21.1一元二次方程知识梳理精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版

21.1一元二次方程知识梳理 精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 知识梳理 一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 精选题练习 一、单选题 1．下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．3 B．2 C． D． 3．一元二次方程的二次项系数是（    ） A．5 B．2 C． D．0 4．观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） A． B． C． D． 5．把方程化成一般式，则，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2021 B．2020 C．2023 D．2025 7．已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 8．一元二次方程化成一般形式为(    ) A． B． C． D． 二、填空题 9．一元二次方程：的一次项系数是 ． 10．一元二次方程的一个解为，则 ． 11．若是以为未知数的方程的根，则的值是 ． 12．已知m是方程的根，则代数式的值为 ． 13．若关于的一元二次方程有一个根为，则关于的一元二次方程必有一个根为 ． 14．关于x的方程的解是，（均为常数，），则方程的解是 ． 15．若a是关于x的一元二次方程的一个根，则 ． 16．关于的方程（均为常数，）的解是，则方程的解是 ． 三、解答题 17．已知是方程的一个根，试求的值． 18．已知关于x的方程．当m为何值时，这个方程是一元二次方程？ 19．已知是方程的一个根，求代数式的值． 20．先化简，再求值，其中的值是方程的根． 21．已知关于的方程． (1)当__________时，此方程为一元一次方程，此方程的根为_________． (2)当为何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《21.1一元二次方程知识梳理 精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A B D A B B 1．C 【分析】根据一元二次方程的定义依次判定即可．本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 【详解】解：A. 是一元一次方程，不符合题意；     B. 是二元二次方程，不符合题意；     C. 是一元二次方程，符合题意；     D. 是分式方程，不符合题意． 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查了已知方程的解求参数， 把代入一元二次方程，得出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：把代入， 得：， 解得：， 故选D 3．A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，把握“一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的含义”是解题的关键．根据定义即可得出答案． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为 5 故选：A． 4．B 【分析】先明确方程，通过表格找的值接近时对应的，利用函数的增减性确定近似解．本题主要考查利用表格数据估算一元二次方程的近似解，熟练掌握函数值与自变量的对应关系及通过数据趋势判断近似解是解题关键． 【详解】解：观察表格： 当时，；当时，；当时， ， 更接近， 时的值更接近，且在到 逐渐增大时，逐渐减小（由表格数据可知），介于（）和（）之间，更靠近， ∴近似解在附近， 对比选项，最接近 ， 故选：． 5．D 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做一次项，叫作一次项系数，解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴，，的值分别是，，， 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程得， 所以 ． 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键． 由于当时，，则可判断该方程一定有一个根为3． 【详解】解：当时，，所以若，则该方程一定有一个根为3． 故选B． 8．B 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，把方程右边的项移到左边，即可解答． 【详解】解：把一元二次方程化为一般形式得． 故选：B． 9． 【分析】本题考查一元二次方程的定义，将方程先化为一般形式：，即可求解． 【详解】解：先将化成一般形式，得， ∴的一次项系数是． 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，把一元二次方程的解代入方程中，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：一元二次方程的一个解为， ， 解得：． 故答案为：. 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义以及提取公因式，将n代回方程中是解决本题的关键． 由一元二次方程的根的定义，将n代入方程中可得，再提取公因式即可求解． 【详解】解：∵是以为未知数的方程的根， ∴， 即， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此得到，即，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的性质以及换元法求值，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键．将题干中的一元二次方程通过变量代换令转换为关于的一元二次方程，然后利用一元二次方程根的性质求出新的方程的解，再根据与的关系式求出一元二次方程的解即可． 【详解】解：把一元二次方程整理得：． 设，则． 关于的一元二次方程有一个根为， 有一个根为， ， 解得， 一元二次方程必有一个根为． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据关于x的方程的解是，得出或，即方程的解是． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的方程的解是， ∴或 ∴方程的解是 故答案为： 15．2 【分析】本题考查了一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 16．或 【分析】本题考查了一元二次方程的解．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到或，解之即可得出结论． 【详解】解：可把方程看作关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的解是， ∴关于的方程的解是或， ∴或． 故答案为：或． 17． 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，分式的求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，则原式可变形为，进一步变形得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵a是方程一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，正确理解概念是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可知要保证二次项系数不为，从而求出答案. 【详解】解：根据一元二次方程的定义可知，，解得． 故当时，这个方程是一元二次方程． 故答案为：． 19． 【分析】本题考查了整式混合运算中的化简求值，并且结合了一元二次方程根的相关知识点． 解题的关键是会灵活应用整体代入，要先化简，再观察方程与代数式的形，最后变形整体代入即可求得结果． 【详解】解： ， 是方程的一个根， ， ， 原式              ． 20．， 【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可进行化简，根据方程的解得， 再整体代入原式，计算出结果． 【详解】解： ． ∵， ∴， 原式． 21．(1)， (2)当时，此方程为一元二次方程； 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，掌握一元一次方程和一元二次方程的定义和一般形式是解题的关键． （1）根据题意可得进而得到的值，再将的值代入求得此一元一次方程的根； （2）根据题意可得，进而得到满足条件的的值，从而可以写出此一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】（1）解：是一元一次方程， 解得， ，解得， 故答案为：，． （2）解：是一元二次方程， ，解得， 故答案为：当时，此方程是一元二次方程； 它的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $