专题1.6 预备知识32道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

专题1.6 预备知识32道压轴题型专训（8大题型） 题型一 条件等式求最值 题型二 基本不等式的恒成立问题 题型三 对勾函数求最值 题型四 基本(均值)不等式的应用 题型五 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型六 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型七 一元二次不等式在某区间上有解问题 题型八 分式不等式 【经典例题一 条件等式求最值】 1．（23-24高二下·江苏·期中）已知，，且，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知，，下列命题中正确的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2025高三·全国·专题练习）已知正数x，y满足，则xy的最大值是 ． 4．（23-24高三上·上海徐汇·期中）已知实数满足. （1）若，求的最小值； （2）若，求的最小值， 【经典例题二 基本不等式的恒成立问题】 5．（24-25高一上·重庆·阶段练习）若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（23-24高二下·河北保定·期末）已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是（    ） A． B． C．1 D． 7．（2024·辽宁沈阳·一模）若不等式对于任意正实数x、y成立，则k的范围为 ． 8．（2024高三·全国·专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值． 【经典例题三 对勾函数求最值】 9．（24-25高一上·北京西城·期中）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 10．（多选题）（23-24高一上·福建福州·期中）已知正实数，满足，则下列不等式成立的有（　　） A． B． C． D． 11．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值是 ． 12．（24-25高一上·江西景德镇·期中）若对任意的，对任意的，不等式恒成立，求的最大值. 【经典例题四 基本(均值)不等式的应用】 13．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）记为，两数的最大值，当正数，（）变化时，的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．（多选题）（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理不正确的是（   ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 15．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）正实数，满足，则的最小值为 ． 16．（2024高三·江苏·专题练习）某学校在平面图为矩形的操场内进行体操表演，其中，，为上一点，且，线段、、为表演队列所在位置（分别在线段、上），点为领队位置，且到、的距离均为12，记，当面积最小时观赏效果最好． （1）当为何值时，为队列的中点？ （2）怎样安排的位置才能使观赏效果最好？求出此时的值． 【经典例题五 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 17．（24-25高三上·浙江宁波·阶段练习）已知，不等式在上恒成立，则（    ） A． B． C． D． 18．（多选题）（23-24高一上·安徽六安·期中），关于的不等式恒成立，则实数的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 20．（22-23高一上·山东青岛·阶段练习）设，． (1)若恒成立，求实数k的取值范围； (2)当时，解不等式． 【经典例题六 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 21．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知．若对于，均有成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．（多选题）（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）设函数.对于任意恒成立，则实数x的取值范围不正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·湖南·阶段练习）若对任意的恒成立，则实数的取值集合为 . 24．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知函数. (1)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【经典例题七 一元二次不等式在某区间上有解问题】 25．（23-24高二下·宁夏银川·期中）若存在，使不等式成立，则实数取值范围是 A． B． C． D． 26．（多选题）（23-24高三上·广东揭阳·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 27．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数，若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的最小值为 ． 28．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知函数. （1）若在区间上恒成立，求的取值范围； （2）若对于任意的，存在，使得，求的取值范围． 【经典例题八 分式不等式】 29．（2024·海南·一模）已知，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（多选题）（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）下列不等式的解集正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解集是 31．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知不等式对任意正整数均成立，则实数的取值范围 32．（24-25高一上·上海·随堂练习）关于x的不等式． (1)若，求不等式解集； (2)当时，求上述不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 预备知识32道压轴题型专训（8大题型） 题型一 条件等式求最值 题型二 基本不等式的恒成立问题 题型三 对勾函数求最值 题型四 基本(均值)不等式的应用 题型五 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型六 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型七 一元二次不等式在某区间上有解问题 题型八 分式不等式 【经典例题一 条件等式求最值】 1．（23-24高二下·江苏·期中）已知，，且，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得，令，，可得，，，进一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】，，配凑得：， 两边同时除以4得：，即， 令，，则，，， 所以 （当且仅当即时，等号成立）. 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于难题. 2．（多选题）（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知，，下列命题中正确的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据基本不等式及一元二次不等式求解判断A，根据基本不等式中常数代换求解判断B，根据基本不等式变形求解判断C，消元后利用基本不等式求解判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 因为，，所以，当且仅当时取等号， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，所以A正确； 对于B，因为，所以， 所以 ，当且仅当，即，取等号，所以B错误； 对于C，由，则，，， 由，所以， 当且仅当，即，时取等号，由等号取不到，所以C错误； 对于D，由，得， 化简得，所以，因为，，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以，所以D正确. 故选：AD 【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知正数x，y满足，则xy的最大值是 ． 【答案】 【分析】解法1：由题意可得，令，，得，，代入，进而利用基本不等式可求解.解法2：，令，可得，令，可得，结合基本不等式可求解. 【详解】解法1：， 令，，得，， 则， 当且仅当，即时取得等号． 所以xy的最大值是； 解法2：， 令，则 令，则， ， 当且仅当，即时取得等号． 所以xy的最大值是. 4．（23-24高三上·上海徐汇·期中）已知实数满足. （1）若，求的最小值； （2）若，求的最小值， 【答案】（1）9；（2）4. 【分析】（1）由得，并且将其代入得，再根据二次函数的最值可求从而可得的最小值； （2）由得，并代入得，再由，利用基本不等式得，可得的最小值. 【详解】（1）由得，所以， 而当取等号， 所以，当取等号， 所以的最小值为； （2）由得，所以， 因为，所以, 又，当且仅当，即(舍去)时取等号， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为； 故得解. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，解决问题的关键在于将两个量转化成求关于一个量的最值，再运用二次函数的最值和基本不等式求解，属于中档题. 【经典例题二 基本不等式的恒成立问题】 5．（24-25高一上·重庆·阶段练习）若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，令，可得，故，则求得t的范围，即可求得t的最小值. 【详解】设，， 因为，， 所以，等号成立的条件是． 令，解得， 所以， 即， 所以， 故选：A 【点睛】方法点睛：由已知式联想基本不等式，由于不等式一侧只有两项：，把拆成两项，分别与相加应用基本不等式，构成形式上的一致，再利用系数关系求得参数，然后由不等式恒成立可得结论． 6．（多选题）（23-24高二下·河北保定·期末）已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】BCD 【分析】对式子变形，构造定值，利用基本不等式求解最值，利用最值解决恒成立问题. 【详解】由，得，因为，所以，所以，则， 当且仅当时，等号成立，故， 因为恒成立，所以，解得.故A错. 故选：BCD. 7．（2024·辽宁沈阳·一模）若不等式对于任意正实数x、y成立，则k的范围为 ． 【答案】 【分析】将不等式转化为．只要求得最大值即可． 【详解】易知，， ． 令，分式上下同除y， 则，则即可， 令，则． 可转化为：， 于是，． ∴，即时，不等式恒成立（当时等号成立）． 故答案为： 8．（2024高三·全国·专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】 【分析】利用换元法，将不等式左边转化为 的表达式，再多次利用基本不等式求得其最小值，从而得解. 【详解】因为，，所以，， 令，，则，，，， 所以 ， 当且仅当且且且，即， 即，时，等号成立， 又不等式恒成立，所以，即的最大值为. 【经典例题三 对勾函数求最值】 9．（24-25高一上·北京西城·期中）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先判断在上单调递增，再由单调性求最值即可 【详解】由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以， 故选：C 10．（多选题）（23-24高一上·福建福州·期中）已知正实数，满足，则下列不等式成立的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A用不等式性质判断即可；选项B先用立方和公式展开，再用基本不等式即可；选项C用指数的运算加基本不等式判断；D利用对勾函数的单调性判断. 【详解】对A：因为正实数，满足，所以， 所以,故A正确； 对B：因为，所以， 故B错误； 对C：，故C正确； 对D：因为对勾函数在是减函数，且由B选项知， 所以，故D正确； 故选：ACD 11．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】以为主元、为参数，将问题转化为了对勾函数的最值问题，根据对勾函数的单调性可解得结果. 【详解】令，则,令， 因为， 等价于， 所以题意可转化为函数在有最小值， 因为对勾函数在上递减，在上递增， 所以 ，即， 所以， 故的最大值是． 故答案为： 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用．根据具体条件和解题需要，从不同的角度出发，在众多变元中选用一个变元为主元，并以此为线索把握解决问题的方法叫做主元法．本题中以为主元、为参数，将问题转化为了对勾函数的最值问题，达到了“避虚就实、变繁成简，化难为易”的解题效果．属于中档题. 12．（24-25高一上·江西景德镇·期中）若对任意的，对任意的，不等式恒成立，求的最大值. 【答案】33 【解析】设，对讨论，分，，，判断的单调性，求得最值，由不等式的性质和不等式的解法，可得所求最大值． 【详解】设， 当时，，可得的最小值为 ，最大值为， 由题意可得，即为，则 ； 当时，，可得的最小值为，最大值为， 由题意可得，即为，则． 当即时，在递减，可得的最大值为，最小值为， 由题意可得，即为，则， 由，可得无最大值． 综上可得的最大值为． 【点睛】思路点睛：本题考查了对勾函数的单调性，利用单调性求函数的最值，考查了分类讨论的思想，属于难题. 【经典例题四 基本(均值)不等式的应用】 13．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）记为，两数的最大值，当正数，（）变化时，的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据题中定义，结合基本不等式进行求解. 【详解】由，可得，， ， 当正数，（）时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 14．（多选题）（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理不正确的是（   ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】ABD 【分析】根据图1和图2面积相等，可用表示，判断A的真假；把、用表示出来，判断B的真假；把、用表示出来，判断C的真假；把、用表示出来，判断D的真假. 【详解】对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，，， 因为，所以，整理得，故B错误； 对于C，因为D为斜边BC的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确； 对于D，因为，所以，整理得，故D错误. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：采用数形结合，分别表示出相应线段，结合图形中线段的长度关系，逐一分析各选项，即可得到答案. 15．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）正实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件得关于的方程，再将平方并替换，最后使用基本不等式求解即可. 【详解】依题意，因为， 所以， 所以， 即 ， 当且仅当，即,故取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是根据已知条件得关于的方程，再将平方并替换，最后使用基本不等式求解即可. 16．（2024高三·江苏·专题练习）某学校在平面图为矩形的操场内进行体操表演，其中，，为上一点，且，线段、、为表演队列所在位置（分别在线段、上），点为领队位置，且到、的距离均为12，记，当面积最小时观赏效果最好． （1）当为何值时，为队列的中点？ （2）怎样安排的位置才能使观赏效果最好？求出此时的值． 【答案】（1）；（2）当点满足时，观赏效果最好． 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，，，则由题意可得，从而可求出的值； （2）由得，而，再利用基本不等式可得结果 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则，，， 因为到、的距离均为12，所以． ∴；， 设，，， ∵为的中点， ∴，∴， 此时，； （2）∵，∴，∴， ∵由（1）知：，∴ ∵当且仅当时取等号， ∴．∴，此时． 答：（1）当时，为队列的中点； （2）当点满足时，观赏效果最好． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式，利用建系的方法求解即可，属于常考题型． 【经典例题五 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 17．（24-25高三上·浙江宁波·阶段练习）已知，不等式在上恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，原不等式转化为，两边同时平方并化简得，由此分析出，进而得到，由此可解出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵上述不等式恒成立， ∴，即（否则取，则左边，矛盾）， 此时不等式转化为， ∴，解得， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的应用，考查转化与化归思想，属于难题． 18．（多选题）（23-24高一上·安徽六安·期中），关于的不等式恒成立，则实数的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BCD 【分析】结合一元二次不等式恒成立有，即可求范围. 【详解】，关于的不等式恒成立，所以，解得， 对照选项知实数的值可以是1,2,3. 故选：BCD 19．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论、，结合二次函数性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，显然对于都成立，满足； 当，要使对恒成立，则，所以； 综上，. 故答案为：. 20．（22-23高一上·山东青岛·阶段练习）设，． (1)若恒成立，求实数k的取值范围； (2)当时，解不等式． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为， 当时，不等式为 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】(1)分别在，时转化已知条件，由此可求k的取值范围；(2)分别在，，，，条件下求解不等式即可. 【详解】（1）当时，即时，不等式可化为，所以，与条件矛盾， 当时，即时，由已知恒成立，所以，所以， 所以实数k的取值范围为； （2）由(1)当时不等式在上恒成立，所以不等式的解集为， 当时，不等式可化为，方程的判别式，方程的解为，所以不等式的解集为， 当时，方程的判别式，方程的解为 ，，，所以不等式的解集为或， 当时，不等式可化为，所以，即不等式的解集为， 当时，方程的判别式，方程的解为 ，，，所以不等式的解集为， 综上可得，当时，不等式的解集为， 当时，不等式为 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【经典例题六 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 21．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知．若对于，均有成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将成立转化成恒成立的问题，构造函数，然后分类讨论，即可求出的取值范围. 【详解】由题意，在中，对称轴，函数在上单调递减，在上单调递增， ∵对于，均有成立， 即对于，均有恒成立，设，则对称轴，函数在上单调递减，在上单调递增， 当即时， 函数在上单调递减，函数在上单调递减， ，， ， 当，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递减， ，， ， 当，即时，， 函数在上单调递增，函数在上单调递减， ，， ，故不符题意，舍去. 当即时， 函数在上单调递增，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， ， 当即时， 函数在上单调递增，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 此时，，所以符合题意. 当时， 函数在上单调递增，函数在上单调递增， ，， 此时，，所以符合题意. 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查恒成立问题，关键在于熟练掌握二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性. 22．（多选题）（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）设函数.对于任意恒成立，则实数x的取值范围不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据条件将问题转化为：不等式对任意成立，求解的取值范围，从而判断出取值范围不正确的选项. 【详解】根据条件可知：不等式对任意成立， 所以对任意成立， 所以对任意成立， 问题等价于且， 所以，解得：， 故选：ABC. 【点睛】本题考查根据不等式恒成立求解参数范围，难度一般.不等式恒成立求解参数范围的问题常用的两种方法：（1）分离参数；（2）分类讨论. 23．（24-25高一上·湖南·阶段练习）若对任意的恒成立，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】当时，借助函数的性质分析即可；当时，由于，故必定是方程的一个正根，代入即可求. 【详解】因为，故原式可等价于恒成立， 由题意当时，因为，则， 由于的图象开口向上，则不恒成立， 当时，由可解得， 由于， 故方程有两个不相等的实数根且异号， 所以必定是方程的一个正根， 则， ，则可解得， 故答案为：. 24．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知函数. (1)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由题设可得，进而可知在恒成立，即可求参数范围. （2）题设不等式等价于，讨论的大小并根据一元二次不等式的解法求解集即可. 【详解】（1）当时，得，即. 由，则， ∴，即， ∴，即， ∴实数的取值范围是. （2）由，即，即. ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 综上，当时﹐不等式的解集为；当时，不等式的解集为﹔当时，不等式的解集为. 【经典例题七 一元二次不等式在某区间上有解问题】 25．（23-24高二下·宁夏银川·期中）若存在，使不等式成立，则实数取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【详解】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即，，解得， 因为，所以； 当时，即，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选C. 【点睛】主要考查了一元二次不等式存在性问题，属于中档题.这类型问题关键是等价转化为最值问题，通过讨论对应二次函数最值的情况，从而求出参数范围. 26．（多选题）（23-24高三上·广东揭阳·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】不等式在区间内有解，转化为，利用二次函数求最值即可得出的取值范围. 【详解】不等式在区间内有解，仅需即可， 令，因为的对称轴为，，， 所以，所以. 故选：AB 27．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数，若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】先利用一元二次不等式的解法求得点的取值范围.将原函数通过换元后变为，利用为对钩函数，画出它的大致图像.结合图像可求得不等式桑格整数解对应的的值，由此可求得的最小值. 【详解】因为，所以由，可得.令，，画出的大致图像如下图所示，结合图像分析可知原不等式有个整数解转化为的三个解分别为.当的值分别为时，.画出直线，结合函数图像可知，点的最小值为. 【点睛】 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法和分析问题的能力，属于难题. 28．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知函数. （1）若在区间上恒成立，求的取值范围； （2）若对于任意的，存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）结合二次函数图像可得恒成立的条件为，求解即可； （2）不等式问题转化为函数的最小值问题，求二次函数在区间上的最小值需考虑区间与对称轴的位置关系，即需要对分情况讨论得到相应的最值 【详解】（1）由题意可得：，即， 所以； （2）对于任意的，存在，使得， 等价于对于任意的，， 因为， 所以， 进而等价于对于任意的，， 解法1：（i）当时，即时， ， 所以 （ii）当时，即时， ， ，， 综上，， 故，所以； 解法2： 等号当且仅当或时成立， 又，所以； 【经典例题八 分式不等式】 29．（2024·海南·一模）已知，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，利用分离参数法求出，求函数的最小值，即可求得的取值范围. 【详解】因为，所以. 即： 因为存在使不等式成立， 所以. 即：的取值范围是. 故选：C. 30．（多选题）（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）下列不等式的解集正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解集是 【答案】ABD 【分析】分别解出各个选项所对应的不等式，逐一对比每一选项即可. 【详解】对于A，，所以，故A选项正确； 对于B，，所以，故B选项正确； 对于C，，所以解集为空集，故C选项错误； 对于D，， 而， 所以，所以，故D选项正确. 故选：ABD. 31．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知不等式对任意正整数均成立，则实数的取值范围 【答案】 【分析】首先利用转换思想把分式不等式转换为整式不等式，进一步利用赋值法和集合法求出实数的范围． 【详解】由，得：， 记. 则或；或； 或；或； 当时，或. 所求范围为. 【点睛】本题考查的知识要点：分式不等式的解法及应用，数列的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力 32．（24-25高一上·上海·随堂练习）关于x的不等式． (1)若，求不等式解集； (2)当时，求上述不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，利用不等式的解法求解即可，注意分母不为； （2）分别讨论，，，和的情况下，不等式的解集. 【详解】（1）因为， 所以， 所以且， 解得或， 所以，不等式的解集为； （2）①当时，， 因为恒成立， 所以， 即不等式的解集为：； ②当时，且， 解得或，且， 即不等式的解集为：； ③当时，且， 解得或，且， 即不等式的解集为：； ④当时，， 所以，且， 解得或， 即不等式的解集为：； ⑤当时，且， 解得或， 即不等式的解集为：． 学科网（北京）股份有限公司 $