专题21.5 反比例函数重难点题型专训（5个知识点+23大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题21.5 反比例函数重难点题型专训 （5个知识点+23大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 用反比例函数描述数量关系 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 题型三 根据反比例函数的定义求参数 题型四 求反比例函数值 题型五 由反比例函数值求自变量 题型六 判断（画）反比例函数图象 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型八 判断反比例函数的增减性 题型九 已知反比例函数的增减性求参数 题型十 判断反比例函数图象所在象限 题型十一 比较反比例函数值或自变量的大小 题型十二 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型十三 已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 题型十五 根据图形面积求比例系数（解析式） 题型十六 求反比例函数解析式 题型十七 实际问题与反比例函数 题型十八 反比例函数与几何综合 题型十九 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型二十 一次函数与反比例函数的交点问题 题型二十一 一次函数与反比例函数的实际应用 题型二十二 一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型二十三 反比例函数、二次函数图象综合判断 拓展训练一 反比例函数的求参相关问题 拓展训练二 反比例函数增减性相关问题 拓展训练三 反比例函数图像的综合问题 拓展训练四 反比例函数应用 拓展训练五 一次函数与反比例函数综合应用 知识点一：反比例函数 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 反比例函数解析式的特征：1) 等号左边是函数，等号右边是一个分式； 2）； 3） 分母中含有自变量x，且指数为1. 反比例函数中自变量和函数值的取值范围：自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数. 【即时训练】 1．（2025八年级下·上海·专题练习）下列函数中，是关于变量与的反比例函数有（　　）个 ①（为常数）；②；③；④；⑤；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·重庆綦江·一模）若反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 知识点二：反比例函数的图像 1.双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 用描点法画双曲线： 1）列表：自变量的取值应以0为中心，向两边分别取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； 2）描点：先描出一侧的点，另一侧可根据中心对称性质去找点；（注意：描点的数目越多，图像越准确.） 3）连线：按照从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点并延伸，注意两个分支是断开的. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图所示，其函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 知识点三：反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【即时训练】 1．（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是 ． 知识点四：待定系数法求反比例函数解析式 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤： （1）设：设所求的反比例函数为：； （2）列：把已知的一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解：解方程求出待定系数k的值； （4）代：把求得的k值代回所设的函数关系式 中. 【补充】当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时,可直接设函数. 【即时训练】 1．（2025九年级下·云南·学业考试）若反比例函数的图象经过点和，则的值为（    ） A． B．12 C．3 D． 2．（2025·湖北·二模）写出一个反比例函数的图象不经过第一、三象限，则这个反比例函数的表达式是 ． 知识点五：反比例函数与实际问题 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·山东滨州·期中）已知力F所做的功W为15焦，则表示力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系的图象大致为（   ） A．  B．  C．  D．   2．（24-25九年级上·河南许昌·期末）快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【经典例题一 用反比例函数描述数量关系】 【例1】（2025·湖南长沙·三模）已知长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积（单位：/人）随全市人口（单位：人）的变化而变化，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·全国·期中）2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 1．（24-25八年级下·河北张家口·期末）若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 2．（2025七年级上·湖南·专题练习）下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如果是的正比例函数，是的反比例函数，那么是的 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）先列出下列问题中的函数表达式，再指出它们分别是什么函数． (1)电压为时，电阻R（单位：）与电流I（单位：A）之间的函数关系． (2)食堂每天用煤，用煤总量W（单位：t）与用煤天数t之间的函数关系． (3)积为常数的两个因数y与x之间的函数关系． 【经典例题二 根据定义判断是否是反比例函数】 【例1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列表达式中，表示y是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级下·全国·单元测试）如果y是z的反比例函数，z是x的正比例函数，且x≠0，那么y与x具有怎样的函数关系？ 1．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）下列函数是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？ ①；②；③；④（a为常数且）； 解：其中 是反比例函数，而 不是． 4．（23-24九年级下·全国·单元测试）下列各式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？ (1)x＝－；   (2)－xy－2＝0. 【经典例题三 根据反比例函数的定义求参数】 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）若是反比例函数，则a 的值为（　　） A．1 B． C． D．2 【例2】（23-24九年级上·湖南怀化·期末）已知函数是反比例函数，求的值． 1．（2025九年级上·全国·专题练习）若是反比例函数，则a的取值为（         ） A．1 B． C． D．任意实数 2．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）若函数是反比例函数，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．或1 D．或 3．（2025·陕西西安·一模）已知点与点在同一反比例函数的图象上，则a的值为 ． 4．（24-25九年级下·全国·课后作业）已知y=（m-2）x|m|-3是反比例函数，则m是什么？ 【经典例题四 求反比例函数值】 【例1】（24-25九年级上·山东烟台·阶段练习）下列各点在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知y是x的反比例函数，且时，． (1)求出y与x之间的函数表达式． (2)当时，求y的值． 1．（24-25九年级上·全国·阶段练习）下列各点在反比例函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期末）对于反比例函数，当自变量的值从2增加到8时，函数的值（　　） A．增加了6 B．减少了6 C．增加了3 D．减少了3 3．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）若反比例函数的图象经过，则的值是 ． 4．（24-25九年级下·湖南常德·期中）已知与成反比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，的值是多少？ 【经典例题五 由反比例函数值求自变量】 【例1】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C．4 D． 【例2】（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 1．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，则m的值是（   ） A． B．1 C． D． 2．（24-25八年级下·重庆·期末）已知点在反比例函数的图象上，则a的值是（   ） A． B．3 C． D． 3．（24-25七年级上·北京顺义·期末）通常利用公式解决杠杆平衡问题，其中表示动力，表示动力臂，表示阻力，表示阻力臂.已知，，，则的值为 . 4．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 【经典例题六 判断(画)反比例函数图家】 【例1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． 1 2 4 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，函数的图象所在坐标系的原点是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）反比例函数与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内（不含边界）只有8个整点（横、纵坐标均为整数），则的取值范围为 ． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中画出反比例函数和的图象，并解答下列问题： 反比例函数的图象叫做_______．因为自变量x与函数y的值都不能取_______，所以反比例函数的图象与x轴、y轴_______(填“有”或“无”)交点． 【经典例题七 已知反比例函数的图象判断其解析式】 【例1】（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 【例2】（22-23九年级下·广西钦州·阶段练习）如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 1．（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）为反比例函数的图象上两点，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，反比例函数的图象上有一点C，作轴，轴，交函数图象上点A，B，且，，则 ． 4．（2024·山东德州·二模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝﹣的图象在第二象限交于点C，如果点A为的坐标为（2，0），B是AC的中点． （1）求点C的坐标及k、b的值． （2）求出一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点的坐标，并直接写出当时，x的取值范围． 【经典例题八 判断反比例函数的增减性】 【例1】（2025·云南临沧·模拟预测）点在函数图象上，下列说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 【例2】（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）在函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下是兴趣小组研究函数性质及其应用的部分过程，请完成下列各小题． x … －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … … a －3 0 3 b … (1)______；______；并在图中补全该函数图象； (2)根据函数图象，下列关于该函数性质的说法． ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴． ②当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 其中正确的是______．（只填序号） (3)兴趣小组进一步探究：函数与函数的关系，请你在同一坐标系中画出函数的图象，结合你所画的函数图象完成下列问题． ①方程有______个解； ②直接写出不等式的解集为______．（保留1位小数，误差不超过0.2） 1．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知点和点均在反比例函数是常数，的图象上，若，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．无法确定的正负 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）关于反比例函数，下列结论错误的是（    ） A．图象关于原点中心对称 B．图象与坐标轴没有交点 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 3．（24-25九年级上·四川成都·期末）对于反比例函数，当自变量时，函数值y的取值范围是 ． 4．（23-24九年级上·湖南株洲·阶段练习）已知反比例函数 （m为常数）的图象在每个象限内y随x增大而增大，求m的取值范围． 【经典例题九 已知反比例函数的增减性求参数】 【例1】（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）在反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河南新乡·期中）已知反比例函数，为常数，． (1)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，试判断点，是否在这个函数图象上，并说明理由． 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）若双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知是双曲线上的两点，当时，有，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期末）若点和点在反比例函数的图象上，当时，．则的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·陕西汉中·阶段练习）已知反比例函数．若它的图象在每一象限内的值随值的增大而增大，求的值． 【经典例题十 判断反比例函数图象所在象限】 【例1】（23-24九年级上·广西梧州·期末）函数的图象分布在（   ） A．第一、四象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限 【例2】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知关于的反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)判断该反比例函数图象经过的象限． 1．（24-25九年级下·广东汕头·开学考试）反比例函数的图像位于（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第一、二象限 2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）反比例函数的图象分别位于（　　） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 3．（2023·浙江台州·三模）已知点和在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是 ． 4．（22-23九年级上·全国·单元测试）反比例函数的图象过点． (1)求反比例函数y与自变量x之间的关系式，它的图象在第几象限内？ (2)y随x的减小如何变化？ (3)试判断点，是否在此函数图象上？ 【经典例题十一 比较反比例函数值或自变量的大小】 【例1】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）若点，，都在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）已知反比例函数．点均在反比例函数的图象上，若，请写出的大小关系，简单说明理由． 1．（2025九年级上·全国·专题练习）在反比例函数 (m为常数)的图像上有两点，且则（　　） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）反比例函数的图象上有两点，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）在函数（a为常数）的图像上三点，，，则函数值、、的大小关系是 ． 4．（22-23九年级下·吉林白城·阶段练习）已知反比例函数，当时，. (1)求的值. (2)当时，的取值范围为______ 【经典例题十二 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 【例1】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024·贵州贵阳·模拟预测）中考过后，我们会是双曲线两个分支上的两个点，随着时间的流逝，我们渐行渐远吗？如图，还是点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，已知，． (1)直接写出C点坐标 (2)求反比例函数的解析式； (3)若点P在x轴上，且，直接写出点P的坐标． 1．（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽滁州·一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·北京房山·一模）已知点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，若OA=OB，则点B的坐标为 ． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在图像的任一个分支上任意取些点，如，然后在直角坐标系中分别作出它们关于原点的对称点．你发现了什么？你认为反比例函数的图象具有怎样的对称性？ 【经典例题十三 已知双曲线分布的象限求参数范围】 【例1】（24-25九年级上·全国·期末）若双曲线 的一支位于第三象限，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）已知反比例函数的图象经过第二、四象限，求n的取值范围． 1．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图为反比例函数，，在同一坐标系的图象，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）若双曲线的图像分布在第二、四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期末）点和反比例函数图象的位置关系如图所示，则k的值可能为 （写出一个满足要求的）． 4．（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 【经典例题十四 已知比例系数求特殊图形的面积】 【例1】（24-25九年级上·云南红河·期中）如图，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分别为A，，则矩形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 1．（24-25九年级上·天津·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（   ） A．4 B．2 C．1 D．无法计算 2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为（    ）． A．8 B．10 C．12 D．16 3．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 4．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线之上，且轴，，在轴上，若四边形为矩形，求它的面积． 【经典例题十五 根据图形面积求比例系数(解析式)】 【例1】（2025·广东肇庆·一模）如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（　　） A． B． C．4 D． 【例2】（2025·贵州毕节·一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 1．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A向x轴作垂线，垂足为B，点C在y轴上，连接，．若的面积为2，则（   ） A．4 B． C． D．2 2．（24-25九年级下·湖南湘西·阶段练习）如图，平行于 x 轴的直线与函数 和 的图象分别 相交于 A 、B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若的面积为4， 则的值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2025·福建福州·模拟预测）如图，已知A是反比例函数图象上的一点，B，C在x轴上，D在y轴上，交x轴于E，轴，若，，则 ． 4．（2025·江西新余·二模）如图，点，均在反比例函数的图象上，轴于点，于点，且的面积为4，求的值． 【经典例题十六 求反比例函数解析式】 【例1】（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）已知反比例函数的图像经过中的两点，则反比例函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·青海西宁·期中）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接，，则的面积______； (3)直接写出当时，关于的不等式的解集______． 1．（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）若反比例函数的图象经过点，则k的值为（    ） A．6 B． C．8 D． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：三点，函数的图像经过A，B，C三点中的两个点，则(   ) A．12 B．24 C．20 D． 3．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，且．若一反比例函数的图象交边于点，过点作轴，垂足为．当时，这一反比例函数的图象交边于点，则的长为 ． 4．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知反比例函数的图像经过． (1)求k的值； (2)在每个象限内，y随x的增大怎样变化？ 【经典例题十七 实际问题与反比例函数】 【例1】（22-23九年级上·全国·期中）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（）是气球体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该（   ） A．不小于 B．小于 C．不大于 D．小于 【例2】（24-25八年级下·全国·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的几组对应值如表所示． 3 4 5 6 7 8 9 10 a 9 7.2 b 5.14 4.5 4 c (1)请写出这个反比例函数的表达式． (2)上表中的a、b、c的值分别是多少？ (3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么该用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 1．（2025九年级上·全国·专题练习）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V（）时，气体的密度也随之改变，ρ与V在一定范围内满足，当时，ρ关于V的函数图象是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西朔州·二模）物理实验中，同学们分别测量甲、乙、丙、丁四种液体的体积和它们的质量，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四种液体中密度最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是 班． 4．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）图1是2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台，曲线的设计灵感来自敦煌“飞天”飘带，又名“雪飞天”，它是世界上首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆．图2是赛道剖面图的一部分，将其放在平面直角坐标系中，其中线段表示距离水平面（轴）高度为的平台（点A在轴上），滑道可以看作是反比例函数图像的一部分，点B到轴的距离是，点C到水平面的距离为，滑道可以看作是二次函数图像的一部分，最高点到轴的距离是，到水平面的距离是． (1)求滑道的函数解析式及自变量的取值范围； (2)求滑道的函数解析式及自变量的取值范围； (3)在小明沿滑道从点B滑到点D处的过程中，当他距地面时，所滑过的水平距离为 （直接写出所有可能的结果）． 【经典例题十八 反比例函数与几何综合】 【例1】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，点在反比例函数（）的图像上，过点分别作轴、轴的垂线交轴、轴于点、，线段、与反比例函数（）的图像相交于点、，连接．则的面积为（   ） A． B． C．1 D．2 【例2】（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． (1)求的值； (2)求四边形的面积． 1．（24-25八年级下·山西晋城·期中）已知反比例函数的图象如图所示，点，在反比例函数的图象上，连接，两点，刚好经过原点，为第四象限内一点，且与x轴平行，与y轴平行，若，则的值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，面积为6的四边形中，对角线，已知长为，长为，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，点是轴负半轴上任意一点，过点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，若为轴上任意一点，连接、，则的面积为 ． 4．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，且． (1)求经过点C的反比例函数的解析式； (2)设P是（1）中所求函数图象上一点，若的面积是的面积2倍，求点P的坐标． 【经典例题十九 一次函数与反比例函数图象综合判断】 【例1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在同一个平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·河南周口·三模）如图所示，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于（不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）问题： (1)G内整点最多有 个； (2)若G内整点的个数为4，求点B的纵坐标m的取值范围． 1．（24-25九年级上·全国·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）函数与()在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江温州·模拟预测）已知一次函数与 （，是常数，且 ，）的图象如图所示，它们的两个交点坐标分别是，则分式方程 的解是 ； ． 4．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出和的交点D的坐标，并根据图像法观察，直接写出当时，求x的取值范围． 【经典例题二十 一次函数与反比例函数的交点问题】 【例1】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【例2】（2025九年级上·全国·专题练习）已知一次函数与反比例函数的图象相交于A和B两点，其中有一个交点A的横坐标是3． (1)求k的值 (2)求A，B两点的坐标． (3)连接与，求的面积． 1．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，函数与的图象相交于两点，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的坐标为，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的与的图象交于点，则代数式的值为 ． 4．（24-25九年级下·四川内江·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出不等式的解集： (3)点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 【经典例题二十一 一次函数与反比例函数的实际应用】 【例1】（24-25九年级上·山西·期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 1．（2023·贵州遵义·二模）小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 2．（2024·广西南宁·一模）某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 3．（2024·广东深圳·二模）如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 4．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【经典例题二十二 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 【例1】（23-24九年级上·河北保定·期末）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是，则k的值为（　　） A．8 B． C．4 D． 【例2】（24-25九年级上·广东清远·期末）已知：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，交点A、B的横坐标分别为和2． (1)求一次函数的表达式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)如图，连接、，求的面积． 1．（2024·山东青岛·二模）反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示．则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南周口·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点均在反比例函数的图象上，点均在一次函数的图象上，且轴于点C，连接，若点A的坐标为，则的面积为 ． 4．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）一次函数交轴于点，交反比例函数于点，已知点的横坐标为1． (1)求反比例函数解析式； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的坐标． 【经典例题二十三 反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例1】（22-23九年级上·浙江绍兴·自主招生）方程实数根的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（23-24九年级上·江苏苏州·期中）规定：若函数的图象与函数的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． (1)下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是 　　（填写序号）； (2)若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标． ①求实数的值； ②求另外两个“兄弟点”的横坐标． 1．（24-25九年级上·山东烟台·阶段练习）如图所示，二次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·三模）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． 4．（2024·河南开封·二模）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数． 下面参照学习函数的过程和方法，探究分段函数的图象与性质． 列出表格： … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 4 1 0 1 4 2 1 … 描点连线： （1）以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，请在所给的平面直角坐标系中描点，并用平滑曲线画出函数的图象． 探究性质： （2）结合（1）中画出的函数图象，请回答下列问题： ①当时，该函数图象的对称轴为______，最低点坐标为______． ②点，在该函数图象上，则______（填“＞”“＜”或“＝”）． ③请写出该函数的一条性质：______________________． 解决问题： （3）①当直线时，与该函数图像的交点坐标为_________________． ②在直线的左侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求值． 【拓展训练一 反比例函数的求参相关问题】 【例1】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，点A在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边做正方形ACDE，点D恰好在反比例函数的图像上，连接AD，若，则k的值为（    ） A．10 B．8 C．9 D． 【例2】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）在函数的学习过程中，我们经历“画函数图象一利用函数图象研究其性质一运用函数图象解决问题”的学习过程． 下面根据学习函数的过程和方法，探究分段函数的相关性质和应用． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出了分段函数图象的一部分，并补全该分段函数的图象如图所示． x ……    写出该分段函数的一条性质：　 　； (2)直线与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是　 　； (3)若该分段函数图象上有两点、，且，则m的取值范围是　 　； (4)当时，函数值y的取值范围为，当a取某个范围内的任意值时，b为定值，直接写出满足条件的a的取值范围及其对应的b值． 1．（2025·江苏无锡·二模）定义在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，为正整数，则称点为该函数的“倍值点”． ①点是一次函数的“2倍值点”； ②若二次函数存在唯一的“2倍值点”，则； ③反比例函数，总存在二个关于原点对称的“倍值点”； ④若函数的“倍值点”在以点为圆心，为半径的圆内部，则为不小于3的所有整数．上述说法正确的有（    ） A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）已知反比例函数的图象上有两点A（a-3，2b），B(a，b-2)，且a<0，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知函数是反比例函数，且当x＜0时，y随着x的增大而增大，则m的取值是 ． 4．（2024·山东济南·一模）如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标； （3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．    【拓展训练二 反比例函数增减性相关问题】 【例1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）已知三点、、均在双曲线上，且，则下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）在反比例的图象的每一支上，都随的增大而减小，且整式是一个完全平方式，求反比例函数的解析式． 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知y与x成反比例，当x增加20%时，y将（　　） A．减少20% B．增加20% C．减少80% D．约减少16.7% 2．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）若 ，两点均在函数的图像上，且＜，则-的值为（     ） A．正数 B．负数 C．零 D．非负数 3．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知反比例函数与，当时，的最大值为4，则的值是 ． 4．（2023·浙江杭州·中考真题）设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）． （1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值． （2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？ 【拓展训练三 反比例函数图像的综合问题】 【例1】（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知对于双曲线，在其上始终存在两点，使得关于直线对称，则下列关于双曲线说法正确的是（   ） A．双曲线E是不具有对称轴的中心对称图形 B．双曲线E是中心对称图形且有一条对称轴 C．双曲线E是具有两条对称轴的轴对称图形 D．双曲线E的自变量能够保证连续性 【例2】（2023·河北秦皇岛·一模）如图反比例函数的图象经过点、点P是一次函数的图象与该反比例函数图象的一个公共点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)当点P的纵坐标为1时， ①求的面积： ②方程的解为______；当x满足______： (3)对于一次函数．当y随x的增大而增大时，则点P横坐标a的取值范围为______． 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（　　） A．1 B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个5×2的矩形DEFG网格，每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数（k≠0，x＞0）的图像经过格点A（小正方形的顶点），同时还经过矩形DEFG的边FG上的C点，反比例函数（k≠0，x＜0）的图像经过格点B，且，则k的值是（    ） A．2 B． C． D． 3．（2023·新疆昌吉·二模）如图所示，反比例函数在第一象限内分支上有一动点A，连接AO并延长与另一分支交于点B，以AB为边作一个等边△ABC，使得点C落在第四象限内．在点A运动过程中，直接写出△ABC面积的最小值 ． 4．（23-24九年级上·江西新余·期末）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点． (1)求和的值． (2)若点与点关于直线对称，连接． ①求点的坐标； ②若点在反比例函数的图象上，点在轴上，以点为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 【拓展训练四 反比例函数应用】 【例1】（2023·河南安阳·一模）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（        ） A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为 【例2】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上． (1)求的长度； (2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 1．（2023九年级·广东·竞赛）2021年新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，严格按照防疫要求进行个人防护和环境消杀是防控的重点．已知某种环境消杀使用的消毒液中含有有效成分，每将个单位的溶解在一定量水中，则消毒液的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次溶解，则某一时刻水中的浓度为每次溶解的在相应时刻溶解的浓度之和．根据科学实验，当消毒液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效消毒．则下列结论不正确的是（    ） A．一次投放4个单位的，在2分钟时，消毒液的浓度为克/升 B．一次投放4个单位的，有效消毒时间可达8分钟 C．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，第8分钟消毒液的浓度为5克/升 D．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，接下来的4分钟能够持续有效消毒 2．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点B在y轴正半轴上，点A在反比例函数的图象上，若顶点C和边的中点M都在反比例函数的图象上，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）如图，是等边三角形，点A在x轴的正半轴上，在第一象限，轴，点D为的中点，反比例函数的图象经过点C和点D，的延长线与反比例函数的图象相交于点E，连结．已知，，则 ，的值是 ． 4．（24-25九年级下·湖南怀化·阶段练习）已知是自变量的函数，当（为常数）时，称函数为函数的“阶升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的阶升幂点”，点在函数的“阶升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“2阶升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的2阶升幂点”，点在函数的“2阶升幂函数”的图象上． (1)求函数的“3阶升幂函数”的函数表达式； (2)点在函数的图象上，点“关于的1阶升幂点”在点的上方，当时，求点的坐标； (3)已知函数是函数的“阶升幂函数”，与的图象交于，两点，若，且，求的取值范围． 【拓展训练五 一次函数与反比例函数综合应用】 【例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．请利用直角坐标系构造恰当的图形，判断不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例2】（2024八年级下·江苏·专题练习）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 1．（2024·湖北·模拟预测）反比例函数与一次函数的图像如图所示，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④若均在反比例函数上且，则且    A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　） A．函数图象的对称中心是 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数有最小值，且最小值为4 D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点 3．（2023·江苏常州·一模）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶好点”．例如点是函数图像的“1阶好点”；点是函数图像的“2阶好点”，若y关于x的二次函数图像的“3阶好点”一定存在，则a的取值范围为 ． 4．（2025·四川成都·二模）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，那么与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）若反比例函数的图象在每个象限内的值随值的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知反比列函数，其部分对应值如下表： … 1 2 … … … 下列判断不成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2025·安徽合肥·二模）如图，已知点在反比例函数图象上，轴，垂足为点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级下·山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 8．（2023·广西南宁·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆上，点Q是的中点，且长的最大值为1.5，则k的值为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23九年级上·湖南益阳·期末）如图，直线与双曲线交于点A，B，与y轴交于点C，与x轴交于点D，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为点F，E，连接，若，则k的值为（    ） A．3 B．6 C． D． 10．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与双曲线交于点，作轴于点．平移直线使其经过点，得到直线，与双曲线交于点，作轴于点．作轴，交直线于点，反比例函数的图象是一条经过点的双曲线．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 11．（22-23九年级上·全国·期中）已知和是同一个反比例函数图象上的两个点，则 ． 12．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知点，在反比例函数 (k是常数)的图象上，当时，，则k的取值范围是 ． 13．（2025九年级上·全国·专题练习）在反比例函数 中，x，y 同号，则k的取值范围是 ． 14．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝ ． 15．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，矩形的顶点O 为坐标原点，边分别在y轴、x轴上，，，反比例函数 的图象经过矩形对角线的交点E． （1） ； （2）过点 B作，交该反比例函数的图象于点 F，交 x轴于点D，则 的值为 16．（24-25九年级上·全国·期末）已知函数 (1)若y是x的正比例函数，求m的值． (2)若y是x的反比例函数，求m的值． 17．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知y与成反比例，当时，． (1)写出y关于x的函数表达式． (2)当时，求y的值． (3)当时，求x的值． 18．（2025·四川达州·一模）如图，直线(为常数)与双曲线(为常数)相交于两点． (1)求直线 的解析式； (2)在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 19．（2025·河南·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，交反比例函数的图象于B，C两点，以为边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，矩形面积分别记为，已知． (1)直接写出反比例函数的表达式； (2)求矩形的面积． 20．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12， ①若点在点的左侧，求点的坐标． ②点可在点的右侧吗？若在，直接写出点的坐标，若不在，请说明理由 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.5 反比例函数重难点题型专训 （5个知识点+23大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 用反比例函数描述数量关系 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 题型三 根据反比例函数的定义求参数 题型四 求反比例函数值 题型五 由反比例函数值求自变量 题型六 判断（画）反比例函数图象 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型八 判断反比例函数的增减性 题型九 已知反比例函数的增减性求参数 题型十 判断反比例函数图象所在象限 题型十一 比较反比例函数值或自变量的大小 题型十二 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型十三 已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 题型十五 根据图形面积求比例系数（解析式） 题型十六 求反比例函数解析式 题型十七 实际问题与反比例函数 题型十八 反比例函数与几何综合 题型十九 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型二十 一次函数与反比例函数的交点问题 题型二十一 一次函数与反比例函数的实际应用 题型二十二 一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型二十三 反比例函数、二次函数图象综合判断 拓展训练一 反比例函数的求参相关问题 拓展训练二 反比例函数增减性相关问题 拓展训练三 反比例函数图像的综合问题 拓展训练四 反比例函数应用 拓展训练五 一次函数与反比例函数综合应用 知识点一：反比例函数 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 反比例函数解析式的特征：1) 等号左边是函数，等号右边是一个分式； 2）； 3） 分母中含有自变量x，且指数为1. 反比例函数中自变量和函数值的取值范围：自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数. 【即时训练】 1．（2025八年级下·上海·专题练习）下列函数中，是关于变量与的反比例函数有（　　）个 ①（为常数）；②；③；④；⑤；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数定义：两个变量之间的关系为的形式，由反比例函数定义逐项判断即可得到答案，熟记反比例函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：①（为常数），是反比例函数； ②，是正比例函数； ③，是反比例函数； ④，是反比例函数； ⑤，是正比例函数； ⑥由得到，是反比例函数； 综上所述，反比例函数有：①③④⑥，共4个， 故选：D． 2．（2025·重庆綦江·一模）若反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】-4 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入反比例函数，即可求得的值． 【详解】解：函数的图象经过点，， 解得， 故答案为：-4 知识点二：反比例函数的图像 1.双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 用描点法画双曲线： 1）列表：自变量的取值应以0为中心，向两边分别取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； 2）描点：先描出一侧的点，另一侧可根据中心对称性质去找点；（注意：描点的数目越多，图像越准确.） 3）连线：按照从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点并延伸，注意两个分支是断开的. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图所示，其函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的图象，根据反比例函数的图象进行解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∴， ∴可能是． 故选：B． 2．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键． 根据图象得出结论． 【详解】解：由图可知，当时，． 故答案为：． 知识点三：反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【即时训练】 1．（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的中心对称性，根据反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此即可求解，熟练掌握反比例函数图象的中心对称性是解题的关键． 【详解】解：∵过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称， ∴它们的另一个交点坐标是， 故选：． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质进行解答即可． 【详解】解：∵函数的图象在第一、三象限， ∴函数的图象与坐标轴的交点个数是 故答案为：0 知识点四：待定系数法求反比例函数解析式 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤： （1）设：设所求的反比例函数为：； （2）列：把已知的一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解：解方程求出待定系数k的值； （4）代：把求得的k值代回所设的函数关系式 中. 【补充】当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时,可直接设函数. 【即时训练】 1．（2025九年级下·云南·学业考试）若反比例函数的图象经过点和，则的值为（    ） A． B．12 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求反比例函数值．根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相等进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2025·湖北·二模）写出一个反比例函数的图象不经过第一、三象限，则这个反比例函数的表达式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，当时，图象经过第一，三象限．当时，图象经过第二，四象限． 根据反比例函数的性质可知，反比例函数不经过第一、三象限，则比例系数为负数，即可解答． 【详解】解：根据反比例函数的性质可知，反比例函数不经过第一、三象限，则比例系数为负数，据此即可写出函数解析式．如（答案不唯一）． 故答案为（答案不唯一）． 知识点五：反比例函数与实际问题 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·山东滨州·期中）已知力F所做的功W为15焦，则表示力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系的图象大致为（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是掌握反比例函数图象为双曲线．根据，当时，则，再根据反比例函数的图象可得答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴图象为反比例函数图象，且过第一象限， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南许昌·期末）快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可． 【详解】解：∵智能机器人的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， 设反比例函数解析式为，代入得： ， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：． 【经典例题一 用反比例函数描述数量关系】 【例1】（2025·湖南长沙·三模）已知长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积（单位：/人）随全市人口（单位：人）的变化而变化，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，得出正确等量关系是解题关键，利用土地总面积除以总人数，进而表示出人均占有的土地面积． 【详解】解：∵长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积S（单位：人），随全市人口n（单位：人）的变化而变化， ∴S与n的函数关系式是：； 故选B． 【例2】（24-25七年级上·全国·期中）2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 【答案】(1)15000（米） (2)挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小 (3)，与成反比例关系 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，反比例函数，利用表格中的数量关系得到函数关系式是解题的关键； （1）利用表格中的数据解答即可； （2）观察表格中的数解答即可； （3）利用（1）和（2）的结论解答即可． 【详解】（1）解：该隧道全长（米）； （2）解：挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小； （3）解：，则，与成反比例关系． 1．（24-25八年级下·河北张家口·期末）若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了变量间成反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键．根据反比例的定义，若和成反比例关系，则它们的乘积为定值，利用已知条件时，求出的值，再代入时的情况计算的值． 【详解】解：由反比例关系得：（为常数）， 当时，，代入得：， 当时，，代入关系式得：， 解得：， 因此，表中的值是， 故选：A． 2．（2025七年级上·湖南·专题练习）下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 【答案】B 【分析】此题考查反比例的定义：两种相关联的量的乘积为定值时，它们成反比例关系，逐一分析各选项中的两个量是否满足该条件 【详解】解：A. 圆的面积公式为，当面积一定时，是常数，也随之固定，二者无变化关系，不成反比例； B. 平行四边形的面积公式为，当面积一定时，底与高的乘积为定值，符合反比例定义； C. 年龄一定时，身高与体重无必然的乘积或比值关系，不成比例； D. 三角形面积公式为，当高不变时，面积与底的比值为（定值），二者成正比例； 故选：B 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如果是的正比例函数，是的反比例函数，那么是的 【答案】反比例函数 【分析】由是的正比例函数，是的反比例函数，可得y=am（a≠0），（k≠0），由此可得y= ，即可得y是x的反比例函数. 【详解】∵y是m的正比例函数， ∴y=am（a≠0）， ∵m是x的反比例函数， ∴（k≠0）， ∴y= ， ∴y是x的反比例函数. 故答案为反比例函数. 【点睛】本题主要考查了正比例函数与反比例函数定义，熟练掌握两种函数的定义是解决问题的关键． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）先列出下列问题中的函数表达式，再指出它们分别是什么函数． (1)电压为时，电阻R（单位：）与电流I（单位：A）之间的函数关系． (2)食堂每天用煤，用煤总量W（单位：t）与用煤天数t之间的函数关系． (3)积为常数的两个因数y与x之间的函数关系． 【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是正比例函数 (3)且，是反比例函数 【分析】本题主要考查了正比例函数、反比例函数的定义及实际问题中函数表达式的推导，熟练掌握正比例函数（为常数， ）、反比例函数（为常数， ）的形式特征，以及从实际关系中抽象出函数表达式的方法是解题的关键． （1）依据物理中电压、电阻、电流的关系（为电压），已知电压，通过变形得到电阻与电流的函数表达式，再根据函数形式判断函数类型． （2）根据用煤总量、每天用煤量、用煤天数的实际关系“用煤总量 = 每天用煤量×用煤天数”，代入已知每天用煤量，得到函数表达式，进而判断函数类型． （3）由“两个因数的积为常数”这一条件，结合因数、，可得（为常数且），变形后得到函数表达式，再判断函数类型． 【详解】（1）解：∵ 物理中电压、电阻、电流满足，且 ∴ ，变形得，符合反比例函数（为常数，）形式，是反比例函数． （2）解：∵ 用煤总量、每天用煤量、用煤天数满足“每天用煤量”，每天用煤 ∴ ，符合正比例函数（为常数，）形式，是正比例函数． （3）解：∵ 两个因数与积为常数，即 ∴ 变形得，符合反比例函数（为常数，）形式，是反比例函数． 【经典例题二 根据定义判断是否是反比例函数】 【例1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列表达式中，表示y是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟记反比例函数的定义是解题的关键，是基础题，难度不大． 根据反比例函数定义，形如，进行分析，即可作答． 【详解】解：A、不能表示y是的反比例函数，故本选项不符合题意； B、是反比例函数，故本选项符合题意； C、不是反比例函数，故本选项不符合题意； D、不是反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（23-24九年级下·全国·单元测试）如果y是z的反比例函数，z是x的正比例函数，且x≠0，那么y与x具有怎样的函数关系？ 【答案】y是x的反比例函数,理由见解析. 【分析】根据形如（k是不等于零的常数）是反比例函数，形如y＝kx （k是不等于零的常数）是正比例函数，可得答案． 【详解】解：由y是z的反比例函数，得 y＝ ． 由z是x的正比例函数，得 z＝k2x． 等量代换，得 ． y是x的反比例函数. 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的定义，解题关键是熟记反比例函数的定义. 1．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如（k为常数，）的函数叫反比例函数，根据反比例函数的定义逐项分析判断即可． 【详解】A.是反比例函数，故符合题意；     B.是正比例函数，不是反比例函数，故不符合题意； C. 不是反比例函数，故不符合题意；     D.不是反比例函数，故不符合题意； 故选：A． 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）下列函数是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的判断，根据反比例函数的定义，形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是正比例函数，不符合题意； B、是二次函数，不符合题意； C、是反比例函数，符合题意； D、不是反比例函数，不符合题意； 故选C． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？ ①；②；③；④（a为常数且）； 解：其中 是反比例函数，而 不是． 【答案】 ①③④ ② 【分析】本题主要考查了反比例函数的识别．熟练掌握反比例函数定义是解题的关键．x，y相乘为一个常数，或者形如（）的函数为反比例函数，不属于上述两个形式的函数不是反比例函数． 根据反比例函数定义逐一判断即得． 【详解】解：①∵， ∴，是反比例函数； ②不是反比例函数； ③是反比例函数； ④符是反比例函数． 故答案为①③④；②． 4．（23-24九年级下·全国·单元测试）下列各式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？ (1)x＝－；   (2)－xy－2＝0. 【答案】(1)是，k＝－；(2)是，k＝－2 【分析】利用反比例函数的定义判定即可． 【详解】解：（1）x＝－ y=-，是反比例函数，k=－； （2）－xy－2＝0， 则y=-，是反比例函数，k=-2. 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟记反比例函数的定义． 【经典例题三 根据反比例函数的定义求参数】 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）若是反比例函数，则a 的值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ， 解得， 故选：A． 【例2】（23-24九年级上·湖南怀化·期末）已知函数是反比例函数，求的值． 【答案】． 【分析】根据反比例函数的定义，从x的指数，比例系数的非零性两个角度思考求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的系数特点，指数特点是解题的关键． 1．（2025九年级上·全国·专题练习）若是反比例函数，则a的取值为（         ） A．1 B． C． D．任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义即可求解． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）若函数是反比例函数，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟悉的形式的反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， ∴且， ∴， 故选：B． 3．（2025·陕西西安·一模）已知点与点在同一反比例函数的图象上，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：反比例函数图象上的点的横、纵坐标的积是定值k． 设反比例函数解析式为，反比例函数图象上的点的横、纵坐标的积是定值k，即，据此可得a的值． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵点与点在反比例函数图象上， ∴ ， 解得 ， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·全国·课后作业）已知y=（m-2）x|m|-3是反比例函数，则m是什么？ 【答案】. 【分析】根据反比例函数的定义．即y=（k≠0），只需令|m|-3=-1，m-2≠0即可． 【详解】∵y=（m-2）x|m|-3是反比例函数， ∴， 解得：. 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，特别要注意不要忽略k≠0这个条件． 【经典例题四 求反比例函数值】 【例1】（24-25九年级上·山东烟台·阶段练习）下列各点在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点是否在反比例函数图象上，根据点的横、纵坐标之积是否等于反比例系数，即可判断． 【详解】解：反比例函数中，， A．，不在的图象上，不合题意； B．，不在的图象上，不合题意； C．，在的图象上，符合题意； D．，不在的图象上，不合题意； 故选C． 【例2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知y是x的反比例函数，且时，． (1)求出y与x之间的函数表达式． (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数，掌握待定系数法，函数值的计算是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据函数值的计算求解即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为， 因为时，， 所以有，解得， 所以y与x的函数表达式为． （2）解：把代入，得． 1．（24-25九年级上·全国·阶段练习）下列各点在反比例函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据得，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于，就在函数图象上． 【详解】解：， A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·全国·期末）对于反比例函数，当自变量的值从2增加到8时，函数的值（　　） A．增加了6 B．减少了6 C．增加了3 D．减少了3 【答案】C 【分析】本题考查计算函数值，分别计算出和时的函数值，然后比较得到函数值的变化即可解答． 【详解】解：当时，；当时，； ∵， ∴当自变量的值从2增加到8时，函数的值增加了3， 故选：C． 3．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）若反比例函数的图象经过，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．将代入即可得到答案． 【详解】解：将代入， 即， ， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·湖南常德·期中）已知与成反比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，的值是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，已知自变量的值，求函数值，正确求得解析式是解决本题的关键． （1）首先设，再把 ，代入，即可求得k，即可求得与的函数关系式； （2）把代入解析式，即可求得对应的的值． 【详解】（1）解：设， 因为当时，， 所以有， 解得 ， 所以． （2）解：当 时， ． 【经典例题五 由反比例函数值求自变量】 【例1】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求反比例函数的函数值，熟练掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标，满足函数解析式，是解题的关键．把点代入函数解析式即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴ 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 1．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，则m的值是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征； 把点代入反比例函数解析式中，即可得到m的值． 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级下·重庆·期末）已知点在反比例函数的图象上，则a的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质．将点的坐标代入反比例函数解析式，解方程即可． 【详解】解：将代入得： 解得：， 故选：B． 3．（24-25七年级上·北京顺义·期末）通常利用公式解决杠杆平衡问题，其中表示动力，表示动力臂，表示阻力，表示阻力臂.已知，，，则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是根据实际问题列出函数关系式． 根据公式，代入数据计算即可． 【详解】解： ， ， 解得：， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，先根据，得出，再根据，，得出．然后把代入即可得出结论． 【详解】证明：∵，∴， ∴， ∵，是反比例函数图象上的点， ∴，， ∴． ∵， ∴． 【经典例题六 判断(画)反比例函数图家】 【例1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象，根据反比例函数的图象特点求解即可． 【详解】解：函数的图象是位于第一、三象限的双曲线，大致是 故选：D 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． 1 2 4 【答案】 1 2 4 2 1 ，见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象的画法，解题的关键是准确计算函数值、规范进行描点和连线操作． 先将的值代入反比例函数求出对应的值完成表格，再依据表格中的坐标进行描点、连线，画出函数图象 【详解】解： 1 2 4 2 1 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，函数的图象所在坐标系的原点是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的是关键，根据反比例函数解析式判定函数图象经过的象限即可求解． 【详解】解：图象经过第一象限， 图象经过第二象限， ∴原点是点， 故选：A ． 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，函数图象平移规律，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键． 根据反比例函数的判断函数的图象经过的象限和增减性，再根据图象平移规律判断即可求解． 【详解】解：， 函数图象经过第二、四象限，且随的增大而增大， 函数的图象为函数的图象向上平移个单位长度． 故选：C． 3．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）反比例函数与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内（不含边界）只有8个整点（横、纵坐标均为整数），则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】画出图象，找到临界状态，会发现，当时，是8个整点，满足条件． 【详解】解：如图， 当时，是5个整点，当时，是8个整点． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，画出函数图象是解题的关键． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中画出反比例函数和的图象，并解答下列问题： 反比例函数的图象叫做_______．因为自变量x与函数y的值都不能取_______，所以反比例函数的图象与x轴、y轴_______(填“有”或“无”)交点． 【答案】双曲线； 0 ； 无 【分析】本题考查了反比例函数图象的画法和性质，准确画出函数的图象是解题的关键． 利用描点法，作出反比例函数的图象，结合图象填空． 【详解】对于函数，选取点，，，，在坐标系中，描出这四个点，再画出反比例函数的图象； 对于函数，选取点，，，，在坐标系中，描出这四个点，再画出反比例函数的图象； 如下图所示： 由图知，反比例函数的图象叫做双曲线．因为自变量x与函数y的值都不能取0，所以反比例函数的图象与x轴、y轴无交点． 【经典例题七 已知反比例函数的图象判断其解析式】 【例1】（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答． 【详解】解：∵， 结合图象，得， 故选：A 【例2】（22-23九年级下·广西钦州·阶段练习）如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 【答案】4 【分析】设，，，，则，，然后根据，，列式求解即可． 【详解】解：设，，，， 则，， 则， ，得， 同理：，得， 又， ， 解得． 【点睛】考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键． 1．（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，了解反比例函数的图象与系数的关系是解答本题的关键． 根据函数的图象的形状和所处的位置判断即可． 【详解】解：函数的图象为双曲线，所以为反比例函数的图象， ∵图象位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是． 故选：C． 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）为反比例函数的图象上两点，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与比例系数的关系，熟练掌握相关概念是解题关键． 对于反比例函数，（为常数，）， 当时，在每个象限内，随的增大而减小； 当时，在每个象限内，y随x的增大而增大． 【详解】解：为反比例函数的图象上两点，且当时，有， 原函数图像在第三象限内随的增大而增大， 反比例函数中，， ， 故选：D． 3．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，反比例函数的图象上有一点C，作轴，轴，交函数图象上点A，B，且，，则 ． 【答案】4 【分析】设，由，，则，，，，然后根据建立方程，得出C的横坐标和纵坐标的关系，再根据C在反比例函数，即可求出C的坐标，代入即可求得k的值． 【详解】解：设， 则，，，， ∵， ∴， ∴， 又∵C在反比例函数，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的特征，根据反比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标之积为常数，列出方程是解答本题的关键． 4．（2024·山东德州·二模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝﹣的图象在第二象限交于点C，如果点A为的坐标为（2，0），B是AC的中点． （1）求点C的坐标及k、b的值． （2）求出一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点的坐标，并直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1）C（﹣2，4）；；（2）另一个交点坐标为（4，﹣2），x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4． 【分析】（1）由A（2，0）利用平行线等分线段定理，可求出点C的横坐标，代入反比例函数关系式，可求其纵坐标；用两点法确定一次函数的关系式，即待定系数法确定函数的关系式，求出k、b的值； （2）可将两个函数的关系式联立成方程组，解出方程组的解，若有两组解，说明两个函数的图象有两个交点，根据图象可以直观看出一次函数值大于反比例函数值时，自变量的取值范围． 【详解】（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D， ∵CD∥OB， ∴， 又∵B是AC的中点． ∴AB＝BC， ∴OA＝OD ∵A（2，0）， ∴OA＝OD＝2， 当x＝﹣2时，y＝﹣＝4， ∴C（﹣2，4） 把A（2，0），C（﹣2，4）代入y＝kx+b得： 解得：， ∴一次函数的关系式为：y＝﹣x+2； 因此：C（﹣2，4），k＝﹣1，b＝2． （2）由题意得： 解得：； ∵一个交点C（﹣2.4） ∴另一个交点E（4，﹣2）； 当时，即：y一次函数＞y反比例函数， 由图象可以直观看出自变量x的取值范围：x＜﹣2或0＜x＜4． 因此：另一个交点坐标为（4，﹣2），x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4． 【点睛】反比例函数图象上的点坐标的特征，待定系数法求函数的关系式，解方程组以及数形结合思想的应用是解题关键． 【经典例题八 判断反比例函数的增减性】 【例1】（2025·云南临沧·模拟预测）点在函数图象上，下列说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，包括函数的增减性、对称性和点的坐标关系，解题的关键在于理解反比例函数的基本性质，特别是函数图像的分布特点和对称性，以及通过给定的点验证其他点是否满足函数关系，从而判断各选项的正确性．结合点在图象上的条件，逐一分析选项的正确性． 【详解】解：A、反比例函数，在每个象限内y随x的增大而增大，选项说法不正确，不符合题意； B、反比例函数，图象分布在第二、四象限，图象关于原点对称，选项说法不正确，不符合题意； C、点在函数图象上，所以点和点都在图象上，选项说法正确，符合题意； D、当时，，选项说法不正确，不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）在函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下是兴趣小组研究函数性质及其应用的部分过程，请完成下列各小题． x … －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … … a －3 0 3 b … (1)______；______；并在图中补全该函数图象； (2)根据函数图象，下列关于该函数性质的说法． ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴． ②当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 其中正确的是______．（只填序号） (3)兴趣小组进一步探究：函数与函数的关系，请你在同一坐标系中画出函数的图象，结合你所画的函数图象完成下列问题． ①方程有______个解； ②直接写出不等式的解集为______．（保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)，1.8，图见解析 (2)② (3)图见解析；①三；②，或 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键. (1)将 ，3分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象； (2)结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断； (3)根据图象求得即可. 【详解】（1）解：当 时，； 当 时， ； ； 故答案为：，1.8； 画出函数的图象如图： （2）根据函数图象： ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴； 说法错误 ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值； 当 时，函数取得最小值说法正确； 故答案为: ②. （3）)由图象可知： ①方程 有三个解； ②不等式 的解集为或 故答案为：三， 或 1．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知点和点均在反比例函数是常数，的图象上，若，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．无法确定的正负 【答案】C 【分析】本题考查比较反比例函数图象的性质．根据题意得到，则，进一步分析即可即可得到答案． 【详解】解：∵点和点均在反比例函数（是常数，）的图象上， ∴， ∴， ∵ ∴ 又 ∴ ∴ 故选：C． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）关于反比例函数，下列结论错误的是（    ） A．图象关于原点中心对称 B．图象与坐标轴没有交点 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质．根据反比例函数的性质，逐一分析选项的正误． 【详解】解：选项A：反比例函数的图象关于原点中心对称，故A正确， 选项B：图象与坐标轴无交点．图象无限接近坐标轴但不相交，故B正确， 选项C：∵，∴当时，y随x的增大而减小，故C正确， 选项D：∵，∴当时，随的增大而减小，故D错误， 故选：D． 3．（24-25九年级上·四川成都·期末）对于反比例函数，当自变量时，函数值y的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，而当时，，所以当时，或．关键是掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式． 【详解】解：反比例函数中，， 图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小， 当时，， 当时，或 故答案为：或 4．（23-24九年级上·湖南株洲·阶段练习）已知反比例函数 （m为常数）的图象在每个象限内y随x增大而增大，求m的取值范围． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，即可解答． 【详解】解：∵反比例函数 （m为常数）的图象在每个象限内y随x增大而增大， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键是掌握反比例函数，当时，再每一象限内，y随x的增大而减小；时，再每一象限内，y随x的增大而增大． 【经典例题九 已知反比例函数的增减性求参数】 【例1】（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）在反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟记反比例函数图象增减性与的关系是解决问题的关键．根据反比例函数图象与性质，当反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，得到，解得，从而得到答案． 【详解】解：反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大， ，解得． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·河南新乡·期中）已知反比例函数，为常数，． (1)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，试判断点，是否在这个函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在这个函数图象上，不在这个函数图象上，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，得到，进行求解即可； （2）根据反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【详解】（1）解：在函数的每一支上，随的增大而增大， ， ． （2）点在这个函数图象上，不在这个函数图象上， 理由：， ． 这个函数的表达式为， ∵， 点在这个函数图象上， 当时，， 点不在这个函数图象上． 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）若双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的增减性得到，进行求解即可． 【详解】解：∵双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小， ∴， ∴； 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知是双曲线上的两点，当时，有，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的概念及增减性，解题的关键是根据函数在特定区间内的增减趋势判断比例系数的符号． 根据反比例函数，当时，y随x的增大而增大即可解题． 【详解】：∵当时，有，即y随x的减小而减小， ∴函数图像在第二、四象限，且反比例函数系数， ∴． 故选：D． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期末）若点和点在反比例函数的图象上，当时，．则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， ∴反比例函数图象在第二，四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·陕西汉中·阶段练习）已知反比例函数．若它的图象在每一象限内的值随值的增大而增大，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得出，，解方程和不等式即可得到答案． 【详解】解：是反比例函数， ， 整理得， 解得：； 由题意知，函数图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴． 【经典例题十 判断反比例函数图象所在象限】 【例1】（23-24九年级上·广西梧州·期末）函数的图象分布在（   ） A．第一、四象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，当时，反比例函数图象经过第一、三象限，当时， 反比例函数图象经过第二、四象限． 【详解】解：由题意可知，函数解析式为， 设， 反比例函数，经过第一、三象限， 函数经过第一、三象限． 故选：． 【例2】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知关于的反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)判断该反比例函数图象经过的象限． 【答案】(1)； (2)第一、三象限． 【分析】本题考查了反比例函数关系式及反比例函数的性质； （1）根据图象经过点的意义，代入计算即可； （2）根据反比例函数的符号进行判断即可． 【详解】（1）解：图象经过点， ， 解得：． （2）解：当时， ， ， 双曲线的两支分别位于第一、三象限． 1．（24-25九年级下·广东汕头·开学考试）反比例函数的图像位于（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第一、二象限 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，比较简单，容易掌握．根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限． 【详解】解：，， 函数图象过二、四象限． 故选：B． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）反比例函数的图象分别位于（　　） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质，反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内；当时，图象位于第二、四象限内，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：反比例函数， 该反比例函数图象位于第一、三象限． 故选：A 3．（2023·浙江台州·三模）已知点和在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】：解：∵时，， ∴这两点分别位于两个象限，且位于第二、四象限， ∴， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·全国·单元测试）反比例函数的图象过点． (1)求反比例函数y与自变量x之间的关系式，它的图象在第几象限内？ (2)y随x的减小如何变化？ (3)试判断点，是否在此函数图象上？ 【答案】(1)反比例函数y与自变量x之间的关系式为，它的图象在第二、四象限 (2)在每一象限内，y随x的减小而减小 (3)点，都不在此函数图象上 【分析】（1）设，则把代入求出k即可得到反比例函数y与自变量x之间的关系式，然后根据反比例函数的性质判断它的图象在第几象限内； （2）根据反比例函数的性质求解； （3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】（1）解：设， 把代入， ∴， ∴反比例函数y与自变量x之间的关系式为， 它的图象在第二、四象限； （2）解：在每一象限内，y随x的减小而减小； （3）解：因为当，，， 所以点，都不在此函数图象上． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式（k为常数，）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．也考查了反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征． 【经典例题十一 比较反比例函数值或自变量的大小】 【例1】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）若点，，都在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握这一知识是解题的关键；由题意知反比例函数的比例系数为正数，根据反比例函数的性质即可判断． 【详解】解：∵， ∴在每个象限内随自变量的增大而减小； ∵， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）已知反比例函数．点均在反比例函数的图象上，若，请写出的大小关系，简单说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴反比例函数的图象分布在一、三象限，在每一象限内，的值随的增大而减小， ∵， ∴． 1．（2025九年级上·全国·专题练习）在反比例函数 (m为常数)的图像上有两点，且则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了反比例函数的图像和性质．根据结合反比例函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：对于反比例函数 (m为常数)， ∵， ∴函数图像在第二、四象限内，且在每个象限内，y随x的增大而增大． ∵ ∴两点，都在第二象限内， ∴， 故选：D 2．（2025九年级上·全国·专题练习）反比例函数的图象上有两点，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解决本题的关键． 根据反比例函数解析式可知函数图象位于第二、四象限，再根据x的取值范围可知两个点所在的象限，由此可判断． 【详解】解：因为， 所以函数图象在第二、四象限， 因为， 所以点在第二象限，点在第四象限， 所以． 故选：D． 3．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）在函数（a为常数）的图像上三点，，，则函数值、、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数增减性，反比例函数图象所在象限，掌握相关性质是解题关键．根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点和的纵坐标的大小即可． 【详解】 解：∵反比例函数的比例系数为， ∴图象的两个分支在第二、四象限； ∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点和在第二象限，点在第四象限， ∴最小， ，y随x的增大而增大， ，． 故答案为：． 4．（22-23九年级下·吉林白城·阶段练习）已知反比例函数，当时，. (1)求的值. (2)当时，的取值范围为______ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据反比例数的性质，得出在每一个象限内，随的增大而减小，进而即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得. （2）解：∵，则在每一个象限内，随的增大而减小 又 当时，，当时， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【经典例题十二 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 【例1】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，利用关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反，解答即可． 本题考查了图象是中心对称图形，熟练掌握关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反是解题的关键． 【详解】解：根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，且一个交点为， 则另一个交点为， 故选：C． 【例2】（2024·贵州贵阳·模拟预测）中考过后，我们会是双曲线两个分支上的两个点，随着时间的流逝，我们渐行渐远吗？如图，还是点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，已知，． (1)直接写出C点坐标 (2)求反比例函数的解析式； (3)若点P在x轴上，且，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)反比例函数的解析式为 (3)或 【分析】（1）设交y轴于点D，由点C是点A关于y轴的对称点，可知，再由可求出的长，故可得出A、C点坐标． （2）根据（1）中A点坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式． （3）设，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：设交y轴于点D，， ∵点C是点A关于y轴的对称点，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：由（1）知， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （3）解：∵点P在x轴上， ∴设， ∴， ∵，即， ∴， 解得， ∴或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式及反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得出的长是解题的关键． 1．（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的中心对称性，根据反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此即可求解，熟练掌握反比例函数图象的中心对称性是解题的关键． 【详解】解：∵过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称， ∴它们的另一个交点坐标是， 故选：． 2．（2024·安徽滁州·一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：由题意可知点与关于原点对称，点A的坐标为， 点的坐标为． 故选：． 3．（2024·北京房山·一模）已知点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，若OA=OB，则点B的坐标为 ． 【答案】（2，1） 【分析】根据点A，B关于y=x（y-x=0）的对称，求解即可 【详解】解：∵点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，OA=OB， ∴点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称， 设点（1，2）关于直线y=x（y-x=0）的对称点设为（a，b） 由两点中点在直线y=x上及过两点的直线垂直直线y=x（斜率之积为-1） 可以得到：， 解得：a=2，b=1， ∴点B的坐标为（2,1） 故答案为：（2，1） 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用已知条件得出：点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称是解题的关键． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在图像的任一个分支上任意取些点，如，然后在直角坐标系中分别作出它们关于原点的对称点．你发现了什么？你认为反比例函数的图象具有怎样的对称性？ 【答案】反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的两条曲线 【分析】根据关于原点的对称点横纵坐标均为相反数，得出对应点的坐标，然后验证是否在反比例函数图像上，从而得出结论． 【详解】解：反比例函数图像上的点关于原点对称点的坐标分别为， 而均在反比例函数的图像上， ∴反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的两条曲线． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟知反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的两条曲线是解本题的关键． 【经典例题十三 已知双曲线分布的象限求参数范围】 【例1】（24-25九年级上·全国·期末）若双曲线 的一支位于第三象限，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查已知反比例函数所经过的象限求参数，根据双曲线的一支位于第三象限，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵双曲线 的一支位于第三象限， ∴， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）已知反比例函数的图象经过第二、四象限，求n的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是根据反比例函数图象所在的象限确定比例系数的符号． 明确反比例函数中，当时图象经过第二、四象限；确定题中反比例函数的比例系数为列出关于n的不等式并求解． 【详解】解：反比例函数的图象经过第二、四象限， ，解得：， 的取值范围是 1．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图为反比例函数，，在同一坐标系的图象，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据函数所在象限判断出，，，再利用取特殊值的方法得出，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，，，， 结合图象可得，当时，有， 故， 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）若双曲线的图像分布在第二、四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像的分布与系数符号的关系，掌握反比例函数图像的分布规律是解题的关键．根据图像分布在第二、四象限。则，从而求解m的取值范围． 【详解】解：双曲线的图像分布在第二、四象限， , ． 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期末）点和反比例函数图象的位置关系如图所示，则k的值可能为 （写出一个满足要求的）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：不在反比例函数图象上， 则， 即， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 4．（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数的增减性， （1）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （2）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （3）先分别求出当和时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； 解题的关键在于熟知反比例函数的性质：当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大． 【详解】（1）解：反比例函数的图像如图所示， 当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； （2）当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：； （3）当时，；当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当且时，x的取值范围是或． 【经典例题十四 已知比例系数求特殊图形的面积】 【例1】（24-25九年级上·云南红河·期中）如图，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分别为A，，则矩形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的几何意义． 根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】解：∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形的面积为3． 故选：C． 【例2】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （2）解：同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （3）解：当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （4）解：当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·天津·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（   ） A．4 B．2 C．1 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，轴于点A，交于点B， ∴， ∴． 故选：C． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为（    ）． A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义； 由点P坐标可得四边形的面积，根据反比例函数系数的几何意义可得 ，再利用矩形的面积减去和的面积即可． 【详解】 解：∵， ∴四边形的面积为， ∵两点在反比例函数的图象上， ， ∴四边形的面积为：． 故选：C． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：2． 4．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线之上，且轴，，在轴上，若四边形为矩形，求它的面积． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，根据双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积与的关系：即可判断，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 【详解】解：延长交轴于， 轴， 垂直于轴，即， 四边形为矩形， ∴， ， 四边形为矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为1， ， 四边形为矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为3， 矩形的面积为． 【经典例题十五 根据图形面积求比例系数(解析式)】 【例1】（2025·广东肇庆·一模）如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（　　） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解答本题的关键．根据k值的几何意义得出，，根据，得出，从而得出，最后求出k值即可． 【详解】解：∵矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 【例2】（2025·贵州毕节·一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 【答案】(1)8 (2)或 【分析】（1）先根据反比例函数k的几何意义，求出k，再反比例函数的图象位置确定k的值； （2）先写出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，然后分“点在第一象限”、“点在第三象限”两种情况，分别求出当时的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8， ∴， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ； （2）， ∴反比例函数的表达式是， ∵点在该反比例函数的图象上， ， ， 点在第一象限． 分情况讨论： ①当点在第一象限时， 随的增大而减小， 当时，； ②当点在第三象限时，， ，符合题意，此时． 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），已知反比例函数的增减性求参数，解题关键是理解反比例函数k的几何意义． 1．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A向x轴作垂线，垂足为B，点C在y轴上，连接，．若的面积为2，则（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题综合考查了反比例函数系数k的几何意义，同底等高三角形的面积相等，重点掌握反比例函数系数k的几何意义． 连接，根据，可得，即可求解． 【详解】解∶如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴． 故选：A 2．（24-25九年级下·湖南湘西·阶段练习）如图，平行于 x 轴的直线与函数 和 的图象分别 相交于 A 、B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若的面积为4， 则的值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．根据的面积，先设A、B两点坐标（其纵坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解． 【详解】解：设A、B两点的坐标分别是，， 则，， 的面积为4，即， ， ． 故选：D． 3．（2025·福建福州·模拟预测）如图，已知A是反比例函数图象上的一点，B，C在x轴上，D在y轴上，交x轴于E，轴，若，，则 ． 【答案】2 【分析】如图，连接OA，利用得到，再根据平行线得到，继而求出k值即可．本题考查了反比例函数k值的几何意义及三角形面积的计算方法，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：如图，连接OA， ， ，， ， ， ， 轴， ， 故答案为： 4．（2025·江西新余·二模）如图，点，均在反比例函数的图象上，轴于点，于点，且的面积为4，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义．由的面积为4，知，根据反比例函数中k的几何意义，知本题，求得，，进而求出k的值． 【详解】解：∵的面积为4，轴于点，于点， ， ∴， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 【经典例题十六 求反比例函数解析式】 【例1】（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）已知反比例函数的图像经过中的两点，则反比例函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质（为反比例函数的比例系数，图象上点的坐标满足该等式 ）．解题关键是利用 “反比例函数图象上点的横、纵坐标之积等于k” 这一性质，通过计算不同点对应的k值，找出符合条件的k，进而确定函数解析式，核心是对反比例函数k的几何意义（）的理解与运用．对于反比例函数的性质是图象上任意一点都满足，据此回答即可． 【详解】解：计算各点对应k值： 对于，将代入，得 ； 对于，将代入，得 ； 对于，将代入，得 。 由于反比例函数图象只能经过两点，而两点对应的k值一致，说明函数经过两点，所以， 反比例函数解析式为 故选：B． 【例2】（23-24九年级上·青海西宁·期中）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接，，则的面积______； (3)直接写出当时，关于的不等式的解集______． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点和点坐标，再根据解答即可求解； （）根据函数图象解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的几何应用，反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴一次函数的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：把代入，得， ∴， ∴， 由，解得或， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由函数图象可知，当时，关于的不等式的解集是， 故答案为：． 1．（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）若反比例函数的图象经过点，则k的值为（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象经过点，代入解析式，解之即可求得本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 故选： 2．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：三点，函数的图像经过A，B，C三点中的两个点，则(   ) A．12 B．24 C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数图像上点的坐标特征，即图像上任意一点的横纵坐标之积等于比例系数k． 根据反比例函数的性质，图像上点的横纵坐标乘积等于分别计算A、B、C三点横纵坐标的乘积；找出乘积相等的两个点，其乘积即为k的值． 【详解】解：对于反比例函数，其图像上任意一点都满足． 计算 A、B、C三点的横纵坐标之积： 点 点 点． 因为函数的图像经过三点中的两个点，且A、B两点的横纵坐标之积相等，均为所以这两个点是A和． 故选：B． 3．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，且．若一反比例函数的图象交边于点，过点作轴，垂足为．当时，这一反比例函数的图象交边于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先求出反比例函数解析式，再联立方程组求出点E坐标，根据勾股定理求出长即可． 【详解】解：∵为直角三角形，且， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 设反比例函数解析式为， ∵点C在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵为直角三角形，且 ∴， 由条件可知直线的解析式为， 联立方程组， 解得（负值已舍去）， ∴． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知反比例函数的图像经过． (1)求k的值； (2)在每个象限内，y随x的增大怎样变化？ 【答案】(1)9 (2)图像位于二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大 【分析】本题考查了反比例函数的性质，确定反比例函数的解析式并理解反比例函数解析式中k的意义是解题的关键． （1）将已知点的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得k的值； （2）根据确定的k的值，判断其所在的象限和增减性． 【详解】（1）解：反比例函数的图像经过， ， 解得； （2）解：， 图像位于二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大． 【经典例题十七 实际问题与反比例函数】 【例1】（22-23九年级上·全国·期中）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（）是气球体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该（   ） A．不小于 B．小于 C．不大于 D．小于 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压()是气体体积的反比例函数，且过点，故；故当，可判断． 【详解】解：设球内气体的气压()和气体体积的关系式为， ∵图象过点， ∴， 即， 在第一象限内，随的增大而减小， ∴当时，． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·全国·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的几组对应值如表所示． 3 4 5 6 7 8 9 10 a 9 7.2 b 5.14 4.5 4 c (1)请写出这个反比例函数的表达式． (2)上表中的a、b、c的值分别是多少？ (3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么该用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2)，， (3)该用电器的可变电阻应大于或等于 【分析】（1）先由电流是电阻的反比例函数，可设，将点代入，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式； （2）利用（1）中的解析式求解即可； （3）将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围． 【详解】（1）解：电流是电阻的反比例函数，设， 由题表知函数图象经过点， ， 解得， ； （2）解： ， ， ； （3）解：，， ， ， 该用电器的可变电阻应大于或等于． 1．（2025九年级上·全国·专题练习）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V（）时，气体的密度也随之改变，ρ与V在一定范围内满足，当时，ρ关于V的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象，理解题意是解题的关键．根据反比例函数的定义及图象可知，函数图象为第一象限内的反比例函数图象，据此即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴（，）， 故函数图象为第一象限内的反比例函数图象． 故选：D． 2．（2025·山西朔州·二模）物理实验中，同学们分别测量甲、乙、丙、丁四种液体的体积和它们的质量，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四种液体中密度最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图示得出，，利用不等式的性质得出，，，则可得出丙的密度大于甲的密度，丙的密度大于丁的密度，丁的密度大于乙的密度，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由图象得出，， ∴，，， ∴丙的密度大于甲的密度，丙的密度大于丁的密度，丁的密度大于乙的密度， ∴这四种液体中密度最大的是丙， 故选：C． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是 班． 【答案】丙 【分析】本题考查反比例函数图象与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键．根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴设反比例函数表达式为， 则甲、乙、丙、丁， 过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示： 由图可知， ∴、乙、丙、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知合格人数，则： ①，即甲、丁两个班级合格人数相同； ②，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少； ③，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多； 综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数， ∴这四个班合格人数最多的是丙， 故答案为：丙． 4．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）图1是2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台，曲线的设计灵感来自敦煌“飞天”飘带，又名“雪飞天”，它是世界上首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆．图2是赛道剖面图的一部分，将其放在平面直角坐标系中，其中线段表示距离水平面（轴）高度为的平台（点A在轴上），滑道可以看作是反比例函数图像的一部分，点B到轴的距离是，点C到水平面的距离为，滑道可以看作是二次函数图像的一部分，最高点到轴的距离是，到水平面的距离是． (1)求滑道的函数解析式及自变量的取值范围； (2)求滑道的函数解析式及自变量的取值范围； (3)在小明沿滑道从点B滑到点D处的过程中，当他距地面时，所滑过的水平距离为 （直接写出所有可能的结果）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的应用； （1）根据题意得出点B坐标，利用待定系数法求出滑道的函数解析式，再求出点C坐标，可得自变量的取值范围； （2）根据题意得出顶点坐标，设出顶点式，利用待定系数法求出滑道的函数解析式，然后再求出点D坐标，可得自变量的取值范围； （3）分两种情况：①在滑道上时，②在滑道上时，分别求出时对应的x的值，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：设滑道的函数解析式为， ∵点B到轴的距离是，距离水平面（轴）高度为， ∴， 代入得， ∴， ∴滑道的函数解析式为． 当时，即， 解得：， ∴， ∴自变量的取值范围是； （2）∵最高点到轴的距离是，到水平面的距离是 ∴顶点坐标为， ∴设滑道的函数解析式为， 把代入得：， 解得： ∴滑道的函数解析式为， 令，即， 解得：，， ∴， ∴自变量的取值范围是； （3）分两种情况： ①在滑道上时， 令，即， 解得：， ∴滑过的水平距离为； ②在滑道上时， 令，即， 解得：，，均满足， 此时滑过的水平距离为或， 综上，滑过的水平距离为或或， 故答案为：或或． 【经典例题十八 反比例函数与几何综合】 【例1】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，点在反比例函数（）的图像上，过点分别作轴、轴的垂线交轴、轴于点、，线段、与反比例函数（）的图像相交于点、，连接．则的面积为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的计算，掌握反比例函数系数与几何图形面积的关系是关键． 根据题意设，则，，由此得到，再利用三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数（）的图像上，过点分别作轴、轴的垂线交轴、轴于点、， ∴设， ∵线段、与反比例函数（）的图像相交于点、， ∴点的横坐标为，则纵坐标为，即， 点的纵坐标为，则横坐标为，即， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． (1)求的值； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，比例系数的几何意义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用待定系数法求解即可； （）先求出，又为边的中点，则有，，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵点在双曲线的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为． 1．（24-25八年级下·山西晋城·期中）已知反比例函数的图象如图所示，点，在反比例函数的图象上，连接，两点，刚好经过原点，为第四象限内一点，且与x轴平行，与y轴平行，若，则的值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据对称性可得点，关于原点对称，设，则，则，根据列式求解即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，连接，两点，刚好经过原点， ∴由反比例函数的对称性可知点，关于原点对称， 设，则，∵与x轴平行，与y轴平行，∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选；B． 2．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，面积为6的四边形中，对角线，已知长为，长为，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求反比例函数关系式，把四边形的面积写成两个三角形的面积的和表示出y与x的关系式是解题的关键．设的面积为，的面积为．由，可得，．得出．可得出，即，再求解即可． 【详解】解：设的面积为，的面积为． ， ，． ． ， ， 整理得． 故选C． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，点是轴负半轴上任意一点，过点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，若为轴上任意一点，连接、，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．设，由直线轴，则，两点的横坐标都为，而点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，可得到点坐标为，点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设， 直线轴， ，两点的横坐标都为而点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， 点坐标为，点坐标为， ， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，且． (1)求经过点C的反比例函数的解析式； (2)设P是（1）中所求函数图象上一点，若的面积是的面积2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为， 【分析】本题考查勾股定理，反比例函数，菱形的性质等． （1）用勾股定理解求出菱形的边长，进而求出点C的坐标，即可求出反比例函数解析式； （2）设）则，的面积为，计算出的面积，进而求出m的值，代入（1）中解析式即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 在中， ， ∵四边形为菱形，， ∴， ∴． 设经过点C的反比例函数的解析式为， 则， 解得：． 故所求的反比例函数的解析式为； （2）解：设） ∵， ∴，， ∵的面积是的面积2倍， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 故点P的坐标为或． 【经典例题十九 一次函数与反比例函数图象综合判断】 【例1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在同一个平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查反比例函数及一次函数图象的判断，根据a，b的符号判断两个函数图象经过的象限，再判断即可 根据一次函数与反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：A.由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，矛盾，故不正确； B. 由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，故正确； C. 由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，矛盾，故不正确； D. 由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，矛盾，故不正确； 故选B． 【例2】（2025·河南周口·三模）如图所示，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于（不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）问题： (1)G内整点最多有 个； (2)若G内整点的个数为4，求点B的纵坐标m的取值范围． 【答案】(1)5个； (2)． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，结合图形求解是解题关键． （1）取点，观察函数图象，数出整点个数，即可求解； （2）根据题意求得的解析式，根据平行于，设的解析式为，根据内整点的个数为，找到特殊点，，待定系数法的求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，取点， ∵双曲线 （）经过点 点 ， ∴，反比例函数解析式为， ∴， 当点在的左侧时， 内整点的个数最多有共5个点 故答案为：． （2）∵，设直线的解析式为，则 ∴， ∵平行于 设的解析式为 若内整点的个数为，则点在点的右侧，或与点重合，即 当经过点时，，解得： 当经过点时，，解得： ∵整点有4个，则不经过 ∴ 故答案为：． 1．（24-25九年级上·全国·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象，解题的关键是能够分类讨论，难度不大． 根据反比例函数和一次函数的图象，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴， 则A、D选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，函数的图象位于第一、三象限，则B选项符合题意；C选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，函数的图象位于第二、四象限，均不符合题意； 故选：B 2．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）函数与()在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质：解题的关键是分两种情况确定答案，分和两种情况确定正确的选项即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交轴于负半轴，随着的增大而增大，A选项错误，C选项符合； 当时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交轴于正半轴，随着的增大而减小，B、D均错误； 故选：C． 3．（2024·浙江温州·模拟预测）已知一次函数与 （，是常数，且 ，）的图象如图所示，它们的两个交点坐标分别是，则分式方程 的解是 ； ． 【答案】 1 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，根据一次函数与反比例函数的交点坐标的横坐标，即可得到分式方程 的解． 【详解】解：一次函数与 的两个交点坐标分别是， 分式方程 的解是，， 故答案为：，． 4．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出和的交点D的坐标，并根据图像法观察，直接写出当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)，或 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键求出函数解析式，利用数形结合的思想， （1）在中，，，再用待定系数法即可求解； （2）求出点D坐标，观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， 故点A、B的坐标分别为、， 将点A、B的坐标代入直线的表达式得，， 解得：， 故直线的表达式为； 当时，， 点C的坐标为， 将点C的坐标代入反比例函数表达式得， 解得：， 故反比例函数的解析式； （2）解：直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D， 联立， 解得：或 ， 点C在第一象限，点D在第三象限， 点D坐标为， 观察图象知，当时，x的取值范围是或． 【经典例题二十 一次函数与反比例函数的交点问题】 【例1】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握数形结合是关键． 所求不等式的解集为双曲线在直线上方对于的自变量x的取值范围，根据两个函数图象及交点横坐标直接写出不等式解集即可． 【详解】解：由题意可知，，两点的横坐标分别为1和3， 不等式的解集为：或． 故选：C． 【例2】（2025九年级上·全国·专题练习）已知一次函数与反比例函数的图象相交于A和B两点，其中有一个交点A的横坐标是3． (1)求k的值 (2)求A，B两点的坐标． (3)连接与，求的面积． 【答案】(1) (2)， (3)8 【分析】本题考查了用待定系数法确定函数的解析式，以及反比例函数与一次函数的综合运用： （1）首先把A的横坐标为3代入两个函数的解析式中，然后就可以确定k的值； （2）利用两个函数的解析式组成方程组，解方程组就可以得到A，B两点的坐标； （3）先求出直线与x轴的交点坐标，然后利用面积的分割法求出的面积． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于A和B两点，其中有一个交点A的横坐标是3． ∴当时，， 解得：； （2）解：当时，一次函数为，反比例函数为， 由， 解得：， ∴， ∴，； （3）解：由（1）得直线解析式为， 令，则， 解得， ∴直线与x轴交点坐标为， ∴． 1．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，函数与的图象相交于两点，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合；把代入中，求出，再结合图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上的x的取值范围即可求出． 【详解】解：根据题意，把代入中， 得， 解得：， 当时，结合图象得到， 故选：A． 2．（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的坐标为，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求得交点坐标是解题的关键． 把点代入，可求出交点的坐标，再把交点的坐标代入，即可求解． 【详解】解：把点代入得： ， ∴交点的坐标为， 把点代入得： ． 故选：A 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的与的图象交于点，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例与一次函数的交点问题，将P点坐标代入到两个解析式，可以得到和，将代数式变形为，代入即可解决． 【详解】解：∵函数与的图象交于点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·四川内江·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出不等式的解集： (3)点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）把点代入直线得：，即可求得一次函数的解析式，把点代入，得，即可求得反比例函数的解析式； （2）求出点的坐标，根据图象求解即可； （3）根据图象求出，再根据求出，即可求出． 【详解】（1）解：把点代入直线得：， 直线， 即一次函数的解析式为， 把点代入，得 ， 即反比例函数的解析式为； （2）解：把点代入，得， ∴， ∵， ∴不等式的解集为或； （3）解：把代入得：， 即点的坐标为：， ， ， ， ， 当点的纵坐标为3时，则，解得， 当点的纵坐标为时，则，解得， 点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数解析式，利用图象法求不等式的解集，一次函数图象与坐标轴交点，三角形面积，数形结合是解题关键． 【经典例题二十一 一次函数与反比例函数的实际应用】 【例1】（24-25九年级上·山西·期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用y＝6分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】解：当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx， 将（4，8）代入得：8＝4k， 解得：k＝2， 故直线解析式为：y＝2x， 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝， 将（4，8）代入得：8＝， 解得：a＝32， 故反比例函数解析式为：y＝； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4）， 下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）． 当y＝6，则6＝2x，解得：x＝3， 当y＝6，则6＝，解得：x＝， ∵−3＝（小时）， ∴血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间小时 故选A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． 【例2】（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键． （1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时； （2）当时函数解析式为，将，代入，利用待定系数法即可求解； （3）求出当和，时，求出对应x的值，然后求差即可求解． 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 1．（2023·贵州遵义·二模）小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】结合函数图像的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：观察函数图像，发现： 当x＜-3或0＜x＜1时，反比例函数图像在一次函数图像的上方， ∴不等式>x+2的解集为x＜-3或0＜x＜1． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图像的交点坐标满足两函数解析式． 2．（2024·广西南宁·一模）某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 3．（2024·广东深圳·二模）如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 4．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】(1) (2) (3)对病毒有作用的时间长为分钟 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题． 【详解】（1） 解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧时的函数关系式为； （2） 解：设燃烧后函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； （3） 解：由题意得： 解得：， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 【经典例题二十二 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 【例1】（23-24九年级上·河北保定·期末）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是，则k的值为（　　） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】此题考查的是反比例函数和一次函数的交点问题，掌握将交点坐标代入并联立方程是解决此题的关键． 根据题意联立两个函数得出，求解即可． 【详解】解：由题意知，反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是， ∴， 消去x得：， 解得：． 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·广东清远·期末）已知：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，交点A、B的横坐标分别为和2． (1)求一次函数的表达式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)如图，连接、，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用； （1）先求解，，再利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）由，，结合函数图象可得答案； （3）如图，记与轴的交点为，求解，结合，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，交点A、B的横坐标分别为和2， ∴，， ∴，； ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式是． （2）解：∵，； ∴当时，x的取值范围为或； （3）解：如图，记与轴的交点为， ∵一次函数的解析式是， 当，则， 解得：， ∴， ∴． 1．（2024·山东青岛·二模）反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示．则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的图象与性质，由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得，且，可得函数过点，从而可得答案． 【详解】解：由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得， 且当时，， ∴， ∵， 当时，， ∴函数过点； ∴A符合题意， 故选：A． 2．（23-24八年级下·河南周口·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象综合判断，分别求出每个选项中一次函数图象中的k，的符号，再看是否与反比例函数一致即可得到答案． 【详解】解；A、一次函数经过第一、二、三象限，则，， ∴，反比例函数要经过第二、四象限，不符合题意； B、一次函数经过第一、三、四象限，则，， ∴反比例函数要经过第一、三象限，不符合题意； C、一次函数经过第二、三、四象限，则，， ∴，反比例函数要经过第二、四象限，符合题意； D、一次函数经过第一、二、四象限，则，， ∴反比例函数要经过第一、三象限，不符合题意； 故选C． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点均在反比例函数的图象上，点均在一次函数的图象上，且轴于点C，连接，若点A的坐标为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，先利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再根据题意得到，则点B和点D的纵坐标都为1，据此求出B、D的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴， ∵轴于点C， ∴点B和点D的纵坐标都为1， 在中，当时，， 在中，当，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）一次函数交轴于点，交反比例函数于点，已知点的横坐标为1． (1)求反比例函数解析式； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合运用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先把点的横坐标为1代入，求出，再用待定系数法求出的值； （2）由可得是以为底，到距离为高的三角形面积，故把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点，对应直线间距离都与到距离相等，分别联立方程组，由此可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1，且点在函数图象上， ∴， 将点代入反比例函数，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵直线与轴交点为，而， ∴把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点， 即，解得：，（舍去） 或，解得：，（舍去） ∴点的坐标为或． 【经典例题二十三 反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例1】（22-23九年级上·浙江绍兴·自主招生）方程实数根的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，二次函数、反比例函数的图像，解题的关键是理解方程的解与函数图像有交点的关系．画出函数，反比例函数的图象，根据两个图像的交点确定方程实数根的个数． 【详解】解：如图，画出函数与的图像， 由图像可知，函数与的图像只有一个交点， ∴方程实数根的个数为1． 故选：B． 【例2】（23-24九年级上·江苏苏州·期中）规定：若函数的图象与函数的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． (1)下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是 　　（填写序号）； (2)若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标． ①求实数的值； ②求另外两个“兄弟点”的横坐标． 【答案】(1)② (2)①；②另外两个“兄弟点”的横坐标为和 【分析】（1）画出函数图象，有函数图象及“兄弟点”的定义即可得到答案； （2）①将把代入得，将代入即可求出的值；②联立，整理得到，从而得到或，利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：如图：   ， 由图可知，与二次函数有3个交点的是， 与二次函数互为“兄弟函数”的是②， 故答案为：②； （2）解：①把代入得， 其中一个“兄弟点”的坐标为， 把代入得：， 解得：； ②由①得：， ， 联立， 得， ， ， ， ，即， 或， ， 在中，， ， 另外两个“兄弟点”的横坐标为和． 【点睛】本题考查了在新定义下的一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，图象交点与一元二次方程的关系，公式法解一元二次方程，理解“兄弟点”的定义，采用数形结合的思想，是解此题的关键． 1．（24-25九年级上·山东烟台·阶段练习）如图所示，二次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象的性质． 解答此题的关键是分两种情况讨论的取值范围，再结合图象的性质分析找到符合条件的选项即可． 【详解】解：当时，，二次函数的图象开口向上，与轴负半轴相交，反比例函数的图象在一、三象限，所以A、B都不符合题意； 当时，，二次函数的图象开口向下，与轴正半轴相交，反比例函数的图象在二、四象限，所以C不符合题意， D符合题意． 故选D． 2．（2025·安徽合肥·三模）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，根据反比例函数图象确定出k是负数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解． 【详解】解：∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数图象开口向上， 又， ∴二次函数图象与y轴的交点在y轴负半轴， 对称轴为直线， ∴对称轴在y轴左边， 纵观各选项，只有A选项符合． 故选：A． 3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据函数图象找到二次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 4．（2024·河南开封·二模）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数． 下面参照学习函数的过程和方法，探究分段函数的图象与性质． 列出表格： … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 4 1 0 1 4 2 1 … 描点连线： （1）以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，请在所给的平面直角坐标系中描点，并用平滑曲线画出函数的图象． 探究性质： （2）结合（1）中画出的函数图象，请回答下列问题： ①当时，该函数图象的对称轴为______，最低点坐标为______． ②点，在该函数图象上，则______（填“＞”“＜”或“＝”）． ③请写出该函数的一条性质：______________________． 解决问题： （3）①当直线时，与该函数图像的交点坐标为_________________． ②在直线的左侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求值． 【答案】（1）见解析；（2）①直线x=-2；（-2，0）；②＜；③图象有最低点（-2，0）；（3）①（-4，1），（0，1），（6，1）；②x3+x4=-4． 【分析】（1）根据画函数图象的步骤解答即可； （2）观察图象的对称性，最低点特征，即可求解①②； ③根据函数有最低点写出即可； （3）①观察图象可直接得出结论； ②分析题意可得P、Q两点关于直线x=-2对称，得P、Q连线的中点在直线x=-2上，根据中点坐标公式即可得出结果． 【详解】解：（1）该函数图象如图所示； （2）结合（1）中画出的函数图象， ①当x≤2时，该函数图象的对称轴为：直线x=-2；最低点坐标为 （-2，0）； 故答案为：直线x=-2；（-2，0）； ②点A（-3，y1），B（-8，y2）在该函数图象上，且A、B在对称轴左侧， 观察图象，对称轴左侧是y随x的增大而减小， y1＜y2； 故答案为：＜； ③写出该函数的一条性质：图象有最低点（-2，0）； 故答案为：图象有最低点（-2，0）； （3）①当直线y=1时，观察图象经过（-4，1），（0，1），（6，1） ∴与该函数图象的交点坐标为 （-4，1），（0，1），（6，1）； 故答案为：（-4，1），（0，1），（6，1）； ②在直线x=2的左侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3=y4， ∴P、Q两点关于直线x=-2对称， ∴P、Q连线的中点在直线x=-2上， ∴根据中点坐标公式得：x3+x4=-4． 【点睛】本题考查了分段函数的图象画法，函数的增减性，最值问题，图象上点的坐标特征，解题关键是数形结合思想的综合运用． 【拓展训练一 反比例函数的求参相关问题】 【例1】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，点A在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边做正方形ACDE，点D恰好在反比例函数的图像上，连接AD，若，则k的值为（    ） A．10 B．8 C．9 D． 【答案】A 【分析】设正方形的边长为a，A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，于是可表示出C（t，t-a），D（t+a，t-a），再利用等腰直角三角形的性质可得OA=t，AD=a；由OA2-AD2=20可得t2-a2=10，最后根据反比例函数图像的性质即可解答． 【详解】解：设设正方形的边长为a，A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a， ∴C（t，t-a），D（t+a，t-a） ∵等腰直角三角OAB和正方形ACDE ∴OA=t，AD=a ∵OA2-AD2=20 ∴（t）2-（a）2=20，即t2-a2=10 ∵点D在反比例函数的图像上， ∴k=（t+a）（t-a）=t2-a2=10． 故选A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题、正方形的性质、反比例函数的性质等知识点，求正确设出未知数、根据题意表示出所需的量和等式是解答本题的关键． 【例2】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）在函数的学习过程中，我们经历“画函数图象一利用函数图象研究其性质一运用函数图象解决问题”的学习过程． 下面根据学习函数的过程和方法，探究分段函数的相关性质和应用． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出了分段函数图象的一部分，并补全该分段函数的图象如图所示． x ……    写出该分段函数的一条性质：　 　； (2)直线与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是　 　； (3)若该分段函数图象上有两点、，且，则m的取值范围是　 　； (4)当时，函数值y的取值范围为，当a取某个范围内的任意值时，b为定值，直接写出满足条件的a的取值范围及其对应的b值． 【答案】(1)见解析，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (2) (3)或 (4)， 【分析】（1）根据函数图象进行解答便可； （2）观察函数图象，根据函数图象的特征进行解答便可； （3）根据函数图象解答便可； （4）根据函数图象解答便可． 【详解】（1）解：（1）根据图象可知，当时，随的增大而增大(答案不唯一)， 故答案为：当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （2）由函数图象可知，当时，线与该分段函数的图象有2个交点， 直线与该分段函数的图象有2个交点，则的取值范围是， 故答案为：； （3）是函数图象上的点， ， ， ， 由函数图象知，当时，或， 在函数图象上， 或， 故答案为：或； （4）由函数图象可知，若，，当时，函数值的取值范围为， 当时，函数值的取值范围为，当取某个范围内的任意值时，为定值，则，． 【点睛】本题考查了分段函数图象，二次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质，根据函数图象的信息解题是本题的关键． 1．（2025·江苏无锡·二模）定义在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，为正整数，则称点为该函数的“倍值点”． ①点是一次函数的“2倍值点”； ②若二次函数存在唯一的“2倍值点”，则； ③反比例函数，总存在二个关于原点对称的“倍值点”； ④若函数的“倍值点”在以点为圆心，为半径的圆内部，则为不小于3的所有整数．上述说法正确的有（    ） A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、一次函数及二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能根据新定义列出关系式是关键．依据题意，根据“倍值点”的定义逐个判断分析可以得解． 【详解】解：对于①，由题意，，为正整数，点为该函数的“倍值点”， ． 又， 点是一次函数的“2倍值点”，故①正确． 对于②，由题意， “2倍值点”的， ． 联立方程组， ． 二次函数存在唯一的“2倍值点”， ． 或，②错误． 对于③，联立方程组， ． ． 为正整数， ． 反比例函数总存在二个的“倍值点”． 设其中一点为，另一个点为， ． 这两个“倍值点”不关于原点对称，故③错误． 对于④，联立方程组， ． 函数的“倍点”为． 点与点的距离为． 又当时， ．即， 又为正整数， 不合题意，故④错误． 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）已知反比例函数的图象上有两点A（a-3，2b），B(a，b-2)，且a<0，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由a<0可得a-3<0，再根据反比例函数的图象上有两点A(a-3，2b)，B(a，b-2)，继而可得2b<0且b-2<0，从而可得b<0，再由2b=，b-2=，得出a=，a=，继而根据a<0，可得，由此结合b<0即可求得答案. 【详解】∵a<0，∴a-3<0， ∵反比例函数的图象上有两点A(a-3，2b)，B(a，b-2)， ∴2b=，b-2=， ∴2b<0且b-2<0，∴b<0， ∵2b=，b-2=， ∴a-3=，a=， 即a=，a=， 又a<0， ∴， ∴-1<b<2， ∴-1<b<0， 故选C. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，解不等式组等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键. 3．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知函数是反比例函数，且当x＜0时，y随着x的增大而增大，则m的取值是 ． 【答案】-3 【分析】根据函数是反比例函数，可得出，在结合当x＜0时，y随着x的增大而增大，可得出，解一元二次方程及一元一次不等式即可得出结论. 【详解】解：根据题意得： ， 解得：m＝﹣3． 故答案是：﹣3． 【点睛】此题主要考查反比例函数定义及性质，能把函数的增减性与比例系数的符号相结合解题，是最基本的要求． 4．（2024·山东济南·一模）如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标； （3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）（﹣2，0）或（8，0）；（3）存在，P（0，1）或  P（0，﹣1） 【分析】（1）将点A坐标代入两个解析式可求a的值，k的值，即可求解； （2）设P（x，0），由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，由两点距离公式分别求出AP，AB，BP的长，由勾股定理可求解. 【详解】（1）把点A（1，a）代入y=﹣x+3，得a=2， ∴A（1，2）， 把A（1，2）代入反比例函数y=， ∴k=1×2=2； ∴反比例函数的表达式为； （2）∵一次函数y=﹣x+3的图象与x轴交于点C， ∴C（3，0）， 设P（x，0）， ∴PC=|3﹣x|， ∴S△APC=|3﹣x|×2=5， ∴x=﹣2或x=8， ∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）； （3）存在， 理由如下：联立， 解得：或， ∴B点坐标为（2，1），    ∵点P在y轴上， ∴设P（0，m）， ∴AB=，AP=，PB=, 若BP为斜边， ∴BP2=AB2+AP2 ， 即 =2+， 解得：m=1， ∴P（0，1）； 若AP为斜边， ∴AP2=PB2+AB2 ， 即 =+2， 解得：m=﹣1， ∴P（0，﹣1）； 综上所述：P（0，1）或  P（0，﹣1）. 【点睛】此题考查一次函数的解析式，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与动点构成的三角形面积问题，勾股定理，直角三角形的性质. 【拓展训练二 反比例函数增减性相关问题】 【例1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）已知三点、、均在双曲线上，且，则下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵ k=4>0， ∴函数图象在一、三象限， ∵ ∴横坐标为x1，x2的在第三象限，横坐标为x3的在第一象限； ∵第三象限内点的纵坐标小于0，第一象限内点的纵坐标大于0， ∴y3最大， ∵在第三象限内，y随x的增大而减小， ∴ 故答案为B． 【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，对点所在不同象限分类讨论是解答本题的关键． 【例2】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）在反比例的图象的每一支上，都随的增大而减小，且整式是一个完全平方式，求反比例函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及完全平方式的概念，解题的关键是根据反比例函数的增减性确定k的取值范围，再结合完全平方式的特征求出k的值． 根据反比例函数y随ⅹ增大而减小的性质，得出即由整式是完全平方式，确定k的值；结合的条件，筛选出符合要求的k值，进而得到反比例函数解析式． 【详解】解：∵反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减小， ∴根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，函数在每一支上y随x增大而减 小，即解得． ∵整式是一个完全平方式， 又∵完全平方式的形式为对比可得则， ∴中间项系数满足，即， 解得或． 结合的条件，可知． ∴反比例函数的解析式为． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知y与x成反比例，当x增加20%时，y将（　　） A．减少20% B．增加20% C．减少80% D．约减少16.7% 【答案】D 【详解】根据反比例的定义列出函数关系式，再根据自变量x的变化计算得出y的变化即可． 解：设 ， 当x增加20%时，即变为1.2x， y′=， y减少的百分率是=≈16.7%． 故选D． 2．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）若 ，两点均在函数的图像上，且＜，则-的值为（     ） A．正数 B．负数 C．零 D．非负数 【答案】B 【详解】 ，两点均在函数的图像上，可得ab=1, =1，即可得a=c，b=，所以b-c=-a= ，再由＜可得1-a＞0，1+a＞0，所以，即b-c＜0，故选B. 3．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知反比例函数与，当时，的最大值为4，则的值是 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出关于k的方程是解题关键． 根据反比例函数在上的增减性，可得，，得出方程求解即可． 【详解】解：对于反比例函数，当时，当时，取得最大值， 当时，， 对于反比例函数，当时，当时，取得最小值， 当时，， ∵的最大值为4， ∴ 解得， 故答案为：6． 4．（2023·浙江杭州·中考真题）设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）． （1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值． （2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？ 【答案】（1）a＝2，k＝4；（2）圆圆的说法不正确，理由见解析 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，①；﹣＝a﹣4，②；可求a的值和k的值； （2）设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，将x＝m0，x＝m0+1，代入解析式，可求p和q，即可判断． 【详解】解：（1）∵k＞0，2≤x≤3， ∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大， ∴当x＝2时，y1最大值为，①； 当x＝2时，y2最小值为﹣＝a﹣4，②； 由①，②得：a＝2，k＝4； （2）圆圆的说法不正确， 理由如下：设m＝m0，且﹣1＜m0＜0， 则m0＜0，m0+1＞0， ∴当x＝m0时，p＝y1＝ ， 当x＝m0+1时，q＝y1＝， ∴p＜0＜q， ∴圆圆的说法不正确． 【点睛】此题考查反比例函数的性质特点，难度一般，能结合函数的增减性分析是解题关键． 【拓展训练三 反比例函数图像的综合问题】 【例1】（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知对于双曲线，在其上始终存在两点，使得关于直线对称，则下列关于双曲线说法正确的是（   ） A．双曲线E是不具有对称轴的中心对称图形 B．双曲线E是中心对称图形且有一条对称轴 C．双曲线E是具有两条对称轴的轴对称图形 D．双曲线E的自变量能够保证连续性 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，反比例函数的对称性，反比例函数图象上的点的坐标特点，过点A作轴，交直线于G，连接，设，，可证明，得到，则可证明，，则，则关于直线对称的点A和点B一定在一个反比例函数图象上，据此可得答案． 【详解】解；过点A作轴，交直线于G，连接， 设，， ∵直线与x轴的夹角为， ∴由平行线的性质可得， ∵关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴关于直线对称的点A和点B一定在一个反比例函数图象上， ∴双曲线一定关于直线对称，且关于直线对称， ∵在中，， ∴四个选项中只有C选项正确，符合题意， 故选：C． 【例2】（2023·河北秦皇岛·一模）如图反比例函数的图象经过点、点P是一次函数的图象与该反比例函数图象的一个公共点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)当点P的纵坐标为1时， ①求的面积： ②方程的解为______；当x满足______： (3)对于一次函数．当y随x的增大而增大时，则点P横坐标a的取值范围为______． 【答案】(1) (2)①；②， (3) 【分析】（1）把代入即可得到，从而可确定反比例函数的解析式； （2）过点作平行于轴，交轴于点，过点作平行于轴，交轴于点 和交于点，利用割补法即可得出面积；再根据图像可得出②； （3）设点的横坐标为，由于一次函数过点，并且随的增大而增大时，则点的纵坐标要小于3，横坐标要小于3，当纵坐标小于3时，由得到，于是得到的取值范围． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点 ， ∴ ∴． ∴反比例函数的解析式为 （2）当时，，， ∴， ①过点作平行于轴，交轴于点，过点作平行于轴，交轴于点 和交于点      ∴ ∴，， ∴． ②∵点P是反比例函数的图象与一次函数的图象的一个公共点， ∴方程的解为 ， 由图可知当时， 故答案为：， （3）当时，， 即一次函数一定经过， 设点的横坐标为， 一次函数过点，并且随的增大而增大时， ，点的纵坐标要小于3，横坐标要小于3， 当纵坐标小于3时， ， ， 解得：， 则的范围为． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题：点在函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；掌握一次函数的增减性． 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．设，即可求出点A，点B的坐标从而求出面积． 【详解】解： P在反比例函数图象上， 设， 点A，点B在反比例函数图象上， 过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B， ， ， ． 故选C． 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个5×2的矩形DEFG网格，每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数（k≠0，x＞0）的图像经过格点A（小正方形的顶点），同时还经过矩形DEFG的边FG上的C点，反比例函数（k≠0，x＜0）的图像经过格点B，且，则k的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的对称性，且AB距离3个单位长度，可得A点、B点的横坐标，进而得到C点的横坐标．根据，且AB=3，可得C点与直线AB的距离．将A点和C点的坐标代入函数表达式即可求出k． 【详解】令经过A点和C点的反比例函数为，经过B点的反比例函数为 ∵， ∴关于y轴对称 ∴A点、B点关于y轴对称 设，则 ∵，AB=3 ∴△ABC的高为 ∴ 将，代入得∶ 解得：k= 故选：D 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像和性质，理解反比例函数的图像和性质是解题的关键． 3．（2023·新疆昌吉·二模）如图所示，反比例函数在第一象限内分支上有一动点A，连接AO并延长与另一分支交于点B，以AB为边作一个等边△ABC，使得点C落在第四象限内．在点A运动过程中，直接写出△ABC面积的最小值 ． 【答案】18 【分析】利用等边三角形的性质及三角形的面积公式可得出，设点的坐标为，则点的坐标为，利用两点间的距离公式及完全平方公式可求出的最小值，进而可得出面积的最小值； 【详解】解：为等边三角形， ． 设点的坐标为，则点的坐标为， ． ， ， ． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解直角三角形、三角形的面积、完全平方公式，解题的关键是利用完全平方公式及偶次方的非负性，求出的最小值． 4．（23-24九年级上·江西新余·期末）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点． (1)求和的值． (2)若点与点关于直线对称，连接． ①求点的坐标； ②若点在反比例函数的图象上，点在轴上，以点为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)①②的坐标为或或 【分析】将点代入可得，直线的表达式为，把点代入得，故； 连接，过作轴于，由，知是等腰直角三角形，，根据点与点关于直线对称得，故点的坐标为； 设，又，分三种情况，由平行四边形对角线互相平分列方程可解得答案． 【详解】（1）将点代入得：， ， 直线的表达式为， 把点代入，得：， ， 将代入得：， ； （2）①连接，过作轴于，如图： ， ， 是等腰直角三角形， ， 由点与点关于直线对称，知≌， ，即， ， 点的坐标为； 以点为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下： 设，又， Ⅰ若是对角线，则的中点重合， ， 解得， ； Ⅱ若为对角线，则的中点重合； ， 解得， ； Ⅲ若为对角线，则的中点重合， ， 解得， ， 综上所述，的坐标为或或． 【点睛】本题考查反比例函数，一次函数的综合应用，涉及待定系数法，轴对称，平行四边形等知识，解题的关键是方程思想的应用． 【拓展训练四 反比例函数应用】 【例1】（2023·河南安阳·一模）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（        ） A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为 【答案】B 【分析】根据题意结合图、图、图可得，，对各个选项进行逐个计算即可． 【详解】A. 由图得：当时，，故此项说法正确； B. 当报警器刚好开始报警时，，解得，由图可求得：，解得，故此项说法错误； C. 当报警器刚好开始报警时，由上得，则有，，由图求得，，解得：，故此项说法正确； D. 当报警器刚好开始报警时：，，当时，，，，，故此项说法正确． 故选：B． 【点睛】本题跨学科考查了反比例函数、一次函数的实际应用，理解每个变量的实际意义是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上． (1)求的长度； (2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 【答案】(1)的长度为3 (2)①；②当点坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用矩形的性质和翻折的性质，推出，再利用勾股定理求的长； （2）①设，则，利用勾股定理列方程，求出，可得，将点代入反比例函数解析式求解即可； ②先求出直线的解析式，再求反比例函数图象与直线的交点的坐标，延长至点G，使得，利用垂直平分线的性质说明，进一步说明当点P为与的交点时，最小，此时的周长最小，再求出直线，的解析式，联立解方程可得点P的坐标． 【详解】（1）解：，， ，， 四边形是矩形， ，，， 由翻折得到， ，，， 由勾股定理得，． 的长度为3． （2）解：①设，则， 又，， 由勾股定理得，， 即，解得， ，即， 将点代入反比例函数，可得， 反比例函数解析式为． ②设直线的解析式为， 代入点，，得， 解得， 直线的解析式为． 解方程得，，， 经检验，，是方程的解， 当时，，故． 如图，延长至点G，使得，连接，， 又， 垂直平分， ， ， 当点P为与的交点时，有最小值时． 的周长等于，的长为定值， 当有最小值时，的周长最小， ， E为的中点， 设，又，， ，解得， ， 设直线的解析式为， 代入点，可得， 解得， 直线的解析式为， 同理可求直线的解析式为：， 联立，解得， 直线与的交点坐标为， 当点坐标为时，的周长最小． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，一次函数交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，矩形的性质，勾股定理，折叠问题，求线段和的最小值问题等相关知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 1．（2023九年级·广东·竞赛）2021年新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，严格按照防疫要求进行个人防护和环境消杀是防控的重点．已知某种环境消杀使用的消毒液中含有有效成分，每将个单位的溶解在一定量水中，则消毒液的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次溶解，则某一时刻水中的浓度为每次溶解的在相应时刻溶解的浓度之和．根据科学实验，当消毒液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效消毒．则下列结论不正确的是（    ） A．一次投放4个单位的，在2分钟时，消毒液的浓度为克/升 B．一次投放4个单位的，有效消毒时间可达8分钟 C．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，第8分钟消毒液的浓度为5克/升 D．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，接下来的4分钟能够持续有效消毒 【答案】C 【分析】根据题意，对于题意根据当时，，当时，，当时，，当时，，根据题意求得时的函数值，即可判断A，令根据上述函数关系式，求得的取值范围，进而判断B选项，根据当时，求得函数关系式，求得当时的函数值即可判断C选项，根据C选项的解析式求得的最小值即可判断D选项． 【详解】对于A，由题意可得，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，故A正确， 对于B，当时，，解得， 故， 当时，，解得， 故， 综上所述，， 若一次投放4个单位的，消毒时间可达8分钟，故B正确， 对于C，当时， ，当时，， 故C错误， 对于D，∵， ∴，当且仅当，即时取等号， ∴有最小值， ∴接下来的4分钟能够持续消毒，故D正确． 故选C 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的应用，类比反比例函数求解是解题的关键． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点B在y轴正半轴上，点A在反比例函数的图象上，若顶点C和边的中点M都在反比例函数的图象上，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，中点坐标计算公式，解题的关键是根据平行四边形条件表示出点A，M的坐标． 先设，，再表示出点M，然后根据四边形为平行四边形，表示出点A，将点M，点A的坐标分别代入相应的反比例函数解析式中，得到关于的方程求解． 【详解】解：由题意，连接交于点， 设，， ∴点M的坐标为，． ∵以，为邻边作， ∴与互相平分， ∴， ∴， ∴点A的横坐标为，纵坐标为， ∴点A的坐标为． ∴点C和的中点M都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． 故选：C． 3．（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）如图，是等边三角形，点A在x轴的正半轴上，在第一象限，轴，点D为的中点，反比例函数的图象经过点C和点D，的延长线与反比例函数的图象相交于点E，连结．已知，，则 ，的值是 ． 【答案】 4 / 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，连接、，作于M，设交y轴于点F，根据反比例函数系数k的几何意义得出，，由得出 ，由，得出，进一步求得，由等边三角形的性质得出，设，则，代入，即可求得m的值，进而求得，由得出，从而得出，求得，得出，代入，即可求得． 【详解】解：连接，作于M，设交y轴于点F， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点D为的中点，是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，, 设，则，， ∴， 根据题意得四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴由中点坐标公式得，即， ∵反比例函数的图象经过点C和点D， ∴， 解得， ∴，， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点E， ∴， ∴， 故答案为：4，． 4．（24-25九年级下·湖南怀化·阶段练习）已知是自变量的函数，当（为常数）时，称函数为函数的“阶升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的阶升幂点”，点在函数的“阶升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“2阶升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的2阶升幂点”，点在函数的“2阶升幂函数”的图象上． (1)求函数的“3阶升幂函数”的函数表达式； (2)点在函数的图象上，点“关于的1阶升幂点”在点的上方，当时，求点的坐标； (3)已知函数是函数的“阶升幂函数”，与的图象交于，两点，若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）直接根据新定义，求出函数解析式即可； （2）设，根据新定义，得到，即：，根据点在点的上方，，列出方程进行求解即可； （3）先根据新定义，得到，令，得到，根与系数的关系得到，根据，且，推出，且，求出，进而求出时的范围，再求出的范围即可． 【详解】（1）解：由题意，得： （2）∵点在函数的图象上， ∴设， 由题意，得：，即：， ∵点在点的上方，， ∴， 解得：， ∴； （3）， 令，整理，得：， ∵与的图象交于，两点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，则：，与矛盾，不符合题意， ∴， ∴， ∵ ， ， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴， ∴． 【拓展训练五 一次函数与反比例函数综合应用】 【例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．请利用直角坐标系构造恰当的图形，判断不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题的关键．结合函数图象与不等式之间的联系，利用数形结合思想求解． 【详解】解：∵， ∴ 函数的图象和函数图象如下： 由图象可知，不等式的解集是或， 故选：B． 【例2】（2024八年级下·江苏·专题练习）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 【答案】(1)分钟 (2)完全有效，见解析 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，是一个分段函数，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． （1）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出时间，再减去分钟即可得结果． （2）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出，对于，令，求出时间，用两时间之差与作比较，即可得结果． 【详解】（1）解：由题意可得，故当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， （分钟）． 答：至少经过分钟后学生方可返回教室． （2）当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， 对于，当时，， ， ， 此次消毒是完全有效， 答：此次消毒完全有效． 1．（2024·湖北·模拟预测）反比例函数与一次函数的图像如图所示，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④若均在反比例函数上且，则且    A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由一次函数的图像可得：，，由反比例函数的图像可得：，可得①符合题意，②不符合题意；求解，，设，，再结合勾股定理与一元二次方程根与系数的关系可判断③符合题意；由均在反比例函数上且，可得，可得④不符合题意． 【详解】解：由一次函数的图像可得：，， 由反比例函数的图像可得：， ∴，故①符合题意，②不符合题意； ∵直线， 当，，则， 当，则，则， 设，， ∴，， 联立， ∴整理得：， ∴，， ∴，即，，， ∴，， ∴， ∴，故③符合题意； ∵均在反比例函数上且， ∴， 解得：，故④不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的综合题，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的应用，反比例函数的性质，本题难度大，掌握基础知识是解本题的关键． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　） A．函数图象的对称中心是 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数有最小值，且最小值为4 D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点 【答案】C 【分析】本题考查函数的图象及性质，将函数变形为，因此该函数图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到，根据由函数的图象逐项判断即可． 【详解】解：∵函数可变形为， ∴函数的图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到， ∵函数的图象的对称中心为原点， ∴函数的图象的对称中心为，故A选项错误； ∵由图可知，函数在时，不存在连续的增减性， ∴函数的图象在时，不存在连续的增减性，故B选项错误； ∵由图象可知，函数图象在时，有最低点，即存在最小值， ∵， 即当时，由最小值，为2， ∴函数在时，有最小值，为， ∴函数在时，由最小值，为，故C选项正确； ∵由函数与函数，可得， 即， 解得，， ∴二次函数的图象与函数的图象有2个不同的公共点，故D选项错误． 故选：C 3．（2023·江苏常州·一模）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶好点”．例如点是函数图像的“1阶好点”；点是函数图像的“2阶好点”，若y关于x的二次函数图像的“3阶好点”一定存在，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点和点时为临界情况，求出此时a的值，由图象可得a的取值范围． 【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点坐标在直线上移动， ∵y关于x的二次函数图象的“3阶好点”一定存在， ∴二次函数的图象与以顶点坐标为，的正方形有交点， 如图，当过点时， 将代入得：， 解得：或（舍去）， 当的顶点过点时，则， 由图可知，若y关于x的二次函数图象的“3阶好点”一定存在，a的取值范围为：． 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，正确理解“n阶好点”的几何意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 4．（2025·四川成都·二模）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】把代入，求出值，即可得到反比例函数的解析式，把代入，求出值，即可得到一次函数的解析式； 将直线沿轴方向向上平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，的长度就是直线中的；将直线沿轴方向向下平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，其中的长度是直线中的的相反数； 根据等和点的关系和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， ， 反比例函数的解析式为， 把代入， 可得：， ， 直线的解析式为； （2）解：， 点的坐标是， ， 如下图所示， 将直线沿轴方向向上平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 将直线沿轴方向向下平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或； （3）解：点的坐标为或， 点在图象上，点在直线上， 设点，点， 点是点的等和点， ， ， ， ，， 经检验，，均是原分式方程的根， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合性、求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、函数图象的平移，解决本题的关键是根据函数的图象与性质找到相应的点的坐标，再根据坐标求出解析式． 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，那么与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列反比例函数解析式，根据等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，可以得到，即可得到函数解析式．正确进行计算是解题关键． 【详解】解：等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为， ， 与之间的函数关系式为． 故选：C． 2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特点．根据双曲线上的点的横纵坐标之积相等，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选：A． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）若反比例函数的图象在每个象限内的值随值的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，先根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵函数的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大， ∴， 解得． 故选：C． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知反比列函数，其部分对应值如下表： … 1 2 … … … 下列判断不成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由表格可知，若，根据函数的增减性可知，y随x的增大而减小，故，原说法正确，不符合题意； B、由表格可知，若，根据函数的增减性可知，y随x的增大而增大，故，原说法正确，不符合题意； C、由表格可知，若，根据函数图象分布可知，y随x的增大而增大，故，原说法错误，符合题意； D、由表格可知，若，根据函数图象分布可知，y随x的增大而减小，故，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 5．（2025·安徽合肥·二模）如图，已知点在反比例函数图象上，轴，垂足为点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数的几何意义进行计算即可． 【详解】解：设点 点在反比例函数的图象上， ， 即， 又，而，， ， ， ， 故选：C． 6．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象性质，解题的关键是根据函数解析式中系数的符号，分别确定一次函数图象经过的象限和反比例函数图象所在的象限，再判断两者的符号是否一致． 先明确：一次函数中，（图象必过y轴正半轴），时过一、二、三象限，时过一、二、四象限；反比例函数中，时图象在一、三象限，时图象在二、四象限；再逐一分析选项中两函数的符号是否一致，一致则为正确选项． 【详解】解：一次函数：（图象必过y轴正半轴），故时过一、二、三象限，时过一、二、四象限． 反比例函数：时图象在一、三象限，时图象在二、四象限． A、一次函数过一、二、三象限（则），反比例函数在二、四象限（则），符号矛盾，此选项不符合题意； B、一次函数过二、三、四象限（与矛盾，不存在此情况），此选项不符合题意； C、一次函数过一、二、四象限（则），反比例函数在一、三象限（则），符号矛盾，此选项不符合题意； D、一次函数过一、二、四象限（则），反比例函数在二、四象限（则），符号一致，此选项符合题意． 故选：D． 7．（22-23八年级下·山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 8．（2023·广西南宁·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆上，点Q是的中点，且长的最大值为1.5，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定长的最大时点P的位置，当所在的直线过圆心C，且圆心C在线段上时，最长，设，则，，根据勾股定理计算t的值，可得k的值． 【详解】解：连接， 由对称性得：， ∵Q是的中点， ∴， ∵长的最大值为， ∴长的最大值为， 如图，当所在的直线过圆心C，且圆心C在线段上时，最长，过B作轴于D， ∵， ∴， ∵B在直线上， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得（舍）或， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用中位线的性质和圆的性质确定出点P的位置． 9．（22-23九年级上·湖南益阳·期末）如图，直线与双曲线交于点A，B，与y轴交于点C，与x轴交于点D，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为点F，E，连接，若，则k的值为（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据点A，B在双曲线上，设，，利用待定系数法求出直线AB解析式为，当时，，则，计算得，，，根据三角形的面积公式得，则 ，进行计算即可得． 【详解】解：∵点A，B在双曲线上， ∴设，， 设直线AB解析式为，将，代入，得 ，解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴ 即     ∴ ∴ k = 6， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数与一次函数的相关知识，并正确计算． 10．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与双曲线交于点，作轴于点．平移直线使其经过点，得到直线，与双曲线交于点，作轴于点．作轴，交直线于点，反比例函数的图象是一条经过点的双曲线．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，得，，确定直线的解析式为，联立，得，，设，得，继而得到，，可判断A；根据，，点、在双曲线上，推出，，可判断B；根据两点间距离求出，，可判断C；求出，，可判断D． 【详解】解：设， ∵直线与双曲线交于点， ∴， ∵轴， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， ∴，即， 解得：或（负值不符合题意，舍去） ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵轴，交直线于点，设， ∴， ∵点在直线：和反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， A．∵，， ∴，该选项结论正确，故此选项不符合题意； B．∵，， 又∵，， ∵点、在双曲线上， ∴， ∴， ∴，该选项结论正确，故此选项不符合题意； C．∵，，， ∴， ， ∴，该选项结论错误，故此选项符合题意； D．∵，，， ∴，， ∴，该选项结论正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法确定函数解析式，平移的性质，函数图象上点的坐标特征，坐标与图形，两点间距离，等积变换等知识点．利用联立方程组求函数图象的交点坐标是解题的关键． 11．（22-23九年级上·全国·期中）已知和是同一个反比例函数图象上的两个点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征得，然后求出的值即可，解题的关键是正确理解反比例函数（为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 【详解】解：∵和是同一个反比例函数图象上的两个点， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知点，在反比例函数 (k是常数)的图象上，当时，，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意可得，结合得出反比例函数图象分布在第一、三象限，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，在反比例函数 (k是常数)的图象上，且， ∴， ∵， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限， ∴， 故答案为：． 13．（2025九年级上·全国·专题练习）在反比例函数 中，x，y 同号，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 在反比例函数中，当，x，y 同号，据此解答即可． 【详解】∵在反比例函数 中，x，y 同号， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝ ． 【答案】-2 【分析】首先由题意可得点A和点B关于原点对称，再根据三角形全等可得，最后根据k的几何意义可得答案． 【详解】解：∵点A、B是反比例函数与正比例函数的交点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴OA＝OB， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∵， ∴， ∵反比例函数图像位于第二象限， ∴k＝-2． 故答案为：-2． 【点睛】 本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数的性质和解析式与面积的关系是解题的关键． 15．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，矩形的顶点O 为坐标原点，边分别在y轴、x轴上，，，反比例函数 的图象经过矩形对角线的交点E． （1） ； （2）过点 B作，交该反比例函数的图象于点 F，交 x轴于点D，则 的值为 【答案】 【分析】本题主要老相反比例函数与几何综合，矩形的性质，求直线解析式等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据矩形的性质求出点的坐标，由中点坐标公式求出点的坐标，进而可求出的值； （2）运用待定系数法求出直线的解析式，根据和点坐标可求出直线 的函数解析式，再联立方程组，解方程组得出点的坐标，求出，可得结论． 【详解】(1)∵四边形是矩形， ∴，E 为 的中点. ∵， ∴， ∴， 由中点坐标公式得， ； （2）设直线的解析式为， 把，代入直线解析式得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴设直线 的函数解析式为 ∵该直线过点，. 解得， ∴直线的函数解析式为 由（1）可知，反比例函数的解析式为 ； ∵ F为这两个图象的交点， ∴解方程组得：， ， ∴ 点 F 的 坐 标 为 或 ， ∴当点 F 的坐标为 时， ； 当点 F 的坐标为 时， 综上所述， 的值为 16．（24-25九年级上·全国·期末）已知函数 (1)若y是x的正比例函数，求m的值． (2)若y是x的反比例函数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了正比例函数和反比例函数的定义，掌握基本定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义求解即可； （2）根据反比例函数的定义求解即可； 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，； 答：当时，是的正比例函数； （2）解：由题意得，， 解得，； 答：当时，是的反比例函数． 17．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知y与成反比例，当时，． (1)写出y关于x的函数表达式． (2)当时，求y的值． (3)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求反比例函数的函数值和自变量的值，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入解析式，进行求解即可； （3）把代入解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵y与成反比例， ∴可设． 把，代入，得， ∴y关于x的函数表达式为． （2）当时，． （3）当时，， ∴． 18．（2025·四川达州·一模）如图，直线(为常数)与双曲线(为常数)相交于两点． (1)求直线 的解析式； (2)在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)当时，；当时，；当时，； (3)解集为或． 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的综合，掌握待定系数法，图象法求不等式解集是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）结合反比例函数图象的性质求解即可； （3）根据直线与反比例函数解析式交点求不等式解集． 【详解】（1）解：直线(为常数)与双曲线(为常数)相交于两点， 把点代入双曲线中得，， ∴双曲线的解析式为， ∴当时，， ∴， 把点代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）可知，双曲线的解析式为， ∴当时，； 当时，； 当时，； （3）解：根据图示，当时，直线的函数图象在双曲线的图象上方，即； 根据图示，当时，直线的函数图象在双曲线的图象上方，即； 综上所述，当或时，， ∴解集为或． 19．（2025·河南·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，交反比例函数的图象于B，C两点，以为边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，矩形面积分别记为，已知． (1)直接写出反比例函数的表达式； (2)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得出，根据反比例函数的图象在第一象限，得出 ，即可得出答案； （2）点B，C均在反比例函数的图象上，得出．设分别交x轴于点分别交y轴于点G，H．得出，，根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点B，C均在反比例函数的图象上， ． 如图，设分别交x轴于点分别交y轴于点G，H． ，， ， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握反比例函数比例系数k的意义． 20．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12， ①若点在点的左侧，求点的坐标． ②点可在点的右侧吗？若在，直接写出点的坐标，若不在，请说明理由 【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为：； (2)； (3)①；②存在， 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象的交点问题，与面积的综合问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用割补法求解； （3）①设，连接并延长交y轴于点N，可求直线表达式为，则，即，由，得到，解方程即可； ②按照①的解法求解即可． 【详解】（1）解：把代入线与反比例函数， 得， ∴， ∴一次函数表达式为，反比例函数表达式为； （2）解：在一次函数中，时，， ∴，即， 联立， 解得：， 经检验解成立， ∴， ∴； （3）解：①设，连接并延长交y轴于点N，如图： ∵点M在第一象限，且点M在点A左侧， ∴， 设直线表达式为， 把点分别代入得：， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或（舍）， 经检验：成立， ∴ ②存在，理由如下， 作出同样辅助线， ∵点M在第一象限，且点M在点A右侧， ∴， 同理可求：直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或（舍）， 经检验：成立， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$