专题2.2-2.4 等腰三角形及其性质定理、判定定理（知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练

专题2.2-2.4 等腰三角形与等腰三角形性质定理、判定定理 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：等腰三角形的性质 2 知识点梳理02：等腰三角形的判定 2 知识点梳理03：等边三角形及其性质 2 知识点梳理04：等边三角形的判定 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：等腰三角形的定义 3 考点2：作等腰三角形(尺规作图) 3 考点3：等边对等角 4 考点4：等边三角形的性质 5 考点5：三线合— 6 考点6：根据等角对等边证明等腰三角形 7 考点7：根据等角对等边证明边相等 8 考点8：根据等角对等边求边长 9 考点9：格点图中画等腰三角形 9 考点10：找出图中的等腰三角形 10 考点11：等腰三角形的性质和判定 11 考点12：等边三角形的判定 12 考点13：等边三角形的判定和性质 13 中考真题 实战演练 14 难度分层 拔尖冲刺 16 基础夯实 16 培优拔高 19 知识点梳理01：等腰三角形的性质 1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 知识点梳理02：等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 知识点梳理03：等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点梳理04：等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 考点1：等腰三角形的定义 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段练习）已知等腰三角形的两边长满足，则该等腰三角形的周长为 ． 【变式训练】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在△ABC中，，，延长至点D，连接，以为直角边作等腰三角形，其中，连接． (1)若，求的长； (2)与有何位置关系？请说明理由． 考点2：作等腰三角形(尺规作图) 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，作一个以为底边，底边上的高的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 考点3：等边对等角 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在等腰三角形中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线与交于点，连接，则的度数是 ． 【变式训练】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 考点4：等边三角形的性质 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）已知：如图，点B在线段上，和都是等边三角形，且在同侧，连接交于点G，连接交于点H，交于点O，连接． (1)求证：； (2)求的度数． (3)求证：； 【变式训练】（24-25八年级上·天津·期末）已知，中，，，分别以，为边在外侧作等边三角形与等边三角形． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，连接交于点F，求证：． 考点5：三线合— 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图1，在直角中，，D为上一点，E为外一点，，，． (1)求证：； (2)若（如图2），点F在线段上，． ①当时，求的面积； ②小亮说：可以看作由经过两次轴对称变换得到．他的说法是否正确，若正确，用圆规和没有刻度的直尺在图3中作出两条对称轴（若有多种情况，作出一种情况即可）；若不正确，请写出一种正确的变换方式． 【变式训练】（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，平分，是中点，连接，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 考点6：根据等角对等边证明等腰三角形 【典例精讲】（2023八年级上·浙江台州·竞赛）如图所示，在中，平分，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【变式训练】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知 ，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 考点7：根据等角对等边证明边相等 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下两种： (1)如图①，平分，，则； (2)如图②，，平分，则是等腰三角形． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，△中，，将△沿着翻折使点恰好落在上点处，且． (1)求证：； (2)延长交延长线于点，求证：； 考点8：根据等角对等边求边长 【典例精讲】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，，的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 ． 【变式训练】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 考点9：格点图中画等腰三角形 【典例精讲】（2023·四川广安·二模）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰三角形，且另外一个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形． 【变式训练】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 考点10：找出图中的等腰三角形 【典例精讲】如图，是的角平分线，，，则图中的等腰三角形有 个 【变式训练】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 考点11：等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接，交于点． (1)求证：是线段的中点； (2)求证：； (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论：①；②；③其中正确的有（　　）个． A．3 B．2 C．1 D．0 考点12：等边三角形的判定 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形． 【变式训练】（24-25七年级下·四川成都·期中）在中，，直线，垂足为点，点是直线上一点，过作，交直线于点． (1)如图1，当点在点右侧时，若时，求证：； (2)在（1）问条件下，连接，若，请判断的形状，并说明理由； (3)如图2，若，，点在直线上运动，当时，求的面积． 考点13：等边三角形的判定和性质 【典例精讲】（22-23八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）综合探究． 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点(点D不与点B，点C重合)．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当点D在边的延长线上时，写出与的位置关系为 ；线段，，之间的数量关系为 ； 【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 2．（2024·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为 ． 3．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 4．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 5．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 基础夯实 1．（24-25八年级上·云南·期末）如图，已知为等边三角形，是上一点，是的延长线上一点，且若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图所示，在等边三角形中，为中点，点分别为上的点，，在上有一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．12 C．6 D．8 3．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：；；；．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且 ．若的长度为，则此时两点之间的距离为（　　） A．3 B．6 C．6 D．7 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，平分且于点的周长为22，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（22-23八年级上·全国·期中）如图，，已知，，点在上，则的度数为 ． 7．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 8．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在点处，则阴影部分图形的周长为 ． 9．（24-25八年级下·广东江门·开学考试）如图，是等边三角形，．动点P，Q分别从点A、B同时出发，动点P以的速度沿向终点C运动．动点Q以的速度沿射线运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．点P出发后，过点P作交于点E，连结，以为边作等边三角形，连结，设点P的运动时间为． (1)用含t的代数式表示的长为________； (2)求的长（用含t的代数式表示）； (3)当的边与垂直时，求出此时t的值． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知在中，，为边上的中点，过点作，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 培优拔高 11．（2023八年级上·广东中山·竞赛）如图，点A、B、C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交，于点，，交于点Q，连接，，下列结论： ①； ②； ③为等边三角形； ④． 其中结论不一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如图，等边中，D为内部一点，且，E为外一点，且，连接和，则下列结论：①，②， ③，其中正确的有（    ） A．① B．①③ C．② D．①②③ 13．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 14．（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 15．（2023八年级上·湖南·竞赛）中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为 ． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的是 ． ①；②；③． 17．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 18．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论：①；②的周长等于与的和；③；④和都是等腰三角形．其中正确的有 ．（填入序号） 19．（21-22八年级上·吉林松原·期末）【问题情境】在等边的两边，上分别有两点M，N，点为外一点，且，，． 【特例探究】如图①，当时， （1）______度；______度； （2）与，之间的数量关系为______； 【归纳证明】如图②，当时，其他条件不变，猜想与，之间有怎样的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】的周长与的周长的比为______． 20．（21-22八年级上·辽宁盘锦·阶段练习） 已知为等边三角形． (1)如图1，点D为边上一点，以为边作等边，连接，求证：； (2)如图2，当点D在边的延长线上时，以为边作等边， 判断线段、、的关系，并说明理由； (3)如图3，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．直接写出线段，，之间存在何种数量关系． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2-2.4 等腰三角形与等腰三角形性质定理、判定定理 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：等腰三角形的性质 2 知识点梳理02：等腰三角形的判定 2 知识点梳理03：等边三角形及其性质 2 知识点梳理04：等边三角形的判定 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：等腰三角形的定义 3 考点2：作等腰三角形(尺规作图) 5 考点3：等边对等角 6 考点4：等边三角形的性质 8 考点5：三线合— 11 考点6：根据等角对等边证明等腰三角形 14 考点7：根据等角对等边证明边相等 16 考点8：根据等角对等边求边长 18 考点9：格点图中画等腰三角形 20 考点10：找出图中的等腰三角形 21 考点11：等腰三角形的性质和判定 23 考点12：等边三角形的判定 26 考点13：等边三角形的判定和性质 30 中考真题 实战演练 34 难度分层 拔尖冲刺 39 基础夯实 39 培优拔高 51 知识点梳理01：等腰三角形的性质 1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 知识点梳理02：等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 知识点梳理03：等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点梳理04：等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 考点1：等腰三角形的定义 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段练习）已知等腰三角形的两边长满足，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】22 【思路引导】先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系判断出等腰三角形的腰与底边长，进而可得出结论．本题主要考查了绝对值非负性，等腰三角形的性质以及三角形三边关系，解题的关键是分类讨论，此题难度不大． 【规范解答】解：∵，，， ∴，， 解得，， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9， ， 不能组成三角形， ②4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9， 能组成三角形， 周长． 综上所述，这个等腰三角形的周长为22． 故答案为：22． 【变式训练】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在△ABC中，，，延长至点D，连接，以为直角边作等腰三角形，其中，连接． (1)若，求的长； (2)与有何位置关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)与垂直，理由见解析 【思路引导】本题主要考查三角形全等的判定及性质，了解并能熟练运用手拉手模型证明三角形全等是解题关键． （1）利用等腰三角形证明角度相等，用证明，得出即可； （2）利用三角形全等的性质得到，再通过互余证明垂直即可． 【规范解答】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴； ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：与垂直． 理由如下： ∵， ∴， 而， ∴， ∴． 考点2：作等腰三角形(尺规作图) 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形． 【答案】见解析 【思路引导】此题主要考查了复杂作图，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂线的画法． 首先作射线，截取，再作的中垂线，垂足为O，然后截取，再画腰即可． 【规范解答】解：如图，即为所求． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，作一个以为底边，底边上的高的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了作一条线段等于已知线段，等腰三角形．作线段的垂直平分线，垂足为，然后在垂直平分线上取一点，使得，连接，即可，熟练掌握垂直平分线的性质与作法是解题的关键． 【规范解答】解：作等腰，如图． 考点3：等边对等角 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在等腰三角形中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线与交于点，连接，则的度数是 ． 【答案】/30度 【思路引导】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等以及等腰三角形两底角相等是解题的关键．先根据作图确定直线是的垂直平分线，得出，进而得到，再利用等腰三角形两底角相等求出的度数，最后通过角的差求出的度数． 【规范解答】解：由作图可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理及等边对等角等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键． （1）根据平行线的性质可得，依据全等三角形的判定和性质即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，，再由各角之间的数量关系得出，利用等边对等角及三角形内角和定理即可得出结果． 【规范解答】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ， ， ， ， ， ， ． 考点4：等边三角形的性质 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）已知：如图，点B在线段上，和都是等边三角形，且在同侧，连接交于点G，连接交于点H，交于点O，连接． (1)求证：； (2)求的度数． (3)求证：； 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，难度不大，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由等边三角形的性质可证得，可求得； （2）由（1）中的全等得，结合，和三角形内角和定理即可得出； （3）由全等三角形的性质得出，证出，证明，可得； 【规范解答】（1）证明：∵均为等边三角形， ， ， 即， 在与中， ， ， ． （2）解：由（1）知：， ， ，， ． （3）证明：∵， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 【变式训练】（24-25八年级上·天津·期末）已知，中，，，分别以，为边在外侧作等边三角形与等边三角形． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，连接交于点F，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等边三角形的性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，由，再根据角的和差即可解答； （2）如图：过E作交于点G，由（1）可得，然后根据两直线平行内错角相等得到，再根据，利用三角形的内角和定理得到，由等边三角形的性质也得到，从而得到两角相等，再由，利用“”证得，根据全等三角形的对应边相等得到，再由为等边三角形得到，等量代换可得，加上一对对顶角的相等和一对直角的相等，根据“”证得，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证． 【规范解答】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图：过E作交于点G， 由（1）可得，即， ∴， 又∵， ∴， 又∵为等边三角形，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 考点5：三线合— 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图1，在直角中，，D为上一点，E为外一点，，，． (1)求证：； (2)若（如图2），点F在线段上，． ①当时，求的面积； ②小亮说：可以看作由经过两次轴对称变换得到．他的说法是否正确，若正确，用圆规和没有刻度的直尺在图3中作出两条对称轴（若有多种情况，作出一种情况即可）；若不正确，请写出一种正确的变换方式． 【答案】(1)见解析 (2)①9；②小亮说法正确，见解析 【思路引导】（1）根据，结合，得到即可得证； （2）①证明，结合，，得到解答即可； ②根据三角形全等的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质解答即可． 本题考查了直角三角形的互余性质，三角形全等的判定和性质，轴对称，线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握性质和轴对称性质是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：设的交点为点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ②解：作的垂直平分线，将沿着第一次轴对称，得到； 连接，过作的垂线，由，则为的垂直平分线，将沿着第二次轴对称，得到，如图，则直线，即为所求． 【变式训练】（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，平分，是中点，连接，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，根据角平分线性质定理得到，再证明，则，再由等腰三角形性质即可证明； （2）先证明，则，那么，再代入数据求解即可． 【规范解答】（1）证明：连接，如图， 平分，于E，交的延长线于F， , 在和中， ， ∴， ， 是中点， ； （2）解：由(1)知： 在和 中， ， , ，，， ． 考点6：根据等角对等边证明等腰三角形 【典例精讲】（2023八年级上·浙江台州·竞赛）如图所示，在中，平分，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【思路引导】本题考查的是三角形内角和定理及平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平分，，可知，所以，从而可知是等腰三角形； （2）根据三角形内角和定理与平行线的性质即可求出答案． 【规范解答】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， ． 【变式训练】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知 ，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【规范解答】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 考点7：根据等角对等边证明边相等 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下两种： (1)如图①，平分，，则； (2)如图②，，平分，则是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边． （1）由角平分线的定义求得，由平行线的性质求得，推出 ，再根据等角对等边即可证明； （2）由平行线的性质求得，，再由角平分线的定义求得，推出，即可证明是等腰三角形． 【规范解答】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，△中，，将△沿着翻折使点恰好落在上点处，且． (1)求证：； (2)延长交延长线于点，求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的外角等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）过点A作于点H，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可证明结论； （2）根据折叠得出，根据；得出， 根据，得出，根据等腰三角形的判定得出结论； 【规范解答】（1）证明：过点A作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据折叠可知：， ∵； ∴， ∵， ∴， ∴． 考点8：根据等角对等边求边长 【典例精讲】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，，的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，由平分，平分，则，，通过平行线的性质可得，，所以，，得到，，然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长 ， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【思路引导】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟记相关性质是解题的关键． 由等边三角形的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，则，等腰三角形的性质可得，然后可得，同理可得，，然后根据求解即可． 【规范解答】解：∵是等边三角形 ∴，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ 同理可得：，， ∴． 故选B． 考点9：格点图中画等腰三角形 【典例精讲】（2023·四川广安·二模）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰三角形，且另外一个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定与性质，根据等腰三角形的判定画出图形即可． 【规范解答】解：如图，即为所求． 【变式训练】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【规范解答】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 考点10：找出图中的等腰三角形 【典例精讲】如图，是的角平分线，，，则图中的等腰三角形有 个 【答案】3 【思路引导】本题考查等腰三角形的判定、三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先根据角平分线的定义和三角形的内角和定理得到，，然后根据等腰三角形的判定可得结论． 【规范解答】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 即，， 则、、都是等腰三角形，有3个， 故答案为：3． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】(1)和 (2)和 (3)等腰三角形有：和；等边三角形有： 【思路引导】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和等边三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行解答即可； （3）根据等腰三角形定义和等边三角形定义进行解答即可． 【规范解答】（1）解：以点C为顶点的三角形有和； （2）解：以为边的三角形有和； （3）解：∵， ∴等腰三角形有：和； 等边三角形有：． 考点11：等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接，交于点． (1)求证：是线段的中点； (2)求证：； (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)为等腰三角形，理由见解析 【思路引导】（1）先证明，，进一步证明，再结合等腰三角形的性质可得结论； （2）先证明，可得，结合，可得，进一步可得结论； （3）先证明，结合，可得，可得，从而可得结论． 【规范解答】（1）证明： ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ∴，即E是线段的中点． （2）证明：由（1）可得． ，D为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即． （3）解： 为等腰三角形． 理由：如图，连接， ∵E是线段的中点，， ， 由（2），得， ， ， ∴为等腰三角形． 【考点剖析】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论：①；②；③其中正确的有（　　）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【思路引导】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 本题由，于点D，于点M，得，则，所以，推导出，进而证明，得，可判断①正确；由，得，推导出，进而证明，得，可判断②正确；作于点F，则，所以，再证明，得，，则，所以，则，可判断③正确，然后即可求解． 【规范解答】解：∵，于点D，于点M， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故②正确； 作于点F，如图： ， 则，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故③正确， 故选：A； 考点12：等边三角形的判定 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形性质得，进而依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出结论． 【规范解答】证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形． 【变式训练】（24-25七年级下·四川成都·期中）在中，，直线，垂足为点，点是直线上一点，过作，交直线于点． (1)如图1，当点在点右侧时，若时，求证：； (2)在（1）问条件下，连接，若，请判断的形状，并说明理由； (3)如图2，若，，点在直线上运动，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 (3)20或44 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，再导角证明，则可利用证明； （2）连接，可证明，得到，则可证明，进而证明垂直平分，得到，，则；证明垂直平分，得到，则可求出，进而得到，则是等边三角形； （3）分点E在延长线上和点E在延长线上，两种情况证明得到的长，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ （2）解：是等边三角形，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：如图3①所示，当点E在延长线上时， 同理可证明， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3②所示，当点E在延长线上时， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为20或44． 考点13：等边三角形的判定和性质 【典例精讲】（22-23八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据题意由可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案． 【规范解答】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式训练】（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）综合探究． 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点(点D不与点B，点C重合)．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当点D在边的延长线上时，写出与的位置关系为 ；线段，，之间的数量关系为 ； 【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），；证明见解析；（3）有；5 【思路引导】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，，结合，，则，； （3）在射线上截取，连接，证，则，得出是等边三角形，则，即点在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点与点重合时，时，有最小值． 【规范解答】（1）证明：∵和是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ． （2）解： ，， 和是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴； ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ∵和是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 即点在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， 由三角形三边关系可得，，即当点与点重合时，时，有最小值， ， ， ． ∴的最小值为5 ． 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出，，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【规范解答】证明∶∵是等边三角形， ∴，， 又， ∴， ∴． 2．（2024·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】12 【思路引导】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论． 【规范解答】解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE， ∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°， ∴∠ECB=∠DCA， ∴△ECB≌△DCA（SAS）， ∴BE=AD， ∵DE=CD=6，BD=8， ∴8-6<BE<8+6， ∴2<BE<14， ∴2<AD<14． ∴则的最大值与最小值的差为12． 故答案为：12 【考点剖析】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化为BE从而求解，是一道较好的中考题． 3．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【规范解答】（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 4．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【思路引导】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识； 根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解. 【规范解答】解：根据题意可得：平分，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：A. 5．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到；求出．．推出．即可求解； 【规范解答】（1）解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． （2）解：在中，由三角形内角和定理得， ， ， 在中，， ． ． ． ． ， ． 基础夯实 1．（24-25八年级上·云南·期末）如图，已知为等边三角形，是上一点，是的延长线上一点，且若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的面积；根据等边三角形的性质得到，，进而得到，再结合，得到，即可求出结果． 【规范解答】解：是等边三角形， ， ， ，， 边上的高与边上的高相同， ， 的面积为， ， 边上的高与的边上的高相同， ， ， ． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图所示，在等边三角形中，为中点，点分别为上的点，，在上有一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．12 C．6 D．8 【答案】D 【思路引导】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点关于的对称点，连接，如图所示，由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值为，由等边三角形的判定与性质求出边长即可得到答案． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴， ∵为中点，， ∴，则， 作点关于的对称点，连接，如图所示： 由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值为， ∴，则， ∴， ∵， ，即， 在等边中，，，则为等边三角形， ， 故选：D． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：；；；．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路引导】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键． ①证明，可得， ，再结合等边三角形的性质即可判断①正确；②由，可得，即，即可判断②正确；③作的平分线交于点K，可证得是等边三角形，得出，证明，即可判断结论③正确；④由，得出．由③得，，．则．所以．，即可判断结论④错误． 【规范解答】解：是等边三角形， ，． ． 在和中， ， ，． ， ． ， ． ， ；故①正确． ， ，即． ， ． ， ；故②正确． ③如图，作的平分线交于点K，则， ， ． ，即． ， ． 是等边三角形． ． 在和中， ． ． ． ；故③正确． ， ，，． 由③得，， ． ． ． ． ． ． ，故④错误． 故正确的有，3个， 故选：B． 4．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且 ．若的长度为，则此时两点之间的距离为（　　） A．3 B．6 C．6 D．7 【答案】B 【思路引导】本题考查了等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 连接，证明是等边三角形，得，即可得出结论． 【规范解答】解：如图，连接， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即此时两点之间的距离为． 故选：B ． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，平分且于点的周长为22，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线定义. 先根据角平分线定义及三角形内角和定理求出，进而的得，然后说明，接下来结合，的周长为可得答案. 【规范解答】解：∵平分，， ∴， ∴， 即， ∴. ∵， ∴. ∵，的周长为， ∴的周长为， 解得. 故选：C. 6．（22-23八年级上·全国·期中）如图，，已知，，点在上，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决本题的关键． 根据，可得，，即可得为等腰三角形，再由即可求解的度数，再由三角形的外角的性质即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴，，， ∴为等腰三角形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【思路引导】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，利用等边三角形性质得到，结合题意进而得到，再根据三角形外角性质得到，即可解题． 【规范解答】解： 是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在点处，则阴影部分图形的周长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质和折叠问题．根据等边三角形的性质和折叠性质进行解答即可得． 【规范解答】解：∵等边的边长为， ∴， ∵，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处， ∴，， 则阴影部分图形的周长为：， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·广东江门·开学考试）如图，是等边三角形，．动点P，Q分别从点A、B同时出发，动点P以的速度沿向终点C运动．动点Q以的速度沿射线运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．点P出发后，过点P作交于点E，连结，以为边作等边三角形，连结，设点P的运动时间为． (1)用含t的代数式表示的长为________； (2)求的长（用含t的代数式表示）； (3)当的边与垂直时，求出此时t的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解一元一次方程等知识，结合图形分析是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）分两种情况讨论：点Q在线段上，点Q在射线上； （2）证明，从而得到，求出即可； （3）分两种情况，和进行求解． 【规范解答】（1）解：由题意得 ， 是等边三角形， ． 分两种情况∶ 当点Q在线段上时，； 当点Q在射线上时， ； 的长为或 ； （2）解：是等边三角形， ，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 是等边三角形， ，． ， ，即． ． ． ，，， ； （3）解：当时， 是等边三角形， 是高，也是中线． ． ， ，解得：； ②当时，如图， ，， ． ， ． ． ，， ， 解得∶ 综合上述，当的边与垂直时，t的值为或． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知在中，，为边上的中点，过点作，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，准确分析计算是解题的关键． （）已知，，所以，根据等腰三角形的性质，得到，根据为边上的中点，得到，根据即可证明，根据三角形全等的性质对应边相等，得； （）根据，，判定是等边三角形，得到，再根据为边上的中点，得到，计算的周长即可． 【规范解答】（1）证明：，， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，， 为等边三角形， ∵为边上的中点， ∴， ， 的周长为． 培优拔高 11．（2023八年级上·广东中山·竞赛）如图，点A、B、C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交，于点，，交于点Q，连接，，下列结论： ①； ②； ③为等边三角形； ④． 其中结论不一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．首先由等边三角形的性质得到，，然后证明出，得到，然后证明出，得到，进而证明即可． 【规范解答】解：、为等边三角形， ，，， ，， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； 在和中， ， ， ， ∵， 为等边三角形，故③正确； 根据题意无法证明，故④错误． 综上所述，结论不一定成立的有1个． 故选：B． 12．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如图，等边中，D为内部一点，且，E为外一点，且，连接和，则下列结论：①，②， ③，其中正确的有（    ） A．① B．①③ C．② D．①②③ 【答案】B 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用．熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解题的关键．根据等边三角形的性质，得到等边三角形的边角关系，然后利用“边边边”证明，从而可证明结论①正确；利用“边角边”证明，从而可证明结论③正确；由，则有，根据对顶角相等有，根据三角形的内角和定理可得，若，则，而不一定等于，故结论②错误； 【规范解答】解：如图，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ，； 结论①正确； ， ， ，， ， ． 结论③正确； ，， ， ， 又 ， 若，则， 而不一定等于，故结论②错误； 故①③正确． 故选：B． 13．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，连接，由题意可知，即为等边三角形，所以，推出，根据全等三角形的对应边相等知，则，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 14．（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】由三角形的内角和定理可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，由线段垂直平分线的性质，结合等边对等角，可得的度数，用的度数减去的度数，即可得的度数． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴． 故选：A ． 【考点剖析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等边对等角． 15．（2023八年级上·湖南·竞赛）中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为 ． 【答案】2或3 【思路引导】此题主要考查了全等三角形的判定，此题要分两种情况：①当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v． 【规范解答】解：分以下两种情况： 当时，， ∵点D为的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴（厘米）， ∵点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴运动时间是1秒， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米/秒）； 当时，， ∵（厘米），， ∴（厘米）， ∵（厘米）， ∴（厘米）， ∴运动时间为（秒）， ∴（厘米/秒）， 故答案为：2或3． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的是 ． ①；②；③． 【答案】①② 【思路引导】本题考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，灵活应用知识是解决问题的关键．根据等边三角形的性质推出，，，，求出，可证，推出，，根据三角形的内角和定理求出，根据等边三角形性质得出，但，根据以上推出的结论即可得出答案． 【规范解答】解：与都是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ①正确；②正确； 与都是等边三角形， ，但根据已知不能推出， 错误， ③错误； 故答案为：①②． 17．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/95度 【思路引导】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【规范解答】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论：①；②的周长等于与的和；③；④和都是等腰三角形．其中正确的有 ．（填入序号） 【答案】②③④ 【思路引导】本题考查角平分线定义，等腰三角形判定及性质，三角形周长，平行线性质等．根据题意利用平行线性质可得，后由角平分线定义得，继而判断④和③正确，由三角形周长可得边长相加即，可得②正确，后由角度推出边不一定等，得到①错误，继而得到本题答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵与的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴和都是等腰三角形，故④正确； ∴，故③正确； ∴的周长为：，故②正确； ∵不一定等于， ∴不一定等于， ∴与不一定相等，故①错误． 故答案为：②③④． 19．（21-22八年级上·吉林松原·期末）【问题情境】在等边的两边，上分别有两点M，N，点为外一点，且，，． 【特例探究】如图①，当时， （1）______度；______度； （2）与，之间的数量关系为______； 【归纳证明】如图②，当时，其他条件不变，猜想与，之间有怎样的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】的周长与的周长的比为______． 【答案】特例探究：（1），；（2）；归纳证明：，证明见解析；拓展应用： 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 特例探究：（1）由等边三角形的性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，即可得出，证明为等边三角形，得出，证明，得出，即可得解； （2）由（1）可得：，，，，从而可得，，，即可得解； 归纳证明：延长至点，使得，连接，由特例探究（1）可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得解； 拓展应用：由等边三角形的性质可得，从而可得的周长为，由归纳证明可得，表示出的周长为，即可得解． 【规范解答】特例探究：（1）∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）由（1）可得：，，，， ∴，，， ∴， ∴； 归纳证明：，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接， ， 由特例探究：（1）可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 拓展应用：∵为等边三角形， ∴， ∴的周长为， 由归纳证明可得：， ∴的周长为， ∴的周长与的周长的比为． 20．（21-22八年级上·辽宁盘锦·阶段练习） 已知为等边三角形． (1)如图1，点D为边上一点，以为边作等边，连接，求证：； (2)如图2，当点D在边的延长线上时，以为边作等边， 判断线段、、的关系，并说明理由； (3)如图3，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．直接写出线段，，之间存在何种数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键． （1）由证明，可得结论； （2）由和都是等边三角形，则，得到，证明，得到，进而求解； （3）在上截，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明是等边三角形，可得，即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：、、之间存在的数量关系是：．理由如下： 如图，连接， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：． 证明：在上截，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵E为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $