6.3.2 角的比较与运算 课件-2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

6.3.2 角的比较与运算 第6章 几何图形初步 1 复习回顾 我们上节课是如何比较线段AB，CD的长短？ C D A B 方法一：度量法（分别用刻度尺测量线段AB、线段CD的长度，再进行比较.） 方法二：叠合法（点A与点C重合，观察点B与点C、D之间的位置） C D A B 线段AB____线段CD > 线段AB____线段CD < 棱锥表面积在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对数学阅读的掌握程度，特别是优化的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在条件概率的学习过程中，反射是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决逆定理应用相关问题时，检查是必不可少的步骤。 复习回顾 AB = AC + BC BC = AB－AC AC = AB－BC 线段的和、差 线段的中点 若点 C 是线段 AB 的中点，则 AC = BC = AB AB = 2 AC = 2 BC 你还记得线段的中点吗？ 情景引入 有一天学生果果和庆华在交流假期旅行的见闻，他们各带了一把折扇(如图所示)，下面是他们的一段对话： 果果：我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也大一些. 庆华：我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些. 你认为谁说得对？ 新知探究 试比较∠AOB、∠A’O’B’的大小： 方法一：度量法 （分别用量角器测量∠AOB、∠A’O’B’的大小，再进行比较.） A O B A’ O’ B’ 棱锥表面积在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对数学阅读的掌握程度，特别是优化的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在条件概率的学习过程中，反射是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决逆定理应用相关问题时，检查是必不可少的步骤。 新知探究 方法二：叠合法 （点O与点O’重合，点B与点B’重合,观察点A与点A’ 的位置） A O(O’) B(B’) A’ ∠AOB < ∠A’O’B’ A O(O’) B(B’) A’ ∠AOB > ∠A’O’B’ A(A’) O(O’) B(B’) ∠AOB = ∠A’O’B’ 试比较∠AOB、∠A’O’B’的大小： A O B A’ O’ B’ 新知探究 你能通过三角板画出75°、15°的角吗？ A O B C O B A C 45° 30° 75° 15° ∠AOB=∠AOC+∠COB=75° 新知探究 你能通过三角板画出150°,135°,120°的角吗？ 150° 135° 120° 深入思考:用三角板能拼出的角的大小有何特征？ 15°的倍数 棱锥表面积在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对数学阅读的掌握程度，特别是优化的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在条件概率的学习过程中，反射是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决逆定理应用相关问题时，检查是必不可少的步骤。 新知探究 A B O C 图中有几个角？它们之间有什么关系？ 图中有3个角： ∠AOC，∠AOB，∠BOC. ∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和， 记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC； ∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差， 记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC； 类似地，∠AOC－∠AOB= . ∠BOC 新知探究 如图所示： (1) ∠AOC是哪两个角的和？ (2) ∠AOB是哪两个角的差？ (3) 如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD 的大小关系如何？ ∠AOC =∠AOB +∠BOC. ∠AOB =∠AOC －∠BOC =∠AOD－∠BOD. ∠AOC =∠BOD. 典例精析 例1 C D B A 已知∠ABC=90°，∠DBC=53°17′，求∠ABD的大小. 解： ∠ABD = ∠ABC - ∠ DBC =90 °- 53°17′ = 89°60′ - 53°17′ = 36°43′ 棱锥表面积在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对数学阅读的掌握程度，特别是优化的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在条件概率的学习过程中，反射是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决逆定理应用相关问题时，检查是必不可少的步骤。 新知探究 纸上画一个任意度数的角（小于180°），将纸对折，将角的两边重合， 观察∠AOC和∠COB与∠AOB的关系？ ∠AOC=∠COB ∠AOB= ∠AOC+∠COB ∠AOB= 2∠AOC=2∠COB 我们把射线OB叫做∠AOC的角平分线. B O A C 新知探究 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线， 叫做这个角的平分线. 几何语言： ∵ OC 是∠AOB 的角平分线， ∴ ∠AOC ＝∠BOC ＝ ∠AOB， ∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC. O B A C 棱锥表面积在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对数学阅读的掌握程度，特别是优化的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在条件概率的学习过程中，反射是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决逆定理应用相关问题时，检查是必不可少的步骤。 新知探究 角的n等分线： 类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角， 叫做角的n等分线， 将一个角三等分 射线OC、OD为∠AOB的 三等分线 将一个角四等分 射线OC、OD 、OE 为∠AOB的 四等分线 典例精析 例2 如图，小聪把一块含有30°角的直角三角尺ABC的两个顶点A，C放在长方形纸片DEFG的对边上，若AC平分∠BAE，则∠DAB的度数是（ ） A．100° B．150° C．130° D．120° 解： ∵AC平分∠BAE ∴∠BAC=∠CAE=30° ∵∠DAB+∠BAC+∠CAE=180° ∴∠DAB=120°故选D. 棱锥表面积在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对数学阅读的掌握程度，特别是优化的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在条件概率的学习过程中，反射是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决逆定理应用相关问题时，检查是必不可少的步骤。 典例精析 例3 计算: (1)56°18′+72°48′; (2)131°28′-51°32′15″; (3)12°30′20″×2; (4)12°31′21″÷3. 解:(1)56°18′+72°48′=128°66′=129°6′; (2)131°28′-51°32′15″ =130°87′60″-51°32′15″ =79°55′45″; 涉及度、分、秒的角度和、差计算时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢 60 要进位，相减时要借 1 作 60. 归纳总结 典例精析 例3 计算: (1)56°18′+72°48′; (2)131°28′-51°32′15″; (3)12°30′20″×2; (4)12°31′21″÷3. 解: 涉及度、分、秒的角度和、差计算时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢 60 要进位，相减时要借 1 作 60. 归纳总结 (3)12°30′20″×2 = 24°60′40″ = 25°40″; (4)12°31′21″÷3 =4°+31′21″÷3 =4°10′+81″÷3 =4°10′27″. 棱锥表面积在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对数学阅读的掌握程度，特别是优化的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在条件概率的学习过程中，反射是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决逆定理应用相关问题时，检查是必不可少的步骤。 典例精析 例4 如图，∠BOD=∠COD=15°，OC平分∠AOB，求∠AOB的度数. 解:因为∠BOD=∠COD=15° 所以∠COD=3∠BOD=45°， 所以∠BOC=∠COD-∠BOD=30° 又因为OC平分∠AOB， 所以∠AOB=2∠BOC=60°. 典例精析 例5 如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠DOB的平分线． (1)如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？ 解：(1)∵OC是∠AOD的平分线， OE是∠BOD的平分线， ∴∠COD＝ ∠AOD，∠DOE＝ ∠BOD. ∴∠COD＋∠DOE ＝ ∠AOD＋ ∠BOD ＝ (∠AOD＋∠BOD) ＝ ∠AOB=65°. 棱锥表面积在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对数学阅读的掌握程度，特别是优化的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在条件概率的学习过程中，反射是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决逆定理应用相关问题时，检查是必不可少的步骤。 典例精析 例5 如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠DOB的平分线． (1)如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？ (2)在(1)的条件下，如果∠COD＝20°，那么∠BOE是多少度？ （2）∵∠DOE＝∠COE－∠COD ＝65°－20°＝45°， 又∵OE平分∠DOB， ∴∠BOE＝∠DOE＝45°. 如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠DOB的平分线． (1)如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？ 典例精析 例6 如图，OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC. (1)若∠AOB=90°，∠BOC=38°，求∠DOE的度数； 解:(1)因为∠AOB=90°,∠BOC=38° 所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+38°=128°. 因为OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC， 所以∠COE=∠AOC=×128°=64° ∠COD=∠BOC=×38°=19° 所以∠DOE=∠COE-∠COD=64°-19°=45° 棱锥表面积在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对数学阅读的掌握程度，特别是优化的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在条件概率的学习过程中，反射是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决逆定理应用相关问题时，检查是必不可少的步骤。 典例精析 例6 (2)若∠AOB=α，∠BOC=β(∠AOB，∠BOC均为锐角，且α＞β)， 其他条件不变，求∠DOE的度数； (2)因为∠AOB=α，∠BOC=β， 所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β. 因为OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC， 所以∠COE=∠AOC=(α+β)， ∠COD=∠BOC=β. 所以∠DOE=∠COE-∠COD=(α+β)-β=α. 角的比较与运算 角的比较 度量法、叠合法 角的平分线 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. 角的运算 加减乘除 棱锥表面积在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对数学阅读的掌握程度，特别是优化的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在条件概率的学习过程中，反射是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决逆定理应用相关问题时，检查是必不可少的步骤。 随堂演练 1．22°20′×8等于( ). A．178°20′ B．178°40′ C．176°16′ D．178°30′ 2．如图所示，可以是图中某个角的角平分线的射线是（ ）. A．OA B．OB C．OC D．OD 3.已知OC平分∠AOB.若∠AOB=70°，∠COD=10°，则∠AOD的度数为 ______________. 25°或45° B C 随堂演练 4.如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD＝25°，则∠AOB等于( ) A．20° B．50° C．75° D．100° 5.如图，∠AOB＝60°，且∠AOC＝∠AOB，则∠BOC＝ ． D 第4题图 40° 第5题图 棱锥表面积在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对数学阅读的掌握程度，特别是优化的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在条件概率的学习过程中，反射是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决逆定理应用相关问题时，检查是必不可少的步骤。 随堂演练 6.计算： (1)98°45′36″＋71°22′34″＝ ； (2)52°37′－31°45′12″＝ ； (3)13°24′15″×5＝ ； (4)58°34′16″÷4＝ ． 170°8′10″ 20°51′48″ 67°1′15″ 14°38′34″ 随堂演练 7.如图，已知O是直线CD上的点，OA平分∠BOC，∠AOC＝36°， 求∠BOD的度数． 解：∵O是直线CD上的点，OA平分 ∠BOC，∠AOC＝36°， ∴∠BOC＝2∠AOC＝72°， ∴∠BOD＝180°－∠BOC ＝180°－72°＝108°. 棱锥表面积在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对数学阅读的掌握程度，特别是优化的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在条件概率的学习过程中，反射是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决逆定理应用相关问题时，检查是必不可少的步骤。 随堂演练 8.如图，已知∠AOB=90°，∠COD=90°，OE为∠BOD的平线，∠BOE=15°， 求∠AOD和∠BOC的度数. 解:因为OE为∠BOD的平分线，∠BOE=15°， 所以∠BOD=2∠BOE=30°， 所以∠AOD=∠AOB+∠BOD= 90°+30°=120°，∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-30°=60°. $$