重点专题一 有理数的巧算 热点题专题进阶2025-2026学年苏科版（2024）数学七年级上册

热点题专题进阶 重难专题一 有理数的巧算 类型1 逆用乘法分配律 (1) ． 【答案】 【分析】（1）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ． (2)． 【答案】(2)50 【分析】（2）先变形，然后根据乘法分配律计算即可． 【详解】（2） 类型2 凑整法 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）根据加法交换率和结合律简便计算； （2）根据加法交换率和结合律简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算、有理数的运算律等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）按照有理数的乘除法运算方法进行计算即可； （2）按照有理数的乘除法运算方法进行计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 类型3 分组相加法 1．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，加法运算律，掌握有理数的加减运算法则和运算律是解题的关键． （1）先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可； （2）先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可； （3）先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 类型4 组合法 (1) 【答案】(1) 【分析】把和分别运用等差数列的求和公式进行计算即可； 【详解】解：      ； 类型5 倒数法 1．学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【答案】(1)小刚的解题是对的，小明的解题是不对的，见解析 (2)小华的思路正确，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法的运算法则即可解答； （2）根据倒数的性质即可得出结论； （3）先计算的值，再结合（2）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：小刚的解题是对的，小明的解题是不对的， ②的正确计算过程如下： ； （2）解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴①、②这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出①式的结果，即可得到②式的结果， ∴小华的思路正确； （3）解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 类型6 拆项法 1．计算：． 【答案】 【分析】利用加法交换律和结合律，将同分母的分数或便于计算的数分别组合在一起，然后再进行计算，这样可以使计算过程更加简便．本题主要考查了有理数的加减法运算以及加法运算律的应用，熟练掌握加法交换律和结合律，将便于计算的数组合在一起进行计算是解题的关键． 【详解】解： ． 2．李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1  ； 例2  ． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考出来简便运算，解题的关键是∶ （1）仿照例1求解即可； （2）仿照例2求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型7 裂项法 1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数计算中的技巧计算，解题关键是：复杂计算时先观察，碰到分母是几个数字相乘时，需将每个式子拆成两个分数相减的形式． 通过观察验证，可得，将其他式子进行类似转化，再通过对每个式子提取，再进行计算即可． 【详解】解：∵， 又， ∴同理可得： 2．观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 通过裂项求和法可以求得所求式子的值． 【详解】解： … 3．数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如，．正整数的阶乘记作，即．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：________； (2)将化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：． 【答案】(1)120 (2) (3) 【分析】本题主要考查了十字相乘法、因式分解解一元二次方程、裂项法、阶乘的运用等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据阶乘定义直接求解即可； （2）根据题干材料仿照即可得解； （3）根据（2）思路写出过程求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：120； （2）解： ； （3）解： ． 类型8 倒序相加法 1．阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② 得． 所以，， 所以 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． (3)计算： 【答案】(1)500500 (2)15000 (3)2500 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的加法及乘法运算是解题的关键；因此（1）（2）（3）可根据题中所给方法进行求解即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② 得． 所以，则， 所以； （2）解：设，① 则，② 得． 所以，则， 所以； （3）解：设，① 则，② 得． 所以，则， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点题专题进阶 重难专题一 有理数的巧算 类型1 逆用乘法分配律 (1) ． (2)． 类型2 凑整法 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1) (2) 类型3 分组相加法 1．计算： (1)； (2)； (3)． 类型4 组合法 (1) 类型5 倒数法 1．学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 类型6 拆项法 1．计算：． 2．李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1  ； 例2  ． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： (1) (2) 类型7 裂项法 1．计算：． 2．观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 3．数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如，．正整数的阶乘记作，即．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：________； (2)将化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：． 类型8 倒序相加法 1．阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② 得． 所以，， 所以 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． (3)计算： 学科网（北京）股份有限公司 $$