第一章 预备知识重难点检测卷 -2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

该高中数学第一章预备知识复习讲义以核心素养为导向，通过思维导图清晰呈现集合、逻辑用语、不等式与函数基础等模块的知识脉络，结合表格对比概念本质，如充分条件与必要条件的判定标准，帮助学生建立结构化认知体系，精准定位重难点分布及其内在联系。 讲义亮点突出“抽象能力”“推理意识”和“应用意识”的融合培养，例如第3题通过甲乙命题关系判断条件类型，引导学生从具体实例中提炼逻辑结构，强化推理能力；第18题设计恒成立问题求参数范围，渗透分类讨论与数形结合思想，提升综合解题能力。每类题型均配有方法指导与易错警示，既支持基础薄弱学生掌握通法，又助力优生突破思维瓶颈，教师可据此实施分层教学，实现高效备考。

第一章 预备知识重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2025高一·全国·专题练习）若集合，，且，则实数的值可以是（    ）． A．2 B．2， C．2，，0 D．2，，0，1 【答案】C 【分析】因为，所以．逐一令解方程，注意检验元素的互异性即可. 【详解】因为，所以． 当时，集合不满足集合元素的互异性； 当时，或（舍去），即， 此时，，满足； 当时，或， 当时，，，满足， 当时，，，满足． 所以或或． 故选：C． 2．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由“，”为真命题，从而得，即可求解. 【详解】由命题“，”为假命题，则由“，”为真命题， 则，因，所以，所以可得， 所以原命题为假命题的一个充分不必要条件是，故A正确. 故选：A. 3．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知正实数a，b，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据不等式的性质以及作差法结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，， 若，则，可得， 则，所以成立，即甲是乙的充分条件； 若，可知，则，即， 可得，即，即甲是乙的必要条件． 综上可知：甲是乙的充要条件． 故选：C． 4．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解． 【详解】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 5．（2023·河南·模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．20 B．40 C． D． 【答案】C 【分析】由两次应用基本不等式即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 6．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）对任意的，恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】解：因为对任意的，恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以. 故选：C 7．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知二次函数，下列结论正确的是（    ） A．其图像的开口向上 B．图像的对称轴为直线 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最小值3 【答案】C 【分析】求得二次函数图像的开口方向判断选项A；求得二次函数图像的对称轴判断选项B；求得二次函数当时的单调性判断选项C；求得3为函数最大值否定选项D. 【详解】选项A：二次函数开口向下.判断错误； 选项B：二次函数图像的对称轴为直线.判断错误； 选项C：二次函数当时，随的增大而减小.判断正确； 选项D：当时，函数有最大值3，该函数无最小值.判断错误. 故选：C 8．（24-25高一上·贵州·期中）已知集合，对于任意的，不等式恒成立，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设有，且在上恒成立，讨论、、求实数x的取值范围. 【详解】由题设， 由，即在上恒成立， 当时，恒成立，此时， 当时，不等式不成立， 当时，恒成立，此时， 综上，实数x的取值范围是. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高一上·全国·单元测试）设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据集合包含的定义即可判断A；根据元素与集合的关系求解判断B；根据交集、并集结果求出参数范围可判断CD. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，无解， 所以若，则，故D错误. 故选：ABC. 10．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】依题意可知中存在小于0的元素且不存在大于或等于2的元素，即可判断. 【详解】依题意可知中存在小于0的元素且不存在大于或等于2的元素， 则和符合题意. 故选：AD 11．（2023·河南新乡·一模）若，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式证明判断ABD，利用二次函数的性质判断C． 【详解】，，，即，当且仅当时，等号成立，所以A错误； ，当且仅当，即时，等号成立，所以B正确； ，，所以，则，当且仅当时，等号成立，所以C正确； 因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以D正确． 故选：BCD． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知集合， 若， 则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分，和两种情况讨论求解即可. 【详解】解：分以下两种情况讨论， 当且，时，不妨设两个方程的实数根为， 则，解得； 当时，，解得． 综上，实数的取值范围是． 故答案为： 13．（22-23高一上·河北保定·阶段练习）已知集合，，，则实数 ． 【答案】 【分析】首先根据集合补集的定义得到，然后分别讨论或即可得到参数的值. 【详解】，. ，，即. 当时，得， 分别代入集合与集合中得：，，此时不符合题意，舍去； 当，得或， 将分别代入集合与集合中得：，，不符合题意，舍去； 将分别代入集合与集合中得：，，符合题意. 综上所述：. 故答案为：. 14．（22-23高三·全国·课后作业）已知，有下列不等式： ①；②；③；④；⑤． 其中，恒成立的是 ．（写出所有满足要求的不等式序号） 【答案】①③⑤ 【分析】利用基本不等式对5个式子一一判断. 【详解】因为，所以利用基本不等式： 对于①：（当且仅当，即时等号成立）.故①正确； 对于②：（当且仅当时等号成立）.故②错误； 对于③：（当且仅当时等号成立）.故③正确； 对于④：（当且仅当时等号成立）.故④错误； 对于⑤：（当且仅当时等号成立）.故⑤正确. 故答案为：①③⑤ 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（2025高一上·全国·专题练习）已知，，全集 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出当时，再根据交集的定义求出即可； （2）先将转化成，再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）当时，， 所以或， 又因为， 所以. （2）由可得. 所以当时，有，解得； 当时，有，解得. 综上，所以的取值范围为. 16．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）已知命题，为假命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若，求实数的取值集合. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）求出，利用一元二次方程判别式列式求解即得. （2）利用并集的结果，结合集合包含关系分类求解即得. 【详解】（1）由命题，为假命题，得：，为真命题， 当时，，不符合题意；当时，，解得，则， 所以实数的取值集合. （2）由，得， 当时，，解得，此时满足，因此； 当时，，解得， 所以实数的取值集合为或. 17．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）结合不等式的基本性质即可求解. （2）利用作差法进行比较，先对代数式作差得出；再分类讨论即可得出结果. 【详解】（1）因为， 所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 当时，两个不等式相加乘可得：，即； 当时，两个不等式相加乘可得：，即， 所以． 的取值范围为； 的取值范围为； 的取值范围为. （2）． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时．     综上可得：当时，； 当时，； 当时，． 18．（23-24高一·全国·课后作业）若对任意实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】 【分析】令，当时，，利用基本不等式和不等式的性质求出的范围，再代入，最终可求出的值域，再根据即可得实数k的取值范围． 【详解】令 当时， 当时， ，当且仅当时等号成立 或 即或 或 或 综合得 因为不等式恒成立， 则 . 19．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）设函数. (1)若，求的解集； (2)若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）将代入，解即可； （2）由题意对恒成立，分离参数，转化为求函数最值即可求解； （3）由题意，对分类讨论即可求解. 【详解】（1）由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为. （2）由对一切实数恒成立， 即对恒成立， ， ， ， ， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的取值范围是. （3）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 预备知识重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2025高一·全国·专题练习）若集合，，且，则实数的值可以是（    ）． A．2 B．2， C．2，，0 D．2，，0，1 2．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知正实数a，b，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·河南·模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．20 B．40 C． D． 6．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）对任意的，恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知二次函数，下列结论正确的是（    ） A．其图像的开口向上 B．图像的对称轴为直线 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最小值3 8．（24-25高一上·贵州·期中）已知集合，对于任意的，不等式恒成立，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高一上·全国·单元测试）设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 11．（2023·河南新乡·一模）若，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知集合， 若， 则实数的取值范围是 ． 13．（22-23高一上·河北保定·阶段练习）已知集合，，，则实数 ． 14．（22-23高三·全国·课后作业）已知，有下列不等式： ①；②；③；④；⑤． 其中，恒成立的是 ．（写出所有满足要求的不等式序号） 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（2025高一上·全国·专题练习）已知，，全集 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 16．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）已知命题，为假命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若，求实数的取值集合. 17．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 18．（23-24高一·全国·课后作业）若对任意实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 19．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）设函数. (1)若，求的解集； (2)若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围； (3)解关于的不等式：. 学科网（北京）股份有限公司 $