精品解析：安徽省合肥市第三十中学2023-2024学年八年级上学期数学培优素养卷

合肥市第三十中学2023－2024八年级上学期数学培优素养卷 （满分：100分 时间：90分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，点A在x轴正半轴及y轴正半轴上运动，点A从原点出发，依次跳动至点、、、、、、、，……按此规律，则点的坐标是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知点的坐标特征，将连续的4个点看成一组，由第1组，第2组确定组内点的位置特征、点坐标与组序数的联系；以此类推，，故点是第506组的第3个点，则在x轴上，其非零坐标即横坐标为． 【详解】解：根据题意，将连续的4个点A看成一组， 第1组：A1(0，1)，A2(1，0)，A3(2，0)，A4(0，2)，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为1，后两个点的非零坐标为2；其中，，； 第2组：A5(0，3)，A6(3，0)，A7(4，0)，A8(0，4)，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为3，后两个点的非零坐标为4；其中，，； …… 以此类推，， 则点是第506组的第3个点，则在x轴上，其非零坐标即横坐标为，故点的坐标是； 故选：D． 【点睛】本题考查规律探索，根据已知的点坐标，对点分组找出规律是解题的关键． 2. 已知点在x轴上方，在y轴左侧，则点A到x轴、y轴的距离分别为（ ） A. 2b，3a B. 2b， C. ，3a D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点的位置确定横、纵坐标的符号，再根据点到坐标轴距离的定义求解．本题主要考查了点的坐标，熟练掌握各象限内点的坐标特征以及点到坐标轴距离的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 点在轴上方，在轴左侧， ∴ 点在第二象限， ∴ ，． ∵ 点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值， ∴ 点到轴的距离为，到轴的距离为． 故选：B． 3. 当时，对于x的每一个值，函数（k≠0）的值都小于函数的值，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得时，，当，直线（）与直线平行，且在直线下方；当直线与直线的交点在的上方时，函数（）的值都小于函数的值，据此求解即可． 【详解】解：当时，，即有点， 将点代入， 有，解得， 当，直线（）与直线平行，且在直线下方； 结合图象可知：直线与直线的交点在的上方时，并随着交点的不断上移，直至直线（）与直线平行时，满足当时，函数（）的值都小于函数的值， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． 4. 甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖．在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中． 乙：我没有获奖，丙获奖了． 丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖． 丁：乙说得对． 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（ ）． A. 甲 丁 B. 乙 丙 C. 乙 丁 D. 以上都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要抓住乙、丁的预测是一样的这一特点，则乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可推出矛盾，故乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是乙和丁． 【详解】解：由题意，可知： ∵乙、丁的预测是一样的， ∴乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． ①假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立， 根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖； 这与丙的预测不成立相矛盾． 故乙、丁的预测不成立， ②乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立， ∵甲、丙的预测成立， ∴丁必获奖． ∵乙、丁的预测不成立，甲的预测成立， ∴丙不获奖，乙获奖． 从而获奖的是乙和丁． 故选：C． 【点睛】本题主要考查合情推理能力，主要抓住共同点及矛盾点去探索结果．本题属中档题． 5. 已知：直线：与直线：（k是正整数）及x轴围成的三角形的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算两直线交点及与x轴交点，画图找出三角形，计算三角形面积，得到计算式，最后利用裂项相消法求出结果． 【详解】联立， 解得， 与交点为点， 与x轴交于点，与x轴交于点，， 函数图像与x轴交点如下图： 直线与直线及x轴围成的三角形的面积为， ， ， ． 故选D． 【点睛】本题考查函数交点与坐标轴形成三角形的面积求解，使用合适的方法求出一列数的和是解题的关键．通常计算一列数的和采用裂项法时，公式为． 6. 如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先设的面积为，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其余各个三角形的面积表示出来，总面积为，解得的面积． 【详解】解：如图，连接、，设的面积为， ， 的面积为，的面积为， 的面积为， , 的面积为，的面积为，的面积为， ， ，即的面积为2 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的面积问题，等高且共底的三角形面积比是底边的比这个性质是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，一次函数 和 ，无论 取何值，始终有 ， 的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图象和性质分别判断． 【详解】由题意可知：∵一次函数 的图象过定点 ， 一次函数 过定点 ， ∵①时， ，两直线平行时，始终有 ， ∴ ． ②当 时，设经过点 的直线为 ，有 ， 解得： ∴ ∵一次函数 的图象过定点 ， 不论 取何值，始终有 ， ∴ ∴综上解得： 或． 即：且 故选：D 【点睛】本题考查一次函数综合问题， 充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键． 8. 中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；……和的平分线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用角平分线的性质和三角形外角与内角的关系，先用表示出、并找出规律，再利用规律得到结论． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴． ∵， ∴ ． ∵， ∴ ． 同理可得：， ．．． ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的外角与内角的关系及角平分线的性质是解决本题的关键． 9. 如图，点C在线段上，于B，于D．且，，点P以的速度沿A向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿EC运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足为M、N．设运动时间为，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值为（ ） A. 1或3 B. 1或 C. 1或或 D. 1或或 【答案】C 【解析】 【分析】需要分两类三种情况讨论，根据全等三角形的判定和性质结合建立一元一次方程可求解． 【详解】第一类：当点在上，点在上时，如图， 根据题意有：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴； 当点在上，点在上时， 以，，为顶点的三角形与全等， ， ， ， 当点在上，点第一次从点返回时， 以，，为顶点的三角形与全等， ， ， ； 第二类：当点P在上时，如图， 以，，为顶点的三角形与全等， ∴结合图形有：， ∴， 当点P在上，点Q第一次从E点返回时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 综上所述：t的值为1或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 10. 如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】过C作轴于M，轴于N，推出证，推出，求出，代入求出即可． 【详解】解：过C作轴于M，轴于N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 故选:A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出AM=BN和推出． 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 一次函数 无论k取任何非0值，它的图像总是过一个定点，此点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像与系数的关系及一次函数图像上点的坐标特征，熟知一次函数图像与性质是解题的关键． 根据题意，将一次函数改写为关于k的关系式，再令k的系数为零即可解决问题． 【详解】解：由 则： 当，解得： ∴此点坐标为 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，规定运算： （1）A⊕B=； （2）A⊙B=； （3）当且时，A=B． 有下列四个命题： ①若有A(1，2)，B(2，﹣1)，则A⊕B=(3，1)，A⊙B=0； ②若有A⊕B=B⊕C，则A=C； ③若有A⊙B=B⊙C，则A=C； ④（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）对任意点A、B、C均成立． 其中正确的命题为______（只填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①根据规定运算A⊕B=，A⊙B=，把A(1，2)，B(2，﹣1)代入并解出，即可得出判断；②设C为(，)，根据规定运算A⊕B=(，)，分别算出A⊕B、B⊕C，然后再根据规定运算：当且时，A=B，即可得出判断；③根据规定运算：A⊙B=，分别算出A⊙B、B⊙C，然后再根据规定运算：当且时，A=B，即可得出判断；④根据规定运算：A⊕B=，分别算出（A⊕B）⊕C、A⊕（B⊕C），即可得出判断． 【详解】①∵A(1，2)，B(2，﹣1)， ∴A⊕B=(1+2，2﹣1)=(3，1)，A⊙B=1×2+2×（﹣1）=0，故命题①正确； ②设C(，)， ∵A⊕B=(，)，B⊕C=(，)，而A⊕B=B⊕C， ∴=，=，则，， ∴A=C， 故命题②正确； ③∵A⊙B=，B⊙C=， 而A⊙B=B⊙C，则=， ∴不能得到，， ∴A≠C，故命题③不正确； ④∵（A⊕B）⊕C=(，)， A⊕（B⊕C）=(，)， ∴（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C），故命题④正确． 综上可得：命题①②④正确． 故答案为：①②④ 【点睛】本题主要考查点的坐标、新定义问题，能正确地理解定义中规定的运算是解本题的关键． 13. 已知中，边上的高所在的直线交于H，则______度． 【答案】或． 【解析】 【分析】分两种情况考虑：①是锐角三角形时，先根据高线的定义求出，，然后根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：①如图1，是锐角三角形时， 、是的高线， ，， 在中，， ， ； ②是钝角三角形时，、是的高线， ，， ， ， 综上所述，的度数是或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，解题的关键是分是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论． 14. 如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，过点作，证明，可得，可得点在平行且到距离为的直线上运动，则当点、、共线时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作， ∴， ∵四边形是长方形也就是矩形，，， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在平行且到距离为的直线上运动， 当点、、共线时，，则，此时有最小值， 此时， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查长方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等腰直角三角形的性质，垂线段最短，确定点的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（每小题10分，共50分） 15. 一次函数y＝kx＋b的自变量x的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，求这个函数的解析式． 【答案】或． 【解析】 【分析】 【详解】当k＞0时，依题意知， ，解得； 当k＜0时，依题意知，解得； ∴这个函数的解析式为或． 16. 如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，交直线于点． （1）求点的坐标； （2）若直线与轴的交点为点，点的坐标为，是否存在的值，使得的值最大？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的解析式求解、两直线交点求解以及三角形三边关系的应用是解题的关键． （1）先根据直线过、求出其解析式，再联立它与的方程，求解得到点坐标． （2）先求出点坐标，根据三角形三边关系，当在直线与轴交点时，的值最大，进而求出的值． 【小问1详解】 解：∵直线过，， ∴ 解得 ∴直线的解析式为． 联立 解得 ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：在中，令，则， ∴． 根据三角形的三边关系得， ∴当即点E与点D重合时，的值最大． 17. （1）【判断】如图1，在中，，，作的平分线交于点D，在上任取点F，作，垂足为点E，则_______； （2）【迁移】如图2，将（1）中“在上任取点F”改为“在的延长线上任取点F”，其他条件不变，则______； （3）【拓展】如图3，在中，，，是的平分线，在直线上任取点F，过点F作与直线交于点E，请直接写出与α，β之间的数量关系______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质、直角三角形两锐角互余等知识，数形结合是解决问题的关键． （1）由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； （2）由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； （3）对于图3，由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． 【详解】解：（1）在中，，， ， 是的平分线， ， 是的外角， ， ， ； （2）不变，理由如下： 由（1）可知，， 是的外角， ， ， ； （3）在中，，， ， 是的平分线， ， 是的外角， ， ， ． 18. （1）如图，已知在中，，于，于，、所在直线交于点，求的度数； （2）在（1）的基础上，若每秒扩大，且在变化过程中与始终保持是锐角，经过秒，在，这两个角中，当一个为另一个的两倍时，求的值； （3）在（2）的基础上，与的角平分线交于点，是否为定值，如果是，请直接写出的值，如果不是，请写出是如何变化的． 【答案】（1）；（2）或12；（3）是定值 【解析】 【分析】（1）由于，于，得到，从而有，即可得到； （2）根据题意得到，，当时，，从而分两种情况讨论：①当时，；②当时，，代值列方程求解即可得到答案； （3）是定值，由题意得到，再根据角平分线定义得到，进而根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：（1）于，于， ， ，， ， ； （2）由题意得：，， 当时，，由在，这两个角中，一个为另一个的两倍，从而分两种情况讨论： ①当时，， ，解得； ②当时，， ，解得； 综上所述，当或12时，与两个角中，一个角是另一个角的两倍； （3）是定值， 理由如下：如图所示： 于，于， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， ，， ， 是定值． 【点睛】本题考查角度之间关系，涉及垂直定义、三角形内角和定理、互余定义、互补定义，角平分线定义等知识，数形结合，根据图形准确表示各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键． 19. 如图，在中，．的顶点P，M，N分别在，，上运动，且，． （1）求证； （2）若，，则的取值范围是______； （3）已知，，直接写出的取值范围（用含m，n的式子表示）． 【答案】（1） 证明：在中 ， ， ， ， ，， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件证明，再证明即可； （2）先根据由（1）中，得，再根据点在上运动，，再根据，即可求出的取值范围； （3）方法同（2）． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ， ，，点在上运动， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（1）可知：， ， ，，点在上运动， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，不等式的应用，动点问题，利用动点问题求出线段的取值范围是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥市第三十中学2023－2024八年级上学期数学培优素养卷 （满分：100分 时间：90分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，点A在x轴正半轴及y轴正半轴上运动，点A从原点出发，依次跳动至点、、、、、、、，……按此规律，则点的坐标是(　　) A. B. C. D. 2. 已知点在x轴上方，在y轴左侧，则点A到x轴、y轴的距离分别为（ ） A. 2b，3a B. 2b， C. ，3a D. ， 3. 当时，对于x的每一个值，函数（k≠0）的值都小于函数的值，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖．在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中． 乙：我没有获奖，丙获奖了． 丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖． 丁：乙说得对． 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（ ）． A. 甲 丁 B. 乙 丙 C. 乙 丁 D. 以上都不正确 5. 已知：直线：与直线：（k是正整数）及x轴围成的三角形的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在平面直角坐标系中，一次函数 和 ，无论 取何值，始终有 ， 的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；……和的平分线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点C在线段上，于B，于D．且，，点P以的速度沿A向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿EC运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足为M、N．设运动时间为，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值为（ ） A. 1或3 B. 1或 C. 1或或 D. 1或或 10. 如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 一次函数 无论k取任何非0值，它的图像总是过一个定点，此点坐标为______． 12. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，规定运算： （1）A⊕B=； （2）A⊙B=； （3）当且时，A=B． 有下列四个命题： ①若有A(1，2)，B(2，﹣1)，则A⊕B=(3，1)，A⊙B=0； ②若有A⊕B=B⊕C，则A=C； ③若有A⊙B=B⊙C，则A=C； ④（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）对任意点A、B、C均成立． 其中正确的命题为______（只填序号） 13. 已知中，边上的高所在的直线交于H，则______度． 14. 如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为________． 三、解答题（每小题10分，共50分） 15. 一次函数y＝kx＋b的自变量x的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，求这个函数的解析式． 16. 如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，交直线于点． （1）求点的坐标； （2）若直线与轴的交点为点，点的坐标为，是否存在的值，使得的值最大？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 17. （1）【判断】如图1，在中，，，作的平分线交于点D，在上任取点F，作，垂足为点E，则_______； （2）【迁移】如图2，将（1）中“在上任取点F”改为“在的延长线上任取点F”，其他条件不变，则______； （3）【拓展】如图3，在中，，，是的平分线，在直线上任取点F，过点F作与直线交于点E，请直接写出与α，β之间的数量关系______． 18. （1）如图，已知在中，，于，于，、所在直线交于点，求的度数； （2）在（1）的基础上，若每秒扩大，且在变化过程中与始终保持是锐角，经过秒，在，这两个角中，当一个为另一个的两倍时，求的值； （3）在（2）的基础上，与的角平分线交于点，是否为定值，如果是，请直接写出的值，如果不是，请写出是如何变化的． 19. 如图，在中，．的顶点P，M，N分别在，，上运动，且，． （1）求证； （2）若，，则的取值范围是______； （3）已知，，直接写出的取值范围（用含m，n的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $