2.2用配方法求解简单的一元二次方程（教学设计）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

教学设计 案例名称 用配方法求解简单的一元二次方程 提供者 - 教材分析 （1）本节课的主要教学内容是用配方法求解简单的一元二次方程。这一节是九年级数学课程的重要组成部分，旨在帮助学生掌握一元二次方程的求解技巧。 （2）本节课主要介绍了如何通过配方法来解形如/的一元二次方程。学生将学会通过移项和配方，将方程转换为完全平方形式，从而利用平方根的性质求得方程的解。此外，课程还强调了配方法的基本思路和步骤。 （3）通过学习本节课，学生能够提升自身的逻辑思维和问题解决能力。配方法不仅是解决一元二次方程的重要工具，也是培养数学思维和推理能力的有效途径。学生将学会如何将复杂的方程简化，以及如何通过变换和组合已知信息来找到答案。这种技能在日常生活中和未来的学习中都非常有用。 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过实际问题情境，如石头下落的时间计算，引导学生用数学的眼光观察现实世界，理解一元二次方程的应用价值。 （2）会用数学的思维思考现实世界：通过探究直接开平方法和配方法，培养学生用数学的思维思考现实世界，掌握解一元二次方程的基本思路和方法。 （3）会用数学的语言表达现实世界：通过配方法解方程的步骤和过程，引导学生用数学的语言表达现实世界，准确描述解方程的逻辑和步骤。 教学重难点 （1）理解配方法的基本思路，能够将一元二次方程转化为完全平方形式，并掌握配方的具体步骤。 （2）运用配方法解决实际问题，如物理运动中的自由落体问题，培养学生将数学知识与真实情境结合的能力。 教学方法 讲授法、合作探究法 教学环境及资源准备 （1）多媒体投影仪和电脑，用于展示方程的解题过程和动画模拟石头下落的情景。 （2）《数学九年级上册》课本，确保学生能够查阅相关的理论知识和例题。 （3）互动式白板和数字笔，便于教师实时记录学生的提问和解题过程，增强课堂互动。 教学过程 一、情景导入 一块石头从 20 米高的塔上落下，石头离地面的高度 h (m) 和下落时间 x (s) 大致有如下关系：h＝20－5x²。问石头经过多长时间落到地面？ （老师先通过一个实际问题吸引学生的注意力，然后提出具体问题。） 师：同学们，我们来看一个实际问题。一块石头从 20 米高的塔上落下，高度h与时间x的关系是h＝20－5x²。大家知道怎么求出石头落地的时间吗？ 二、讲授新课 探究点一：用直接开平方法解一元二次方程 例题 1： (1) x²－16＝0； (2) 3x²－27＝0； (3) (x－2)²＝9； (4) (2y－3)²＝16。 （师：我们先来学习用直接开平方法解一些简单的一元二次方程。看下面的几个例子。） （1）x²－16＝0 师：首先，我们将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式。即x² = 16。 师：根据平方根的定义，x = ±4。因此，我们可以得到两个解：x₁ = 4，x₂ = -4。 生：x₁ = 4, x₂ = -4 （2）3x²－27＝0 师：接下来我们再看这个方程，3x² = 27。两边同时除以 3，得x² = 9。 师：同样根据平方根的定义，x = ±3。因此，我们可以得到两个解：x₁ = 3，x₂ = -3。 生：x₁ = 3, x₂ = -3 （3）(x－2)²＝9 师：对于这个方程，我们直接使用平方根的定义，得到x－2 = ±3。 师：所以x－2 = 3 或 x－2 = -3。解得x₁ = 5，x₂ = -1。 生：x₁ = 5, x₂ = -1 （4）(2y－3)²＝16 师：同样地，我们得到2y－3 = ±4。 师：所以2y－3 = 4 或 2y－3 = -4。解得y₁ = 3.5，y₂ = -0.5。 生：y₁ = 3.5, y₂ = -0.5 师：通过这些例子，我们可以总结出直接开平方法的特点。它的理论依据是平方根的定义，适用类型包括：x² = a(a ≥ 0)，(x + a)² = b(b ≥ 0)，(ax + b)² = c(c ≥ 0)，(ax + b)² = (cx + d)²(|a| ≠ |c|)。 探究点二：用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程 例题 2： 用配方法解方程：x²＋2x－1＝0。 师：接下来我们学习用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程。 师：看这个方程x² + 2x – 1 = 0。首先，我们移项，把方程的常数项移到方程的右边，使方程的左边只含二次项和一次项。 师：x² + 2x = 1 师：然后，我们配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方。一次项系数是 2，一半是 1，平方是 1。 师：x² + 2x + 1 = 1 + 1 师：即 (x + 1)² = 2 师：最后，我们开平方，得到x + 1 = ±√2。 师：解得x₁ = -1 + √2，x₂ = -1 - √2。 生：x₁ = -1 + √2, x₂ = -1 - √2 师：通过这个例子，我们可以总结出用配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化为 (x + m)² = n (n ≥ 0) 的形式，再用直接开平方法求解。步骤包括：移项、配方、开平方。 三、课堂小结 用配方法解简单的一元二次方程： 直接开平方法：形如 (x + m)² = n (n ≥ 0) 的方程可以使用直接开平方法解。 配方法：用配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化为 (x + m)² = n (n ≥ 0) 的形式，再用直接开平方法求解。 用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程的一般步骤： (1) 移项，把方程的常数项移到方程的右边，使方程的左边只含二次项和一次项。 (2) 配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为 (x + m)² = n (n ≥ 0) 的形式。 (3) 用直接开平方法求出它的解。 师：今天我们学习了用直接开平方法和配方法解一元二次方程。希望大家能够熟练掌握这两种方法，并能够灵活应用到实际问题中。 作业布置 （1）利用直接开平方法解以下方程，并总结解题步骤：x² - 15 = 0; (x - 4)² = 9。 （2）利用配方法解以下一元二次方程，并说明配方法的步骤：x² + 6x - 9 = 0。 学科网（北京）股份有限公司 $