21.3实际问题与一元二次方程 题型分类解答题专题提升训练 2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册《21.3实际问题与一元二次方程》 题型分类解答题专题提升训练（附答案） 一、工程问题 1．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 2．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 3．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 4．“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 二、图形问题 5．小明用一条长为的绳子围成一个矩形． (1)当围成矩形面积是，求该矩形的长与宽； (2)能围成面积是的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由． 6．如图，在矩形空地上，修建两条平行于 边、一条平行于边的小路，条路等宽，其余部分铺草坪．已知的长为，的长为，铺草坪的单价是元 ，铺草坪的总价为元，求每条小路的宽度. 7．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长为x米． (1)要使鸡场面积200平方米，且长和宽都为整数，鸡场的长应为多少米？ (2)鸡场的面积能否达到210平方米，如果能直接写出此时x的值，如果不能请说明理由． 8．某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 9．现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计） (1)每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形后，可以折叠成一个有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是，求出该盒子的高； (2)工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售．已知每块矩形纸板的成本为12元，若有盖盒子的售价为24元/个，则每天可售出18个．在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利208元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 三、商品销售问题 10．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以40元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个 (1)设每件商品售价为x元时，则每件商品的利润为______元，此时每周可以卖出______个； (2)若商场计划一周的利润达到12000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ 11．某商场有A，B两款电器，购买2台A款电器和1台B款电器要840元，购买1台A款电器和2台B款电器要780元． (1)求A，B两款电器每台的售价； (2)经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 12．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件25元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件40元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该件吉祥物每降价1元，月销售量就会在6月的销量基础上增加5件．当该件吉祥物降价多少元时，月销售利润达4250元． 13．重庆某建筑公司承包了一项某网红景点的改造工程，聘请了甲队和乙队共同参与．已知乙队的工作效率是甲队的 ，甲队先单独做了天，之后甲队和乙队又合作了天，刚好如期完成了整项工程的改造． (1)求甲队单独完成整项工程需要多少天？ (2)改造工程结束后，该景点负责人为提升景点人气，立即发售代表该景点的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，为合理定价，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，且售价不超过元，那么该纪念品的售价应为多少元？ 14．某经销商销售一种成本价为8元/千克的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于15元/千克，在销售过程中发现日销量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，对应关系如下表： x … 9 10 11 12 … y … 33 30 27 24 … (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)若该经销商想使这种商品获得平均每天96元的利润，求售价应定为多少． (3)小杭同学说若销售这种商品10天，可以获得总利润1200元．你觉得他的说法正确吗？请说明理由． 四、几何动态问题 15．如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 16．如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向移动，点从点开始以的速度沿边向点移动．如果、分别从、同时出发，设移动的时间为t． 求： (1)当t为多少时，的面积等于？ (2)当t为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 17．如图，在中，，，，现有动点P从点B出发，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，沿射线方向运动，已知点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，设运动时间是（且，）． (1)当时，求的面积； (2)经过几秒，的面积是面积的一半． 18．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为t秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出t的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，能否为？若能，求出t的值，若不能，请说明理由． 19．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）．    (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 20．如图，在矩形中，，，P，Q，M，N分别从点A，B，C，D同时出发，分别沿，，，移动，且当有一个先到达所在边的另一个端点时，其他各点也随之停止移动．已知移动一段时间后，若，则，，． (1)当x为何值时，P，N两点重合？ (2)四个点移动过程中是否存在四边形的面积是矩形面积的一半？若存在请求x的值；若不存在，请说明理由． (3)当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？ 参考答案 1．解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 2．（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 23．（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 4．（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子 由题意得：解得： 答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子． （2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子 由题意得： 整理得： 解得：，， 又∵甲、乙两组加工的天数均为整数 ∴ ∴200+100×2=400（袋） 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子． 5．（1）解：设矩形的长为，则矩形的宽为， 根据题意，可以列出方程， 整理，得， 解方程，得，， 长>宽， ， ， 答：长方形的长为，宽为； （2）解：不能，理由如下： 设矩形的长为，则矩形的宽为， 可以列出方程 整理，得， ， 方程无解， 不能围成面积是的矩形． 6．解：设每条小路的宽度为， 由题意可得，， 整理得，， 解得，（不合，舍去）， 答：每条小路的宽度为． 7．（1）解：设鸡场的长为x米，则宽为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：鸡场的长应为20米； （2）解：鸡场的面积不能达到210平方米，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， ∴鸡场的面积不能达到210平方米． 8．（1）解：设通道的宽是米， 由题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是2米． （2）解：设每个车位的月租金上涨元， 由题意得，， 解得：，， 又能优惠大众， ， 答：当每个车位的月租金上涨40元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元． 9．（1）解：设该长方体盒子的高为， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该长方体盒子的高为； （2）解：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子售价为元， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：每个有盖盒子应降价4元． 10．（1）解：设每件商品售价为元时，则每件商品的利润为元， ∵价格每涨元，就少卖个， ∴每周可以卖出个数为， 故答案为：； （2）解：由题意得： 整理得： 解得：， ∵更大优惠让利消费者， ， 答：售价应定为每个元． 11．（1）解：设每台A款电器售价x元，每台B款电器售价y元，根据题意得 ， 解得． 答：每台A款电器售价300元，每台B款电器售价240元． （2）解：设每台A款电器应降价a元，根据题意得 ， ， ， ，， 由于要尽可能减少库存，故取； 答：每台A款电器应降价40元． 12．（1）解：设吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，根据题意得， 解得，，（舍去） ∴该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该件吉祥物降价元，则售价为元，每件的利润为元，销售量为件， 根据题意得，， 解得，，（舍去）， 所以，当该件吉祥物降价5元时，月销售利润达4250元． 13．（1）解：设甲队单独完成整项工程需要天，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是 由题意得：． 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲队单独完成整项工程需要天． （2）解：设该纪念品的售价为元，由题意得： 整理得： 解得：， ∵ ∴ 答：该纪念品的售价为元． 14．（1）解：由已知设y与x之间的函数表达式：， 把，代入得， 解得， ∴， ∵售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于15元/千克， ∴； （2）解：由已知得： ， 解得，（不合题意，舍去）． ∴售价应定为12元． （3）解：小杭同学的说法是错误的，理由如下： ∵10天获得总利润1200元，则平均每天的利润为120元， ∴． 整理得：， ∵， 所以此方程无解．因此他的说法是错误的． 15．（1）解：由题意得：，， 故答案为：，； （2）解：存在，理由如下： 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 存在的值，使得的面积等于，此时的值为1． 16．（1）解：不存在． 设出发秒时的面积等于． ， ， ， ， 原方程无实数根， 即不存在某一时刻使得的面积等于． （2）解：， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ，即， 整理得， 解之得，， 即当为秒或6秒时，是以为斜边的直角三角形． 17．（1）解： 点P的速度是，点Q的速度是， 当时，，， ∵，， ∴，， ． （2）解：设经过秒的面积是面积的一半， 根据题意得：， 当 时如图： ， 整理得， 解得（舍去）或． 当时如图： ， 整理得， ，无解． 当时如图： ， 整理得， 解得或（舍去）． 综上所述：经过2秒或12秒，的面积是面积的一半． 18．（1）解：根据题意可知：，，， ∵四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得：（舍去）或； （2）解：设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，， ， ， ， 即， ， 方程无实数根， 的面积不能为. 19．（1）解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ∵B在的垂直平分线上， ， ， 解得， ∴当时，点B在的垂直平分线上； （2）∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得， ， 即 解得，， 舍去 ∴当时，的长度等于； （3）由题意得，， 的面积等于， ， ， 化简得 或 舍去， ∴当时，使得的面积等于． 20．（1）解：当P，N两点重合时，即， ∵，，， ∴， 解得，（舍去） ∴，当时，P，N两点重合． （2）解：不存在． ∵，， ∴， ∵， ∴ 整理得： 解得， 当时，，即各点停止运动． ∴四个点运动过程中不存在四边形的面积是矩形的面积的一半． （3）解：①P，N两点重合前，四边形是平行四边形，即， ∴， 整理得：， 解得，（舍去）， ②P，N两点重合后，四边形是平行四边形，即， ∴ 整理得： 解得，（舍去） 综上所述：当或时，四边形是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $