4.2.3 二项分布与超几何分布(课时1）学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

4.2.3二项分布与超几何分布（课时1二项分布） 1、 学习目标 1.通过具体实例，掌握n次独立重复试验的模型 2.掌握二项分布的概念及其概率公式 3.能运用二项分布的概率公式解决简单的实际问题 二、重难点 重点：二项分布的概念及其概率公式运算 难点：二项分布判断和解决简单的实际问题 新知识导入 在相同条件下重复n次伯努利试验，约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验称为n次独立重复试验. 例如，对一批产品进行抽样检查，每次取一件来判断是否合格，有放回地抽取 5 次，就是一个 5 次独立重复试验； 篮球运动员练习投篮 10 次，可以认为每次投中的概率都相同，这是一个 10 次独立重复试验． 在 n 次独立重复试验中，人们经常关心的是“成功”出现的次数． n次独立重复试验具有哪些特征？ 特征： (1)一致性：每次试验都是在相同的条件下进行； (2)对立性：每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”. (3)独立性：各次试验是相互独立. (4)重复性：每次“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1-p； 三、知识梳理 1.n 次独立重复试验：在相同条件下重复 n 次伯努利试验时，人们总是约定这 n 次试验是相互独立的，此时这 n 次伯努利试验也常称为 . 2.二项分布：一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为 ，记 ，且 n 次独立重复试验中出现“成功”的次数为 X ，则 X 的取值范围是 ，而且 ，，因此 X 的分布列如下表所示. 注意到上述 X 的分布列第二行中的概率值都是 的展开式 中对应项的值，因此称 X 服从 的 ，记作 . 四、例题讲解 例1 已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间相互不影响，那么这个计算机网络不会断掉的概率是多少呢？设能正常工作的设备数为X. (1)写出X的分布列； (2)求出计算机网络不会断掉的概率. 例2 假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁时，保险公司要赔偿100万元；活过65岁时，保险公司不赔偿．已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.8．随机抽取3个投保人，设其中活过65岁的人数为X，保险公司要赔偿给这三人的总金额为Y万元． (1)指出X服从的分布； (2)写出Y与X的关系； (3)求P(Y=300). 五、课堂练习 1.已知，则( ) A. B. C. D. 2.已知随机变量X服从二项分布，则等于( ) A. B. C. D. 3.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次停止.设停止时共取了X次球，则( ) A. B. C. D. 5.某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为( ) A. B. C. D. 6.随机变量，则( ) A. B. C. D. 9.某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是_____. 10.若随机变量，则当取得最大值时，正整数k的值是________. 六、课后练习 1.教室里一个日光灯管使用时长在1年以上的概率为，则3个日光灯管在使用1年内恰好坏了一个的概率为( ) A. B. C. D. 2 某人测试一次，通过某语言测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），则其中恰有1次通过的概率是( ) A. B. C. D. 3 在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是( ) A. B. C. D. 4 足球点球大战中，每队派出5人进行点球，假设甲队每人点球破门的概率都是，乙队每人点球破门的概率都是.若甲队进4球的概率为，乙队进3球的概率为，则( ) A. B. C. D.，大小关系无法确定 5.某校运动会排球决赛采用5局3胜制,每局必须分出胜负,各局之间互不影响,只要有一队获胜3局就结束比赛.已知甲球队每局获胜的概率均为,设X为决出冠军时比赛的场数,则( ) A. B. C. D. 答案及解析 三、知识梳理 1.n 次独立重复试验 2.参数为 n ， p 二项分布 X ~ B(n，p) 3.参数为 N，n，M 超几何分布 X ~ H(N，n，M) 4.二项分布 超几何分布 四、例题讲解 例题1 解：(1)X服从参数为3，0.9的二项分布，即X~B(3，0.9). 因此 从而 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.0243 0.729 (2)要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即X ≥1， 因此所求概率为 例题2 解：(1) X服从参数为3，0.8的二项分布，即X~B(3，0.8)． (2)因为3个投保人中，活过65岁的人数为X，则没活过65岁的人为3-X， 因此Y=100(3-X)． (3)因为Y=300⇔100(3-X)=300⇔X=0， 所以 五、课堂练习 1.答案：B 解析：因为， 所以. 故选：B. 2.答案：D 解析：. 故选：D. 3.解析：由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次取到红球，2次取到白球，由于每次取到红球的概率为， 由二项分布知识可知，故选D. 4.答案：A 解析：设答对的题目数量为X，则， . 故选：A. 5.答案：A 解析：因，则，，1，2，3. . 故选：A. 6.答案： 解析:根据题意，种子发芽的粒数X，， ， 所以恰有3粒种子发芽的概率是. 故答案为：. 7.答案：5 解析：由题可知，所以取得最大值，即最大，此时. 故答案为：5 六、课后练习 1.答案：A 解析：日光灯管使用时长在1年以上的概率为0.8，则1个日光灯管在1年内损坏的概率为， 设在一年内日光灯管损坏的个数为随机变量X，则， 所以3个日光灯管在使用1年内恰好坏了一个的概率， 故选：A. 2.解析：某人测试一次，通过某语言测试的概率是，他连续测试3次， 其中恰有1次通过的概率，故选C. 3.解析：根据独立重复试验发生n次的概率公式列式， 得，结合，解得，故选A. 4.解析：甲队进4球的概率，乙队进3球的概率，则.故选A. 5.解析：由已知可得,表示“前3局甲一胜两负,第四局甲负”或“前3局甲两胜一负,第四局甲胜” 前3局甲一胜两负,第四局甲负的概率; 前3局甲两胜一负,第四局甲胜的概率. 所以,.故选:A. 学科网（北京）股份有限公司 $