精品解析：四川省成都市新都区2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷

2021年（秋季）八年级期末测试 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分．第1卷（选择题）1至2页，第II卷（非选择题）2至6页，共6页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将姓名、考场号、座位号、考生号填涂在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷带走，仅将答题卡交回． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题：（每小题3分，共30分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将自己所选答案的字母涂在答题卡上） 1. 下列四个数中，无理数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（　　） A. 3，4，7 B. 5，12，13 C. 6，8，9 D. 8，13，15 3. 如图，直线，直线与、分别相交于、两点，过点作直线的垂线交直线于点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 估计+1的值在（　　） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 某校八年级1班甲、乙、丙、丁四名同学几次校园安全知识测试成绩的平均数（分）及方差如下表，老师想从中选派一名成绩较好且状态稳定的同学作为代表参加年级组校园安全知识选拔赛，那么应选（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 对于函数，下列说法正确的是（　　） A. 图象经过点 B. 随着的增大而增大 C. 图象与轴交于点 D. 图象经过第一、二、三象限 8. 已知是方程x+ay=7的一个解，则的值是 A. 3 B. 1 C. －3 D. －1 9. 下列命题是真命题的是（　　） A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 B. 如果，那么 C. 如果两个角是同位角，那么这两个角相等 D. 两直线相交，其中相等的两个角是对顶角 10. 在我国东汉时期的经学家和教育家郑玄在为《考工记·弓人》一文中“量其力，有三钧”一句做注解时，提到“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺．”揭示了在弹性限度内弓的弹力和弓的形变量成正比例关系．假设一轻弹簧原长为，竖直悬挂重为的重物时，弹簧伸长了，则该弹簧的劲度系数为（　　）． A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共70分） 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11. 的立方根是__． 12. 已知点与关于轴对称，则___________． 13. 已知满足，则___________． 14. 如图1，___________度：利用图1得到的结果，求图2中五角星五个“角”的和，即___________度． 三、解答题：（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上） 15. 计算 （1） （2） 16. 解下列方程组 （1） （2） 17. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点在格点上． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）在轴上找到点，使得的值最小，并求出最小值． 18. 为调查“双减”政策落实情况，新都区某中学对全校学生每天回家完成作业时间（单位：分钟）进行抽样调查．按作业时间分为四组：组“”，组“”，组“”，组“”．并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题： （1）被抽样调查的学生有___________人，并补全条形统计图： （2）该校学生每天回家完成作业时间的中位数的数据在___________（组）； （3）该校共有1200名学生，请估计每天回家完成作业时间超过90分钟的学生有多少人． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与交于点，直线与y轴的交点为B． （1）求直线与的解析式： （2）求的面积． 20. 已知：如图，中，，点在轴上，点和点分别在轴的负半轴与正半轴上，，． （1）求点的坐标； （2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作轴，交直线于点，设线段的长为，点的运动时间为秒，求与的关系式（用表示，不用写出的取值范围）； （3）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向轴正向运动，点的运动时间为，问当为多少秒时为等腰三角形（写出解答过程）． B卷 一、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21. 比较大小：________(填，，或). 22. 如图，直线与直线相交于点，则关于x、y的方程组的解为______． 23. 高二1班7位计划高考体考选考篮球的同学进行10次一组的投篮训练，投中的次数分别如下：，若去掉其中一个数据6，则平均数、中位数、众数、方差中不发生变化的量有___________个． 24. 如图，在过原点的直线上取一点，过点作轴于点，若点的坐标为，，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，依次进行下去......，则的长度为___________． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，连接，当取最小值时，的面积为___________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 26. 某书店购进、两种精品典藏图书，若购进种图书3本，种图书2本，需要240元；若购进种图书5本，种图书4本，需要420元． （1）求购进、两种图书每本各需多少元； （2）若该书店决定购进这两种精品图书共50本，考虑资金周转，用于购买这50本图书的资金大于1950元，但不超过2100元，求出该书店共有几种进货方案并列举出来． 27. 在中，，． （1）如图1，过点作于点，求证：； （2）如图2，在中，，，点在同一条直线上，为中边上的高，连接．则的度数为___________，试用线段表示，并说明理由； （3）在图3，图4中，在同一平面内有一点，满足，且，请求出点到边上的高． 28. 如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线交于点D． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图1，点E是线段的中点，连接，点F是射线上一点，当，且时，在x轴上找一点P，当的值最小时，求出的面积； （3）如图2，若，过B点作，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年（秋季）八年级期末测试 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分．第1卷（选择题）1至2页，第II卷（非选择题）2至6页，共6页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将姓名、考场号、座位号、考生号填涂在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷带走，仅将答题卡交回． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题：（每小题3分，共30分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将自己所选答案的字母涂在答题卡上） 1. 下列四个数中，无理数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数即无限不循环小数，熟练掌握定义是解题的关键．根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：A. 是无理数，符合题意； B. 是有理数，不是无理数，不符合题意； C. 是有理数，不符合题意； D. 是分数，不是无理数，不符合题意； 故选：A． 2. 下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（　　） A. 3，4，7 B. 5，12，13 C. 6，8，9 D. 8，13，15 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理逆定理的运用，利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【详解】解：A、因为，所以不能组成直角三角形，不符合题意； B、因为，所以能组成直角三角形，符合题意； C、因为，所以不能组成直角三角形，不符合题意； D、因为，所以不能组成直角三角形，不符合题意． 故选：B． 3. 如图，直线，直线与、分别相交于、两点，过点作直线的垂线交直线于点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，垂直的定义解答即可． 本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：直线，过点作直线的垂线交直线于点，， 故， 故， 故选：B． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除法运算法则分别化简得出答案． 【详解】解：A、（）2=3，故此选项不合题意； B、与无法合并，故此选项不合题意； C、÷=2，故此选项符合题意； D、×=，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 5. 估计+1的值在（　　） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用2＜＜3，进而得出答案． 【详解】解：∵2＜＜3， ∴3＜+1＜4， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 6. 某校八年级1班甲、乙、丙、丁四名同学几次校园安全知识测试成绩的平均数（分）及方差如下表，老师想从中选派一名成绩较好且状态稳定的同学作为代表参加年级组校园安全知识选拔赛，那么应选（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差的定义，方差越小数据越稳定． 【详解】解：从平均数看，成绩最好的是乙和丁， 从方差看，丁和丙方差小，发挥最稳定， 所以老师想从中选派一名成绩较好且状态稳定的同学作为代表参加年级组校园安全知识选拔赛，那么应选丁． 故选：D． 7. 对于函数，下列说法正确的是（　　） A. 图象经过点 B. 随着的增大而增大 C. 图象与轴交于点 D. 图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数点的坐标和图象的问题，根据一次函数点的坐标特征和图象性质来分析判断． 【详解】解：A、把横坐标1代入中，得到，所以经过点，不经过点，故A选项不符合题意； B、因为，y随x的增大而减小，故B选项不符合题意； C、把横坐标0代入中，得到，所以经过点，故C选项符合题意； D、因为函数的图象经过一、二、四象限，故D选项不符合题意． 故选：C． 8. 已知是方程x+ay=7的一个解，则的值是 A. 3 B. 1 C. －3 D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】把方程的解代入得到一个关于a的一元一次方程，解此方程即可 【详解】把代入x+ay=7，得到1+2a=7 解得a=3 故选A 【点睛】理解方程的解是解题的关键 9. 下列命题是真命题的是（　　） A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 B. 如果，那么 C. 如果两个角是同位角，那么这两个角相等 D. 两直线相交，其中相等的两个角是对顶角 【答案】A 【解析】 【分析】根据相关的知识解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，对顶角，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故原说法正确，符合题意； B. 如果，那么，故原说法错误，不符合题意； C. 如果两个角是同位角，那么这两个角不一定相等，故原说法错误，不符合题意； D. 两直线相交，其中相等的两个角不一定是对顶角，故原说法错误，不符合题意； 故选：A． 10. 在我国东汉时期的经学家和教育家郑玄在为《考工记·弓人》一文中“量其力，有三钧”一句做注解时，提到“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺．”揭示了在弹性限度内弓的弹力和弓的形变量成正比例关系．假设一轻弹簧原长为，竖直悬挂重为的重物时，弹簧伸长了，则该弹簧的劲度系数为（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的应用，当竖直悬挂重为的重物时，弹簧的弹力为，弹簧伸长的长度为，再结合正比例函数的相关知识点计算即可得解，熟练掌握正比例函数的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：当竖直悬挂重为的重物时，弹簧的弹力为， 弹簧伸长的长度为， ∵在弹性限度内弓的弹力和弓的形变量成正比例关系， ∴该弹簧的劲度系数为， 故选：C． 第II卷（非选择题，共70分） 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11. 的立方根是__． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根： ∵，∴的立方根是． 12. 已知点与关于轴对称，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相等，纵坐标互为相反数可得，再解方程即可． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴， 解得， 故答案为：2． 13. 已知满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性解答即可． 本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由，得， 故， 故答案为：． 14. 如图1，___________度：利用图1得到的结果，求图2中五角星五个“角”的和，即___________度． 【答案】 ①. 360 ②. 180 【解析】 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，三角形内角和定理，延长交于点D，根据多边形的外角的性质可求解，进而可求得的度数；利用及三角形的内角和定理可求解． 【详解】解：如图1，延长交于点D， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图2， 类比图1中的结论，由图2可得， ∵， ∴， 故答案为：360；180． 三、解答题：（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上） 15. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算． （1）根据绝对值，0次幂，求一个数的算术平方根、立方根进行计算即可； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解下列方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解答即可； （2）利用加减消元法解答即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解： 得， 解得； 把代入①解得，， 故方程组的解为． 【小问2详解】 解：， 整理，得 得， 把代入①解得，， 故方程组的解为． 17. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点在格点上． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）在轴上找到点，使得的值最小，并求出最小值． 【答案】（1），见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． （2）作点B关于x轴的对称点M，连接，交轴于点D，则点D即为所求，根据两点间距离公式计算即可． 本题考查了点关于y轴对称，线段和最小，勾股定理，熟练掌握对称，勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：关于y轴的对称点分别是， 则即为所求． 【小问2详解】 解：作点B关于x轴的对称点M，连接，交轴于点D， 则点D即为所求． 根据题意，得， 故． 18. 为调查“双减”政策落实情况，新都区某中学对全校学生每天回家完成作业时间（单位：分钟）进行抽样调查．按作业时间分为四组：组“”，组“”，组“”，组“”．并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题： （1）被抽样调查的学生有___________人，并补全条形统计图： （2）该校学生每天回家完成作业时间的中位数的数据在___________（组）； （3）该校共有1200名学生，请估计每天回家完成作业时间超过90分钟的学生有多少人． 【答案】（1） 48，补图如下： ； （2）B （3）75 【解析】 【分析】根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量计算即可，根据频数之和等于样本容量，先计算频数，后补图即可． 根据中位数的定义解答即可． 利用样本估计总体的思想解答即可． 本题考查的是扇形统计图，条形统计图，样本容量的计算，用样本估计总体，会计算样本容量，从题目图表中获取有用信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得样本容量为：， 故答案为：48． 根据题意，得B组的频数为， 【小问2详解】 解：根据题意，得中位数是第24个数据和第25个数据的平均数， 由A组12人，B组18人，故第24个数据和第25个数据都在B组， 故答案为：B； 【小问3详解】 解：根据题意，每天回家完成作业时间超过90分钟的学生有： （人）． 答：每天回家完成作业时间超过90分钟的学生有75人． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与交于点，直线与y轴的交点为B． （1）求直线与的解析式： （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）8 【解析】 【分析】（1）把点代入直线，确定b；把点，分别代入解答即可． （2）根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，解答即可． 本题考查了运用待定系数法求直线解析式以及直线围成图形面积问题，勾股定理的逆定理，其中涉及了一次函数的性质，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：把点代入直线，得， 解得， 故直线； 把点，分别代入，得， 解得， 故． 【小问2详解】 解：由，得， 由点，，得，， ， 故， 故是直角三角形， 故的面积为：． 20. 已知：如图，中，，点在轴上，点和点分别在轴的负半轴与正半轴上，，． （1）求点的坐标； （2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作轴，交直线于点，设线段的长为，点的运动时间为秒，求与的关系式（用表示，不用写出的取值范围）； （3）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向轴正向运动，点的运动时间为，问当为多少秒时为等腰三角形（写出解答过程）． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，，，继而得到，，，即可得到． （2）根据题意，得，则，根据轴，，，故． （3）分类思想解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ，． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ，． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据题意，得，则， ∵轴， ∴， ∴， 故． 【小问3详解】 解：根据题意，得， 当时， ∵， ，． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时， ∵， ，． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，当运动时间为或或时，是等腰三角形． B卷 一、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21. 比较大小：________(填，，或). 【答案】. 【解析】 【分析】把根号外的数移入根号内，再比较即可． 【详解】解：= ， ， ∵ ， ∴． 故答案为. 【点睛】本题考查实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解题的关键． 22. 如图，直线与直线相交于点，则关于x、y的方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，掌握两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 先利用得到P点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解即可解答． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴关于x、y的方程组的解为：． 故答案为：． 23. 高二1班7位计划高考体考选考篮球的同学进行10次一组的投篮训练，投中的次数分别如下：，若去掉其中一个数据6，则平均数、中位数、众数、方差中不发生变化的量有___________个． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，根据平均数、中位数、众数、方差的定义判断即可． 【详解】解：∵数据4，5，6，6，6，7，8中， 平均数为， 中位数为6， 众数为6， 方差为； 去掉一个6后， 平均数为， 中位数为， 众数为6， 方差为， ∴不发生变化的量有平均数、中位数、众数，一共3个． 故答案为：3． 24. 如图，在过原点的直线上取一点，过点作轴于点，若点的坐标为，，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，依次进行下去......，则的长度为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变化-旋转、规律型：点的坐标，根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，，于是得到结论． 【详解】解：∵轴，点B的坐标为，， ∴， ∴， 由旋转可知： ，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，连接，当取最小值时，的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，过点C作轴于点D，证明，确定点C的运动轨迹为直线，利用轴对称，待定系数法，解答即可． 本题考查了待定系数法，三角形全等的判定和性质，轴对称，熟练掌握待定系数法，轴对称是解题的关键． 【详解】解：设，过点C作轴于点D， ∵，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵点，点， ∴，． ∴点， 故， ∴， 故点C的运动轨迹为直线， 过点O作关于直线的对称点M，连接交直线于点F， 当点C与点F重合时，取最小值，且最小值为的长度， 根据题意，得直线与x轴的交点为，与y轴的交点为， 故， 根据轴对称原理，得， ∴， 故四边形是正方形， ∴， 设直线解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故直线解析式为； 根据题意得， 解得， 故， 故的面积为， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 26. 某书店购进、两种精品典藏图书，若购进种图书3本，种图书2本，需要240元；若购进种图书5本，种图书4本，需要420元． （1）求购进、两种图书每本各需多少元； （2）若该书店决定购进这两种精品图书共50本，考虑资金周转，用于购买这50本图书的资金大于1950元，但不超过2100元，求出该书店共有几种进货方案并列举出来． 【答案】（1）种图书单价为元，种图书单价为元 （2）方案1：购买16本A种图书，购买34本B种图书； 方案2：购买17本A种图书，购买33本B种图书； 方案3：购买18本A种图书，购买32本B种图书； 方案4：购买19本A种图书，购买31本B种图书； 方案5：购买20本A种图书，购买30本B种图书． 【解析】 【分析】（1）设种图书单价为元，种图书单价为元，销售收入＝销售价×销售数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买种图书本，购买种图书本，根据题意得，解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的整数解，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据不等式组的解集，正确求整数解． 【小问1详解】 解：设种图书单价为元，种图书单价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：种图书单价为元，种图书单价为元； 【小问2详解】 解；设购买种图书本，购买种图书本，根据题意，得， 解得， 由m是正整数， 故的值为，一共有5种方案， 方案1：购买16本A种图书，购买34本B种图书； 方案2：购买17本A种图书，购买33本B种图书； 方案3：购买18本A种图书，购买32本B种图书； 方案4：购买19本A种图书，购买31本B种图书； 方案5：购买20本A种图书，购买30本B种图书． 27. 在中，，． （1）如图1，过点作于点，求证：； （2）如图2，在中，，，点在同一条直线上，为中边上的高，连接．则的度数为___________，试用线段表示，并说明理由； （3）在图3，图4中，在同一平面内有一点，满足，且，请求出点到边上的高． 【答案】（1）见解析 （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质证明即可； （2）证明，得，根据三角形全等的判定和性质，勾股定理解答即可． （3）分类计算解答即可． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∴是斜边上的中线， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点A作交的延长线于点Q，过点B作交的延长线于点R， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得； 如图，过点A作交的延长线于点S，过点B作交的延长线于点T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得， ∴． 综上所述，点到边上的高为或． 28. 如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线交于点D． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图1，点E是线段的中点，连接，点F是射线上一点，当，且时，在x轴上找一点P，当的值最小时，求出的面积； （3）如图2，若，过B点作，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查直线与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式及一次函数与几何的综合,勾股定理解直角三角形，熟练掌握直线与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式及一次函数与几何的综合是解题的关键． （1）根据题意列方程即可得出结论； （2）作点E关于x轴的对称点N，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，则与x轴的交点即为P点，进而求出的解析式，最后求解即可； （3）根据题意得到点C的坐标，如图，当点M在轴的左侧，设，过作，再由等面积法求，当点M在轴的右侧时，根据对称性即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：∵直线分别与x轴，y轴交于A，B两点， ∴当时，则有， ∴， 当时，则， ∴，； 【小问2详解】 由（1）可得，，， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， 过点F作轴于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点H与点B重合， ∴，故点， 作点E关于x轴的对称点N，则，连接， 如图所示： 由轴对称的性质可得垂直平分，则有点P到点N、E的距离相等，再由两点之间线段最短可得即为的最小值，此时与x轴的交点即为P点， ∵解析式为， 将，代入得， ∴解析式为： 联立， 解得：， ∴点， 设的解析式为，则有： ， 解得：， ∴解析式为， ∴令时，则， 解得：， ∴当为最小值时，点P的坐标为, ； 【小问3详解】 存在，理由如下： ∵， ∴直线， ∵， ∴设的解析式为，把代入得， ， 所以直线的解析式为， 当时，即， ∴， ∴， 如图，当点M在轴右侧时， ， ， ， ， 设，过作， 则为等腰直角三角形，， ， 解得， 又， ， ， ，即， 整理得， 解得或（舍去），故此时； 当点M在轴左侧时，设此时对应点为， 则， 即与关于轴对称，故， 综上，存在或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $