在水中，水面上升4厘米（如图②） (3)再放入乙球，这时有部分水溢出（如图③） (4)取出乙球，这时水面距离容器口6厘米（如图④） 甲球的体积是多少立方厘米？乙球的体积是多少立方厘米？ 第7页共7页 昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。 ——宋·晏殊《蝶恋花·槛菊愁烟兰泣露》 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第一单元长方体和正方体【从新情境到新素养】 【典型例题】 【新情境·解决生活问题】学习了容积和容积单位后，小明决定用所学知识在实践中检验一番，他发现一个标示“净含量为250毫升”的长方体牛奶纸盒，从外部量得长宽高分别是；5厘米、3.5厘米和13厘米。请根据小明的测量判断这个标示广告是否真实，并说明理由。 【对应练习】 1．【新情境·传统文化习俗】中秋节做花灯是一种古老的传统民俗。东东用一根铁丝正好围成一个长4分米、宽3分米、高5分米的长方体花灯框架。若用这根铁丝围成一个正方体花灯框架，棱长是多少分米？ 2．【新情境·对话主题】张师傅给长方体A的表面刷油漆，正好用了一桶油漆。王师傅要给长方体B的表面刷油漆，长方体B的长、宽、高正好都是长方体A长、宽、高的2倍。王师傅说：我去购买两桶张师傅这样的油漆就够了。王师傅说的对吗？说说你的理由。 3．【跨学科主题·安全知识】暑假即将来临，张明想约同学李亮一起去小区旁边的池塘游泳，你认为他们是（    ）的。（填“安全”或“危险”） 夏季是溺水安全事故的高发期，我们要牢记老师告诉我们的预防溷水“六不准”原则，珍爱自己的生命，最终张明和同学选择了设施齐全的正规游泳馆。游泳馆内一个标准的泳池，长50米，宽25米，并且泳池底部是有一定的倾斜度，泳池由1.2米深的浅水区，自然过渡到1.8米的深水区。怎样求这个泳池最多能装多少立方米水呢？ 张明和李亮想到在数学课上推导图形的面积和体积时常常用到转化思想，受到启发，找到了解决这一问题的不同思路。 请根据上面两位同学的研究思路，选择一种解答“这个泳池最多能装多少立方米水呢？”这个问题。 【典型例题】 【新素养·几何直观能力】如图是一个无盖的长方体纸盒展开图，请你根据图中的数据，求出这个纸盒的容积（纸板的厚度忽略不计）。（单位：分米） 【对应练习】 1．【新素养·几何直观能力】一个无盖的长方体纸盒的长、宽、高分别是4厘米、3厘米和2厘米。在图中画出余下几个面并标出名称，再算出长方体的表面积。 2．【新素养·几何直观能力】下图是一个长方体纸盒的展开图，求它的体积。 3．【新素养·几何直观能力】在一块长方形铁皮的两个角上各剪掉一个边长为20厘米的小正方形，并把剪下的两个小正方形焊接到长方形另一边的中间（如图），然后制成一个无盖的长方体盒子。这个盒子的体积是多少？（铁皮的损耗不计） 【典型例题】 【新趋势·实验活动探究】小实验：测量一块石头的体积。 步骤1：准备一个长方体玻璃缸，从里面测量长是25cm，宽是8cm，高是12cm。 步骤2：往玻璃缸中倒入1升水。 步骤3：把一块石头放入玻璃缸中，被水完全浸没。 步骤4：测出水面上升3cm。 （1）这块石头的体积是多少立方厘米？ （2）如果再往这个长方体玻璃缸中倒入1升的水，水会溢出吗？ 【对应练习】 1．【新趋势·实验活动探究】数学课上，小明准备了一个长方体无盖玻璃缸和一些水做实验。 第一步：测量出这个长方体无盖玻璃缸的长、宽、高分别是30厘米、20厘米、20厘米，并往玻璃缸里倒入9升水（如图1）； 第二步：将玻璃缸倾斜，慢慢倒出水，直到AB边和CD边正好在同一水平面上（如图2）； 第三步：将玻璃缸放正，在水面处做标记EF（如图3）； 第四步：继续倒出一些水后，再将玻璃缸倾斜，发现AB边和EF边正好在同一水平面上（如图4）。 （1）制作这个玻璃缸需要多少平方分米的玻璃？ （2）图1的玻璃缸中水深多少分米？ （3）图4的玻璃缸中还剩多少升水？ 2．【新趋势·实验活动探究】数学课上，同学们为了测量一个桃子的体积，设计了以下实验步骤（步骤被打乱了顺序）。 ①列式计算出桃子的体积；②找一个无盖的长方体透明塑料罐，量得底面长8厘米，宽6厘米，高30厘米；③将桃子浸没在水中，量出水面高度20厘米；④倒入适量的水，量出水面高度15厘米。 （1）正确的实验顺序是（    ）。（填序号） （2）这个桃子的体积是多少立方厘米？ （3）如果要制作这个无盖的长方体透明塑料罐，至少需要多少平方厘米的透明塑料？ 3．【新趋势·实验活动探究】数学课上同学们正在测量铁球的体积，步骤如下： （1）取一个底面长20厘米，宽15厘米的长方体容器，注入部分水（如图①） （2）放入甲球，完全浸没在水中，水面上升4厘米（如图②） （3）再放入乙球，这时有部分水溢出（如图③） （4）取出乙球，这时水面距离容器口6厘米（如图④） 甲球的体积是多少立方厘米？乙球的体积是多少立方厘米？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网 www zxxk com 让教与学更高效 昨夜西风调碧树，独上高楼，望尽天涯路。 —宋·晏殊《蝶恋花槛菊愁烟兰泣露》 第1页共11页 命学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋 第一单元长方体和正方体【从新情境到新素养】 新 情境主题 吕【典型例题】 【新情境解决生活问题】学习了容积和容积单位后，小明决定用所学知识在实践中检验一番， 他发现一个标示净含量为250毫升”的长方体牛奶纸盒，从外部量得长宽高分别是；5厘米、 3.5厘米和13厘米。请根据小明的测量判断这个标示广告是否真实，并说明理由。 【答案】不真实。见详解 【分析】首先要计算出这个长方体牛奶纸盒的体积，长方体的体积=长×宽×高，然后将计算 出的结果从体积单位转换为容积单位，1立方厘米=1=毫升。最后比较实际测量的容积与标 示的容积来判断这个标示广告是否真实。 【详解】5×3.5×13 =17.5×13 =227.5(立方厘米) 227.5立方厘米=227.5毫升 227.5毫升<250毫升 答：根据小明的测量判断这个标示广告不真实，因为227.5毫升<250毫升，所以这个标示广 告不真实。 【点睛】本题考查的是长方体体积的计算，熟记公式是解答关键。 肥《对应练习】 1.【新情境。传统文化习俗】中秋节做花灯是一种古老的传统民俗。东东用一根铁丝正好围 成一个长4分米、宽3分米、高5分米的长方体花灯框架。若用这根铁丝围成一个正方体花灯 框架，棱长是多少分米？ 【答案】4分米 【分析】长方体花灯框架长、宽、高分别为4分米、3分米、5分米，则这个长方体花灯框架 棱长总和=（长+宽+高）×4，计算出棱长总和；根据正方体棱长总和=棱长×12，据此计算 第2页共11页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 得出答案。 【详解】(4+3+5)×4÷12 =12×4÷12 =4(分米) 答：棱长是4分米。 2.【新情境·对话主题】张师傅给长方体A的表面刷油漆，正好用了一桶油漆。王师傅要给 长方体B的表面刷油漆，长方体B的长、宽、高正好都是长方体A长、宽、高的2倍。王师 傅说：我去购买两桶张师傅这样的油漆就够了。王师傅说的对吗？说说你的理由。 【答案】不对：理由见详解 【分析】设长方体A的长是3米，宽是2米，高是1米，根据长方体表面积公式：表面积= (长×宽+长×高+宽×高)×2，代入数据，求出长方体A的表面积，也就是一桶油漆刷的面积： 长方体B的长是3×2=6米，宽是2×2=4米，高是1×2=2米，代入长方体表面积公式，求出 长方体B的表面积，再用长方体B的表面积÷长方体A的表面积，即可求出长方体B需要油 漆的桶数，进而解答。 【详解】设长方体A的长是3米，宽是2米，高是1米： 则长方体B的长是：3×2=6（米），宽是：2×2=4（米），高是：1×2=2（米）。 L(6×4+6×2+4×2)×2][(3×2+3×1+2×1)×2] =[(24+12+8)×2][(6+3+2)×2] =[44×2][11×2] =88÷22 =4（桶) 王师傅说得不对，需要4桶油漆。 答：王师傅说得不对。 3.跨学科主题▣安全知识】暑假即将来临，张明想约同学李亮一起去小区旁边的池塘游泳， 你认为他们是()的。（填安全”或危险”） 夏季是溺水安全事故的高发期，我们要牢记老师告诉我们的预防溷水六不准”原则，珍爱自己 的生命，最终张明和同学选择了设施齐全的正规游泳馆。游泳馆内一个标准的泳池，长50米， 宽25米，并且泳池底部是有一定的倾斜度，泳池由1.2米深的浅水区，自然过渡到1.8米的深 水区。怎样求这个泳池最多能装多少立方米水呢？ 第3页共11页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 张明和李亮想到在数学课上推导图形的面积和体积时常常用到转化思想，受到启发，找到了解 决这一问题的不同思路。 我的思路是这样的： 我觉得还可以这样： 张明 李亮 请根据上面两位同学的研究思路，选择一种解答这个泳池最多能装多少立方米水呢？这个问 题。 【答案】危险：1875立方米 【分析】游泳应该选择设施齐全的正规游泳馆，不能随意到小区旁边的池塘游泳。 根据张明的思路：一个游泳池装水的体积等于长50米、宽25米、高(1.2+1.8)米的长方体 体积的一半，根据长方体的体积=长×宽×高，代入相应数值计算，据此解答。 【详解】小区旁边的池塘存在安全隐患，游泳应该选择设施齐全的正规游泳馆，因此他们一起 去小区旁边的池塘游泳是危险的。 我选择张明的研究思路。 50×25×(1.2+1.8)÷2 =1250×3÷2 =3750÷2 =1875(立方米) 答：我认为他们是危险的：这个泳池最多能装1875立方米水。 新 素养培优 吕【典型例题】 【新素养·几何直观能力】如图是一个无盖的长方体纸盒展开图，请你根据图中的数据，求出 这个纸盒的容积（纸板的厚度忽略不计）。（单位：分米） 第4页共11页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 K4> 4业 2 不 【答案】48立方分米 【分析】由图可知，这个长方体的长是6分米，宽是4分米，高是2分米，根据长方体的体积 =长×宽×高，算出的体积即容积，代入数据计算即可。 【详解】6×4×2 =24×2 =48(立方分米) 答：这个纸盒的容积是48立方分米。 肥【对应练习】 1.【新素养几何直观能力】一个无盖的长方体纸盒的长、宽、高分别是4厘米、3厘米和2 厘米。在图中画出余下几个面并标出名称，再算出长方体的表面积。 1cm 后面右面 【答案】 见详解： 40平方厘米 【分析】无盖的长方体盒子有五个面（均是长方形），下面的长宽分别是4厘米，3厘米；左 右面的长宽分别是3厘米，2厘米：前后面的长宽分别是4厘米，2厘米。表面积是这五个面 的面积和，据此画图并计算解答。 【详解】展开图如下图所示。 1cm 左面 后面 右面 下面 前面 第5页共11页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 4×3+3×2×2+4×2×2 =12+12+16 =40(平方厘米) 答：表面积是40平方厘米。 2.【新素养·几何直观能力】下图是一个长方体纸盒的展开图，求它的体积。 24cm ←-10cm→ 【答案】320立方厘米 【分析】从图意可知：这个长方体纸盒的长是10厘米，又知24厘米=10厘米×2+高，16厘 米=宽+高×2，因此用24一10×2=4厘米，就求出了高是4厘米；用16一4×2=8厘米，就 求出了宽是8厘米。再根据长方体体积=长×宽×高，代入数据，即可求出这个长方体纸盒的 体积。 【详解】高： 24-10×2 =24-20 =4(厘米) 宽： 16-4×2 =16-8 =8(厘米) 体积：10×8×4=320（立方厘米） 这个长方体纸盒的体积是320立方厘米。 3.【新素养。几何直观能力】在一块长方形铁皮的两个角上各剪掉一个边长为20厘米的小正 方形，并把剪下的两个小正方形焊接到长方形另一边的中间（如图），然后制成一个无盖的长 方体盒子。这个盒子的体积是多少？（铁皮的损耗不计） 第6页共11页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 80 米 100厘米 【答案】64000立方厘米 【分析】看图可知，制成的长方体盒子长是(100-80)厘米，宽是(80-20×2)厘米，高是 小正方形的边长，根据长方体体积=长×宽×高，列式解答即可。 【详解】(100-20)×(80-20×2)×20 =80×(80-40)×20 =80×40×20 =64000(立方厘米) 答：这个盒子的体积是64000立方厘米。 新 趋势命题 吕【典型例题】 【新趋势。实验活动探究】小实验：测量一块石头的体积。 步骤1：准备一个长方体玻璃缸，从里面测量长是25cm,宽是8cm,高是12cm。 步骤2：往玻璃缸中倒入1升水。 步骤3：把一块石头放入玻璃缸中，被水完全浸没。 步骤4：测出水面上升3cm。 12cm 12cm 8cm 8cm 25cm 25cm (1)这块石头的体积是多少立方厘米？ (2)如果再往这个长方体玻璃缸中倒入1升的水，水会溢出吗？ 【答案】(1)600立方厘米 第7页共11页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (2)水会溢出 【分析】(1)石头的体积等于放入石头后上升部分水的体积，上升部分水的体积=玻璃缸的 长×玻璃缸的宽×上升部分水的高度，据此解答。 (2)用水的体积除以玻璃缸的底面积，求出水的高度；2升水的高度和上升部分高度之和， 与长方体玻璃缸高度进行比较，看是否会溢出即可。 【详解】体积：25×8×3 =200×3 =600(立方厘米) 答：这块石头的体积是600立方厘米。 (2)1升=1000立方厘米 水高：1000÷(25×8) =1000÷200 =5(厘米) 5+5+3=10+3=13(厘米)>12厘米 答：水会溢出。 肥【对应练习】 1.【新趋势。实验活动探究】数学课上，小明准备了一个长方体无盖玻璃缸和一些水做实验。 图1 图2 图3 图4 第一步：测量出这个长方体无盖玻璃缸的长、宽、高分别是30厘米、20厘米、20厘米，并往 玻璃缸里倒入9升水（如图1）： 第二步：将玻璃缸倾斜，慢慢倒出水，直到AB边和CD边正好在同一水平面上（如图2）； 第三步：将玻璃缸放正，在水面处做标记EF（如图3)； 第四步：继续倒出一些水后，再将玻璃缸倾斜，发现AB边和EF边正好在同一水平面上（如 图4)。 (1)制作这个玻璃缸需要多少平方分米的玻璃？ (2)图1的玻璃缸中水深多少分米？ 第8页共11页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (3)图4的玻璃缸中还剩多少升水？ 【答案】(1)26平方分米 (2)1.5分米 (3)3升 【分析】(1)无盖的长方体玻璃钢的表面积=长×宽+（长×高+宽×高）×2，据此代入数据 解答即可； (2)长方体的体积=长×宽×高，可知：长方体的高=体积÷（长×宽），据此用倒入玻璃钢的 水的体积除以长方体玻璃钢的长与宽的积即可解答： (3)由图2可知，剩下的体积为无盖玻璃钢的体积的一半，根据长方体的体积=长×宽×高， 求出用无盖玻璃缸的体积，再除以2就是图3里水的体积，由图3、图4可知，图4剩下的水 的体积是图3水的体积的一半，据此解答。 【详解】(1)30厘米=3分米 20厘米=2分米 3×2+(3×2+2×2)×2 =6+(6+4)×2 =6+10×2 =6+20 =26(平方分米) 答：制作这个玻璃缸需要26平方分米的玻璃。 (2)9÷(3×2) =9÷6 =1.5(分米) 答：图1的玻璃缸中水深1.5分米。 (3)3×2×2÷2 =6×2÷2 =12÷2 =6(立方分米) 6÷2=3(立方分米) 3立方分米=3升 第9页共11页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 答：图4的玻璃缸中还剩3升水。 2.【新趋势。实验活动探究】数学课上，同学们为了测量一个桃子的体积，设计了以下实验 步骤（步骤被打乱了顺序）。 ①列式计算出桃子的体积：②找一个无盖的长方体透明塑料罐，量得底面长8厘米，宽6厘米， 高30厘米；③将桃子浸没在水中，量出水面高度20厘米；④倒入适量的水，量出水面高度 15厘米。 (1)正确的实验顺序是()。（填序号） (2)这个桃子的体积是多少立方厘米？ (3)如果要制作这个无盖的长方体透明塑料罐，至少需要多少平方厘米的透明塑料？ 【答案】(1)②④③① (2)240立方厘米 (3)888平方厘米 【分析】(1)桃子的体积=水上升的体积，据此设计实验即可。实验顺序：先准备容器，并 测量容器尺寸；再倒入适量的水，并测量水位高度：然后将桃子放入水中，并测量此时水位高 度：最后通过水上升的体积，计算出桃子的体积。 (2)桃子的体积=长方体的长×宽×水位上升的高度，代入数据即可解答。 (3)制作这个无盖长方体容器需要材料的面积=长×宽+长×高×2+宽×高×2，代入数据即可 解答。 【详解】(1)由分析可知，正确的实验顺序是②④③①。 (2)8×6×(20-15) =8x6x5 =240(立方厘米) 答：这个桃子的体积是240立方厘米。 (3)8×6+8×30×2+6×30×2 =48+480+360 =888(平方厘米) 答：至少需要888平方厘米的透明塑料。 3.《新趋势·实验活动探究】数学课上同学们正在测量铁球的体积，步骤如下： 第10页共11页 昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。 ——宋·晏殊《蝶恋花·槛菊愁烟兰泣露》 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第一单元长方体和正方体【从新情境到新素养】 【典型例题】 【新情境·解决生活问题】学习了容积和容积单位后，小明决定用所学知识在实践中检验一番，他发现一个标示“净含量为250毫升”的长方体牛奶纸盒，从外部量得长宽高分别是；5厘米、3.5厘米和13厘米。请根据小明的测量判断这个标示广告是否真实，并说明理由。 【答案】不真实。见详解 【分析】首先要计算出这个长方体牛奶纸盒的体积，长方体的体积＝长×宽×高，然后将计算出的结果从体积单位转换为容积单位，1立方厘米＝1＝毫升。最后比较实际测量的容积与标示的容积来判断这个标示广告是否真实。 【详解】5×3.5×13 ＝17.5×13 ＝227.5（立方厘米） 227.5立方厘米＝227.5毫升 227.5毫升＜250毫升 答：根据小明的测量判断这个标示广告不真实，因为227.5毫升＜250毫升，所以这个标示广告不真实。 【点睛】本题考查的是长方体体积的计算，熟记公式是解答关键。 【对应练习】 1．【新情境·传统文化习俗】中秋节做花灯是一种古老的传统民俗。东东用一根铁丝正好围成一个长4分米、宽3分米、高5分米的长方体花灯框架。若用这根铁丝围成一个正方体花灯框架，棱长是多少分米？ 【答案】4分米 【分析】长方体花灯框架长、宽、高分别为4分米、3分米、5分米，则这个长方体花灯框架棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，计算出棱长总和；根据正方体棱长总和＝棱长×12，据此计算得出答案。 【详解】（4＋3＋5）×4÷12 ＝12×4÷12 ＝4（分米） 答：棱长是4分米。 2．【新情境·对话主题】张师傅给长方体A的表面刷油漆，正好用了一桶油漆。王师傅要给长方体B的表面刷油漆，长方体B的长、宽、高正好都是长方体A长、宽、高的2倍。王师傅说：我去购买两桶张师傅这样的油漆就够了。王师傅说的对吗？说说你的理由。 【答案】不对；理由见详解 【分析】设长方体A的长是3米，宽是2米，高是1米，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出长方体A的表面积，也就是一桶油漆刷的面积；长方体B的长是3×2＝6米，宽是2×2＝4米，高是1×2＝2米，代入长方体表面积公式，求出长方体B的表面积，再用长方体B的表面积÷长方体A的表面积，即可求出长方体B需要油漆的桶数，进而解答。 【详解】设长方体A的长是3米，宽是2米，高是1米； 则长方体B的长是：3×2＝6（米），宽是：2×2＝4（米），高是：1×2＝2（米）。 [（6×4＋6×2＋4×2）×2]÷[（3×2＋3×1＋2×1）×2] ＝[（24＋12＋8）×2]÷[（6＋3＋2）×2] ＝[44×2]÷[11×2] ＝88÷22 ＝4（桶） 王师傅说得不对，需要4桶油漆。 答：王师傅说得不对。 3．【跨学科主题·安全知识】暑假即将来临，张明想约同学李亮一起去小区旁边的池塘游泳，你认为他们是（    ）的。（填“安全”或“危险”） 夏季是溺水安全事故的高发期，我们要牢记老师告诉我们的预防溷水“六不准”原则，珍爱自己的生命，最终张明和同学选择了设施齐全的正规游泳馆。游泳馆内一个标准的泳池，长50米，宽25米，并且泳池底部是有一定的倾斜度，泳池由1.2米深的浅水区，自然过渡到1.8米的深水区。怎样求这个泳池最多能装多少立方米水呢？ 张明和李亮想到在数学课上推导图形的面积和体积时常常用到转化思想，受到启发，找到了解决这一问题的不同思路。 请根据上面两位同学的研究思路，选择一种解答“这个泳池最多能装多少立方米水呢？”这个问题。 【答案】危险；1875立方米 【分析】游泳应该选择设施齐全的正规游泳馆，不能随意到小区旁边的池塘游泳。 根据张明的思路：一个游泳池装水的体积等于长50米、宽25米、高（1.2＋1.8）米的长方体体积的一半，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算，据此解答。 【详解】小区旁边的池塘存在安全隐患，游泳应该选择设施齐全的正规游泳馆，因此他们一起去小区旁边的池塘游泳是危险的。 我选择张明的研究思路。 50×25×（1.2＋1.8）÷2 ＝1250×3÷2 ＝3750÷2 ＝1875（立方米） 答：我认为他们是危险的；这个泳池最多能装1875立方米水。 【典型例题】 【新素养·几何直观能力】如图是一个无盖的长方体纸盒展开图，请你根据图中的数据，求出这个纸盒的容积（纸板的厚度忽略不计）。（单位：分米） 【答案】48立方分米 【分析】由图可知，这个长方体的长是6分米，宽是4分米，高是2分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，算出的体积即容积，代入数据计算即可。 【详解】 （立方分米） 答：这个纸盒的容积是48立方分米。 【对应练习】 1．【新素养·几何直观能力】一个无盖的长方体纸盒的长、宽、高分别是4厘米、3厘米和2厘米。在图中画出余下几个面并标出名称，再算出长方体的表面积。 【答案】 见详解； 40平方厘米 【分析】无盖的长方体盒子有五个面（均是长方形），下面的长宽分别是4厘米，3厘米；左右面的长宽分别是3厘米，2厘米；前后面的长宽分别是4厘米，2厘米。表面积是这五个面的面积和，据此画图并计算解答。 【详解】展开图如下图所示。 （平方厘米） 答：表面积是40平方厘米。 2．【新素养·几何直观能力】下图是一个长方体纸盒的展开图，求它的体积。 【答案】320立方厘米 【分析】从图意可知：这个长方体纸盒的长是10厘米，又知24厘米＝10 厘米×2＋高，16 厘米 ＝宽＋高×2，因此用24－10×2＝4厘米，就求出了高是4厘米；用16－4×2＝8厘米，就求出了宽是8厘米。再根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，即可求出这个长方体纸盒的体积。 【详解】高： 24－10×2 ＝24－20 ＝4（厘米） 宽： 16－4×2 ＝16－8 ＝8（厘米） 体积：10×8×4＝320（立方厘米） 这个长方体纸盒的体积是320立方厘米。 3．【新素养·几何直观能力】在一块长方形铁皮的两个角上各剪掉一个边长为20厘米的小正方形，并把剪下的两个小正方形焊接到长方形另一边的中间（如图），然后制成一个无盖的长方体盒子。这个盒子的体积是多少？（铁皮的损耗不计） 【答案】64000立方厘米 【分析】看图可知，制成的长方体盒子长是（100－80）厘米，宽是（80－20×2）厘米，高是小正方形的边长，根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。 【详解】（100－20）×（80－20×2）×20 ＝80×（80－40）×20 ＝80×40×20 ＝64000（立方厘米） 答：这个盒子的体积是64000立方厘米。 【典型例题】 【新趋势·实验活动探究】小实验：测量一块石头的体积。 步骤1：准备一个长方体玻璃缸，从里面测量长是25cm，宽是8cm，高是12cm。 步骤2：往玻璃缸中倒入1升水。 步骤3：把一块石头放入玻璃缸中，被水完全浸没。 步骤4：测出水面上升3cm。 （1）这块石头的体积是多少立方厘米？ （2）如果再往这个长方体玻璃缸中倒入1升的水，水会溢出吗？ 【答案】（1）600立方厘米 （2）水会溢出 【分析】（1）石头的体积等于放入石头后上升部分水的体积，上升部分水的体积＝玻璃缸的长×玻璃缸的宽×上升部分水的高度，据此解答。 （2）用水的体积除以玻璃缸的底面积，求出水的高度；2升水的高度和上升部分高度之和，与长方体玻璃缸高度进行比较，看是否会溢出即可。 【详解】体积： （立方厘米） 答：这块石头的体积是600立方厘米。 （2）1升＝1000立方厘米 水高： （厘米） （厘米）厘米 答：水会溢出。 【对应练习】 1．【新趋势·实验活动探究】数学课上，小明准备了一个长方体无盖玻璃缸和一些水做实验。 第一步：测量出这个长方体无盖玻璃缸的长、宽、高分别是30厘米、20厘米、20厘米，并往玻璃缸里倒入9升水（如图1）； 第二步：将玻璃缸倾斜，慢慢倒出水，直到AB边和CD边正好在同一水平面上（如图2）； 第三步：将玻璃缸放正，在水面处做标记EF（如图3）； 第四步：继续倒出一些水后，再将玻璃缸倾斜，发现AB边和EF边正好在同一水平面上（如图4）。 （1）制作这个玻璃缸需要多少平方分米的玻璃？ （2）图1的玻璃缸中水深多少分米？ （3）图4的玻璃缸中还剩多少升水？ 【答案】（1）26平方分米 （2）1.5分米 （3）3升 【分析】（1）无盖的长方体玻璃钢的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此代入数据解答即可； （2）长方体的体积＝长×宽×高，可知：长方体的高＝体积÷（长×宽），据此用倒入玻璃钢的水的体积除以长方体玻璃钢的长与宽的积即可解答； （3）由图2可知，剩下的体积为无盖玻璃钢的体积的一半，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出用无盖玻璃缸的体积，再除以2就是图3里水的体积，由图3、图4可知，图4剩下的水的体积是图3水的体积的一半，据此解答。 【详解】（1）30厘米＝3分米 20厘米＝2分米 3×2＋（3×2＋2×2）×2 ＝6＋（6＋4）×2 ＝6＋10×2 ＝6＋20 ＝26（平方分米） 答：制作这个玻璃缸需要26平方分米的玻璃。 （2）9÷（3×2） ＝9÷6 ＝1.5（分米） 答：图1的玻璃缸中水深1.5分米。 （3）3×2×2÷2 ＝6×2÷2 ＝12÷2 ＝6（立方分米） 6÷2＝3（立方分米） 3立方分米＝3升 答：图4的玻璃缸中还剩3升水。 2．【新趋势·实验活动探究】数学课上，同学们为了测量一个桃子的体积，设计了以下实验步骤（步骤被打乱了顺序）。 ①列式计算出桃子的体积；②找一个无盖的长方体透明塑料罐，量得底面长8厘米，宽6厘米，高30厘米；③将桃子浸没在水中，量出水面高度20厘米；④倒入适量的水，量出水面高度15厘米。 （1）正确的实验顺序是（    ）。（填序号） （2）这个桃子的体积是多少立方厘米？ （3）如果要制作这个无盖的长方体透明塑料罐，至少需要多少平方厘米的透明塑料？ 【答案】（1）②④③① （2）240立方厘米 （3）888平方厘米 【分析】（1）桃子的体积＝水上升的体积，据此设计实验即可。实验顺序：先准备容器，并测量容器尺寸；再倒入适量的水，并测量水位高度；然后将桃子放入水中，并测量此时水位高度；最后通过水上升的体积，计算出桃子的体积。 （2）桃子的体积＝长方体的长×宽×水位上升的高度，代入数据即可解答。 （3）制作这个无盖长方体容器需要材料的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据即可解答。 【详解】（1）由分析可知，正确的实验顺序是②④③①。 （2） （立方厘米） 答：这个桃子的体积是240立方厘米。 （3） （平方厘米） 答：至少需要888平方厘米的透明塑料。 3．【新趋势·实验活动探究】数学课上同学们正在测量铁球的体积，步骤如下： （1）取一个底面长20厘米，宽15厘米的长方体容器，注入部分水（如图①） （2）放入甲球，完全浸没在水中，水面上升4厘米（如图②） （3）再放入乙球，这时有部分水溢出（如图③） （4）取出乙球，这时水面距离容器口6厘米（如图④） 甲球的体积是多少立方厘米？乙球的体积是多少立方厘米？ 【答案】甲球1200立方厘米；乙球1800立方厘米 【分析】根据题意，把甲球完全浸没在长方体容器中，水面上升4厘米，那么甲球的体积等于水面上升部分的体积； 再放入乙球，这时有部分水溢出，此时长方体容器内的水是满的；取出乙球，这时水面距离容器口6厘米，即水面下降6厘米，那么乙球的体积等于水面下降部分的体积； 根据长方体的体积公式V＝abh，分别求出甲球、乙球的体积。 【详解】甲球的体积： 20×15×4 ＝300×4 ＝1200（立方厘米） 乙球的体积： 20×15×6 ＝300×6 ＝1800（立方厘米） 答：甲球的体积是1200立方厘米，乙球的体积是1800立方厘米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $