1.2.4绝对值 讲义2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

第一章 有理数 第五节 绝对值 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1绝对值的定义 2 易错提醒 2 例题 3 知识点2求一个数的绝对值 3 例题 4 知识点03绝对值非负性 4 例题 4 题型精讲1绝对值的其他应用 5 例题 5 题型精讲2带有字母的绝对值化简问题 6 例题 6 03拓展培优 6 04课堂检测 10-12 知识思维导图 课程学习目标 1.能借助数轴说清绝对值的定义（表示数对应点到原点的距离），明确 “绝对值非负性” 的本质（距离是长度，故∣a∣≥0），并能举例说明（如∣5∣=5、∣−3∣=3、∣0∣=0） 2.熟练掌握求任意数绝对值的方法 —— 能根据数的正负（正数、负数、0）分类计算绝对值（正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数，0 的绝对值是 0）；同时能快速化简含绝对值的简单表达式（如∣+2∣、∣−(−4)∣）。​ 3.会用绝对值解决两类问题 —— 一是比较两个负数的大小（利用 “负数绝对值大的反而小”，如比较−6和−2）；二是计算数轴上两点间的距离（用∣a−b∣表示点a与点b的距离）；还能初步运用 “非负性” 分析简单问题（如已知∣x∣+∣y∣=0，判断x、y的值）。​ 【新知学习】 知识点1： 绝对值的定义​ 绝对值的定义：​ 数轴上一个数对应的点到原点的距离，就是这个数的绝对值，用 “| |” 表示。比如 | 3 | 是 3 到原点的距离（3 个单位），读作 “3的绝对值”，| -2 | 是 - 2 到原点的距离（2 个单位），，读作 “-2的绝对值”距离一定非负。 绝对值与数轴： 在数轴上，一个数离原点越近，绝对值就 ，一个数离原点越远，绝对值 。 绝对值与相反数： ①数轴上互为相反数的两个数在原点的两侧，且到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数他们的绝对值 。即若与互为相反数，则|| ||。 ②绝对值等于某个正数的数一定有 ，它们 。即若||=，则 ＝ ③绝对值相等的两个数要么 ，要么 。即若||＝||，则有 或 。 【易错提醒】 0的绝对值是 0 。 例题1：（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式训练1】（2025·江苏盐城·三模）下列关于表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·山西朔州·一模）智能焊接机器人是一种自动化设备，集合了多种先进技术．为了测试其精确度，四个智能焊接机器人分别对同一需要焊接的位置进行两次测量，下面是每个机器人两次测量结果的差，则两次测量结果最接近的是（   ） A．毫米 B．毫米 C．毫米 D．毫米 例题2：（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）若，则 ． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知，则 ． （2）已知，则 ． （3）已知，则 ． 【变式训练2】（2025七年级上·全国·专题练习）（1），，若，则的值是 ． （2），，若，则的值是 ． 知识点二：求一个数的绝对值 本质：求绝对值的核心是 “找数轴上该数对应点到原点的距离”，距离是长度，因此结果必为非负（正数或 0），这是判断计算是否正确的基础（如出现负数结果，一定错）。​ 分三类精准计算：​ 正数（a > 0）：绝对值是它本身，即 | a| = a（如 | 7|=7，|0.3|=0.3）；​ 负数（a <0）：绝对值是它的相反数，即 | a| = -a（注意 “-a” 是正数，如 |-5|=-(-5)=5，避免误写成 - 5）；​ 0（a = 0）：绝对值是 0，即 | 0|=0（唯一绝对值等于自身相反数的数）。 【易错提醒】 1.不能直接去掉负号就结束，要明确 “-a” 是负数的相反数（正数），如 |-9|=9 而非 - 9； 2.无论输入数是正、负还是 0，输出的绝对值都不会是负数，计算后可通过此性质验证。 例题1：（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）计算：① ；② ， ；③ ， ． （2）比较大小： 0． 【变式训练1】（2025·江苏泰州·一模）我国有世界上唯一一座位于海平面以下的植物园——吐鲁番沙漠植物园，其海拔约为米，的绝对值是（    ） A．81 B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）的值是（   ） A．2 B． C． D． 【变式训练3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1) ． (2) ． (3) ． (4) ． 知识点03绝对值非负性 非负性是绝对值定义的直接体现 —— 绝对值表示 “数轴上点到原点的距离”，而距离是实际长度，不存在 ，因此任何数的绝对值都 0（即结果为正数或 0），这是绝对值的根本属性。 单独一个数的绝对值：如 | 5|= （正数）、|-3|= （正数）、|0|=0，无例外均非负； 多个绝对值的组合：若几个绝对值相加，结果仍非负（如 | a| + |b| ≥ 0），且只有当每个绝对值都为 0 时，总和才为 0（如 | x-2| + |y+1|=0，则 x-2=0 且 y+1=0）。 求绝对值后若结果为负，可直接判断错误（如算得 |-4|=-4，违背非负性，必错）； 例题1：（25-26七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤定是负数；⑥一定是正数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1】（2024·四川资阳·中考真题）若，则 ． 【变式训练2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为 ． 【变式训练3】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）若，则 ， ． （2）已知，则 ． （3）已知与互为相反数，则 ． 题型精讲1绝对值的其他应用 例题1：（2024·山东威海·中考真题）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级上·山东潍坊·期中）水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 【变式训练2】（24-25七年级上·北京西城·期末）检测某种零件的质量，将超过标准长度的毫米数记为正数．抽查4个零件的长度记录如下表所示，其中长度最接近标准长度的零件的编号是 号． 零件编号 1 2 3 4 长度/mm 【变式训练3】（24-25七年级上·北京延庆·期末）若，，则 （填“”“”或“”）；并写出一组满足该条件的数： ， ． 题型精讲2带有字母的绝对值化简问题 例题1：（24-25七年级上·云南保山·期末）化简： ． ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【拓展培优】 【典例1】（24-25六年级上·山东淄博·期中）某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 【变式训练1】（24-25七年级上·河北唐山·期中）有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 【变式训练2】 （25-26七年级上·全国·课后作业）已知零件的标准直径是，某次抽查了6件样品，抽查时以标准直径为基准，用正负数表示每件样品测得的数值与标准直径的差（单位：），抽查结果如下： 序号 1 2 3 4 5 6 差 (1)哪件样品的大小最符合要求？你认为的最符合是根据什么判断的？ (2)如果规定差的绝对值在0.18之内是正品，那么哪几件样品是正品？ 【典例2】 （24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，四个相邻的整数对应数轴上的点，数对应数轴上的点，则的最小值为 ． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 . 【变式训练2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）的几何意义：数轴上表示数a、数b的两点之间的距离，当时，的值均为定值，则t的最小值是 ． 【变式训练3】（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【典例3】（24-25七年级上·福建泉州·期末）阅读与应用 能够被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数． 奇偶数的运算性质： 奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数． 奇数奇数奇数，奇数偶数偶数，偶数偶数偶数． 已知有理数a、b、c、d，满足，问的值是否可能为1？若可能，写出一组a、b、c、d的值；若不可能，请说明理由． 【课堂检测】 一、单选题 1．如图，实数、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最大的数对应的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 2．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法中：①任何数都有倒数；②一个数乘以1，便得这个数本身，一个数乘以，便得这个数的相反数；③同号两数相乘，取原来的符号，并把绝对值相乘；④的结果必为非负数；⑤一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；⑥若，则；⑦一定是负数．错误的有（    ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则a、b、|a|、﹣b的大小关系正确的是（　　） A．﹣b＞a＞|a|＞b B．﹣b＞b＞a＞|a| C．|a|＞b＞﹣b＞a D．|a|＞﹣b＞a＞b 5．如果且．则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c为正数 6．某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（    ） A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折 C．先提价，再降价 D．先提价，再降价 7．已知，那么的最大值与最小值的和等于（    ） A． B． C． D． 8．整数满足，若使得关于的方程的解为整数，则满足条件的所有整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．在数轴上，到原点的距离等于4.5个单位长度的点所表示的有理数是 ． 10．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点与原点的距离相等． （1） ； （2）化简 ． 11．若|a﹣2020|+（-3）＝10，则a＝ ． 12．已知a为有理数，表示不小于a的最小整数，如，，则计算 ． 13．有理数在数轴上的位置如图所示，化简 ．    三、解答题 14．画一条数轴，并分别标出表示绝对值是的数的点． 15．如图，检测4个篮球，其中质量超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数（单位：g），从轻重的角度看，最接近标准的球是几号？并说明理由．    16．观察下列各式： ，； ，； ，； 解答下列各题： (1)尝试并计算：； (2)尝试并计算：； (3)； (4)尝试并计算： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 第五节 绝对值 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1绝对值的定义 2 易错提醒 3 例题 3 知识点2求一个数的绝对值 5 例题 6 知识点03绝对值非负性 8 例题 8 题型精讲1绝对值的其他应用 10 例题 10 题型精讲2带有字母的绝对值化简问题 12 例题 12 03拓展培优 13 04课堂检测 20 知识思维导图 课程学习目标 1.能借助数轴说清绝对值的定义（表示数对应点到原点的距离），明确 “绝对值非负性” 的本质（距离是长度，故∣a∣≥0），并能举例说明（如∣5∣=5、∣−3∣=3、∣0∣=0） 2.熟练掌握求任意数绝对值的方法 —— 能根据数的正负（正数、负数、0）分类计算绝对值（正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数，0 的绝对值是 0）；同时能快速化简含绝对值的简单表达式（如∣+2∣、∣−(−4)∣）。​ 3.会用绝对值解决两类问题 —— 一是比较两个负数的大小（利用 “负数绝对值大的反而小”，如比较−6和−2）；二是计算数轴上两点间的距离（用∣a−b∣表示点a与点b的距离）；还能初步运用 “非负性” 分析简单问题（如已知∣x∣+∣y∣=0，判断x、y的值）。​ 【新知学习】 知识点1： 绝对值的定义​ 绝对值的定义：​ 数轴上一个数对应的点到原点的距离，就是这个数的绝对值，用 “| |” 表示。比如 | 3 | 是 3 到原点的距离（3 个单位），读作 “3的绝对值”，| -2 | 是 - 2 到原点的距离（2 个单位），，读作 “-2的绝对值”距离一定非负。 绝对值与数轴： 在数轴上，一个数离原点越近，绝对值就 越小 ，一个数离原点越远，绝对值 越大 。 绝对值与相反数： ①数轴上互为相反数的两个数在原点的两侧，且到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数他们的绝对值 相等 。即若与互为相反数，则|| ＝ ||。 ②绝对值等于某个正数的数一定有 两个 ，它们 互为相反数 。即若||=，则＝ ＋ 或﹣。 ③绝对值相等的两个数要么 相等 ，要么 互为相反数 。即若||＝||，则有 ＝ 或 ＝﹣ 。 【易错提醒】 0的绝对值是 0 。 例题1：（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，，， ∴与原点距离最近的是1， 故选：B． 【变式训练1】（2025·江苏盐城·三模）下列关于表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的几何意义即可得解，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． 【详解】解：根据绝对值的意义可得， 故选：B． 【变式训练2】（2025·山西朔州·一模）智能焊接机器人是一种自动化设备，集合了多种先进技术．为了测试其精确度，四个智能焊接机器人分别对同一需要焊接的位置进行两次测量，下面是每个机器人两次测量结果的差，则两次测量结果最接近的是（   ） A．毫米 B．毫米 C．毫米 D．毫米 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】此题考查了绝对值的意义．求出每个选项的绝对值，根据绝对值越小，测量结果越接近进行解答即可． 【详解】解：有题意可得， ∵， ∴两次测量结果最接近的是毫米， 故选：B 例题2：（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了根据绝对值求原数，代数式求值问题，求出是解题的关键．先求出，再根据绝对值的意义求解即可． 【详解】由题意得，， ， 故答案为：． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知，则 ． （2）已知，则 ． （3）已知，则 ． 【答案】 8 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的性质． （1）运用绝对值的性质求解即可． （2）运用绝对值的性质求解即可． （3）运用绝对值的性质求解即可． 【详解】解：（1）则， 故答案为：． （2），则， 故答案为：， （3） 故答案为：8 ． 【变式训练2】（2025七年级上·全国·专题练习）（1），，若，则的值是 ． （2），，若，则的值是 ． 【答案】 2 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据绝对值的性质可得：若，则；再结合即可确定的值； （2）根据绝对值的性质可得：若，则；再结合即可确定的值． 【详解】解：（1）， ． 又， 都满足题意． 故答案为： （2）， ． 又， ． 故答案为： 知识点二：求一个数的绝对值 本质：求绝对值的核心是 “找数轴上该数对应点到原点的距离”，距离是长度，因此结果必为非负（正数或 0），这是判断计算是否正确的基础（如出现负数结果，一定错）。​ 分三类精准计算：​ 正数（a > 0）：绝对值是它本身，即 | a| = a（如 | 7|=7，|0.3|=0.3）；​ 负数（a <0）：绝对值是它的相反数，即 | a| = -a（注意 “-a” 是正数，如 |-5|=-(-5)=5，避免误写成 - 5）；​ 0（a = 0）：绝对值是 0，即 | 0|=0（唯一绝对值等于自身相反数的数）。 【易错提醒】 1.不能直接去掉负号就结束，要明确 “-a” 是负数的相反数（正数），如 |-9|=9 而非 - 9； 2.无论输入数是正、负还是 0，输出的绝对值都不会是负数，计算后可通过此性质验证。 例题1：（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）计算：① ；② ， ；③ ， ． （2）比较大小： 0． 【答案】 0 6 7 8 9 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的概念，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． （1）根据绝对值的概念求解即可． （2）根据绝对值的非负性，即． 【详解】解：（1）①； ②；； ③；； （2） 当时， 当时， 当时， 所以． 故答案为：① 0 ；② 6；③ 7 ；④ 8；⑤ 9；（2）． 【变式训练1】（2025·江苏泰州·一模）我国有世界上唯一一座位于海平面以下的植物园——吐鲁番沙漠植物园，其海拔约为米，的绝对值是（    ） A．81 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了绝对值， 根据绝对值的定义解答即可．即一个数在数轴上的对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 【详解】解：． 故选：A． 【变式训练2】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数可得：，所以． 【详解】解：． 故选：B． 【变式训练3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的性质以及有理数的四则运算，掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据绝对值的性质“负数的绝对值是它的相反数”，然后根据绝对值的结果进行加法运算即可求解； （2）根据绝对值的性质“负数的绝对值是它的相反数”，然后根据绝对值的结果进行减法运算即可求解； （3）根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”，将带分数化为假分数，然后根据绝对值的结果进行乘法运算即可求解； （4）根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”，然后根据绝对值的结果进行除法运算即可求解； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 知识点03绝对值非负性 非负性是绝对值定义的直接体现 —— 绝对值表示 “数轴上点到原点的距离”，而距离是实际长度，不存在负数，因此任何数的绝对值都≥0（即结果为正数或 0），这是绝对值的根本属性。 单独一个数的绝对值：如 | 5|=5（正数）、|-3|=3（正数）、|0|=0，无例外均非负； 多个绝对值的组合：若几个绝对值相加，结果仍非负（如 | a| + |b| ≥ 0），且只有当每个绝对值都为 0 时，总和才为 0（如 | x-2| + |y+1|=0，则 x-2=0 且 y+1=0）。 求绝对值后若结果为负，可直接判断错误（如算得 |-4|=-4，违背非负性，必错）； 例题1：（25-26七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤定是负数；⑥一定是正数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的一般规律，熟练掌握“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是”是解题的关键. 【详解】解：当时，，说法正确； 当时，，说法正确； 当时，可能是，也可能是，说法错误，说法正确； 当时，，既不是正数也不是负数，说法错误； ，一定是正数，说法正确； 综上，正确的有四个； 故选：D ． 【变式训练1】（2024·四川资阳·中考真题）若，则 ． 【答案】2 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0．根据绝对值和平方的非负性，得出，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 【变式训练2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 【变式训练3】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）若，则 ， ． （2）已知，则 ． （3）已知与互为相反数，则 ． 【答案】 3 4 30 5 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性质：几个绝对值的和为零，则它们全都为零，以及绝对值的计算. （1）根据绝对值的非负性质求a和b的值即可； （2）根据绝对值的非负性质先求出a，b，c的值再代入求解； （3）根据绝对值的非负性质得到x与y的值，代入求解. 【详解】解：（1） ； 故答案为：①3；②4； （2） 故答案为：30； （3）∵与互为相反数， ∴， ∴. 故答案为： 5． 题型精讲1绝对值的其他应用 例题1：（2024·山东威海·中考真题）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示． ∴ ∴最接近标准质量的是 故选：C． 【变式训练1】（24-25七年级上·山东潍坊·期中）水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 【答案】3 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用 【分析】本题考查了正数和负数，利用了绝对值的意义，绝对值越小越接近标准．根据绝对值的意义，可得答案． 【详解】解：， 绝对值越小越接近警戒水位，即其中第3次测量时水位离警戒线最近． 故答案为：3． 【变式训练2】（24-25七年级上·北京西城·期末）检测某种零件的质量，将超过标准长度的毫米数记为正数．抽查4个零件的长度记录如下表所示，其中长度最接近标准长度的零件的编号是 号． 零件编号 1 2 3 4 长度/mm 【答案】3 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的意义，解决本题的关键求出各数的绝对值． 根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值后选取绝对值最小的数即可． 【详解】解：各数的绝对值分别为，，，， 则绝对值最小的数是， 即最接近标准长度的是三号． 故答案为：． 【变式训练3】（24-25七年级上·北京延庆·期末）若，，则 （填“”“”或“”）；并写出一组满足该条件的数： ， ． 【答案】 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，即可得出，故写出一组即可满足该条件的数即可，答案不唯一． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴满足该条件的数有，（答案不唯一）， 故答案为：；；． 题型精讲2带有字母的绝对值化简问题 例题1：（24-25七年级上·云南保山·期末）化简： ． 【答案】/ 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查了绝对值的定义和计算，熟练掌握定义和计算法则是解题的关键．本题根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练1】（2023·重庆·中考真题）在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、合并同类项 【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案． 【详解】解：，故说法①正确． 若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现，显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负，故说法②正确． 当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是；；；．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；；．共有7种情况； 有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论； 需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用． 【拓展培优】 【典例1】（24-25六年级上·山东淄博·期中）某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 【答案】(1)5号零件的大小最符合标准 (2)1、2、5号是正品，3号是次品，4号是废品 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题主要考查了绝对值意义，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据． （1）表中的数据是零件误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好； （2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，就可确定是正品、次品还是废品． 【详解】（1）解：∵， ∴5号零件的大小最符合标准． （2）解：∵，， ∴第1、2、5号是正品； ∵， ∴3号是次品， ∵， ∴4号为废品． 【变式训练1】（24-25七年级上·河北唐山·期中）有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 【答案】(1)周正 (2)李嘉，见解析 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用 【分析】本题考查有理数的大小比较，绝对值的性质： （1）找出直径超过的零件，即可得出答案； （2）通过比较绝对值，得出，可知张琪同学加工的零件直径比标准直径误差最小，得出答案． 【详解】（1）∵零件直径比标准直径可以有的误差， 而， ∴周正同学加工的零件不符合标准； （2）∵， ∴李嘉同学加工的零件直径比标准直径误差最小， ∴李嘉的最好． 【变式训练2】 （25-26七年级上·全国·课后作业）已知零件的标准直径是，某次抽查了6件样品，抽查时以标准直径为基准，用正负数表示每件样品测得的数值与标准直径的差（单位：），抽查结果如下： 序号 1 2 3 4 5 6 差 (1)哪件样品的大小最符合要求？你认为的最符合是根据什么判断的？ (2)如果规定差的绝对值在0.18之内是正品，那么哪几件样品是正品？ 【答案】(1)第4件样品的大小最符合要求．是根据绝对值越小越接近标准直径而判断的 (2)第1，2，4，6件样品是正品 【知识点】正负数的实际应用、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了正数与负数的绝对值，掌握绝对值的求法，理解题意是解决本题的关键. （1）表中的数据是零件的误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好； （2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果不大于0.18的样品为正品. 【详解】（1）由表格可知，的绝对值最小，所以第4件样品的大小最符合要求．是根据绝对值越小越接近标准直径而判断的． （2）因为； ； ； ； ； ， 所以第1，2，4，6件样品是正品． 【典例2】 （24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，四个相邻的整数对应数轴上的点，数对应数轴上的点，则的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的几何意义以及数轴的应用，解题的关键是理解表示数轴上点到点A，B，C，D的距离之和，并通过分析点的位置来求最小值． 根据绝对值的几何意义，将原式转化为点到四个点的距离之和，然后通过分析点在数轴上不同位置时距离之和的大小，找出最小值的情况． 【详解】由绝对值的几何意义可知，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离． 所以表示点到A，B，C，D四个点的距离之和． 因为a，b，c，d是四个相邻的整数，当点在线段上（包括端点B，C）时，距离之和最小． 不妨设（为整数)，当在与之间时， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 . 【答案】225 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴的应用，数轴上两点之间的距离公式，再根据数轴的定义得代数式表示的意义，确定或16时，有最小值，再代值计算即可． 【详解】解：根据数轴的定义可知，代数式表示，表示点的点到1、2、3、30的距离之和， ∴当时，有最小值， 当时， ． 故答案为：225． 【变式训练2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）的几何意义：数轴上表示数a、数b的两点之间的距离，当时，的值均为定值，则t的最小值是 ． 【答案】3 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，得到当时，的值均为定值，这个定值是5，进行求解即可． 【详解】解：根据绝对值的几何意义，可知在数轴上，表示x与两点之间的距离，表示x与3两点之间的距离， 则表示x到的距离与x到3的距离的差， 当时，，这两个距离的差都是5， 当时，，这两个距离的差都是， 当时，，这两个距离的差是变化的，最大值是5，最小值是， 则当时，的值均为定值，这个定值是5，则t的最小值3， 故答案为：3． 【变式训练3】（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【答案】（1）D （2）（3）1（4）1，0 （5） 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值非负性 【分析】（1）按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，解答即可． （2）根据题意，分类解答即可． （3）根据，解答即可． （4）根据，得到最小值为0，此时解答即可． （5）根据，得到，得到时，取得最小值，解答即可． 本题考查了分类思想，绝对值的非负性，应用非负性求最小值，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想， 故选：D． （2）解：∵， ∴时，； 时，，解得； 故x的值为． （3）解：根据，得，， 解得， 故y的值为1． （4）解：根据，得到时，取得最小值，且最小值为0， 故， 解得； 故当x的值为1,取得最小值，且最小值为0． （5）解：根据题意，得， 故， 故时，取得最小值， 此时， 解得， 故． 【典例3】（24-25七年级上·福建泉州·期末）阅读与应用 能够被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数． 奇偶数的运算性质： 奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数． 奇数奇数奇数，奇数偶数偶数，偶数偶数偶数． 已知有理数a、b、c、d，满足，问的值是否可能为1？若可能，写出一组a、b、c、d的值；若不可能，请说明理由． 【答案】的值不可能为1，见解析 【知识点】求一个数的绝对值、 奇数和偶数的运算性质 【分析】本题考查了有理数的绝对值以及奇偶数的运算性质，解题的关键是根据判断a、b、c、d的奇偶性，并运用奇偶数运算性质分析． 先根据得出a、b、c、d的取值，进而判断它们与系数乘积的奇偶性，再根据奇偶数运算性质判断的奇偶性，最后与1的奇偶性对比得出结论． 【详解】解：的值不可能为1 理由如下： ∵， ∴a、b、c、d的值均为， ∵是奇数， ∴的值均为奇数， ∵奇数奇数奇数奇数偶数， ∴是偶数， 又∵1是奇数，且偶数奇数， ∴的值不可能为1． 【课堂检测】 一、单选题 1．如图，实数、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最大的数对应的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】D 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、绝对值的几何意义 【分析】先确定原点的位置，再根据点的位置确定绝对值最大的数即可解答． 【详解】解：∵实数在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q， ∵点Q离原点最远， ∴这四个数中绝对值最大的数对应的点是点Q， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，有理数的大小比较的应用，解此题的关键是找出原点的位置，注意数形结合思想的运用． 2．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的几何意义 【分析】本题考查正负数的应用，哪个标记的数的绝对值最小，哪个最接近标准． 【详解】解：， 可知最接近标准的是， 故选C． 3．下列说法中：①任何数都有倒数；②一个数乘以1，便得这个数本身，一个数乘以，便得这个数的相反数；③同号两数相乘，取原来的符号，并把绝对值相乘；④的结果必为非负数；⑤一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；⑥若，则；⑦一定是负数．错误的有（    ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义、倒数、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】利用倒数的定义、绝对值、相反数、数轴、有理数乘除法法则，逐项判断即可． 【详解】解：①0没有倒数，所以①错误； ②一个数乘以1，便得这个数本身，一个数乘以，便得这个数的相反数，所以②正确； ③两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，所以③错误； ④的结果必为非负数，所以④正确； ⑤一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，所以⑤正确； ⑥若，则，所以⑥错误； ⑦当a=0时，=0，所以⑦错误． 综上，共有4个错误， 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的意义、绝对值、相反数、数轴、有理数乘除法法则，正确的对每一项进行判断是得出正确答案的前提． 4．数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则a、b、|a|、﹣b的大小关系正确的是（　　） A．﹣b＞a＞|a|＞b B．﹣b＞b＞a＞|a| C．|a|＞b＞﹣b＞a D．|a|＞﹣b＞a＞b 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、相反数的定义、绝对值的几何意义、有理数大小比较 【分析】根据数轴得出a＜0＜1＜b，|a|＞|b|，再比较即可． 【详解】解：从数轴可知：a＜0＜1＜b，|a|＞|b|， 所以|a|＞b＞-b＞a， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，数轴，有理数的大小比较，绝对值等知识点，能根据数轴得出a＜0＜1＜b和|a|＞|b|是解此题的关键． 5．如果且．则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c为正数 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】 此题考查了有理数的加法和绝对值的意义的综合运用能力，由题意得a，b，c三个数至少有一个正数，且至少有一个为负数，且，所以可能a，b为正数c为负数，也可能a，b为负数c为正数． 【详解】解：且， a，b，c三个数至少有一个正数，且至少有一个为负数，且， 可能a，b为正数c为负数，也可能a，b为负数c为正数， 故选：A． 6．某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（    ） A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折 C．先提价，再降价 D．先提价，再降价 【答案】B 【知识点】有理数大小比较的实际应用、列代数式 【分析】设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可． 【详解】设原件为x元， ∵先打九五折，再打九五折， ∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元， ∵先提价，再打六折， ∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元， ∵先提价，再降价， ∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元， ∵先提价，再降价， ∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元， ∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x 故选B 【点睛】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，并能进行有理数大小的比较是解题的关键． 7．已知，那么的最大值与最小值的和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、整式加减的应用 【分析】由于，则及的符号不能确定，故应分类讨论出及的符号，再由绝对值的性质求出所求代数式的值即可． 【详解】解：①当时， ， 当时，达到最大值5； ②当时， ； ③当时， ， ∴当时，达到最小值1；当时，达到最大值3； 综上分析，最大值是5，最小值是1， ∴的最大值与最小值的和为5+1=6． 故选：D． 【点睛】本题考查的是绝对值的性质，在解答此题时要注意应用分类讨论的思想，不要漏解． 8．整数满足，若使得关于的方程的解为整数，则满足条件的所有整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】绝对值的其他应用、一元一次方程解的综合应用 【分析】由整数满足，先确定，由方程的解为整数，可得，由是9的约数， 求出，结合条件求出即可． 【详解】∵整数满足， ∴或， ∴， ∵， 整理得， ∴， ∵是9的约数， ∴， ∴， 则满足条件的所有整数的个数是3个． 故选择：C ． 【点睛】本题考查有条件限定的一元方程的整数解问题，掌握方程整数解的求法，关键是方程变形为，转化为9的约数来解是解题关键． 二、填空题 9．在数轴上，到原点的距离等于4.5个单位长度的点所表示的有理数是 ． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】根据绝对值的意义：一个数的绝对值，即数轴上表示这个数的点到原点的距离． 【详解】根据绝对值的意义得：数轴上距离原点4.5个单位长度的点所表示的有理数，即绝对值是4.5的数，是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了考查了绝对值的几何意义，即数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，解体的关键是理解并掌握绝对值的意义． 10．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点与原点的距离相等． （1） ； （2）化简 ． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】观察数轴可得， （1）可得，再根据绝对值的性质化简，即可求解； （2）可得，再由数a的点、数b的点与原点的距离相等，可得，再根据绝对值的性质化简，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， （1）∴， ∴ ； 故答案为：； （2）∴， ∵数a的点、数b的点与原点的距离相等， ∴， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查数轴、绝对值、整式的加减等知识的综合运用，解决此题的关键是能够根据数轴上的信息，判断出a，b，c等字母的取值范围，同时解决此题时也要注意绝对值性质的运用． 11．若|a﹣2020|+（-3）＝10，则a＝ ． 【答案】2033或2007/2007或2033 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值方程、有理数的减法运算 【分析】先根据|a﹣2020|+（-3）＝10得出|a﹣2020|=13，根据绝对值的意义求出a的值即可． 【详解】解：∵|a﹣2020|+（-3）＝10， ∴|a﹣2020|=13， ∴或， 解得：或． 故答案为：2033或2007． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的加减运算，熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键． 12．已知a为有理数，表示不小于a的最小整数，如，，则计算 ． 【答案】8 【知识点】有理数大小比较、有理数四则混合运算 【分析】根据新定义，将化简为，再根据有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查有理数的大小比较、有理数的混合运算，熟练掌握有理数的大小关系、有理数的混合运算法则是解决本题的关键． 13．有理数在数轴上的位置如图所示，化简 ．    【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查化简绝对值，利用数轴判断式子的符号，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再进行化简即可，解题的关键是根据点在数轴上的位置，确定式子的符号． 【详解】解：由题意可知， ， ∴，，，， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 14．画一条数轴，并分别标出表示绝对值是的数的点． 【答案】见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】首先明确绝对值的几何意义是数轴上的点到原点的距离，然后根据绝对值找到对应的数，最后标出这些数的位置. 【详解】解：如图: 两点表示的数-3和3的绝对值是3． 两点表示的数和1.5的绝对值是1.5． 点表示的数0的绝对值是0． 【点睛】本题考查了对绝对值几何意义的理解，以及在数轴上准确标出对应点的能力,关键把握绝对值的几何意义. 15．如图，检测4个篮球，其中质量超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数（单位：g），从轻重的角度看，最接近标准的球是几号？并说明理由．    【答案】（4）号球，理由见解析 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】由已知和要求，只要求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的球． 【详解】解：通过求4个篮球的绝对值得： ，，，， 的绝对值最小． 所以（4）号球是最接近标准的球． 【点睛】本题考查了正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中表示的实际意义． 16．观察下列各式： ，； ，； ，； 解答下列各题： (1)尝试并计算：； (2)尝试并计算：； (3)； (4)尝试并计算： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】（1）根据题意可将各项展开为，进行计算即可得； （2）根据题意可将各项展开为，进行计算即可得； （3）根据绝对值可将各项展开为，进行计算即可得； （4）结合题意进行推算得(n为正整数)，则可将各项展开进行计算即可得． 【详解】（1）解： = = =； （2）解：原式= = = =； （3）解：原式= = =； （4）解： = = = =(n为正整数)， ∴原式== = =． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，化简绝对值，解题的关键是理解题意，能够根据题意找出规律并认真计算． 1 学科网（北京）股份有限公司 $