专题1.4 一元二次函数及不等式重难点题型讲义（1个知识点+15大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

专题1.4 一元二次函数及不等式重难点题型专训 （1个知识点+15大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 求二次函数的值域或最值 题型二 求二次函数的解析式 题型三 二次函数的图象分析与判断 题型四 判断二次函数的单调性和求解单调区间 题型五 与二次函数相关的复合函数问题 题型六 解不含参数的一元二次不等式 题型七 解含有参数的一元二次不等式 题型八 由一元二次不等式的解确定参数 题型九 一元二次方程根的分布问题 题型十 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 题型十一 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型十二 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型十三 一元二次不等式在某区间上有解问题 题型十四 一元二次不等式的实际应用 题型十五 分式不等式 拓展训练一 二次函数相关求解问题 拓展训练二 解一元二次不等式 拓展训练三 一元二次不等式有解、恒成立问题 知识点一：一元二次函数、方程与不等式 ① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 判别式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 ② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解； ③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的. 【即时训练】 1．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一·全国·课后作业）写出一个解集为的一元二次不等式： ． 【经典例题一 求二次函数的值域或最值】 【例1】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·上海·期中）教材中曾有例题证明“命题①在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大；命题②在面积为常数的所有矩形中，正方形的周长最小．”于是我们联想到数学史上著名的等周问题：“在所有给定周长的平面曲线中，必存在一条封闭曲线，使其所包围的面积最大．”现将一边依墙脚线，围成或围成四边形．请完成以下问题： (1)如图1，围成，两边之和，且，求的面积的最大值； (2)如图2，围成平行四边形，且，求平行四边形的面积的最大值． 1．（24-25高一上·浙江台州·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则实数的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（多选题）（24-25高一上·河南·期中）已知函数，若，，当取得最大值时，的值可能为（   ） A．2 B．4 C． D． 3．（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知二次函数和一次函数，设与的图象交点为，，且，，求线段在轴上的投影的长度的取值范围． 【经典例题二 求二次函数的解析式】 【例1】（24-25高一上·湖南郴州·开学考试）已知二次函数图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·湖南怀化·期中）已知函数，且对称轴方程为，. (1)求函数的解析式； (2)求在下列情形中的值域： ①    ②    ③    ④ 1．（23-24高一上·安徽铜陵·期中）已知函数，对任意实数，都满足，则、、的大小关系为 A． B． C． D． 2．（多选题）（22-23高一上·江苏镇江·开学考试）下列结论中正确的是（    ） A．若二次函数的图像过点，则二次函数的解析式为 B．若抛物线的顶点为，且过点则此抛物线的解析式为 C．若二次函数的图像与轴交于点和，且过点，则二次函数的解析式为 D．若抛物线经过点，其顶点的纵坐标为6，则这个抛物线的解析式为 3．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）已知二次函数二次项系数为，不等式的解集是，且方程有两个相等的实根，则实数= 4．（2025高三·全国·专题练习）已知二次函数满足，求的解析式． 【经典例题三 二次函数的图象分析与判断】 【例1】（24-25高一上·广东深圳·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③方程有两个相等的实数根； ④方程的两根是， 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）如下图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为.    (1)求m的值及抛物线的顶点坐标． (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 1．（2024高三·全国·专题练习）设函数，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·福建厦门·开学考试）抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C．若方程有两个根，且；则 D．若方程有四个根，则这四个根的和为4 3．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）函数(为常数)有下列结论： 无论为何值，该函数都经过定点；若，则当时，随增大而减小；该函数图象关于轴对称；若该函数图象与轴有个交点，则.其中正确的结论是 (填写序号) 4．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数，且满足. (1)求函数的解析式; (2)若方程有两相异负实数根，求的取值范围. 【经典例题四 判断二次函数的单调性和求解单调区间】 【例1】（2024高一·江苏·专题练习）已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则（    ） A．f（1）<c<f(－2) B．c<f(－2)<f（1） C．c>f（1）>f(－2) D．f（1）>c>f(－2) 【例2】（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)当时，讨论函数的单调性. 1．（2024高一·浙江·专题练习）已知函数在区间上既没有最大值也没有最小值，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一·全国·课后作业）(多选题)在平面直角坐标系中，对于一元二次函数，下列说法中正确的是（    ） A．y的最小值为1 B．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x=2 C．当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小 D．它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 3．（23-24高一上·河北保定·期中）已知二次函数，且，写出的单调增区间 ． 4．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数.其中，且. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在上的最小值. 【经典例题五 与二次函数相关的复合函数问题】 【例1】（24-25高一·四川·期末）已知函数，存在，使得成立，则实数的取值范围 A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）函数. （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）当时，求的值域. 1．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）已知函数（），满足，则下列关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·四川攀枝花·阶段练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖南长沙·开学考试）已知函数现有下列五个结论：①图象过点 ；②图象的最低点坐标为；③图象无最高点且分为两段；④若 P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)在图象上，且 则 ；⑤若在图象上， 且 则 其中正确的结论有 .(填写序号) 4．（24-25高一上·江西吉安·期末）函数，. (1)记，求的取值范围. (2)记函数的最小值为，求. (3)求方程的解集. 【经典例题六 解不含参数的一元二次不等式】 【例1】（24-25高一上·福建泉州·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）不等的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 2．（多选题）（24-25高一上·山西·期中）已知表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则或 D．不等式的解集为 3．（2025·广西南宁·模拟预测）设，我们常用来表示不超过的最大整数．如：．若，则 ，若是方程的实数解，则 ． 4．（24-25高一上·云南曲靖·期末）某村原有一块矩形场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地．为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线经过点，如图所示．已知，，设，矩形的面积为． (1)写出关于的表达式，并求出为多少时，有最小值； (2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 【经典例题七 解含有参数的一元二次不等式】 【例1】（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·江苏南通·期末）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江·阶段练习）若方程有且仅有一个实数解，则实数取值集合为 . 4．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知关于x的不等式． (1)若，，且，试求它的解集； (2)若，，试求它的解集． 【经典例题八 由一元二次不等式的解确定参数】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·天津宁河·期中）（1）函数若的解集是或，求实数a，b的值； （2）解关于的不等式 1．（24-25高一上·全国·单元测试）已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（   ） A． B． C． D．5 3．（2025高三·全国·专题练习）已知关于的不等式有且仅有三个整数解，则实数的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 【经典例题九 一元二次方程根的分布问题】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【例2】（22-23高一上·北京·开学考试）已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根； (2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 1．（24-25高一上·甘肃庆阳·期末）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·重庆·期中）已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 B．方程无实数根的一个必要条件是或 C．方程有两个正根的充要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知方程在上： (1)有解，求的范围； (2)有一解，求的范围； (3)有两不同解，求的范围； (4)无解，求的范围． 【经典例题十 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 【例1】（22-23高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【例2】（24-25高一上·广东中山·阶段练习）若不等式ax2+bx+c≤0的解集为或，求不等式bx2+2ax-c-3b≥0的解集. 1．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知二次函数，存在互不相同的三个实数，，，使得，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·云南·期中）若关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，，且，则ab的最大值为 ． 4．（22-23高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为空集，求的取值范围． (2)若，的解集为，的最大值． 【经典例题十一 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 【例1】（24-25高一上·江西·开学考试）当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【例2】（24-25高一上·陕西榆林·期中）已知二次函数． (1)当时，求y的最小值； (2)若，恒成立，求实数a的取值范围． 1．（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 4．（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【经典例题十二 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 【例1】（22-23高一上·湖北荆州·阶段练习）若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二下·安徽淮北·期末）已知，若关于的不等式的解集是． (1)求的值； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 1．（24-25高一上·北京大兴·期中）若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知二次函数满足：①；②对任意，恒成立． (1)求的解析式； (2)若存在实数，使得当时，恒成立，求实数的最大值． 【经典例题十三 一元二次不等式在某区间上有解问题】 【例1】（22-23高一·全国·课堂例题）若关于x的不等式在时有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数． (1)不等式的解集为，求实数的值； (2)若在上的解集非空，求实数的取值范围． 1．（24-25高二下·北京朝阳·期末）若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高三上·广东揭阳·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一上·河北石家庄·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知方程在上： (1)有解，求的范围； (2)有一解，求的范围； (3)有两不同解，求的范围； (4)无解，求的范围． 【经典例题十四 一元二次不等式的实际应用】 【例1】（2025高一上·全国·专题练习）某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）设某水库的最大蓄水量为，原有水量为，泄水闸每天泄水量为，在洪水暴发时，预测注入水库的水量（单位：）与天数n（，）的函数关系是．若山洪暴发的第一天就打开泄水闸，则这10天中堤坝会发生危险吗？若会，计算第几天发生危险；若不会，说明理由．（水库蓄水量超过最大蓄水量时，堤坝会发生危险） 1．（24-25高一上·河北沧州·期中）某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A．6≤x≤7 B．5≤x≤7 C．5≤x≤6 D．4≤x≤6 2．（多选题）（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，则V的可能取值为（    ）． A．4 B．40 C．8 D．28 3．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    4．（23-24高一上·全国·课后作业）某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东的方向，与A市相距400 km，该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？ 【经典例题十五 分式不等式】 【例1】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）不等式的解集为（　　） A．或 B． C．或 D． 【例2】（24-25高一上·湖南邵阳·期中）解下列一元二次不等式（本题答案必须用集合表示） (1)； (2) (3)． 1．（22-23高一上·湖南衡阳·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏镇江·开学考试）下列各组不等式中同解的是（    ） A．与 B．与 C．与或 D．与 3．（23-24高一上·云南玉溪·期中）不等式的解集为 ． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【拓展训练一 二次函数相关求解问题】 【例1】（24-25高一上·陕西西安·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【例2】（23-24高一上·陕西延安·期中）已知是二次函数，且， （1）求的解析式； （2）写出函数的对称轴、顶点坐标及单调区间. 1．（24-25高一上·江苏徐州·期中）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（     ） A．是的零点 B．函数的图象关于直线对称 C．是的最值 D．点在函数的图象上 2．（多选题）（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．关于的方程的解集为 3．（22-23高一上·北京·期中）若函数满足下列性质： （1）定义域为，值域为； （2）图象关于直线对称； （3）对任意的，且，都有． 写出函数的一个解析式： ． 4．（2024高三·全国·专题练习）请先阅读下列材料，然后回答问题： 对于问题：“已知函数，问函数是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由．” 一个同学给出了如下解答： 解：令，则．当时，u有最大值．，显然u没有最小值．∴当时，有最小值，没有最大值． （1）你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答； （2）对于函数（），试研究其最值情况． 【拓展训练二 解一元二次不等式】 【例1】（24-25高一上·河南驻马店·期中）已知实数x，y满足，则和的最大值分别为（   ） A．2， B．2，1 C．4， D．4， 【例2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知关于x的不等式. (1)当时，解这个关于x的不等式； (2)当时，解这个关于x的不等式. 1．（24-25高一上·山东德州·阶段练习）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·河北·阶段练习）对于给定的实数，关于实数的不等式的解集不可能为（   ） A． B． C．或 D． 3．（24-25高一上·江西景德镇·期中）不等式的解集为 . 4．（24-25高一上·甘肃平凉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)当，解关于的不等式． 【拓展训练三 一元二次不等式有解、恒成立问题】 【例1】（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）设. (1)若对任意实数，都有，求的取值范围； (2)若存在，使，求的取值范围. 1．（23-24高一下·湖北宜昌·期中）若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一·全国·单元测试）已知函数，，恒成立，则实数的取值可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·上海·阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 4．（24-25高一上·全国·课前预习）设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 1．（22-23高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，函数，，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数的定义域和值域都为，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 3．（24-25高三上·内蒙古包头·阶段练习）若不等式的解集是，则的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 4．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C．或 D． 5．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（    ）    A． B． C． D．（其中且） 7．（多选题）（24-25高一上·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 8．（多选题）（23-24高三上·福建龙岩·期中）若不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A．且 B． C．关于的不等式的解集是 D．关于的不等式的解集是 9．（多选题）（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若不等式对一切实数x恒成立，则实数m的可能取值范围是（    ） A．0 B．2 C． D．4 10．（多选题）（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 11．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为M，当实数a，b变化时，M最小值为 ． 12．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，若，则的最大值是 . 13．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 14．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）设为常数，若关于的不等式组在区间上有解，则的取值范围是 ． 15．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解为 16．（24-25高一上·福建福州·期中）已知是二次函数，且满足，， (1)求的解析式； (2)若，求的单调区间和值域. 17．（23-24高一·全国·课后作业）已知方程的两个实数根为，求的最大值. 18．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）设函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且都有， ①求的最大值； ②若在上恒成立，求实数的取值范围． 19．（23-24高三·湖北襄阳·阶段练习）十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元.扶贫工作组一方面请有关专家对果树进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数.从2018年初开始，该村抽出户（）从事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为万元（参考数据：）. （1）至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于1万5千元），则应至少抽出多少户从事包装、销售工作？ （2）至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.355万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由. 20．（23-24高一下·江苏南通·期中）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高． (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ (2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 一元二次函数及不等式重难点题型专训 （1个知识点+15大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 求二次函数的值域或最值 题型二 求二次函数的解析式 题型三 二次函数的图象分析与判断 题型四 判断二次函数的单调性和求解单调区间 题型五 与二次函数相关的复合函数问题 题型六 解不含参数的一元二次不等式 题型七 解含有参数的一元二次不等式 题型八 由一元二次不等式的解确定参数 题型九 一元二次方程根的分布问题 题型十 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 题型十一 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型十二 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型十三 一元二次不等式在某区间上有解问题 题型十四 一元二次不等式的实际应用 题型十五 分式不等式 拓展训练一 二次函数相关求解问题 拓展训练二 解一元二次不等式 拓展训练三 一元二次不等式有解、恒成立问题 知识点一：一元二次函数、方程与不等式 ① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 判别式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 ② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解； ③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的. 【即时训练】 1．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 因为，所以当时，函数取得最小值，最小值为. 故选：C. 2．（24-25高一·全国·课后作业）写出一个解集为的一元二次不等式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由一元二次不等式的解法，即可写出不等式，得到答案. 【详解】由一元二次不等式的解法可知，解集为的一元二次不等式可以是. 故答案为：.（答案不唯一） 【经典例题一 求二次函数的值域或最值】 【例1】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配方法可求出原函数的值域. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 故函数的值域为. 故选：D. 【例2】（24-25高一上·上海·期中）教材中曾有例题证明“命题①在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大；命题②在面积为常数的所有矩形中，正方形的周长最小．”于是我们联想到数学史上著名的等周问题：“在所有给定周长的平面曲线中，必存在一条封闭曲线，使其所包围的面积最大．”现将一边依墙脚线，围成或围成四边形．请完成以下问题： (1)如图1，围成，两边之和，且，求的面积的最大值； (2)如图2，围成平行四边形，且，求平行四边形的面积的最大值． 【答案】(1)18 (2)18 【分析】转化为二次函数的值域问题解决. 【详解】（1）设，则，， 则（当时取“”）. 所以的最大值为18. （2）设，则，. 则（当且时取“”）. 所以的最大值为18. 1．（24-25高一上·浙江台州·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则实数的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】由，求得时，函数解析式即可求解. 【详解】当时，， 所以， 所以当时，，最大值为：， 所以的最小值为1， 故选：C 2．（多选题）（24-25高一上·河南·期中）已知函数，若，，当取得最大值时，的值可能为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】AD 【分析】由，得到，再结合即可求解. 【详解】因为，， 所以， 故，当，， 即或，也即或时，等号成立， 故选：AD. 3．（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 . 【答案】 【分析】换元后利用二次函数图像即可得出值域，但注意换元后的定义域. 【详解】令……① 将①式代入可得：…...② 的定义域为， 由二次函数图像可知，开口向下；且. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知二次函数和一次函数，设与的图象交点为，，且，，求线段在轴上的投影的长度的取值范围． 【答案】 【分析】设，根据方程根与系数的关系可得，然后由，并结合及的取值范围求解即可. 【详解】由得 因为， 所以，即， 因为， 所以，即， 所以， 设， 由得， 即， 故 . 所以投影的长度的取值范围为. 【经典例题二 求二次函数的解析式】 【例1】（24-25高一上·湖南郴州·开学考试）已知二次函数图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设二次函数的解析式为，将点的坐标代入函数解析式，求得的值，即可得解. 【详解】设二次函数的解析式为，将点的坐标代入函数解析式得，解得，所以，二次函数解析式为. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·湖南怀化·期中）已知函数，且对称轴方程为，. (1)求函数的解析式； (2)求在下列情形中的值域： ①    ②    ③    ④ 【答案】(1) (2)①；②；③；④. 【分析】（1）根据对称轴，并代入即可求出解析式； （2）①②③④根据二次函数的性质即可求出值域. 【详解】（1）由题意得，，则，， 则. （2）①时，，即值域为； ②时，，则， 即，即值域为； ③时，，则在上单调递增， 则，即，即值域为； ④时，，则在上单调递减， 则，即，即值域为. 1．（23-24高一上·安徽铜陵·期中）已知函数，对任意实数，都满足，则、、的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一:由题意可得是二次函数,根据,可求得的对称轴为,根据二次函数对称轴为,可求得参数 ,由此可以求得、、,即可求得答案. 解法二:根据,可求得的对称轴为,由题意可得是开口向上的二次函数,由二次函数图像特点可知:当越小,对应的越小.即可比较、、. 【详解】解法一: 的对称轴为 的对称轴为 根据二次函数对称轴为   即 , 解法二: 的对称轴为 的对称轴为 是开口向上的二次函数 当越小,对应的越小 当时; 当时; 当时; 故选:A. 【点睛】本题考查了函数对称轴判别式即: 的对称轴为,能解读出函数的对称是解本题的关键. 2．（多选题）（22-23高一上·江苏镇江·开学考试）下列结论中正确的是（    ） A．若二次函数的图像过点，则二次函数的解析式为 B．若抛物线的顶点为，且过点则此抛物线的解析式为 C．若二次函数的图像与轴交于点和，且过点，则二次函数的解析式为 D．若抛物线经过点，其顶点的纵坐标为6，则这个抛物线的解析式为 【答案】AB 【分析】由一元二次函数的图像和性质判断各选项即可. 【详解】选项A：将代入得解得，所以二次函数解析式为：，A正确； 选项B：因为二次函数的顶点为，且过点所以解得，所以抛物线解析式为：，B正确； 选项C：将，，代入得解得，所以二次函数解析式为：，C错误； 选项D：因为抛物线经过点，由抛物线的对称性得对称轴为，顶点为，由解得，D错误. 故选：AB 3．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）已知二次函数二次项系数为，不等式的解集是，且方程有两个相等的实根，则实数= 【答案】 【分析】依据不等式的解集为，可设函数的解析式为，得出的解析式，再利用有两个相等的实根，即可得到的值. 【详解】由题意，与的二次项系数相等，又不等式的解集为，设函数的解析式为， 所以， 又方程有两个相等的实根，即有两个相等实根， 所以，解得（舍）或. 故答案为：. 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式的问题，属于基础题. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知二次函数满足，求的解析式． 【答案】或或或或或． 【分析】由题可得，由于，则，，不能同时等于1或，分类讨论，，的值即可求解. 【详解】因为，，， 所以. 由于，则，，不能同时等于1或， 当，时，则，即； 当，时，则，即； 当，时，则，即； 当，时，则，即； 当，时，则，即； 当，时，则，即. 所以所求函数为：或或或或或． 【经典例题三 二次函数的图象分析与判断】 【例1】（24-25高一上·广东深圳·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③方程有两个相等的实数根； ④方程的两根是， 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据图象结合一元二次方程的性质和函数的平移变换逐项判断即可. 【详解】由二次函数图象可知， 开口向下，则，对称轴解得，当时，， 所以，①说法错误； 由函数图象可知当时，，即，②说法错误； 将的函数图象向下平移4个单位得到的图象， 所以有两个相等的实数根，③说法正确； 由函数的对称性可知的两个根为，， 将的函数图象向右平移1个单位得到的图象， 所以方程的两根是，，④说法正确； 综上③④正确， 故选：B 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）如下图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为.    (1)求m的值及抛物线的顶点坐标． (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）点B的坐标代入抛物线求出m的值，配方法求抛物线的顶点坐标； （2）连接 BC与对称轴的交点为所求P点，求直线BC的解析式，可求P点坐标. 【详解】（1）把点B的坐标代入抛物线得， 解得， 所以，所以顶点坐标为. （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，则， 连接BC交抛物线对称轴l于点P，      则此时PA＋PC的值最小， 设直线BC的解析式为，因为点，点， 所以，解得， 所以直线BC的解析式为， 当时，， 所以当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为. 1．（2024高三·全国·专题练习）设函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数形结合可得出，可知，，再结合函数的单调性可得出结果. 【详解】因为二次函数的对称轴为直线，， 则函数的减区间为，增区间为， 所以的大致图象如图所示． 由，得，所以，所以． 故选：C. 2．（多选题）（23-24高一上·福建厦门·开学考试）抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C．若方程有两个根，且；则 D．若方程有四个根，则这四个根的和为4 【答案】BCD 【分析】由题可知，，，然后根据二次函数图象与性质逐项判断即可. 【详解】由的顶点坐标为，则，则， 由抛物线图象开口向下，所以，所以，所以A错误； ，所以B正确； 令，则的两根为，且开口向下， 因为方程有两个根，且， 所以与的两交点为，所以，所以C正确； ，其对称轴为， 因为方程有四个根，分别为， 根据对称性知，所以这四个根的和为4，所以D正确. 故选：BCD 3．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）函数(为常数)有下列结论： 无论为何值，该函数都经过定点；若，则当时，随增大而减小；该函数图象关于轴对称；若该函数图象与轴有个交点，则.其中正确的结论是 (填写序号) 【答案】①④ 【分析】把代入函数解析式验证； 举反例，取和代入求出值，比较大小，不满足随增大而减小； 利用图象变换说明该函数图像关于轴对称； 该函数图象与轴有个交点，根据图象让函数对应的顶点在轴上. 【详解】解：当时，，所以正确； 若，则，取则，取则， 此时，但，不满足随增大而减小，所以错误； 函数的图象是把在轴上方的图象不动，下方的图象沿轴翻折， 之后再把图象向下平移个单位即可，上述翻折和平移不改变函数图象的轴，则轴为，所以错误； 函数的顶点为，则由的变换知函数的顶点为， 因为该函数图象与轴有个交点，所以，则，所以正确.    故答案为：①④ 4．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数，且满足. (1)求函数的解析式; (2)若方程有两相异负实数根，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据已知条件可建立关于a，b，c的方程，解出a，b，c即可求得函数解析式； （2）根据二次函数的性质，构造关于的不等式，即可得到答案 【详解】（1）由，得， 由，得，即， 所以，解得， 因此； （2）结合（1）可得即两相异负实数根， 则满足，解得， 故的取值范围为 【经典例题四 判断二次函数的单调性和求解单调区间】 【例1】（2024高一·江苏·专题练习）已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则（    ） A．f（1）<c<f(－2) B．c<f(－2)<f（1） C．c>f（1）>f(－2) D．f（1）>c>f(－2) 【答案】D 【分析】由二次函数的对称性、单调性判断． 【详解】二次函数f(x)＝x2＋4x＋c图象的对称轴为x＝－2，且开口向上，所以在[－2，＋∞)上为增函数， 所以f(－2)<f(0)<f（1），又f(0)＝c， 所以f（1）>c>f(－2). 故选：D． 【例2】（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)当时，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设出二次函数的解析式，根据已知条件求得系数，从而求得正确答案. （2）对进行分类讨论，从而求得的单调性. 【详解】（1）设（）， 则，得. 且，解得，. 的解析式为. （2）二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当，即时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增. 1．（2024高一·浙江·专题练习）已知函数在区间上既没有最大值也没有最小值，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使得函数在区间上既没有最大值也没有最小值，转化为函数在区间为单调函数，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由题意，函数的图象开口向上，对称轴的方程为， 要使得函数在区间上既没有最大值也没有最小值， 可得函数在区间为单调函数，则满足或， 解得或，即实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 2．（多选题）（23-24高一·全国·课后作业）(多选题)在平面直角坐标系中，对于一元二次函数，下列说法中正确的是（    ） A．y的最小值为1 B．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x=2 C．当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小 D．它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 【答案】ABD 【分析】由二次函数的图象与性质判断ABC，根据图象平移变换判断D． 【详解】一元二次函数，a=1>0， ∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x=2，顶点为(2，1)，当x=2时，y有最小值1，A，B正确；当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x≤2时，y的值随x值的增大而减小，C的说法错误； 根据平移的规律，y=x2的图象向右平移2个单位长度得到y=(x－2)2的图象，再向上平移1个单位长度得到的图象，故选项D的说法正确. 故选：ABD． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题关键． 3．（23-24高一上·河北保定·期中）已知二次函数，且，写出的单调增区间 ． 【答案】（或） 【分析】利用二次函数性质确定对称轴及单调性求解 【详解】为对称轴，且单调递增，故函数开口向上，故的单调增区间为 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数性质，确定对称轴及开口方向是解题关键，是基础题 4．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数.其中，且. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在上的最小值. 【答案】(1)函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； (2)当时，；当时， . 【分析】（1）将函数的解析式去掉绝对值，转化为分段函数，求单调区间时分别在时结合二次函数求解其单调区间； （2）结合（1）中的单调区间确定函数在区间上的单调性，从而求得函数的最小值. 【详解】（1）解：由题知，函数，其中 当时， 则函数在区间单调递减，在区间单调递增； 当时，， 则函数在区间递增 ∴综上，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）解：因为，所以当即时，函数在递增，在递减 且 ，， 若，即时，， 若，即时，， 当即时，函数在递增，在递减，在递增， 且， ， 而时，，即， 所以时，， ∴综上所述，当时，；当时， . 【经典例题五 与二次函数相关的复合函数问题】 【例1】（24-25高一·四川·期末）已知函数，存在，使得成立，则实数的取值范围 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】存在，使得，然后求出最值，求出最大值即可 【详解】存在，使得， 求导得，在时， ， ， 实数的取值范围， 答案选A 【例2】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）函数. （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）当时，求的值域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）依据题意可得，对恒成立，然后对进行讨论可得结果. （2）将代入，然后利用二次函数的性质，可得的范围，然后简单化简计算可得结果. 【详解】（1）即，对恒成立 1 当时，恒成立，符合题意； 2°当时， 综上：时，函数的定义域为 （2）时，令 故 ∴的值域为 【点睛】本题考查具体函数的值域以及根据定义域求参数问题，熟练使用等价转化的思想，将问题转化为熟知的问题，便于计算于理解，属基础题. 1．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）已知函数（），满足，则下列关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定和函数的单调性，计算，B正确，，D错误，举反例得到AC错误，得到答案. 【详解】，函数在上单调递减，在上单调递增. ，故，解得； ，，B正确； ，，D错误； 取，，，满足条件， ，A错误；，C错误； 故选：B 2．（24-25高三上·四川攀枝花·阶段练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的定义域是，等价于不等式对任意恒成立；分和两种情况求出实数m的取值范围即可. 【详解】因为函数的定义域是， 所以不等式对任意恒成立， 当时，对任意恒成立，符合题意； 当时，， 即， 解得， 综上可知，实数m的取值范围为. 故选：B. 【点睛】本题考查利用二次函数的性质求函数的定义域，解题时要认真审题；分和两种情况进行讨论是求解本题的关键，亦是易错点.属于中档题. 3．（24-25高一上·湖南长沙·开学考试）已知函数现有下列五个结论：①图象过点 ；②图象的最低点坐标为；③图象无最高点且分为两段；④若 P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)在图象上，且 则 ；⑤若在图象上， 且 则 其中正确的结论有 .(填写序号) 【答案】①②③⑤ 【分析】通过代入点的坐标和解析式的特点可判断①②③，利用特例可判断④，利用换元法结合变量间关系可判断⑤. 【详解】对于①，当时，，即图象过点；①正确， 对于②，，当且仅当时，取到最小值，所以图象的最低点坐标为；②正确， 对于③，由于，所以图象分为两段，无限趋近于0时，无限趋近于，所以图象无最高点；③正确， 对于④，当时，，④不正确； 对于⑤，因为，所以，令，则， 且，，⑤正确. 故答案为：①②③⑤ 4．（24-25高一上·江西吉安·期末）函数，. (1)记，求的取值范围. (2)记函数的最小值为，求. (3)求方程的解集. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，根据二次函数和复合函数的单调性求解即可； （2）换元，令，，根据的不同取值范围结合一元二次函数的性质求解即可； （3）利用（2）中结论，按的不同取值范围分类讨论即可. 【详解】（1），其中，则， 因为，所以， 所以，. （2）由得， 所以， 令，，则有： ①当时，，， ②当时，在上单调递增，则， ③当时，是一个开口向下的二次函数，且对称轴，此时， ④当时，是一个开口向下的二次函数，且对称轴，此时， 综上：. （3）由（2）可知①当时，，此时解得； ②当时， 若，即，则，此时方程无解； 若，即时， ， 此时方程的解为； 综上，方程的解集为. 【经典例题六 解不含参数的一元二次不等式】 【例1】（24-25高一上·福建泉州·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式得到答案. 【详解】由得，解得或， 故选：B. 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)． (3)或． (4)． 【分析】（1）求出的两个根，进而得到不等式的解集； （2）恒成立，故不等式解集为； （3）变形得到，求出不等式解集； （4）分别解和，进而求出答案. 【详解】（1）对于方程， 所以由求根公式可得方程的两个实数根为，， 所以不等式的解集为． （2）恒成立，则不等式的解集为． （3），移项得， 整理得，即， 解得或，则不等式的解集为或． （4）因为，即， 解不等式，即，解得； 解不等式，即， 又因为恒成立， 所以不等式的解集为． 综上，不等式的解集为． 1．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）不等的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式解法确定不等式的解集. 【详解】原不等式就转化为. 解得，即不等式的解集为. 故选：D 2．（多选题）（24-25高一上·山西·期中）已知表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则或 D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】由得的定义，分别判断AB选项；C选项由定义得到不等关系，解出范围，再由为整数求得的可取值；D选项先将看作未知数解一元二次不等式得到的范围，再由定义得到的取值范围. 【详解】对于A，，所以，故A错误； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，由，得且. ∵为整数，或或或，故C错误； 对于C，得，解得， 对于D，由，得；由，得，所以不等式的解集为，故D正确. 故选：BD. 3．（2025·广西南宁·模拟预测）设，我们常用来表示不超过的最大整数．如：．若，则 ，若是方程的实数解，则 ． 【答案】 或或 【分析】由，及，可得，由可得，进而可得，分类结合可得. 【详解】若，则，故 因为，故， 因为，故，故，故， 若，则，又，故符合； 若，则，故，又，不符合，均舍； 若，则，故，又，故符合； 若，则，故，又，故符合； 综上，或或． 故答案为：，或或 4．（24-25高一上·云南曲靖·期末）某村原有一块矩形场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地．为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线经过点，如图所示．已知，，设，矩形的面积为． (1)写出关于的表达式，并求出为多少时，有最小值； (2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 【答案】(1)，当时，取得最小值 (2)或 【分析】（1）先根据平行得出比例关系计算得，再应用基本不等式计算即可； （2）应用已知列不等式再求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由题图知， 所以，即， 解得， 所以． 因为 ，当且仅当时，等号成立， 所以即当时，取得最小值． （2）因为矩形的面积大于， 所以，化简得， 即， 解得或． 【经典例题七 解含有参数的一元二次不等式】 【例1】（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先分情况讨论不等式的解集，再根据解集包含整数的个数确定的取值范围. 【详解】不等式可化为. 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得； 若即，则原不等式可化为，无解； 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得. 综上可得：实数的取值范围为：. 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C 2．（多选题）（24-25高一上·江苏南通·期末）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】通过与0和-1的大小关系分别计算即可. 【详解】对于一元二次不等式， 当时，函数的图象开口向上，与轴的交点为，，故不等式的解集为. 当时，函数的图象开口向下， 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为. 故选：ABCD. 3．（24-25高一上·浙江·阶段练习）若方程有且仅有一个实数解，则实数取值集合为 . 【答案】 【分析】根据条件，将问题转化成有一个不等于3的实数解，分和两种情况讨论，即可求解. 【详解】方程有且仅有一解等价于有一个不等于3的实数解. 当时，解为，满足题意； 当，且只有一解时， 由，得到，解得， 又时，的解为，满足题意， 当时，且有两解时，由，解得， 综上，实数取值集合为. 故答案为： 4．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知关于x的不等式． (1)若，，且，试求它的解集； (2)若，，试求它的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意化简一元二次不等式求解即可； （2）根据题意化简不等式后再分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为，，且， 所以，即， 所以，解得， 不等式的解集为. （2）若，， 则，即， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得； 当时，因为，所以解得或； 当时，，所以由不等式可解得； 当时，，所以由不等式可得. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【经典例题八 由一元二次不等式的解确定参数】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系求解即可. 【详解】因为的解集为， 所以且，故. 故选：D. 【例2】（24-25高一上·天津宁河·期中）（1）函数若的解集是或，求实数a，b的值； （2）解关于的不等式 【答案】（1）；（2）答案见解析； 【分析】（1）由不等式解集与方程根的关系计算可得结果； （2）对参数的取值进行分类讨论，再由一元二次不等式解法求得结果. 【详解】（1）根据题意可知方程的两根为1和2； 因此可得，解得； （2）不等式可分解为， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 1．（24-25高一上·全国·单元测试）已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设描述，由一元二次不等式的解集列不等式求参数的范围，结合假命题个数确定参数范围. 【详解】若的解集为或，则解得； 若的解集为或，则解得； 若函数图象的对称轴在轴右侧，则对称轴，则，得． 又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，综上，． 故选：C. 2．（多选题）（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（   ） A． B． C． D．5 【答案】ABD 【分析】求两个不等式的解，根据不等式组的解只有一个整数解，结合两不等式的解的交集，可确定不等式端点需要满足的关系，即可列不等式求解. 【详解】解不等式，得或. 解方程，得. ①当，即时，，方程组的解为，不是整数， 所以； ②当，即时，不等式的解集为， 此时不等式组的解集为，根据题意， 得，即； ③当，即时，不等式的解集为， 要使不等式组的解集中仅有一个整数， 则，即. 综上，的取值范围为. 故选：ABD. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知关于的不等式有且仅有三个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式解集只含有三个整数解，缩小的讨论范围至，得出不等式的解集后，确定出三个整数解进而确定出的范围. 【详解】时，，此时不等式无解，时不成立； 时，不等式转化为，解集为，整数解不可能只有三个； 且时，不等式转化成 ， 由于解集中恰好有三个整数，必有，即 （否则时，二次不等式的解集是无穷区间，整数解无数个） 于是不等式的解集为，此解集中包含三个整数，注意到， 于是中恰好含有的整数是， 则，解得. 故答案为： 4．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，然后代入方程求出，解一元二次不等式求解. （2）按照，和分类讨论，根据一元二次不等式的解法解不等式即可. 【详解】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， 当时，令，解得， 若时，，不等式解集为：； 若时，，不等式解集为：； 若时， ，不等式解集为：； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 【经典例题九 一元二次方程根的分布问题】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 【例2】（22-23高一上·北京·开学考试）已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根； (2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）先讨论m为0的情况，再根据二次函数的判别式判断即可； （2）因式分解求解二次方程，再判断根为整数的情况即可. 【详解】（1）当时，方程为有实数根； 当时，方程为二次方程，， 此时方程有解. 综上有不论m取何值，方程都有实数根. （2）方程有两个整数根，则且为整数，化简有， 解得，则为整数，故或 1．（24-25高一上·甘肃庆阳·期末）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于，分为三种情况，即可得解. 【详解】方程对应的二次函数设为： 因为方程恰有一根属于，则需要满足： ①，，解得：； ②函数刚好经过点或者，另一个零点属于， 把点代入，解得：， 此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去 把点代入，解得：， 此时方程为，两根为，，而，故符合题意； ③函数与x轴只有一个交点，，解得， 经检验，当时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内; 综上：实数m的取值范围为 故选：D 2．（多选题）（24-25高一上·重庆·期中）已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 B．方程无实数根的一个必要条件是或 C．方程有两个正根的充要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】BC 【分析】由一元二次方程根的分布逐项判断即可. 【详解】对于A:当时，方程为：解得：，只有一根，故A错误； 对于B：若方程无实数根，则解得：或，故B正确； 对于C：方程有两个正根等价于解得：，故C正确； 对于D：当时，方程为：，方程无解，故D错误. 故选：BC 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为方程的两根一个比大另一个比小， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知方程在上： (1)有解，求的范围； (2)有一解，求的范围； (3)有两不同解，求的范围； (4)无解，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】将问题转化为与在上交点个数的问题，画出的图像，依次分析4个问题即可求解. 【详解】（1）令与， 方程在上有解，则函数与有交点： 作出函数图像如下： 则，解得：，所以的范围为 （2）方程在上有一解，则函数与有一个交点： 作出函数图像如下： 则或，解得：或，所以的范围为 （3）方程在上有两个解，则函数与有两个交点： 作出函数图像如下： 则，解得：，所以的范围为 （4）方程在上无解，则函数与没有交点： 作出函数图像如下： 则或，解得：或，所以的范围为 【经典例题十 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 【例1】（22-23高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】A 【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和1，且， 则变形可得 故函数的图象开口向下， 且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合. 故选：A 【例2】（24-25高一上·广东中山·阶段练习）若不等式ax2+bx+c≤0的解集为或，求不等式bx2+2ax-c-3b≥0的解集. 【答案】{x|x≤-3或x≥5} 【解析】由题意知：和为方程ax2+bx+c=0的两根，利用韦达定理可得b=-a，c=-12a，代入到需要求的不等式求解即可. 【详解】由题意知： 和为方程ax2+bx+c=0的两根， ∴ ， 解得：b=-a，c=-12a， ∴ 不等式bx2+2ax-c-3b≥0即为-ax2+2ax+15a≥0， ∵a<0， ∴x2-2x-15≥0， 解得：x≤-3或x≥5， ∴不等式bx2+2ax-c-3b≥0的解集为{x|x≤-3或x≥5}. 1．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知二次函数，存在互不相同的三个实数，，，使得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由变形为，将函数代入配方得到 判断. 【详解】解：由得， ，代入可得， ， 配方可得，， ∴， 两边同乘以，可得 ， 所以. 故选：D 2．（多选题）（23-24高一上·云南·期中）若关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合根与系数关系，逐一判断即可. 【详解】根据题意不等式的解集为,可得， 由得，， 即，，,,,． 故选： 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，，且，则ab的最大值为 ． 【答案】18 【分析】设，由得，化成关于的一元二次方程，由方程有实数解得到，解不等式求得的最大值即可. 【详解】设，则，代入已知式得， 化简得， 由，解得或. 因为，，所以，故. 所以. 故答案为：18. 4．（22-23高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为空集，求的取值范围． (2)若，的解集为，的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由不等式的解集为空集等价于恒成立，结合，即可求解； （2）根据题意得是方程的两个实根，由根与系数的关系得到，，构造基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，函数，不等式的解集为空集等价于恒成立， 即，解得， 故m的取值范围为. （2）若，由的解集为，则有两个不同实根， 即是方程的两个实根， 故，，故同为小于0的实数， 则， 当且仅当时，即，时等号成立， 故的最大值为． 【经典例题十一 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 【例1】（24-25高一上·江西·开学考试）当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由一元二次不等式恒成立的条件可得结果. 【详解】由一元二次不等式，可得， 从而，解得：. 故选：A. 【例2】（24-25高一上·陕西榆林·期中）已知二次函数． (1)当时，求y的最小值； (2)若，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据二次函数性质求最小值； （2）问题化为，恒成立，结合二次函数性质列不等式组求参数范围. 【详解】（1）当时，函数， 当时y取到最小值，为． （2）由恒成立，即，恒成立， 当,不恒成立， 只需满足，即，解得， 所以实数a的取值范围为． 1．（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解． 【详解】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述，， 故选：D． 2．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论和时，从而求出不等式恒成立时实数的取值范围. 【详解】当时，，解得，不合题意； 当时，，解得. 故选：. 3．（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用一元二次型不等式恒成立，分类求出的范围. 【详解】当时，原不等式为，此不等式对一切实数都成立； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 4．（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，讨论、，结合二次函数的性质列不等式求参数范围； （2）由题设有，应用分类讨论求对应解集. 【详解】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是. （2）不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为. 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或. 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【经典例题十二 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 【例1】（22-23高一上·湖北荆州·阶段练习）若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系，求解恒成立时的范围，即可根据命题的否定求解原问题的范围. 【详解】若关于x的不等式在上没有实数解， 则对任意的，恒成立， 记，则，解得， 因此关于x的不等式在上有实数解，则， 故选：A 【例2】（23-24高二下·安徽淮北·期末）已知，若关于的不等式的解集是． (1)求的值； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与方程的根之间的关系，即可代入求解， （2）分离参数，由二次函数的性质求解最值即可求解. 【详解】（1）由题知1和是的两根， 将代入方程解得，经检验符合题意． （2）由（1）可知不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在上单调递减， 所以当时，，所以， 即实数的取值范围为． 1．（24-25高一上·北京大兴·期中）若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，将问题转化为，分类讨论与两种情况讨论，得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】令，的对称轴为， 当，即时，， 所以，则，故； 当，即时，， 所以，则，故； 综上，，即实数的取值范围是. 故选：D. 2．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解. 【详解】由题意，对于都有成立， ∴，解得：， 即实数的取值范围是. 故选：B. 3．（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得. 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 4．（2025高一·全国·专题练习）已知二次函数满足：①；②对任意，恒成立． (1)求的解析式； (2)若存在实数，使得当时，恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）设（），再结合题意可求得到的解析式； （2）根据，即恒成立，再由二次函数恒成立的等价条件求解即可. 【详解】（1）设（）． 由条件②知，当时，有，所以． 由条件①知，，则，所以， 又，即对任意恒成立， 则有，解得． 所以． （2）显然．存在实数，使得当时， ，即恒成立， 等价于存在实数，使得， 解得， 又在单调递减，所以时，， 所以，即实数的最大值为8. 【经典例题十三 一元二次不等式在某区间上有解问题】 【例1】（22-23高一·全国·课堂例题）若关于x的不等式在时有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题等价于当时，，数形结合求出二次函数在时的最大值即可. 【详解】不等式在时有解， 等价于当时，. 由二次函数的图象知，当时，，所以.    故选：A. 【例2】（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数． (1)不等式的解集为，求实数的值； (2)若在上的解集非空，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不等式即的解集为可知是方程的根，将2代入方程求参即可； （2）由在上的解集非空，可知求解不等式即可. 【详解】（1）因为不等式即的解集为 所以是方程的根， 所以，解得． （2）因为在上的解集非空， 所以在上解集非空， 所以解得或， 所以实数的取值范围是． 1．（24-25高二下·北京朝阳·期末）若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得， 综上可得， 故选：A 2．（多选题）（23-24高三上·广东揭阳·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】不等式在区间内有解，转化为，利用二次函数求最值即可得出的取值范围. 【详解】不等式在区间内有解，仅需即可， 令，因为的对称轴为，，， 所以，所以. 故选：AB 3．（23-24高一上·河北石家庄·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将不等式在区间上有解，转化为在区间上有解求解. 【详解】解：因为关于的不等式在区间上有解， 所以在区间上有解， 令在区间上递减， 所以， 所以， 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）已知方程在上： (1)有解，求的范围； (2)有一解，求的范围； (3)有两不同解，求的范围； (4)无解，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】令，求出对称轴，得到，分别讨论，，时满足的条件得到答案 【详解】（1）令， 由题意得对称轴为：，且 ①时，要使在上有零点， 则，即，解得： ②时，要使在上有零点， 则，即，解得： ③时，，无零点，不符合题意， 综上所述， （2）由（1）知，， ①时，，即，解得： ②时，，即，解得： ③时，，无零点，不符合题意， 综上所述， （3）由（1）知，， ①时，有一解或无解，不符合题意 ②时，，即，解得： ③时，，无零点，不符合题意， 综上所述， （4）由（1）知， ①时，，即，解得：，， ②时，，即，解得：，， ③时，，无零点，符合题意， 综上所述， 【经典例题十四 一元二次不等式的实际应用】 【例1】（2025高一上·全国·专题练习）某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，再列出不等式，解不等式即可. 【详解】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）设某水库的最大蓄水量为，原有水量为，泄水闸每天泄水量为，在洪水暴发时，预测注入水库的水量（单位：）与天数n（，）的函数关系是．若山洪暴发的第一天就打开泄水闸，则这10天中堤坝会发生危险吗？若会，计算第几天发生危险；若不会，说明理由．（水库蓄水量超过最大蓄水量时，堤坝会发生危险） 【答案】第9天会有危险 【分析】根据进水量与出水量，以及最多总增加水量列不等式，转化为一元二次不等式，解不等式求得第天会有危险. 【详解】设第n天发生危险，由题意得， 整理得，解得或（舍去）， 且，，可得的最小值为9， 所以汛期的第9天会有危险. 1．（24-25高一上·河北沧州·期中）某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A．6≤x≤7 B．5≤x≤7 C．5≤x≤6 D．4≤x≤6 【答案】A 【解析】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本，根据销售的总收入不低于万元，列出不等式求解即可. 【详解】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本， 因为销售的总收入不低于万元， 列不等式为：， 即，即6≤x≤7 故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关利用不等式解决实际问题，解题思路如下： （1）在解题的过程中，读懂题意； （2）设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本； （3）利用销售收入等于销售价格乘以销售量，根据题意，列出不等式求解即可. 2．（多选题）（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，则V的可能取值为（    ）． A．4 B．40 C．8 D．28 【答案】CD 【分析】求出第一次、第二次稀释后的浓度，根据第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的列式，解不等式可得结果. 【详解】第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以. 故选：CD. 3．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意列式，进而求解即可. 【详解】因为花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为， 由题意知，，， 所以， 根据题意得， 整理得，解得（舍去）或， 所以． 当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 故答案为：. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东的方向，与A市相距400 km，该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？ 【答案】在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5 h. 【分析】根据给定条件，建立坐标系，求出热带风暴中心B随时间变化的坐标，再列出一元二次不等式求解作答. 【详解】如图，以A市为原点，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系， 显然，热带风暴中心B的坐标为， 则x h后热带风暴中心B到达点处， 依题意，当A市受热带风暴影响时，有，即， 整理得，解得，， 所以在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5 h. 【经典例题十五 分式不等式】 【例1】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）不等式的解集为（　　） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解. 【详解】由题意得，，则，解得或， 所以不等式的解集为或． 故选：C 【例2】（24-25高一上·湖南邵阳·期中）解下列一元二次不等式（本题答案必须用集合表示） (1)； (2) (3)． 【答案】(1)或， (2) (3)或 【分析】（1）（2）根据一元二次不等式的解的特征，即可求解， （3）根据分式不等式的性质即可求解. 【详解】（1）由可得，解得或， 故不等式的解为或， （2）由可得， 即，解得， 故不等式的解为 （3）由得， 故或， 故不等式的解为或 1．（22-23高一上·湖南衡阳·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式化为，从而可得答案. 【详解】不等式可转化成， 解得，即不等式的解集为. 故选：D 2．（22-23高一上·江苏镇江·开学考试）下列各组不等式中同解的是（    ） A．与 B．与 C．与或 D．与 【答案】C 【分析】解出每个不等式的解即可判断出选项 【详解】解：对于A，转化为，所以或，解得或， 由可得或，解得或，故两个不等式不同解； 对于B，转化为，所以或，解得， 由可得或，解得，故两个不等式不同解； 对于C，可得或，解得或， 由或解得或，故两个不等式同解； 对于D，由可得或，解得或， 转化为即，所以或，解得或，故两个不等式不同解， 故选：C 3．（23-24高一上·云南玉溪·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式化成和它等价的整式形式，求解即可. 【详解】即 原不等式可化为， 解得. 故答案为： 4．（23-24高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)或 (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解即可. 【详解】（1）由于，所以， 解得或，所以的解集为：或. （2）由于，所以， 解得，所以的解集为：. （3）由于，所以， 即所以， 解得，所以的解集为：. （4）由于，所以， 即所以， 解得，所以的解集为：. （5）由于，所以， 即所以或， 解得，所以的解集为：. （6）由于，所以， 即所以， 解得，所以的解集为：. 【拓展训练一 二次函数相关求解问题】 【例1】（24-25高一上·陕西西安·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知二次函数图象开口向下，则， 图象与轴交点为，所以， 顶点在第一象限，对称轴，又，所以， 所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以，解得， 因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过， 由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，， 又，，，所以，即，④说法正确； 综上①②③④正确； 故选：D 【例2】（23-24高一上·陕西延安·期中）已知是二次函数，且， （1）求的解析式； （2）写出函数的对称轴、顶点坐标及单调区间. 【答案】（1）；（2）对称轴，顶点，减区间，增区间 【分析】（1）设，利用，列出方程组，求得的值，即可求得函数的解析式； （2）由（1）知，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，设， 则， 所以，解得，所以. （2）由（1）知，函数， 所以函数的对称轴的方程为，顶点坐标为， 又由二次函数的性质，可得函数在单调递减，在区间. 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解函数的解析式，以及二次函数的图象与性质，其中解答中合理求得函数的解析式，熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 1．（24-25高一上·江苏徐州·期中）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（     ） A．是的零点 B．函数的图象关于直线对称 C．是的最值 D．点在函数的图象上 【答案】A 【分析】假设ABC正确，可构造方程组求得，与为非零整数矛盾，可知中必有一个错误；假设BCD正确，可构造方程组求得，验证可知A错误. 【详解】假设ABC正确，则，解得：，与为非零整数矛盾， 假设错误，则中必有一个错误； 假设BCD正确，则，解得：，满足题意； 则，令，则， 无零点，A错误. 故选：A. 2．（多选题）（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．关于的方程的解集为 【答案】BD 【分析】由函数图象可分析出符号判断A，根据1为对应二次方程的根可判断BC，再由为二次函数对应方程的两个根判断D. 【详解】由图象知，时，，开口向下，， ，即，则，则，所以，故A错误； 由时，且，所以，故B正确； 因为，故C错误； 由可得， 因为是方程的两根，所以是方程的根， 所以关于的方程的解集为，故D正确. 故选：BD 3．（22-23高一上·北京·期中）若函数满足下列性质： （1）定义域为，值域为； （2）图象关于直线对称； （3）对任意的，且，都有． 写出函数的一个解析式： ． 【答案】（不唯一） 【分析】根据二次函数的对称性、值域及单调性可得一个符合条件的函数式. 【详解】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式， 此时对称轴为，开口向上，满足（）， 因为对任意，，且，都有， 等价于在上单调减， ∴，满足（）， 又，满足（）， 故答案为：（不唯一）． 4．（2024高三·全国·专题练习）请先阅读下列材料，然后回答问题： 对于问题：“已知函数，问函数是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由．” 一个同学给出了如下解答： 解：令，则．当时，u有最大值．，显然u没有最小值．∴当时，有最小值，没有最大值． （1）你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答； （2）对于函数（），试研究其最值情况． 【答案】（1）不正确，答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）该同学没有考虑函数的定义域，解答不正确,应先求函数的定义域，再考虑在定义域上的值域才能求得的值域，从值域可知既无最大值，也无最小值. （2）就和分类讨论后可得的最值情况. 【详解】（1）不正确，没有考虑到u还可以小于0， 正确解答如下： 令，则，当时，，即， 当时，，即． ∴或，即既无最大值，也无最小值． （2）对于函数（），令（）， ①当时，u有最小值， 当时，，即，当时即， ∴或，即既无最大值也无最小值． ②当时，u有最小值说． 此时，，∴，即，既无最大值，也无最小值． ③当时，u有最小值，，即． ∴即， ∴当时，有最大值，没有最小值． ∴当时，既无最大值，也无最小值，当时，有最大值，此时，没有最小值． 【拓展训练二 解一元二次不等式】 【例1】（24-25高一上·河南驻马店·期中）已知实数x，y满足，则和的最大值分别为（   ） A．2， B．2，1 C．4， D．4， 【答案】D 【分析】由可得，再结合可求出的取值范围，由已知得，则，求得，从而可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以 因为，所以，解得. 又因为，所以， 所以，即， 即，解得，所以， 所以， 故的最大值为4，的最大值为. 故选：D. 【例2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知关于x的不等式. (1)当时，解这个关于x的不等式； (2)当时，解这个关于x的不等式. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据含参一元二次不等式的解法分类求解即可. 【详解】（1）当时，不等式为， 即，解得或， 即不等式的解集为或. （2）由，则， 当，即时，不等式为，解得； 当，即时，解得或； 当，即时，解得或. 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或. 1．（24-25高一上·山东德州·阶段练习）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据已知不等式的解集求出和的关系，再将其代入到要求解的不等式中，利用分式不等式的求解方法来求解. 【详解】对于不等式，其解集为. 当时，的解为，这与已知解集矛盾，所以. 由，得，因为，所以.又因为解集为，所以，即. 将代入不等式，得到，即. 因为，所以不等式等价于. 方程的根为和. 根据二次函数的图象开口向上，所以不等式的解集为. 故选：D. 2．（多选题）（23-24高一上·河北·阶段练习）对于给定的实数，关于实数的不等式的解集不可能为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】BD 【分析】解含参一元二次不等式即可求得结果. 【详解】因为， ①当时，不等式的解集为， ②当时，不等式变为， 方程的根为或， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当且时，不等式的解集为或， 综上所述，当或时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当且时，不等式的解集为或， 故选：BD. 3．（24-25高一上·江西景德镇·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将不等式转化为或，再根据集合交集即可求解. 【详解】根据题意原不等式可转化为或， 则即， 则即， 综上可得不等式的解集为. 故答案为： 4．（24-25高一上·甘肃平凉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)当，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，利用二次不等式的解法可得出不等式的解集； （2）对与的大小进行分类讨论，利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）解：当时，原不等式即为，即，解得， 故当时，不等式的解集为. （2）解：当时，不等式即为， 因为方程的解为，. ①当时，有，解原不等式可得； ②当时，有，解原不等式可得； ③当时，有，解原不等式可得. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为. 【拓展训练三 一元二次不等式有解、恒成立问题】 【例1】（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的图象及根的分布计算即可. 【详解】易知恒成立，即有两个不等实数根， 又，即二次函数有两个异号零点， 所以要满足不等式在区间上有解， 所以只需， 解得，所以实数m的取值范围是． 故选A． 【例2】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）设. (1)若对任意实数，都有，求的取值范围； (2)若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立判断得出判别式小于0，最后解一元二次不等式即可； （2）转换未知量，把当做未知量函数变为一次函数，结合给定区间使，列不等式组求解即可. 【详解】（1）对任意实数，都有，等价于， 的取值范围是； （2）设，存在，使， 等价于，或 ，或， 的取值范围是. 1．（23-24高一下·湖北宜昌·期中）若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解不等式，得其解集为.由不等式组的解集不是空集，故存在，使得不等式成立，只需，即求实数a的取值范围. 【详解】解不等式，得. 不等式组的解集不是空集， 存在，使得不等式成立. 即存在，使得成立，只需. 又当时，函数在上单调递增， 时，， . 故选：. 【点睛】本题考查不等式能成立问题，属于中档题. 2．（多选题）（24-25高一·全国·单元测试）已知函数，，恒成立，则实数的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由可得出，分和两种情况讨论，结合参变量分离法求出实数的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】，所以，成立. 当时，由可得，所以，， 当时，， 所以，，当且仅当时，等号成立， 所以，，解得. 故选：CD. 3．（24-25高三下·上海·阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 【答案】/ 【分析】通过二次函数的性质和方程的根，列出不等式求出结果. 【详解】解：若，则当趋于时，趋于，不满足题意； 当时，是方程的一个根， 不等式对任意恒成立， 且方程的两根不相等， 所以是方程的根， ， ，得， 此时原不等式等价于，显然时恒成立， 实数m的值为， 故答案为：． 4．（24-25高一上·全国·课前预习）设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过两种情况讨论即可； （2）法一：结合二次函数最值即可求解，法二：通过参变分离求最值即可求解. 【详解】（1）要使恒成立， 若，显然． 若 需满足 综上：． （2）解法一：要使在上恒成立， 就要使在上恒成立． 令． 当时，在上随的增大而增大， 当时，； 当时，恒成立； 当时，在上随的增大而减小， 当时，得， ． 综上所述：． 解法二：当时，恒成立， 即当时，恒成立． ， 又，． 函数在1上的最小值为， ． 1．（22-23高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，函数，，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设在上的值域为，在上的值域为B，根据对于任意，总存在，使得成立，由求解. 【详解】解：函数， ， 因为， 所以，即在上的值域为， 设在上的值域为B， 因为对于任意，总存在，使得成立， 所以， 当时，，即，不成立； 当时，，即， 则，解得； 当时，，即， 则，解得； 综上：实数a的取值范围是或. 故选：C 2．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数的定义域和值域都为，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】求出得对称轴为，可得在上单调递减，解方程组即可求解. 【详解】的对称轴为，开口向上， 所以在上单调递减， 因为在上的值域为， 所以，整理可得：， 解得或（舍）， 将代入可得，解得， 故选：C. 3．（24-25高三上·内蒙古包头·阶段练习）若不等式的解集是，则的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知不等式的解集确定出的关系，代入所求不等式求出解集即可. 【详解】由不等式的解集为， 得，且是的两个根， 则有， 即， 则不等式可转化为， 即， 解得：， 则不等式的解集为. 故选：D. 4．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据题意可先求得关于的方程没有一个负根时，的取值范围，即可得出满足题意的的范围. 【详解】当方程没有根时，，即， 解得； 当方程有根，且根都不为负根时，可得，解得， 综上可知， 即关于的方程没有一个负根时，， 所以至少有一个负根的充要条件是. 故选：B 5．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可. 【详解】由题意，得， 即，∴， 解得.又每枚的最低售价为15元，∴. 故选：B. 6．（多选题）（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（    ）    A． B． C． D．（其中且） 【答案】ABD 【分析】根据给定的函数图象，结合二次函数的性质用表示，再逐项判断得解. 【详解】观察图象知，二次函数图象对称轴为，过点， 由对称性得该图象还过点，于是，即，显然， 因此，，，，C错误，AB正确； 当时，，而， 即，D正确. 故选：ABD 7．（多选题）（24-25高一上·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误. 【详解】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD 8．（多选题）（23-24高三上·福建龙岩·期中）若不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A．且 B． C．关于的不等式的解集是 D．关于的不等式的解集是 【答案】ACD 【分析】根据题意可得，，，从而可对A、C项判断，由是方程的根，可对B项判断，将化简为并结合一元二次不等式可对D项判断. 【详解】对于A项：由题意可知，，和1是方程的两根，可得，，所以，，即故A项正确． 对于B项：因为是方程的根，所以，故B项错误． 对于C项：由A项知：，即，因为，得：，故C项正确. 对于D项：不等式即，化简得，解得或，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选题）（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若不等式对一切实数x恒成立，则实数m的可能取值范围是（    ） A．0 B．2 C． D．4 【答案】BC 【分析】讨论，，结合一元二次不等式的解法求出实数m的取值范围. 【详解】解：①，即时，，符合题意； ②时，由题意得：，解得：， 综上所述：， 故选：BC. 10．（多选题）（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据不等式解的结构形式，可得，且方程的两个根为，根据韦达定理，继而可判断A,B；对于C，代入即可判断，故C正确；对于D，直接利用分式不等式的解法求解即可. 【详解】根据题意可知，，且方程的两个根为， 由韦达定理知，所以， 由，得，即， 故A错误，B正确； 因为，故C正确； 不等式可化为， 即，且， 所以不等式的解集为，故D正确， 故选：BCD. 11．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为M，当实数a，b变化时，M最小值为 ． 【答案】2 【分析】，则即为函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，作出函数图象，由图象观察即可得出答案. 【详解】， 上述函数可理解为当横坐标相同时，函数，,与函数，,图象上点的纵向距离， 则即为函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值， 作出函数图象，如图， 由图象可知，当函数的图象刚好为时此时，取得最小值为2. 故答案为：2 12．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，若，则的最大值是 . 【答案】1 【分析】先求的值域，根据已知得到，再对不等式进行变形化简，得到答案. 【详解】因为，所以函数的值域为，又因为，所以，从而有， 所以.（其中，） 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了与一元二次函数有关复合的问题和一元二次函数的值域问题. 13．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】应用分类讨论求一元二次不等式的解集，根据整数解个数列不等式求参数范围. 【详解】令，解得或. 当，即时，不等式的解集为，则，解得； 当，即时，不等式无解，所以不符合题意； 当，即时，不等式的解集为，则，解得. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 14．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）设为常数，若关于的不等式组在区间上有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意列方程组解决即可. 【详解】由题知，不等式组在区间上有解， 所以，解得， 故答案为：. 15．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解为 【答案】 【分析】由，所以，解分式不等式转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 即，解得， 所以不等式的解集为：. 故答案为：. 16．（24-25高一上·福建福州·期中）已知是二次函数，且满足，， (1)求的解析式； (2)若，求的单调区间和值域. 【答案】(1) (2)减区间为，增区间为，值域为 【分析】（1）设，根据题中条件可得出关于、、的方程组，求出这三个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）利用二次函数的单调性可求得函数在上的增区间和减区间，进而可求得该函数在上的值域. 【详解】（1）设，则， 因为， 即， 即， 所以，，解得，则. （2）因为函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数的减区间为，增区间为， 所以，， 因为，，所以，， 所以，函数在上的值域为. 17．（23-24高一·全国·课后作业）已知方程的两个实数根为，求的最大值. 【答案】15 【分析】根据一元二次方程有两个实数根写出根与系数关系以及判别式为非负数.将所求表达式转化为根于系数关系的表现形式，也即只含有的表达式，根据二次函数最值的求法，求得的最大值. 【详解】∵方程的两个实数根为， ∴①且.② 得，即. 又∵ ， ∴当时，的最大值为15. 【点睛】本小题主要考查一元二次方程根与系数关系，考查一元二次方程判别式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 18．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）设函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且都有， ①求的最大值； ②若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】(1)根据一元二次不等式的解集即可求解； (2) ①根据题意可得函数关于直线对称，利用二次函数的对称轴得出，再结合基本不等式即可求解. ②通过参变分离求最值即可求解. 【详解】（1）依题意可知：和是方程的两根，且抛物线的开口方向向下， ∴且 ∴, ∴, ∴； （2）①由知关于直线对称， 即 又∵， 当且仅当时等号成立. ∴的最大值为 ②由①，可得：， 则在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 所以. 又若，， 综上实数的取值范围. 19．（23-24高三·湖北襄阳·阶段练习）十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元.扶贫工作组一方面请有关专家对果树进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数.从2018年初开始，该村抽出户（）从事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为万元（参考数据：）. （1）至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于1万5千元），则应至少抽出多少户从事包装、销售工作？ （2）至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.355万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由. 【答案】（1）15（2）当从事包装、销售的户数达到20户、25户、30户时，能达到，否则不能，理由见解析 【解析】(1)根据从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高列式求解即可得出的值,继而得出从事包装、销售工作的户数. (2)根据题意计算从事水果种植农户的年纯收入与从事包装、销售工作的农户的总和除以总人数100即可得该村每户年均纯收入,再列出不等式求解即可. 【详解】（1）至2020年底,种植户平均收入, 即,由题所给数据, 知：,所以,, 所以,x的最小值为3,, 即至少抽出15户从事包装、销售工作. （2）至2018年底,假设能达到1.355万元, 每户的平均收入为：, 化简,得：,因为 解得：. 所以,当从事包装、销售的户数达到20户、25户、30户时,能达到, 否则不能. 【点睛】本题主要考查了统计中的实际运用,需要根据题意列出题中的所求变量满足的不等式,再利用对应的不等式求解方法求解即可.属于中档题. 20．（23-24高一下·江苏南通·期中）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高． (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ (2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 【答案】(1)500名 (2) 【分析】（1）求出剩下名员工创造的利润，列不等式求解； （2）分别求出从事第三产业和原来产业的员工创造的年总利润，列出不等关系，在（1）的条件下，即可求解． 【详解】（1）由题意，得，即， 又因为，所以，即最多调整500名员工从事第三产业. （2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元， 从事原来产业的员工的年总利润为万元， 则， 所以， 所以则在时恒成立. 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以. 又因为，所以，所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：根据题目已知条件，列出不等式并求解，即可得出结论. 学科网（北京）股份有限公司 $