14.2全等三角形的判定三边边边（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版八年级上册数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 14.2全等三角形的判定三（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 全等三角形的判定3：边边边（SSS） 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 要点诠释： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论. 注意：（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写. （2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. 题型1 用sss证明三角形全等 例1． 如图， AD=BC， AC=BD， 求证： △EAB 是等腰三角形. 【答案】证明：∵A D = B C ， A C = B D ， A B = B A ， ∴△ A B D ≅ △ B A C ( SSS ) ∴∠ A B E = ∠ B A E ∴A E = B E ∴ △EAB 是等腰三角形. 【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】 根据已知条件i利用SSS全等证明△ABD≌△BAC ， 进而得到角相等，从而推导出相关边的关系，最终证明△EAB为等腰三角形，解答即可. 【变式1-1】． 如图， AB=AC， AD=BD=AE=CE. 求证∠D=∠E. 【答案】证明：在△ABD与△ACE中： △ABD≌△ACE （SSS） ∴∠D=∠E 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】根据已知条件利用SSS判定△ABD△ACE ，再利用全等三角形的性质解答即可. 【变式1-2】．如图，点 在一条直线上， ． （1）求证： ； （2）若 ，求 的大小． 【答案】（1）证明：∵BE=CF， 点 在一条直线上 ∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF， ∵AB=DE，AC=DF，BC=EF， ∴ （SSS）。 （2）解：根据（1）题的证明结果， ∴∠ACE=∠F， ∵ 点 在一条直线上 ，∴AC∥DF， ∴∠EGC=∠D=45°。 【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】（1）题首先证明出BC=EF，此时可以利用两个三角形三边相等的性质定理即可证明两个三角形全等； （2）题根据（1）题的结论，利用平行线的判定定理“同位角相等、两直线平行”得出AC∥DF，然后利用“两直线平行、同位角相等”即可求出答案。 【变式1-3】．如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形全等的判定-SSS；角平分线的概念 【解析】【解答】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴就是的平分线， 故答案为：. 【分析】根据已知条件易证，由全等三角形的性质可得，即可得出就是的平分线. 知识点2 用尺规作一个角等于已知角 已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB． 作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C、D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′； （3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB． 要点诠释： 1.核心依据：边边边（SSS）全等判定 通过构造三边对应相等的全等三角形实现角度复制。具体步骤中，以已知角顶点为圆心画弧，截取两边交点，再以新作射线端点为圆心重复此操作，最终连接两弧交点形成等角。 2.注意事项 操作需严格遵循“以相同半径画弧”的步骤，确保三角形三边对应相等。 适用于初中数学尺规作图的基本题型，是后续学习几何证明的基础./ 题型2 尺规作一个角等于已知角 例2．如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作，使，，不写作法，保留作图痕迹 【答案】解：如图所示，△ABC即为所求. 【知识点】尺规作图-作三角形 【解析】【分析】可先作出∠A=∠1，然后在∠A的两边上分别截取线段AB，AC使得AB=a，AC=b，最后连接BC即可． 【变式2-1】．已知△中，． （1）如图1，用直尺和圆规在的内部作射线，使，我们可以通过以下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，分别于点，； ②以为圆心，的长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交上一段弧于点． ④做射线； 请回答：这种作“”的方法的依据是________（填序号）. ①SSS ②SAS ③AAS ④ASA （2）如图2，当时，（1）中的射线交于点，已知，，，求的长． 【答案】（1）① （2）解：∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ 即 根据的面积不变可得 又∵，， ∴， ∴． 【知识点】垂线的概念；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角 【解析】【解答】解：由作图过程得，，，则， 故答案为：①； 【分析】（1）利用“SSS”证明三角形全等，再利用全等三角形的性质可得，从而得解； （2）利用等面积法可得，再求出即可. （1）解：由作图过程得，，，则， 故答案为：①； （2）解：∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ 即 根据的面积不变可得 又∵，， ∴， ∴． 【变式2-2】．如图，利用尺规，在的边上方作，在射线上截取，连接，并证明：．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：根据题意作出图形如下： 如图，AD，CD为所做 ∴=∠BCA ∴AE∥BC ∵AD=CB ∴四边形ABCD为平行四边形 ∴CD∥AB． 【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角 【解析】【分析】根据尺规作图，作一个角等于已知角，作：=∠BCA，再根据“内错角相等，两直线平行”可判定AE∥BC，又因为AD=CB，所以四边形ABCD为平行四边形，故CD∥AB. 【变式2-3】．如图，在等边中，是边上一点（不含端点，），是的外角的平分线上一点，且． （1）尺规作图：在直线的下方，过点作，作的延长线，与相交于点． （2）求证：是等边； （3）求证：． 【答案】（1）解：如图所示： （2）证明：是等边三角形， ， ， 平分， ， ， ， 是等边； （3）证明：连接， 和是等边三角形， ， 在和中， ， （SAS）， ，， ， ， ， ， ， ， ， ​​​​​​​ 【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作一个角等于已知角；角平分线的概念 【解析】【分析】（1）以为圆心，以任意长为半径画弧，交、两边为和，以为圆心，以为半径画弧，交前弧于，作射线，交的延长线于，则. （2）根据等边三角形性质可得，由邻补角可得，再根据角平分线性质可得，则，再根据等边三角形判定定理即可求出答案. （3）连接，根据等边三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得（SAS），则，，再根据等边对等角可得，由三角形外角性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案. （1）如图所示： （2）证明：是等边三角形， ， ， 平分， ， ， ， 是等边； （3）证明：连接， 和是等边三角形， ， 在和中， ， （SAS）， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 知识点3 运用边边边定理证明和计算 运用“SSS”证明两个三角形全等主要是找边相等，边相等除了题目中已知的边相等外，还有一些相等边隐含在题设或图形中。 要点诠释： 1.条件检查 ：需严格验证三边是否对应相等，避免混淆对应关系； 2.逻辑严密性 ：证明过程需每一步都有依据，如通过三角形内角和定理辅助推理。 题型3利用边边边公理证明线段相等、角相等 例3．如图，在和中，在同一条直线上，已知：，下列给出三个条件：．解答下列问题： （1）请选择两个合适的作为已知条件，余下一个作为结论，并给出证明过程： 我选择 作为已知条件， 作为结论（填写序号）． （2）在（1）的条件下，若与相交于点，求． 【答案】（1）①③；②或②③，①， 解：条件：①， ③； 结论：②； 理由：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 条件：②；③； 结论： ①， 理由：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可得：， ∴． 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；内错角的概念；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】（1）选择条件和结论，然后证明解题； （2）先得到，根据（1）可得，然后运用三角形的内角和定理解题． （1）解：条件：①， ③； 结论：②； 理由：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 条件：②；③； 结论： ①， 理由：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可得：， ∴． 【变式3-1】．．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数 【答案】（1）证明：（1）∵ ∴，即 又∵，， ∴； （2）解：（2）∵ ∴ ∵ ∴． 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】（1）首先根据等式的性质得到，然后根据SSS即可证出； （2）首先根据全等三角形对应角相等得到，再利用三角形内角和定理即可得出的度数 。 （1）∵ ∴，即 又∵，， ∴； （2）∵ ∴ ∵ ∴． 【变式3-2】．如图，在和中，D是边上一点，且． （1）求证：； （2）平分是否成立？请判断并说明理由． 【答案】（1）证明：在与中， ， ∴； （2）解：成立，理由如下： 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【知识点】三角形全等的判定-SSS；角平分线的概念；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】（1）利用全等三角形判定定理“”即可得证结论； （2）由（1）中的全等三角形得，根据等腰三角形“等边对等角”性质得，最后进行等量代换即可得证结论. （1）证明：在与中， ， ∴； （2）解：成立，理由如下： 由（1）知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． 【变式3-3】．如图，点在同一直线上，点在直线的同侧， （1）证明：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：， ∴， ， ， （SSS）． （2）解：， ． ， ． ​​​​​． 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】（1）通过线段的和差可得BC=EF，再通过证明，即可作答． （2）先由三角形内角和性质得出，再结合得出，最后运用三角形内角和性质，即可得答． （1）解：， ∴， ， ， ． （2）解：， ． ， ． ． 题型4 利用全等三角形的性质与SSS计算与证明 例4．已知：如图，AC=BC，AD=BD，E，F分别是AC和BC的中点.求证：DE=DF. 【答案】解：连结DC. 在△ADC与△BDC中， ， ∴△ADC≌△BDC（SSS）， ∴∠ACD=∠BCD. ∵E，F分别是AC和BC的中点， ∴ ∴CE=CF， ∴△CDE≌△CDF（SAS）， ∴DE=DF. 【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】连结DC.先利用SSS证明△ADC≌△BDC，可得∠ACD=∠BCD，根据中点的意义可得CE=CF，可根据SAS证明△CDE≌△CDF，根据全等三角形的性质有结论成立. 【变式4-1】．已知：如图， AC， DB 相交于点O， AB=DC，∠ABO=∠DCO. 求证： （1）； （2）∠OBC=∠OCB. 【答案】（1）证明： 在 和 中， ， （2）证明：由 (1) 知， ，OA=OD， ∴AC=BD， 又∵BC=CB，AB=CD， ∴△ABC≌△DCB， 【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】(1)利用AAS证明 即可； (2)由（1）中全等三角形的性质可以得到AC=BD，利用SSS证明△ABC≌△DCB，即可得到结论. 【变式4-2】．小华遇到这样一个问题： 已知：如图，AB=DC，AC=DB. 求证：∠A=∠D. 小华经过测量，发现∠A与∠D的度数确实相等，但他不知道其中的道理.你能帮助他给出证明吗?试试看. 【答案】证明：如图，连结BC， 在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SSS）， ∴∠A=∠D． 【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】根据三组对应边分别相等的两个三角形全等得出△ABC≌△DCB，根据全等三角形的对应角相等即可证明. 【变式4-3】．如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：． 【答案】解：连接AC， AE=AF，CE=CF，AC=AC， ∴△ACE≌△ACF（SSS）， ∴∠CAE=∠CAF， ∵∠B=∠D=90°， ∴CB=CD． 【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS 【解析】【分析】连接AC，可以得到△ACE≌△ACF，即可得到∠CAE=∠CAF，再根据角平分线的性质即可证明CB=CD． 题型5灵活选择全等三角形的判定方法计算与证明 例5．如图，正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是DA 的中点，连接BE 与CF 相交于点 P.求证：AP=AB. 【答案】证明：延长PF，BA 交于点M， ∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点， 在△BCE与△CDF中， ∴△BCE≌△CDF(SAS)， ∴∠CBE=∠DCF. ∵∠DCF+∠BCP=90° ∴∠CBE+∠BCP=90°， ∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90° 在△CDF与△AMF中， ∴△CDF≌△AMF(AAS)， ∴CD=AM ∵CD=AB， ∴AB=AM， ∴PA是直角ABPM斜边BM上的中线， ∴， 即AP=AB 【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】延长CF、BA交于点M，先证△BCE≌△CDF，再证△CDF≌△AME得BA=MA，由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，可得Rt△MBP中，即可得到结论. 【变式5-1】．如图①，，，，相交于点M，连接． （1）求证：； （2）用含的式子表示的度数； （3）当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明． 【答案】（1）证明：如图1，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：如图1，∵，， 在中，， = ， 在中， ． （3）解：为等腰直角三角形．证明：如图2，由（1）得， 的中点分别为点P、Q， ， ∵， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ， ∴为等腰直角三角形． 【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）根据题意，得到，利用，证得，即可证得； （2）根据，得出，在中，利用三角形内角和定理，结合，求得的度数，再在中，结合，即可求解； （3）先证明，得到，利用SAS，证得，得到，再由，得出，即可求解. （1）证明：如图1，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：如图1，∵， ， 在中，， = ， 在中， ． （3）解：为等腰直角三角形． 证明：如图2，由（1）得， 的中点分别为点P、Q， ， ∵， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ， ∴为等腰直角三角形． 【变式5-2】．如图，在中，，于点，，点在上，． （1）求证：平分； （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵，∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵平分，∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】（）根据，，可以得到，然后利用AAS得到，即可得到，然后根据角平分线的判定定理解题即可； （）先得到，即可得到，进而得到，再得到，解题即可. （1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-3】．如图，在等边三角形中，点在边上，点在边的延长线上，以为一边作等边三角形，连接． （1）若，求证：； （2）试探究：线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 是等边三角形， ， 过作，交的延长线于点，如图②： ，， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ∴， ， 在和中， ∵， ， ， ， 即． 【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和已知条件可得是线段的垂直平分线，然后由平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”即可求解； （2）；理由如下：过作，交的延长线于点，由平行线的性质易证，得出为等边三角形，则，结合已知，用边角边可证△EGD≌△FCD，由全等三角形的对应边相等可得，然后由线段的构成即可求解． （1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 是等边三角形， ， 过作，交的延长线于点，如图②： ，， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ∴， ， 在和中， ∵， ， ， ， 即． 题型6 全等三角形的实践与探究 例6．（1）探究如图①，在▱ABCD 的形外分别作等腰直角△ABF 和等腰直角△ADE，∠FAB=∠EAD=90°，连接AC，EF.在图中找一个与△FAE 全等的三角形，并加以证明. （2）应用以▱ABCD 的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图②，连接EF，GH，IJ，KL，若▱ABCD 的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为　 　. 【答案】（1）解：△FAE≌△ABC 理由如下： ∵△ABF和△ADE是等腰直角三角形， ∴AF=AB，AE=AD，∠FAB=∠DAE=90°， ∴∠FAE+∠BAD=180°， ∵AD//BC， ∴∠BAD+∠ABC =180° ∴∠FAE=∠ABC， ∴△FAE≌△ABC(SAS) （2）10 【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：(2)如图，连接AC，BD， 由(1)可知：△FAE≌△ABC， ∴S△FAE=S△ABC， ∴ 同理可得：S△DKL=2.5，S△CJI=2.5，S△GBH=2.5， ∴阴影部分四个三角形的面积和为=10， 故答案为：10. 【分析】(1)由“SAS”可证△FAE≌△ABC； (2)由(1)可知：△FAE≌△ABC，可得，即可求解. 【变式6-1】．综合与实践 （1）问题发现 如图1，已知△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数及线段AD，BE之间的数量关系； （2）类比探究 如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE， 填空：①∠AEB的度数为　 　； ②线段CM，AE，BE之间的数量关系为　 　． （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若BE=4，CM=3，则四边形ABEC的面积为　 　． 【答案】（1）解：∵△ACB和△DCE是等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC=∠BEC，AD=BE， ∵△CDE是等边三角形， ∴∠CDE=∠CED=60°， ∴∠ADC=180°-∠CDE=120°， ∴∠BEC=120°， ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°； （2）90°；AE=BE+2CM （3）35 【知识点】几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：(2)同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC=∠BEC， ∵△DCE是等腰直角三角形， ∴∠CDE=∠CED=45°， ∴∠ADC=180°-∠CDE=135°， ∴∠BEC=135°， ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°； ②∵△ACD≌△BCE， ∴AD=BE， ∵CD=CE，CM⊥DE， ∴DM=ME， 在Rt△DCE中，CM⊥DE，∠CDM=45°， ∴∠DCM=∠CDM=45°， ∴DM=CM， ∴DM=ME=CM， ∴AE=AD+DE=BE+2CM． (3)由（2）得：∠AEB=90°，AD=BE=4， ∵△DCE均为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高， ∴CM⊥AE，∠CDE=∠CED=45°， ∴∠CDE=∠CED=∠DCM=∠ECM=45°， ∴CM=DM=ME， ∴DE＝2CM＝6， ∴AE＝AD+DE＝4+6＝10， ∴四边形ABEC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积 ＝AE×CM+AE×BE ＝×10×3+×10×4 ＝35； 故答案为：35． 【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE（SAS），从而得出∠ADC=∠BEC，AD=BE，由△CDE是等边三角形，即可得出答案； （2）①仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，②证出AD=BE，由等腰直角三角形的性质得出CM=DM=ME，从而得出AE=AD+DE=BE+2CM； （3）由（2）得出∠AEB=90°，AD=BE=4，由等腰直角三角形的性质得出四边形ABEC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积，即可得出答案。 【变式6-2】．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观察者从点向东走到点，此时恰好测得 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树，标杆，人在同一直线上 测量示意图 （1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段__________的长度． （2）第二小组测得米，请你帮他们求出河宽． （3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】（1） （2）解：，， ， ， （米）， 河宽为米 （3）解：可行，理由如下： 由题意可知：， 在和中， ， ， ， 只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行， 答：第三小组的方案可行 【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】（1）解：，， ， ， ， 要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； 【分析】（1）由直角三角形的两个锐角互余可得，则可得，根据等角对等边得可求解； （2）由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求得∠CAB的度数，然后由等角对等边得AB=BC可求解； （3）由题意可知，结合已知，用角边角可证得，根据全等三角形的对应边相等可求解． （1）解：，， ， ， ， 要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； （2）解：，， ， ， （米）， 河宽为米； （3）解：可行，证明如下： 由题意可知：， 在和中， ， ， ， 只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行， 答：第三小组的方案可行． 【变式6-3】．想测量操场上与地面垂直旗杆 BD的高度，小强如图 1设计的方案：在距B点3m地面上M处测出∠DMC=90°，在距地面3m的C点处垂直竖立竹竿AC， 测得 AB=12m. （1） 请你帮小强求出旗杆BD的高度； （2）小明如图2设计一个测量方案：测得 MB=CB=3米， MA=12米， 根据这些条件能求出旗杆 BD的高度吗?若能请计算求出；若不能请添加一个条件，使之能够计算求出，直接写出添加的条件. 【答案】（1）解：∵∠DMC=90°， ∴∠AMC+∠DMB=90°， ∵∠DBA=90°， ∴∠DMB+∠D=90°， ∴∠AMC=∠D， 根据题意可得：AC=BM=3m， 在△CAM和△MBD中， ， ∴△CAM≌△MBD（AAS）， ∴AM=BD， ∵AM=9m， ∴BD=9m. （2）解：不能，添加条件：AE⊥MD， 先利用（1）的证明方法证出△MBD≌△CBA， ∴BD=AB=9m. 【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型 【解析】【分析】（1）先利用等角的余角相等可得∠AMC=∠D，再利用“AAS”证出△CAM≌△MBD，再利用全等三角形的性质可得BD=9m； （2）添加条件AE⊥MD，再证出△MBD≌△CBA，最后利用全等三角形的性质可得BD=AB=9m. 例7．如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B． （1）如图1，当∠C=90°， AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD ； （2）如图2，当 ∠C≠90°， AD为 ∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD的数量关系为 　 　 ； （3）如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD 的数量关系为 　 　 ； 【答案】（1）证明：由已知条件可知， 在中，， ∵， ∴为等腰直角三角形， 为的角平分线， 在上截取，连接， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （2） （3） 【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念 【解析】【解答】解：（2）在中，，，为的角平分线，在上截取，连接，∴，在和中，∵，，，∴，∴，，∵∴，∴，∴，∴，∴，∴； （3）在中，，为的角平分线，在的延长线上截取，连接， ∴，在和中，∵，，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴∴. 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理边角边，在上截取，连接，证明，则可得，，再由，，证明，可求出； （2）由（1）可求得； （3）首先在的延长线上截取，，连接，根据全等三角形边角边判定定理，可得，可得，，再由，可得即可求得 【变式7-1】．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E． （1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝_____°，∠DEC＝_____°；当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变______（填”大”或”小”）； （2）当DC＝AB＝2时，△ABD与△DCE是否全等？请说明理由： （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）25，115，小； （2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下： 理由：∵∠C＝40°， ∴∠DEC+∠EDC＝140°， 又∵∠ADE＝40°， ∴∠ADB+∠EDC＝140°， ∴∠ADB＝∠DEC， 又∵AB＝DC＝2， ∴在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； （3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由如下： ∵当∠BDA＝110°时， ∴∠ADC＝70°， ∵∠C＝40°， ∴∠DAC＝70°， ∴∠AED＝180°-70°-40°=70°， ∴∠AED＝∠DAC， ∴AD=DE， ∴△ADE是等腰三角形； ∵当∠BDA的度数为80°时， ∴∠ADC＝100°， ∵∠C＝40°， ∴∠DAC＝40°， ∴∠DAC＝∠ADE， ∴AE=DE， ∴△ADE是等腰三角形． 综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形. 【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠ADB＝115°，AB＝AC， ∴∠BAD＝180°﹣40°﹣115°＝25°，∠C＝∠B＝40°； ∵∠ADE＝40°，∠ADB＝115°， ∴∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°． ∴∠DEC＝180°﹣40°﹣25°＝115°， 当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小， 故答案为：25，115，小； 【分析】（1）根据三角形内角和为180°得到∠BAD的度数；然后根据三角形内角和定理求出∠DEC的度数； （2）当DC＝2时，根据∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，可以得到∠ADB＝∠DEC，然后根据AB＝DC＝2，得以证明△ABD≌△DCE． （3）由（2）可知∠ADB＝∠DEC，所以∠AED与∠ADE不可能相等，于是分为∠DAE＝∠AED和∠DAE＝∠ADE两种情况，利用等边对等角和三角形的内角和定理解题即可． 【变式7-2】．两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，右图是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）若图2中的BE＝3CE，CD＝6，求 △DCE的面积． 【答案】（1）证明：∵ 和 均为等腰直角三角形， ∴ ， ， ∴∠BAC+∠CAE= ∠EAD+∠CAE， ∴∠BAE=∠CAD． 在 和 中， ， ∴ ． （2）由（1）中 知： ． ∵ 和 均为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ，即 ， ∴CE=2， ∴ ． 【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）由 和 均为等腰直角三角形， 得出 ∠BAE=∠CAD． 利用全等三角形的性质得出 △ABE≌△ACD； （2） 由（1）中 知： ． 由 和 均为等腰直角三角形，得出 ，根据 ，即 ，得出CE=2， 再根据三角形面积公式求解即可。 一、选择题(每小题3分，共24分) 1． 如图，在四边形ABCD中，连接BD，已知AB=CB，若要用“SAS”判定△ABD≌△CBD，则还需添加的一个条件是 (　　) A．∠ABD=∠CBD B．∠A=∠C C．AD=CD D．∠ADB=∠CDB 【答案】A 【知识点】三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：∵AB=CB，BD=BD， 若用“SAS”判定△ABD≌△CBD， 则需∠ABD=∠CBD. 故答案为：A 【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案. 2．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（　　）去最省事． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形， 所以，最省事的做法是带③去． 故答案为：C． 【分析】利用全等三角形的判定方法及应用分析求解即可. 3．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角 【解析】【解答】解：在和中， ， ， ， 故答案为：D． 【分析】根据作一个角等于已知角的作法和步骤可得OD=OC=O'D'=O'C'，CD=C'D'，从而利用SSS判断出△OCD≌△O'C'D'，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB=∠A'O'B'. 4．两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB.小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD.其中正确的结论有(　　). A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：在△ABD与△CBD中， ∴△ABD≌△CBD(SSS)， 故③正确； ∴∠ADB=∠CDB， 在△AOD与△COD中， ∴△AOD≌△COD(SAS)， ∴∠AOD=∠COD =90°， AO=OC， ∴AC⊥DB， 故①②正确； 故答案为：D . 【分析】先证明△ABD与△CBD全等， 再证明△AOD与△COD全等即可判断. 5．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，顺次连接，，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【解答】解：如图，取格点，连接， 根据题意：， ∴， ∴， ∵， 若，则， ∵， ∴， ∴（与题干矛盾），故A选项错误； ∵， ∴，故B选项正确； ∵，故C选项错误； ∵， ∴， ∴，故D选项错误； 故答案选：B． 【分析】取格点，连接，利用网格线的性质利用证明，再利用三角形全等的性质逐一判断即可． 6．如图，等边中，，分别是，，连结，则的度数是(　　) A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【解答】解：∵是等边三角形 ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：B． 【分析】先得到，即可得到，然后利用三角形的外角的性质解题即可． 7．风筝为中国人发明，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAE＝∠DAC，那么AC与AE相等．小飞直接证明△ABC≌△ADE，他的证明依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】C 【知识点】三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：∵∠BAE=∠DAC， ∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC， ∴∠BAC=∠DAE， ∵AB=AD，∠B=∠D， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， ∴AC=AE， 故答案为：C． 【分析】先利用角的运算和等量代换可得∠BAC=∠DAE，再利用“ASA”证出△ABC≌△ADE，最后利用全等三角形的性质可得AC=AE. 8．如图，等边的边长为3，点P是边上的一个动点，过点P作于点D，延长至点Q，使得，连接交于点E，则之长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-AAS 【解析】【解答】解：过点P作PF∥BC交AB于点F，则∠EPF＝∠Q，如图所示： ∵△ABC是边长为3的等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，AB＝3， ∴∠AFP＝∠ABC＝60°，∠APF＝∠C＝60°， ∴∠A＝∠AFP＝∠APF， ∴△AFP是等边三角形， ∴FP＝AP， ∵BQ＝AP， ∴FP＝BQ， 在△FEP和△BEQ中， ∴△FEP≌△BEQ（AAS）， ∴FE＝BE=BF， ∵PD⊥AB于点D， ∴FD＝AD=AF， ∴DE＝FD＋FE＝（AF＋BF）=AB=， 故答案为：B． 【分析】过点P作PF∥BC交AB于点F，则∠EPF＝∠Q，先利用“AAS”证出△FEP≌△BEQ，可得FE＝BE=BF，再结合FD＝AD=AF，可得DE＝FD＋FE＝（AF＋BF）=AB=. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9． 如图所示， 点 均在正方形网格格点上， 则 　 　。 【答案】 【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：如图，在ΔABC和ΔDAE中，AC=DE，∠ACB= ∠DEA，BC=AE ∴△ABC≌△DAE(S.A.S.) ∴∠B=∠DAE ∴∠DCE= ∠DAE+ ∠ADC =45° ∴∠B+ ∠ADC= 45° 故选：B. 【分析】利用全等三角形的判定与性质得出△ABC≌△DAE后，再由三角形的外角性质可得∠B+ ∠ADC= 45°。 10．如图，在中，，高，交于点H．若，，则　 　． 【答案】5 【知识点】三角形全等的判定-ASA；线段的和、差、倍、分的简单计算；三角形的高 【解析】【解答】解：，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 【分析】先利用角的运算和等量代换可得，再利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换求出CH的长即可. 11．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，CB于点E和F；②分别以E，F为圆心，大于EF为半径画弧，两弧交于点D；③作射线CD交AB于点G；延长CA至H，使CH＝CB，连接HG，若AH＝2，AB＝5，则△AHG的周长为 　 　. 【答案】7 【知识点】三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：由作图可知，CH=CB，∠GCH=∠GCB， 在△GCH和△GCB中， ， ∴△GCH≌△GCB（SAS）， ∴GH=GB， ∴△AHG的周长=AH+AG+GH=AH+AG+GB=AH+AB=2+5=7. 故答案为：7. 【分析】由作图可知：CH=CB，∠GCH=∠GCB，利用SAS证明△GCH≌△GCB，得到GH=GB，则可将△AHG的周长转化为AH+AB，据此解答. 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为　 　． 【答案】 【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H． ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠BAD， 又AE=AE， ∴△AEF≌△AEF′（SAS）， ∴FE=EF′， ∵S△ABC=AB•CH=AC•BC， ∴CH=， ∵EF+CE=EF′+EC， ∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为， 故答案为：． 【分析】在AB上取点F'，使AF'=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H，利用SAS证明△AEF≌△AE F′，得出FE=EF′，因为EF+CE=EF'+EC，推出当C、 E、F'共线，且点F'与H重合时，FE+EC的值最小，然后利用面积法求出CH长，即可解答. 13．如图， 在 中， 平分， 点 在 的延长线上，， 若， 则的度数为　 　． 【答案】50 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：如图，延长CA到O，使AO=AB，连接OE， ∵∠BAC=30°，∠EAC=75°， ∴∠OAE=180°-∠EAC=105°，∠BAE=∠BAC+∠EAC=105°， ∴∠OAE=∠BAE， ∵AO=AB，AE=AE， ∴△AOE≌△ABE（SAS）， ∴∠B=∠O， ∵， ∴CE=AO+AC=OC， ∴∠O=∠CEO， ∴∠O+∠CEO+∠OCE=∠B+∠BAC+∠B+∠B=180°， ∴∠B=50°. 故答案为：50°. 【分析】延长CA到O，使AO=AB，连接OE，用SA证明△AOE≌△ABE，可得∠B=∠O，根据线段和差及已知可推出CE=OC，由等边对等角得∠O=∠CEO，再利用三角形内角和及三角形外角的性质即可求解. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，已知，． （1）求证：．（提示：连接） （2）当时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴. （2）与之间的数量关系是：. 【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SSS 【解析】【解答】解：（2）解：，理由如下： 如图，延长到， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与之间的数量关系是：. 【分析】（1）先连接AD，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可； （2）先求出，再求出，最后求解即可。 （1）证明：连接， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， 延长到， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．已知△ABC(如图)，用直尺和圆规作△DEF，使△DEF≌△ABC.(只需作出图形，保留作图痕迹，不必写作法) 【答案】解：如图，即为所求. 【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作三角形 【解析】【分析】利用”SSS“作，先作射线DE，然后以点D为圆心，AB为半径作弧交射线DE于点E，接下来以点E为圆心，BC为半径作弧，以点D为圆心，AC为半径作弧，两弧交于点F，顺次连接D、E、F三点，即可得到所求三角形. 16．如图，，点D在边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵和相交于点O，∴． 又∵在和中，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵，∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据全等三角形的判定即可判断； （2）由（1）可知：，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数． （1）证明：∵和相交于点O， ∴． 又∵在和中，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 17．已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 【答案】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： ， 如图，设与交于点G， ， ， ，， ， ． 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）由等量加等量和相等得∠BAD=∠CAE，从而利用“SAS”判断出△BAD≌△CAE； （2）根据全等三角形的对应角相等即可得到，由“8”字形图可得∠CDG=∠BAC=90°，从而可得结论. （1）证明：， ，即， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： ， 如图，设与交于点G， ， ， ，， ， ． 18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，点D是△ABC内一点，DB=DC，∠DCB=30°，点E是BD延长线上一点，AE=AB． （1）求∠ADE的度数； （2）求证：DE=AD+DC； 【答案】解：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°， ∴∠ABC=∠ACB==75°， ∵DB=DC，∠DCB=30°， ∴∠DBC=∠DCB=30°， ∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=45°， ∵AB=AC，DB=DC， ∴AD所在直线垂直平分BC， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC=15°， ∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°； （2）如图1，在线段DE上截取DM=AD，连接AM， ∵∠ADE=60°，DM=AD， ∴△ADM是等边三角形， ∴∠ADB=∠AME=120° ∵AE=AB，∴∠ABD=∠E， 在△ABD和△AEM中， ∠ADB=∠AME，∠ABD=∠E，AB=AE， ∴△ABD≌△AEM（AAS）， ∴BD=ME，∵BD=CD，∴CD=ME， ∵DE=DM+ME，∴DE=AD+CD. 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质及内角和定理得出∠ABC=∠ACB=75°，再根据等边对等角得出∠DBC的度数，进而得出∠ABD的度数，进而根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BAD=15°，进而根据三角形外角的性质得出∠ADE的度数；（2）如图1，在线段DE上截取DM=AD，连接AM，证明△ABD≌△AEM，根据全等三角形的对应边相等和线段的和差即可证得结论. 19．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是______． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）请写出图1中与的位置关系并证明； （3）思考：已知，如图2，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1） （2）证明：连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴. （3）解：结论：， 证明如下：延长使，连接、，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【知识点】三角形三边关系；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型 【解析】【解答】（1）解：连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴， 故答案为：； 【分析】（1）连接CQ，先证出四边形是平行四边形，可得，再利用三角形三边的关系可得； （2）连接CQ，先证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得AC//BQ； （3）延长使，连接、，先利用角的运算求出，再利用“SAS”证出，可得AG=EF，再利用等量代换可得． （1）解：连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴， 故答案为：； （2）证明：连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （3）解：，证明如下： 延长使，连接、， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质及三角形的三边关系，作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 20．在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与B，C重合），连接． （1）在图1中，当点D在边上时，求证：； （2）在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由； （3）在图3中，当点D在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出，，之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】（1）（1） 解：如图1， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）（2）不成立，存在的数量关系为．理由：如图2， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）（3）存在的数量关系为； 如图3， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题；手拉手全等模型 【解析】【分析】（1）根据，等量代换得到，进而证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）根据，等量代换得到，证明，根据全等三角形的性质再等量代换可得结论； （3）根据，等量代换得到，证明，根据全等三角形的性质可得，然后由是等腰直角三角形可得，，进而求出即可得出结论． （1）解：如图1， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）不成立，存在的数量关系为． 理由：如图2， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）存在的数量关系为； 如图3， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． B 抓核心 二大题型提升练 A 夯基础 四大题型提分练 C 抓拓展 能力强化拓展练 达标检测 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 14.2全等三角形的判定三（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 全等三角形的判定3：边边边（SSS） 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 要点诠释： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论. 注意：（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写. （2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. 题型1 用sss证明三角形全等 例1． 如图， AD=BC， AC=BD， 求证： △EAB 是等腰三角形. 【变式1-1】． 如图， AB=AC， AD=BD=AE=CE. 求证∠D=∠E. 【变式1-2】．如图，点 在一条直线上， ． （1）求证： ； （2）若 ，求 的大小． 【变式1-3】．如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（　　） A． B． C． D． 知识点2 用尺规作一个角等于已知角 已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB． 作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C、D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′； （3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB． 要点诠释： 1.核心依据：边边边（SSS）全等判定 通过构造三边对应相等的全等三角形实现角度复制。具体步骤中，以已知角顶点为圆心画弧，截取两边交点，再以新作射线端点为圆心重复此操作，最终连接两弧交点形成等角。 2.注意事项 操作需严格遵循“以相同半径画弧”的步骤，确保三角形三边对应相等。 适用于初中数学尺规作图的基本题型，是后续学习几何证明的基础./ 题型2 尺规作一个角等于已知角 例2．如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作，使，，不写作法，保留作图痕迹 【变式2-1】．已知△中，． （1）如图1，用直尺和圆规在的内部作射线，使，我们可以通过以下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，分别于点，； ②以为圆心，的长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交上一段弧于点． ④做射线； 请回答：这种作“”的方法的依据是________（填序号）. ①SSS ②SAS ③AAS ④ASA （2）如图2，当时，（1）中的射线交于点，已知，，，求的长． 【变式2-2】．如图，利用尺规，在的边上方作，在射线上截取，连接，并证明：．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法） 【变式2-3】．如图，在等边中，是边上一点（不含端点，），是的外角的平分线上一点，且． （1）尺规作图：在直线的下方，过点作，作的延长线，与相交于点． （2）求证：是等边； （3）求证：． 知识点3 运用边边边定理证明和计算 运用“SSS”证明两个三角形全等主要是找边相等，边相等除了题目中已知的边相等外，还有一些相等边隐含在题设或图形中。 要点诠释： 1.条件检查 ：需严格验证三边是否对应相等，避免混淆对应关系； 2.逻辑严密性 ：证明过程需每一步都有依据，如通过三角形内角和定理辅助推理。 题型3利用边边边公理证明线段相等、角相等 例3．如图，在和中，在同一条直线上，已知：，下列给出三个条件：．解答下列问题： （1）请选择两个合适的作为已知条件，余下一个作为结论，并给出证明过程： 我选择 作为已知条件， 作为结论（填写序号）． （2）在（1）的条件下，若与相交于点，求． 【变式3-1】．．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数 【变式3-2】．如图，在和中，D是边上一点，且． （1）求证：； （2）平分是否成立？请判断并说明理由． 【变式3-3】．如图，点在同一直线上，点在直线的同侧， （1）证明：． （2）若，求的度数． 题型4 利用全等三角形的性质与SSS计算与证明 例4．已知：如图，AC=BC，AD=BD，E，F分别是AC和BC的中点.求证：DE=DF. 【变式4-1】．已知：如图， AC， DB 相交于点O， AB=DC，∠ABO=∠DCO. 求证： （1）； （2）∠OBC=∠OCB. 【变式4-2】．小华遇到这样一个问题： 已知：如图，AB=DC，AC=DB. 求证：∠A=∠D. 小华经过测量，发现∠A与∠D的度数确实相等，但他不知道其中的道理.你能帮助他给出证明吗?试试看. 【变式4-3】．如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：． 题型5灵活选择全等三角形的判定方法计算与证明 例5．如图，正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是DA 的中点，连接BE 与CF 相交于点 P.求证：AP=AB. 【变式5-1】．如图①，，，，相交于点M，连接． （1）求证：； （2）用含的式子表示的度数； （3）当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明． 【变式5-2】．如图，在中，，于点，，点在上，． （1）求证：平分； （2）求证：． 【变式5-3】．如图，在等边三角形中，点在边上，点在边的延长线上，以为一边作等边三角形，连接． （1）若，求证：； （2）试探究：线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． 题型6 全等三角形的实践与探究 例6．（1）探究如图①，在▱ABCD 的形外分别作等腰直角△ABF 和等腰直角△ADE，∠FAB=∠EAD=90°，连接AC，EF.在图中找一个与△FAE 全等的三角形，并加以证明. （2）应用以▱ABCD 的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图②，连接EF，GH，IJ，KL，若▱ABCD 的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为　 　. 【变式6-1】．综合与实践 （1）问题发现 如图1，已知△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数及线段AD，BE之间的数量关系； （2）类比探究 如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE， 填空：①∠AEB的度数为　 　； ②线段CM，AE，BE之间的数量关系为　 　． （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若BE=4，CM=3，则四边形ABEC的面积为　 　． 【变式6-2】．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观察者从点向东走到点，此时恰好测得 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树，标杆，人在同一直线上 测量示意图 （1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段__________的长度． （2）第二小组测得米，请你帮他们求出河宽． （3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【变式6-3】．想测量操场上与地面垂直旗杆 BD的高度，小强如图 1设计的方案：在距B点3m地面上M处测出∠DMC=90°，在距地面3m的C点处垂直竖立竹竿AC， 测得 AB=12m. （1） 请你帮小强求出旗杆BD的高度； （2）小明如图2设计一个测量方案：测得 MB=CB=3米， MA=12米， 根据这些条件能求出旗杆 BD的高度吗?若能请计算求出；若不能请添加一个条件，使之能够计算求出，直接写出添加的条件. 例7．如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B． （1）如图1，当∠C=90°， AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD ； （2）如图2，当 ∠C≠90°， AD为 ∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD的数量关系为 　 　 ； （3）如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD 的数量关系为 　 　 ； 【变式7-1】．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E． （1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝_____°，∠DEC＝_____°；当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变______（填”大”或”小”）； （2）当DC＝AB＝2时，△ABD与△DCE是否全等？请说明理由： （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 【变式7-2】．两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，右图是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）若图2中的BE＝3CE，CD＝6，求 △DCE的面积． 一、选择题(每小题3分，共24分) 1． 如图，在四边形ABCD中，连接BD，已知AB=CB，若要用“SAS”判定△ABD≌△CBD，则还需添加的一个条件是 (　　) A．∠ABD=∠CBD B．∠A=∠C C．AD=CD D．∠ADB=∠CDB 2．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（　　）去最省事． A．① B．② C．③ D．①③ 3．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A． B． C． D． 4．两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB.小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD.其中正确的结论有(　　). A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个 5．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，顺次连接，，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，等边中，，分别是，，连结，则的度数是(　　) A． B． C． D．无法确定 7．风筝为中国人发明，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAE＝∠DAC，那么AC与AE相等．小飞直接证明△ABC≌△ADE，他的证明依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 8．如图，等边的边长为3，点P是边上的一个动点，过点P作于点D，延长至点Q，使得，连接交于点E，则之长为（　　） A．1 B． C．2 D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9． 如图所示， 点 均在正方形网格格点上， 则 　 　。 10．如图，在中，，高，交于点H．若，，则　 　． 11．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，CB于点E和F；②分别以E，F为圆心，大于EF为半径画弧，两弧交于点D；③作射线CD交AB于点G；延长CA至H，使CH＝CB，连接HG，若AH＝2，AB＝5，则△AHG的周长为 　 　. 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为　 　． 13．如图， 在 中， 平分， 点 在 的延长线上，， 若， 则的度数为　 　． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，已知，． （1）求证：．（提示：连接） （2）当时，直接写出与之间的数量关系． 15．已知△ABC(如图)，用直尺和圆规作△DEF，使△DEF≌△ABC.(只需作出图形，保留作图痕迹，不必写作法) 16．如图，，点D在边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 17．已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，点D是△ABC内一点，DB=DC，∠DCB=30°，点E是BD延长线上一点，AE=AB． （1）求∠ADE的度数； （2）求证：DE=AD+DC； 19．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是______． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）请写出图1中与的位置关系并证明； （3）思考：已知，如图2，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系，并加以证明． 20．在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与B，C重合），连接． （1）在图1中，当点D在边上时，求证：； （2）在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由； （3）在图3中，当点D在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出，，之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系 B 抓核心 二大题型提升练 C 抓拓展 能力强化拓展练 达标检测 A 夯基础 四大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $$