22.1二次函数的图象和性质知识梳理精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版

22.1二次函数的图象和性质知识梳理 精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 知识梳理 二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 精选题练习 一、单选题 1．已知，是方程的两个实数根，且，则函数的顶点坐标在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．将二次函数配方成的形式，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数（c为常数）的图象上有两点，．若且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 4．二次函数，当取值为时，有最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．以上都不对 5．已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线，若两条抛物线关于直线对称，则平移的方法是（    ） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 6．设二次函数（a，c为实数，）的图象过点，，，，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．若只有三个正整数满足不等式（其中是常数），那么这三个正整数之和是（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 8．抛物线开口向上，顶点为，，抛物线与x轴交于点，，，，则下列结论中，正确的结论有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．二次函数的最小值为 ． 10．二次函数，当时，随的增大而 ． 11．将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为 ． 12．直线与抛物线在范围内有唯一公共点，则的取值范围为 ． 13．已知二次函数的顶点坐标，则关于的一元二次方程的两个根分别是和 ． 14．点在以y轴为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于 ． 15．初三数学课本上，小丽用“描点法”画二次函数的图象时．列了如下表格： x … 0 1 … y … 4 … 由于粗心，小丽算错了其中的一个y值，请你指出这个错算的y值所对应的 ． 16．如图，在梯形中，，，，．过点作于点，，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点．当四边形的面积最大时，则的长为 ． 三、解答题 17．已知函数的图象与轴交于两点，且． (1)当时，设表示的最小值，求的最大值； (2)若，证明：或． 18．（1）用配方法把二次函数化成的形式； （2）在直角坐标系中画出的图象； （3）若，是函数图象上的两点，且，请比较，的大小（直接写结果）． 19．已知关于x的二次函数 (1)若函数图象过点，， 求二次函数的解析式； 当时，求函数的最小值与最大值； (2)当时函数值y有最小值，若函数图象向右平移3个单位过坐标原点，求a的值． 20．配方法在一元二次方程和二次函数中非常重要，请用配方法解决以下问题： (1)用配方法解一元二次方程（）且． (2)用配方法将二次函数（）进行配方，化简成顶点式． 21．通过改变的值得到动态函数，并且探索函数图象的相关性质． 规定：当，此时函数解析式为，且记点的坐标分别为． (1)当函数解析式为，且，则___________； (2)若点的坐标分别为，函数的图象与轴有两个交点时的取值范围； (3)若点的坐标为，点在点的右边，且满足，且此时函数的最小值为2，求出此函数的解析式． 22．定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《22.1二次函数的图象和性质知识梳理 精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A C C D D C 1．B 【分析】本题考查了解一元二次方程、二次函数的顶点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出方程的解，得到、的值，即可得到二次函数的顶点坐标，进而判断． 【详解】解：， ， ∴，， ∵， ∴，, ∴函数解析式可化为：， 顶点为，在第二象限． 故选：B ． 2．B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式．利用配方法即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据题意可知，函数对称轴为，而由可知，位于对称轴的右侧，且距离大于与对称轴的距离． 【详解】解：函数的对称轴为， 根据可知，、两点位于对称轴的两侧， 又， ，即距离对称轴较远， ∵抛物线开口方向向上，可见，． 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了二次函数的最值．先把二次函数化为顶点式，然后对函数图像的对称轴位置进行分类讨论，即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为， ∵， ∴该函数的最大值为2， 当时，即时，函数在处取得最大值，最大值为，根据题意，最大值为，则，解得。在范围内，故是符合题意的一个解； 当时，此时当时，函数取得最大值，最大值为，符合题意； 当时，此时当时，函数取得最大值，最大值为，不符合题意； ∴当取值为时，有最大值，的取值范围为． 故选：C 5．C 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．找一个点，经过平移后这个点与直线对称，抛物线C与y轴的交点为，与A点以对称轴对称的点是，若将抛物线C平移到，就是要将B点平移后以对称轴与A点对称，则B点平移后坐标应为，因此将抛物线C向右平移6个单位． 【详解】解：抛物线， 抛物线对称轴为， 抛物线与y轴的交点为， 则与A点以对称轴对称的点是， 若将抛物线C平移到，并且C，关于直线对称， 就是要将B点平移后以对称轴与A点对称， 则B点平移后坐标应为， 因此将抛物线C向右平移6个单位． 故选：C ． 6．D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．将四个点的坐标代入解析式，根据对每个选项解不等式即可解答． 【详解】解： ， ， A、，，则， 或， 即或， 当时，或， 当时，， 当时，，故A错误； B．，，则， 或， 即或， 当时， 当时，， 当时，，故B错误； C．，，则， 或， 即或， 当时，无解， 当时，无解， 当时，， ，故选项C错误； D、，，则， 或， 即或， 当时，， 当时，无解， 当时，无解， ，故D正确； ，故选项D正确； 故选：D． 7．D 【分析】本题考查二次函数与不等式，首先，二次不等式的解集是的两个根之间的区间，由于只有三个正整数解，说明这三个整数是连续的且位于根之间，通过判别式确定k的范围，结合对称轴位置和整数解的条件，验证可能的正整数组合，即可求解． 【详解】解：由题意知，有两个不等的实数根， ， 解得或 x要取三个正整数， 仅考虑． 二次函数的对称轴为直线， 假设三个连续正整数为3，4，5，需满足： 时，，解得， 时，，解得， 时，，解得， 时，，解得， 综上，，满足， 其他连续整数组合（如4，5，6或2，3，4）均无法同时满足所有条件， 故这三个数是3，4，5，和为12， 故选：D． 8．C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断a、b、c的正负，根据对称轴判断a与b的关系式，根据特殊值和判断与的正负，根据判断a、b、c的关系，然后综合分析即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，顶点为，， ∴，， ∴， ∵抛物线与x轴交于点，，，， ∴函数图象大致如图所示： 由图象可知，， 所以， 故①正确； ②∵， ∴，， 故②正确； ③由图象可知，当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④当时，， ∴， 当时，， 由，得， ∴，即， ∴， 两个不等式相加，得， 由②，则， ∴， 解得， ∵， ∴，又， ∴． 故④错误． 综上所述，正确的有①②③，一共3个． 故选：C． 9． 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式是解题的关键． 运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 二次函数的图象开口向上，有最小值为， 故答案为：． 10．增大 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的解析式可得二次函数的开口向上，对称轴为直线，由此即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， 故答案为：增大． 11． 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 直接根据“左加右减”的原则进行解答． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度得到的抛物线的解析式为， 故答案为：. 12．或 【分析】主要考查了二次函数综合应用，通过对直线、抛物线解析式的求解，及直线与抛物线的位置关系，可以提高学生解决压轴题的水平．联立方程组得到，看成是两个函数联立而成的，画出函数图象，运用数形结合法求解即可． 【详解】联立， 得：， 即，， 可以看成是两个函数联立而成的， ， 当时，此函数必过定点， 即过，的直线与过，的直线间的范围就是满足条件的直线运动的位置，如图， 将代入得， 解得，， 将代入得，， 解得，， 当时，直线与抛物线在内有两个交点， ， ， 当时，直线为，抛物线为，此时，在范围内有唯一公共点， 故答案为：或． 13． 【分析】本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由题意得，二次函数的对称轴是直线，根据对称性可得，再结合求出的值即可． 【详解】解：已知二次函数的顶点坐标， ∴对称轴是直线， 由题意得，点与点关于直线对称， ∴，即， 解得． 故答案为：． 14． 【详解】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，通过转化得出关于a的二次函数是解题的关键． 根据二次函数以y轴为对称轴可得，把点代入，，所以，最后求关于a的二次函数的最值即可． 【解答】解：∵在以y轴为对称轴的二次函数的图象上， ∴， ∴二次函数为 把代入得到，， ∴， ∴当时，取得最大值为， 故的最大值等于， 故答案为：． 15．1 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象的对称性，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键 认真观察表格中的数据，根据抛物线的对称性，纵坐标相等的两个点，是抛物线上的两个对称点，从而寻找对称轴和顶点坐标，设抛物线的顶点式，求解析式，再逐一检验． 【详解】解：从表格可以看出，当或时，， 可以判断，是抛物线上的两个对称点， 所以，就是顶点，对称性可知与的函数值相等， 设抛物线顶点式， 把代入解析式得，， 解得， 所以，抛物线解析式为， 当时，， 当时，， 所以这个错算的y值所对应的． 故答案为：1． 16．20 【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及平行四边形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是将问题转化为利用二次函数的性质求最值． 根据折叠、等腰直角三角形的判定以及平行四边形的判定与性质可设，再根据表示出四边形的面积，最后利用二次函数的性质求最值． 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由翻折得， ∴设，而， ∴． ∵翻折得到，而， ∴． ∴， ∴； 即：； ∵，，即 ∴当时，有最大值，最大值为150． 故答案为：20． 17．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质和反证法． （1）根据函数的图象与性质得到该函数的最小值m在顶点处取得，把代入即可表示出最小值m的函数关系式，再根据关于a的函数关系式即可求出结果； （2）利用反证法，分三种情况得出与条件矛盾；进而即可得证． 【详解】（1）解：由题意可知，函数的图象开口方向向上， 函数的最小值m在顶点处取得，顶点横坐标为，代入函数得： ， ， ， ， 此为关于a的开口向下的抛物线，最大值在顶点处，代入得，； （2）若或不成立， 假设，则， 抛物线的对称轴为直线， 得， 当时，， 得， ， ， ， 与已知条件矛盾； 假设则， 此时， 即，， ，， 导致，与已知条件矛盾； 假设且， 当时，， 当时，， ， ， ， ， 与已知条件矛盾； 综上，所以假设情况均与已知条件矛盾，故假设不成立， 原命题或成立． 18．（1）；（2）见解析；（3）． 【分析】主要考查二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）将二次函数解析式配方即可； （2）根据抛物线的开口方向、顶点坐标及与坐标轴的交点可得其函数图象； （3）利用二次函数的性质解答可得． 【详解】解：（1）； （2）如图所示： （3）根据二次函数的性质，当时，y随x的增大而减小， ∵， 19．(1)二次函数的解析式为；ⅱ， (2)或 【分析】本题考查了二次函数的解析式、最值即函数平移相关知识．熟练掌握二次函数的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 利用函数过的两个点，代入坐标列方程组，可求出二次函数的系数，进而得到解析式； ⅱ先将函数化为顶点式，确定对称轴和开口方向，再结合给定区间，判断最值的位置； 根据函数平移规律确定原函数过的点，代入得到系数关系，再结合对称轴和给定区间的最小值，分情况讨论a的取值． 【详解】（1）已知函数图象过点，， 将代入函数得：，即，解得， 将，代入函数得：， 即，，解得， 二次函数的解析式为； 根据知，二次函数的对称轴为直线，且二次项系数，函数图象开口向上， 当时，y取得最小值，， 比较和到对称轴直线的距离，，， 离对称轴更远． 当时，， （2）函数图象向右平移3个单位过坐标原点，根据函数平移规律“左加右减”，则原函数过点 将代入得： ，即，，化简得， 二次函数的解析式为，其对称轴为， 时函数值y有最小值，分情况讨论： 当时，函数图象开口向上，对称轴直线在范围内， 当时，y取得最小值 将，代入函数得：，即，，解得， 当时，函数图象开口向下，在范围内，函数在端点处取得最小值． 比较和时的函数值： 当时， ； 当时，， ， ， 则当时，y取得最小值，解得， 当时，时，，符合时在端点处取得最小值的情况． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了配方法解方程及化二次函数一般式为顶点式． （1）移项后两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方，然后用直接开平方法解方程即可； （2）加上一次项系数一半的平方，再减去加上一次项系数一半的平方，即可得解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵ ∴， ， ， ∵， ， 解得； （2）解：（）， ∴， ∴． 21．(1)4或0； (2)或 (3)或 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出点的坐标分别为，再由两点之间的距离得出绝对值方程求解即可； （2）根据题意得出，再由二次函数与坐标轴的交点与一元二次方程的关系求解即可； （3）根据题意得或，代入二次函数关系式，利用最值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点的坐标分别为． ∵， ∴， 解得：或， 故答案为：4或0； （2）解：∵点的坐标分别为， ∴， ∴函数解析式为， ∵函数的图象与轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴， 解得：或； （3）解：∵点的坐标为，点在点的右边， ∴， ∵， ∴或， ∴或， ∵函数的最小值为2， ∴或， 解得：或（舍去）或或2（舍去）， ∴函数的解析式为：或． 22．（1）C；（2）①2；②见解析；③或 【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键． （1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可； （2）①将变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合取值范围及二次函数的性质分情况求解即可． 【详解】解：（1）对于二次函数 当伴随值为1时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为2时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 故选：C． （2）①设伴随值为t， 则 ， ， ． 故答案为：2； ②列表： 0 2 3 4 6 5 5 依次描出点， 画图如图所示： ③令 得或； 令 得或． 结合函数图象可知，只能是或， 或3．     当时，，此时且随x的增大而减小， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 当时，，此时且随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 综上，W的最低点的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $