专题07有理数及其运算易错必刷题型专训（40题10个考点）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（北师大版2024）

该初中数学复习讲义围绕有理数及其运算构建系统知识体系，通过思维导图清晰呈现十个核心考点的逻辑脉络，用表格对比易混概念如“相反意义的量”与“非负整数”，借助数轴模型直观展示两点距离的表示方法，帮助学生建立从具体情境到抽象符号的认知路径，突出运算规则与实际应用的内在联系。 讲义的亮点在于紧扣新课标核心素养，设计“情境化辨析”“符号化转化”“结构化计算”三类典型题型，例如第1题通过收入支出情境强化正负数的意义理解，第15题利用多重符号化简训练运算能力，第37题融合乘方与加减的混合运算提升推理意识。每道题目均标注易错点提示和解题策略，既支持基础薄弱学生掌握规范步骤，又为学优生提供拓展思考空间，教师可据此实施分层教学，实现精准诊断与高效反馈。

专题07有理数及其运算易错必刷题型专训（40题10个考点） 【易错必刷一 具有相反意义的量】 1．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）如果支出元记作元，那么收入81元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）某科技公司对新研发的 机器人进行语言理解能力测试．以平均分 80 分为标准，高于平均分的记为正数，低于平均分的记为负数．其中“创造者”机器人得分 85 分，记为 分；“探索者”机器人得分 78 分，记为（  ）分 A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作 ． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）如果零上记作，那么零下记作什么？ （2）东、西为两个相反方向，如果表示一个物体向西运动，那么表示什么？物体原地不动记作什么？ （3）某仓库运进面粉记作，那么运出面粉应记作什么？ 【易错必刷二 带"非"的有理数】 5．（23-24七年级上·甘肃天水·期中）在，2，0，，中，非负整数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（24-25七年级上·重庆·期中）在数，，4，，，中，属于非负整数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（23-24七年级上·四川德阳·期中）下列各数：，，，，，，，，，，，． 其中正分数有 个，非负整数有 个． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合              负分数集合              非负整数集合              有理数集合              【易错必刷三 数轴上两点之间距离的表示】 9．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）在数轴上距离数2有1个单位长度的点所表示的数是（    ） A．1 B．3 C．或3 D．1或3 10．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知数轴上，两点表示的数分别为和6，是线段的中点，点在线段的延长线上，若，则点表示的数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）在数轴上与距离等于6个单位长度的点表示的数是 ． 12．（23-24七年级上·全国·期中）已知数轴上A，B两点之间的距离是2个单位长度，点A到原点O的距离是3个单位长度，那么点B对应的数是多少？ 【易错必刷四 利用相反数的意义化简多重符号】 13．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）下列各组数中互为相反数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．2与 14．（2025七年级上·北京·专题练习）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 15．（24-25七年级上·福建福州·期中）计算的结果为 ． 16．（23-24七年级上·山西临汾·期中）已知一列数：，，，，． (1)将这一列数在数轴上分别表示出来； (2)用“＜”把这列数连起来； (3)在数轴上找出互为相反数的一对数是：______． 【易错必刷五 有理数加减中的简便运算】 17．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（    ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 18．（2024七年级上·全国·专题练习）计算的结果为（　　） A．0 B． C． D． 19．（23-24七年级上·广东江门·阶段练习）计算： ． 20．（25-26七年级上·安徽·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【易错必刷六 多个有理数的乘法运算】 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）若，5，这三个数的积是一个负数，则的值可以是（ ） A．15 B． C．0 D． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）三个有理数相乘，积为负数，则这三个有理数中，负数的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．0个或2个 D．1个或3个 23．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ； 24．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【易错必刷七 有理数乘除混合计算问题】 25．（2025七年级上·全国·专题练习）（ ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）计算，结果是 ． 28．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【易错必刷八 乘方运算的符号规律】 29．（22-23七年级上·全国·期中）如果a是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 30．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）若，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 31．（22-23七年级上·山东临沂·期中）若，则 ． 32．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）先化简，再求值：，其中． 【易错必刷九 将科学记数法表示的数变回原数】 33．（2025·河北邢台·二模）用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 34．（24-25九年级下·江苏·期中）我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨，则铝、锰元素总量的和约为（   ） A．8000000吨 B．160000000吨 C．16000000吨 D．80000000吨 35．（24-25七年级上·宁夏石嘴山·期中）已知：，则a表示的数为 ． 36．（2025七年级上·全国·专题练习）下列用科学记数法写出的数，原数分别是什么数？，，，，． 【易错必刷十 含乘方的有理数混合运算】 37．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）计算所得的结果是（　　） A． B． C． D． 38．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果为（   ） A．32 B． C． D．2 39．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）规定：对任意有理数对，都有．例如：有理数对．若有理数对，则有理数对 ． 40．（25-26七年级上·湖南·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07有理数及其运算易错必刷题型专训（40题10个考点） 【易错必刷一 具有相反意义的量】 1．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）如果支出元记作元，那么收入81元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负数表示． 【详解】解：如果支出元记作元，那么收入81元记作元， 故选：A 2．（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）某科技公司对新研发的 机器人进行语言理解能力测试．以平均分 80 分为标准，高于平均分的记为正数，低于平均分的记为负数．其中“创造者”机器人得分 85 分，记为 分；“探索者”机器人得分 78 分，记为（  ）分 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查负数的认识，掌握实际成绩和运用标准分数计分的方法是解答本题的关键。本题可根据正负数的表示规则，用机器人的实际得分与平均分作比较，进而确定其得分的记法． 【详解】解：已知以平均分80分为标准，高于平均分的记为正数，低于平均分的记为负数， “探索者”机器人得分比平均分低（分）， 所以应记为分． 故选：C． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作 ． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，零上为正，则零下为负，进行作答即可． 【详解】解：若零上记作，则零下可记作． 故答案为： 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）如果零上记作，那么零下记作什么？ （2）东、西为两个相反方向，如果表示一个物体向西运动，那么表示什么？物体原地不动记作什么？ （3）某仓库运进面粉记作，那么运出面粉应记作什么？ 【答案】（1）零下记作；（2）表示向东运动，物体原地不动记为；（3）运出记作 【分析】根据正数和负数的意义解答： （1）零上记为正，则零下记为负； （2）向西为负，则向东为正，原地不动记作零； （3）运进记为正，则运出记为负． 【详解】解：（1）零上记作，那么零下记作； （2）表示一个物体向西运动， 则表示向东运动，物体原地不动记为； （3）仓库运进面粉记作，那么运出记作． 【点睛】本题考查了正数和负数，明确正数和负数表示的相反意义的两个量是解题的关键． 【易错必刷二 带"非"的有理数】 5．（23-24七年级上·甘肃天水·期中）在，2，0，，中，非负整数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了非负整数的定义，即零和正整数，做题关键要掌握非负整数的定义． 非负整数就是零和正整数，据此一一判断即可． 【详解】解：非负整数有：2，0，共计2个． 故答案为：C． 6．（24-25七年级上·重庆·期中）在数，，4，，，中，属于非负整数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的分类，非负整数即为正整数与0，找出即可． 【详解】解：在数，，，，，中，属于非负整数的有，，共2个， 故选：A． 7．（23-24七年级上·四川德阳·期中）下列各数：，，，，，，，，，，，． 其中正分数有 个，非负整数有 个． 【答案】 【分析】本题考查有理数的分类． 分别找出正分数和非负整数，确定个数即可． 【详解】解：正分数有：，， 非负整数有：，，，，， ∴正分数有个，非负整数有个， 故答案为：，． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合              负分数集合              非负整数集合              有理数集合              【答案】15，，，171，，，；，；15，171，0；15，，，，，，，171，0，， 【分析】此题考查有理数的分类，注意解题技巧，正整数、负整数在对应的正数、负数里面找，注意不是有理数．根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类即可． 【详解】解：正数集合15，，，171，，，； 负分数集合，； 非负整数集合15，171，0； 有理数集合15，，，，，，，171，0，，． 【易错必刷三 数轴上两点之间距离的表示】 9．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）在数轴上距离数2有1个单位长度的点所表示的数是（    ） A．1 B．3 C．或3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上的点，数轴上两点之间的距离，由于所求点在点2的哪侧不能确定，所以应分在点2的左侧和在点2的右侧两种情况讨论． 【详解】解：由题意得：当所求点在点2的左侧时，则距离1个单位长度的点表示的数是1； 当所求点在点2的右侧时，则距离1个单位长度的点表示的数是3； 故所表示的数是1或3． 故选：D． 10．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知数轴上，两点表示的数分别为和6，是线段的中点，点在线段的延长线上，若，则点表示的数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点表示有理数，数轴上中点的计算，掌握数轴的特点是解题的关键． 根据题意可得点表示的有理数，结合点在线段的延长线上，若，即可求解． 【详解】解：∵数轴上，两点表示的数分别为和，是线段的中点， ∴点表示的数为， ∵点在线段的延长线上，若， ∴点表示的数为， 故选：A ． 11．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）在数轴上与距离等于6个单位长度的点表示的数是 ． 【答案】3或 【详解】本题考查数轴，掌握数轴上两点间的距离是解题的关键．根据两点间的距离公式，分两种情况进行讨论求解即可． 解：或， ∴与这个点的距离等于6个单位长度的点所表示的数为3或， 故答案为：3或． 12．（23-24七年级上·全国·期中）已知数轴上A，B两点之间的距离是2个单位长度，点A到原点O的距离是3个单位长度，那么点B对应的数是多少？ 【答案】点对应的数是或． 【分析】此题考查了数轴上的点所表示的数与数轴上两点间的距离．先根据点A到原点的距离为3，求出点A表示的数，再根据点A、点B之间距离为2，即可求出答案． 【详解】解：点与原点的距离为3， 点A所表示的数为：3或， 又 A、B之间的距离为2， 当点A所表示的数为3时， 点B表示的数为1或5； 当点A所表示的数为时， 点B表示的数为或； 综上所述，点对应的数是或． 【易错必刷四 利用相反数的意义化简多重符号】 13．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）下列各组数中互为相反数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．2与 【答案】A 【分析】本题考查相反数、化简多重符号、绝对值，先化简各组数据，再利用相反数的定义判断即可． 【详解】解：A．，3与互为相反数，符合题意； B．，与相等，不合题意； C．与符号相同，不是相反数，不合题意； D．，2与相等，不合题意； 故选A． 14．（2025七年级上·北京·专题练习）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查相反数的定义，解题的关键是根据相反数的定义，即绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数，来判断各选项。 分别对每个选项中的两个数进行化简，然后根据相反数的定义判断它们是否互为相反数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，两数相等，不是相反数； B、，两数相等，不是相反数； C、与不满足相反数的定义，不是相反数； D、，满足相反数的定义，与互为相反数； 故选：D 15．（24-25七年级上·福建福州·期中）计算的结果为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键； 根据相反数的定义解答即可． 【详解】解： ． 16．（23-24七年级上·山西临汾·期中）已知一列数：，，，，． (1)将这一列数在数轴上分别表示出来； (2)用“＜”把这列数连起来； (3)在数轴上找出互为相反数的一对数是：______． 【答案】(1)见详解 (2) (3)和 【分析】本题考查了化简多重符号，在数轴上表示有理数，利用数轴表示有理数的大小，相反数的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，，，再把每个数在数轴上分别表示出来，即可作答． （2）结合越在数轴的右边的数越大进行分析，即可作答． （3）整理得，，再运用相反数的定义进行作答即可． 【详解】（1）解：，，， 将，，，，在数轴上分别表示出来，如图所示： （2）解：依题意，． （3）解：， 观察数轴，与分别在原点两侧，且距离原点距离相等， 即互为相反数的一对数是与． 【易错必刷五 有理数加减中的简便运算】 17．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（    ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算．熟练掌握加法运算律是解题的关键． 先把减法转化成加法，再利用加法的运算律求解． 【详解】解：甲：； 正确； 乙：． 正确． 故选：A． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）计算的结果为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减法中的简便运算，把小数转化成分数，然后根据同分母相加减计算即可． 【详解】解： 故选：C． 19．（23-24七年级上·广东江门·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】根据有理数加减的运算法则求解即可． 【详解】 ． 【点睛】本题主要考查有理数的加减运算及简便算法，牢记有理数加减的运算性质是解题的关键． 20．（25-26七年级上·安徽·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加减中的简便运算，掌握有理数的加减运算法则是解题关键． （1）利用有理数加法的交换律计算即可得； （2）先去括号、将分数化成小数，再利用有理数加法的交换律与结合律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【易错必刷六 多个有理数的乘法运算】 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）若，5，这三个数的积是一个负数，则的值可以是（ ） A．15 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了多个有理数相乘的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解此题的关键． 根据多个数相乘法则：积的符号由负因数的个数决定，负因数是奇数个时积为负，即可得出答案． 【详解】解：，，这三个数的积是一个负数， 只能是正数，即 的值可以是 故选：A． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）三个有理数相乘，积为负数，则这三个有理数中，负数的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．0个或2个 D．1个或3个 【答案】D 【分析】本题考查了多个有理数相乘的乘法法则，特别是负数相乘的符号法则，掌握法则是解题的关键． 根据有理数乘法符号法则，多个非零有理数相乘，积的符号由负数的个数决定：当负数个数为奇数时，积为负；当负数个数为偶数时，积为正；因此，三个有理数乘积为负数时，负数的个数必须为奇数．据此逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、虽然满足条件，但未包含个的情况，不全面； B、个负数的乘积为正，不符合题意； C、个负数时乘积为正，个负数时乘积也为正，均不符合题意； D、两种情况均满足积为负数的条件，正确． 故选：D. 23．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ； 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 24．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查有理数的乘法运算，掌握算理是解决问题的关键．先确定结果的符号，再把绝对值相乘即可． 【详解】解：原式． 【易错必刷七 有理数乘除混合计算问题】 25．（2025七年级上·全国·专题练习）（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．按照从左到右的顺序依次进行乘除运算，注意符号的变化即可． 【详解】解： ． 故选：D ． 26．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查有理数的乘除混合运算．根据有理数的运算法则即可判断． 【详解】解：， 故选：B． 27．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）计算，结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算法则成为解题的关键． 先化除为乘，然后再计算即可． 【详解】解：． 故答案为． 28．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】先化带分数为假分数，再化除为乘，最后用有理数乘法的法则计算即可． 本题考查了有理数的乘除混合运算，化带分数为假分数，化除为乘，是解题的关键． 【详解】解： ． 【易错必刷八 乘方运算的符号规律】 29．（22-23七年级上·全国·期中）如果a是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查了非负数．熟练掌握有理数平方的非负性是解题的关键． 根据即得． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 30．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）若，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性、平方的非负性，由，得出，，求出、的值，再得出的值即可． 【详解】解：，， 又∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 31．（22-23七年级上·山东临沂·期中）若，则 ． 【答案】1 【分析】先根据绝对值和平方的非负性求出x和y的值，再根据有理数的乘方运算计算出结果． 【详解】∵， ∴，，即，， ∴． 故答案是：1． 【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性，有理数的乘方运算，解题的关键是掌握绝对值和平方的非负性． 32．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值，绝对值的非负性与偶次幂的非负性；先去括号，然后合并同类项，根据非负数的性质得出，，代入化简结果，即可求解． 【详解】原式 由题意得：，    所以，， 当，时，原式 【易错必刷九 将科学记数法表示的数变回原数】 33．（2025·河北邢台·二模）用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：由可知：还原后0的个数为6个； 故选C． 34．（24-25九年级下·江苏·期中）我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨，则铝、锰元素总量的和约为（   ） A．8000000吨 B．160000000吨 C．16000000吨 D．80000000吨 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法还原，科学记数法的表达方法：其中，确定n的值是解题的关键．直接将铝、锰元素总量相加，再将其用科学记数法表示即可得到答案． 【详解】铝、锰元素总量的和约是：吨． 故选：C． 35．（24-25七年级上·宁夏石嘴山·期中）已知：，则a表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，利用有理数的乘方运算，把科学记数法表示的数还原即可． 【详解】解：； 故答案为： 36．（2025七年级上·全国·专题练习）下列用科学记数法写出的数，原数分别是什么数？，，，，． 【答案】10000000，4500000，704000，39600， 【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 【详解】解：， ， ， ， ． 【易错必刷十 含乘方的有理数混合运算】 37．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）计算所得的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，掌握相关知识点是解题的关键． 先将原式化为，再计算即可解答． 【详解】解： ． 故选：D． 38．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果为（   ） A．32 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，须按照运算顺序逐步计算，注意符号处理. 【详解】1. 计算指数部分： ， 2. 代入原式：原式= 3. 处理除法： 4. 进行乘法运算： 综上，结果为，对应选项A. 故选：A. 39．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）规定：对任意有理数对，都有．例如：有理数对．若有理数对，则有理数对 ． 【答案】62 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中新定义，正确列出算式是解答的关键．先根据新定义运算法则求得n值，进而可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：62． 40．（25-26七年级上·湖南·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3)13 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）先根据乘方的运算法则计算，再进行乘除运算即可； （2）先根据乘方的运算法则计算，再去括号，最后合并即可； （3）先根据乘方的运算法则计算，再去括号，最后合并即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ； （3）解：原式    ． 学科网（北京）股份有限公司 $