1.1.菱形的性质与判定 同步课时练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

1.1. 菱形的性质与判定 同步课时练习 一．选择题 1．下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 2．在四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交点O，下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AB＝BC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝CD，∠AOD＝90° C．OA＝OC，∠ABD＝∠CBD D．AC＝BD，AC⊥BD 3．菱形ABCD中，AC＝10，BD＝24，则该菱形的面积等于（　　） A．13 B．52 C．120 D．240 4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，若AF＝8，则四边形AEDF的周长是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 5．如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（　　） A．点D在∠BAC的平分线上 B．AB＝AC C．∠A＝90° D．点D为BC的中点 6．如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD＝118°，则∠CEB＝（　　） A．59° B．62° C．69° D．72° 7．如图，在菱形ABCD中，AB的中垂线交对角线BD于点F，点E为垂足，连接CF，若∠DCF＝α，则∠BFC的度数为（　　） A．3α B． C． D． 8．如图，在直角坐标系中，菱形OABC的边OC在x轴负半轴上，O为坐标原点，点A，B都在第二象限内，点A的坐标为（﹣3，4），则点B的坐标为（　　） A．（﹣5，4） B．（﹣6，3） C．（﹣8，4） D．（2，4） 9．如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B，M处固定．已知菱形ABCD的边长为20cm，要使两排挂钩的距离（即AC）为32cm，则BM之间的距离为（　　）cm． A．36 B．60 C．72 D．96 10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，连接OE，若AB＝5，AC＝8，则OE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．2.4 二．填空题 11．在菱形ABCD中，AC＝4，BD＝8，则菱形ABCD的面积为 　 　 ． 12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BD＝8，S菱形ABCD＝24，则AH＝　 　 ． 13．若菱形ABCD的周长是20，对角线BD＝8，则菱形ABCD的面积是 　 　 ． 14．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADC＝60°，AO＝2，以O为坐标原点，AC与BD所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系xOy，则点D的坐标为 　 　 ． 15．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，AB的垂直平分线交AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠DFE＝ 　 　 ． 16．如图，四边形ABCD是菱形，对角线BD、AC相交于点O，AD＝5，BD＝6，则菱形ABCD的面积为　 　 ． 17．如图，菱形ABCD的对角线长分别为3和8，P是对角线AC上的任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是　 　 ． 三．解答题 18．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接DE，DG． （1）求证：四边形BGDE是菱形； （2）若∠EDG＝30°，∠C＝45°，ED＝6，求BC的长， 19．如图，点E、F分别在▱ABCD的边BC、AD上，连接AE、CF，AE∥CF，连接AC、EF相交于点O，请你从以下三个选项：①AE＝CE；②OA＝OC；③AC⊥EF中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形AECF是菱形． （1）你选择的补充条件是 　 　 ；（填序号） （2）根据你选择的补充条件，写出四边形AECF是菱形的证明过程． 20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O的直线EF分别交DA，BC的延长线于点E、F，连接BE，DF． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）若EF＝BD，BE＝8，DE＝16，求菱形ABCD的面积． 21．如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AO＝CO，BO＝DO，BD平分∠ABC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）E为OB上一点，连接CE，若，求菱形ABCD的面积． 22．如图，△ABC为锐角三角形，AD平分∠BAC． （1）请用无刻度的直尺和圆规分别在AB，AC上取点E，F，使得DE∥AC，DF∥AB．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：四边形AEDF是菱形． 23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AE＝12，OE＝6.5，求线段CE的长． 24．课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O． 求证：平行四边形ABCD是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6． ①求证：平行四边形ABCD是菱形； ②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若，求CE的长． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C A A C C C A 二．填空题 11．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝8， ∴菱形ABCD的面积AC•BD＝16． 故答案为：16． 12．解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD， ∴BD＝2BO＝8， ∵S菱形ABCDAC×BD＝24， 即：AC×8＝24， ∴AC＝6， ∴COAC6＝3， 在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC5， ∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24， 即：5×AH＝24， ∴AH． 故答案为：． 13．解：∵菱形ABCD的周长为20，∴AB＝BC＝CD＝AD＝5， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，且OA＝OC，OB＝OD＝4， 在直角三角形ABO中，由勾股定理得，AO＝3， ∴AC＝6， ∴S菱形ABCD＝6×8÷2＝24， 故答案为：24． 14．解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O， ∴AD＝CD，CO＝AO＝2， ∵∠ADC＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴AD＝AC＝2AO＝4， ∵∠AOD＝90°， ∴DO2， ∴D（2，0）， 故答案为：（2，0）． 15．解：如图，连接BF， 由题意可得：，AD＝AB， ∵AF＝BF，EF⊥AB， ∴∠FAB＝∠FBA＝50°， ∴∠BFA＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA＝80°， ∵EF⊥AB， ∴， 在△DAF和△BAF中， ， ∴△DAF≌△BAF（SAS）， ∴∠DFA＝∠BFA＝80°， ∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝120°． 故答案为：120°． 16．解：∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，BD＝6，AD＝5， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 17．解：设AP与EF相交于O点． ∵四边形ABCD为菱形， ∴BC∥AD，AB∥CD（菱形的两组对边分别平行）． ∵PE∥BC，PF∥CD， ∴PE∥AF，PF∥AE． ∴AEFP是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． ∴S△POF＝S△AOE． ∴阴影部分的面积就是△ABC的面积，△ABC的面积菱形的面积（3×8）＝6， 则阴影部分的面积是6． 故答案为：6． 三．解答题 18．（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBG， ∵EG垂直平分BD， ∴DG＝BG，DE＝EB， ∴∠DBG＝∠GDB，∠ABD＝∠EDB， ∴∠EDB＝∠DBG＝∠ABD＝∠GDB， ∴BE∥DG，DE∥GB， ∴四边形BGDE是平行四边形， 又DE＝EB， ∴四边形BGDE是菱形； （2）解：如图，过点D作DH⊥BC， ∵四边形BGDE是菱形， ∴∠ABC＝∠EDG＝30°，DE＝DG＝BG＝6，DG∥EB， ∴∠ABC＝∠DGC＝30°， 又∵DH⊥BC， ∴，， ∵∠C＝45°，DH⊥BC， ∴∠C＝∠CDH＝45°， ∴CH＝DH＝3， ∴． 19．解：（1）补充条件①或③皆可，（答案不唯一）； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AF∥CE． ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 补充条件①：∵四边形ABCD是平行四边形，AE＝CE， ∴四边形AECF是菱形． 补充条件③：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形． 20．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO，AD∥BC， ∴DE∥BC， ∴∠AEO＝∠CFO， 在△AEO和△CFO中， ， ∴△AEO≌△CFO（AAS）； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝BC＝DC，AD∥BC， 由（1）可得，△AEO≌△CFO， ∴AE＝CF， ∴AD+AE＝BC+CF，即DE＝BF， 又∵DE∥BF， ∴四边形EBFD是平行四边形， 又∵EF＝BD， ∴四边形EBFD是矩形， ∴∠DEB＝90°， 设AD＝x，则AB＝x，AE＝16﹣x， 在Rt△AEB中，AE2+BE2＝AB2， 即（16﹣x）2+82＝x2， 解得x＝10， ∴AD＝10， ∴S菱形ABCD＝BE⋅AD＝8×10＝80． 21．（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴CO2， ∴AC＝2AO＝4， 在Rt△BOC中，由勾股定理得：BO4， ∴BD＝2BO＝8， ∴菱形ABCD的面积AC•BD4×8＝16． 22．（1）解：如图，点E，F即为所求作； （2）证明：由（1）知 DE∥AF，AE∥DF， ∴四边形AEDF为平行四边形． 又∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE∥AF， ∴∠EDA＝∠DAC． ∴∠EAD＝∠EDA． ∴AE＝DE． ∴平行四边形AEDF为菱形． 23．（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠OAB＝∠DCA， ∵AC平分∠BAD， ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD， ∵AB＝AD， ∴CD＝AD＝AB， ∵AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， 在Rt△ACE中，OE＝6.5， ∴AC＝2OE＝13， 在Rt△ACE中，AC＝13，AE＝12， 根据勾股定理得：CE5． 24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝CB， ∵BD⊥AC， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AB＝AD， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵AD2＝52＝32+42＝OA2+OD2， ∴∠AOD＝90°， ∴BD⊥AC， ∴平行四边形ABCD是菱形； ②∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BCD， ∴∠ACD＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠E+∠COE， ∴∠ACD＝∠E+∠COE， ∵， ∴∠ACD＝2∠E， ∴∠COE＝∠E， ∴OC＝CE， 由①得OC＝4， ∴CE＝4． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/7 10:43:04；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $