拓展训练06 圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆、蒙日圆、阿基米德三角形3类题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版2019选择性必修第一册

拓展训练06 圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆、蒙日圆、阿基米德三角形 3类题型归类 目录 典例详解 类型一、圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆 类型二、圆锥曲线中的蒙日圆 类型三、阿基米德三角形的应用 压轴专练 类型一、圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆 【知识归纳】 平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点M的轨迹是圆（，此圆被称为阿波罗尼斯圆．特别的，当时，点M的轨迹是线段AB的中垂线. 证明 以直线AB为x轴建立平面直角坐标系，并设，，． 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以，所以点M的轨迹是圆． 2．阿波罗尼斯圆的性质——三角形相似 当把点A，B的坐标分别记为，时，其阿波罗尼斯圆的方程为， 即，则阿波罗尼斯圆圆心为，半径为， 此时有，于是与相似． 若取，，则如下图所示．虽然是取特殊坐标推导的，但结论具有普遍性，即当M为阿波罗尼斯圆上一点，且M不与O，A，B三点所在直线共线时，相似于． 例1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，阿波罗尼斯圆指的是已知动点与两定点的距离之比且是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的上顶点与右顶点，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，过点斜率分别为的直线与椭圆的另一个交点分别为，且满足，试探究面积是否存在最大值，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D．5 【变式1-2】（多选）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，若点Q为抛物线E：上的动点，Q在直线上的射影为H，F为抛物线E的焦点，则下列选项正确的有（    ） A．的最小值为2 B．的面积最大值为 C．当最大时，的面积为 D．的最小值为 【变式1-3】阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他的主要一生研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线轨迹的建模》此书最突出的成果是研究出阿波罗尼斯圆上动点与相关定点的距离比值问题，即定义：已知动点与两个定点Q，P的距离之比为一个不等于1的正常数，则动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，且圆心在直线上，已知动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，其方程是，定点分别为椭圆的右顶点与右焦点，且椭圆的离心率， (1)求椭圆的两条准线距离； (2)如图所示，过右焦点作一条斜率为正数的直线l与椭圆相交于B，D（点在轴的上方），点是椭圆上相异于B，D的两点，平分，TF平分， ①求的取值范围； ②若点S，F，T是另一个阿波罗尼斯圆上的三点，且外接圆的面积为，试求直线l方程， 类型二、圆锥曲线中的蒙日圆 【知识归纳】 与曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相切的两条动直线交于一点，求离心率、曲线方程、点到直线的距离等问题． 1.蒙日圆的相关定理： （1）与椭圆相切的两条垂直切线的交点在圆上． （2）与双曲线相切的两条垂直切线的交点在圆上，此时双曲线的离心率满足． （3）与抛物线相切的两条垂直切线交点的轨迹，就是该抛物线的准线． （4）与圆相切的两条垂直切线的交点在圆上． 蒙日圆的证明（以椭圆为例）： ①当平面中两条互相垂直的切线的斜率不存在或斜率为0时，可得的坐标为． ②当两条切线的斜率存在，且设其中一条的斜率为，交点为，则过的切线方程为．由消去得． 令，整理得． ∵是关于的一元二次方程的两个根， ∴． 由，得， 即．命题得证． 双曲线，抛物线的定理均可按照这种方式证明． 2.蒙日圆的性质： 性质1：过圆上的动点作椭圆的两条切线，切点为，则，且平分弦． 性质2：为圆上任一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，延长交圆于两点，则 （1）三点共线； （2）； （3）； （4）当位于轴上时，弦取得最大值． 例2．法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程，，分别为椭圆的左，右焦点，离心率为，P为蒙日圆C上一个动点，过点P作椭圆的两条切线，与蒙日圆C分别交于A，B两点，若面积的最大值为25，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（    ） ①椭圆的离心率为 ②到的左焦点的距离的最小值为 ③面积的最大值为 ④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【变式2-3】19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且蒙日圆的半径为（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）．已知椭圆上任一点到点的距离与到直线的距离之比为，椭圆的蒙日圆为圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为坐标原点，点是椭圆上的任意一点，是椭圆左右焦点，直线与圆相交于两点，求证：是定值； (3)过点作直线交圆于、两点，作直线交椭圆于、两点，且，求四边形面积的最小值． 所以当时，即四边形的最小值为． 类型三、阿基米德三角形的应用 【知识归纳】 1. 椭圆中的阿基米德三角形 设椭圆的弦为 为阿基米德三角形, 则有: 性质 1: 弦 绕着定点 转动时, 则其所对顶点 落在直线 上. 其中, 当 点为左 (右) 焦点时, 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 的斜率成等差数列, 即 . 性质 3: 当 点为焦点时, . 2. 双曲线中的阿基米德三角形 设双曲线 的弦为 为阿基米德三角形, 则有: 性质 1: 弦 绕者定点 转动时, 则其所对顶点 落在直线 上. 其中, 当 点为左 (右) 焦点时, 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 的斜率成等差数列, 即 . 性质 3: 当 点为焦点时, . 3. 抛物线中的阿基米德三角形 抛物线的弦为 为阿基米德三角形, 则有: （1） 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴 （2） 若阿基米德三角形的底边即弦 过抛物线内的定点 , 则另一顶点 的轨迹为一条直线 （3） 若直线 与抛物线没有公共点，以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线 方程为: , 则定点的坐标为 . （4） 底边为 的阿基米德三角形的面积最大值为 . （5） 若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点 的轨迹为准线, 且阿基米德三角形的面积最小值为 （6） 在阿基米德三角形中, （7） . （8） 抛物线上任取一点 (不与 重合), 过 作抛物线切线交 于 ,连接 , 则 的面积是 面积的 2 倍 例3．抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线，，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N. (1)若为阿基米德三角形，求； (2)证明：切线三角形的外接圆过定点. 【变式3-1】阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．点P的坐标为 【变式3-2】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则为（    ）. A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随位置变化前三种情况都有可能关系 【变式3-3】过抛物线的焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，又常被称作阿基米德三角形．的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-5】（多选）阿基米德（公元前287年——公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线C：的焦点为F，过A、B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（    ） A． B． C．点P的坐标为 D． 【变式3-6】设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. （1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB． 一、多选题 1．为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．底边的直线方程为； C．是直角三角形； D．面积的最小值为. 2．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（    ） A．存在点，使得 B． C．对于任意的点，必有向量与向量共线 D．面积的最小值为 3．圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”，如图是抛物线（）的阿基米德三角形，弦经过焦点，（其中点在点上方），，均垂直于准线，且，为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以为直径的圆必与准线相切 B．为定值4 C．设点，则周长的最小值为 D．若弦的倾斜角为锐角，则的最小值为 4．法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，被称为“画法几何”创始人“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过圆上的动点作椭圆的两条切线，交圆于两点，直线交椭圆于两点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．若点在椭圆上，且直线的斜率之和为0，则直线的斜率为 C．点到椭圆的左焦点的距离的最小值为 D．面积的最大值为 5．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过圆上的动点作椭圆的两条切线，交圆于两点，直线交椭圆于两点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．若点在椭圆上，将直线的斜率分别记为，则 C．点到椭圆的左焦点的距离的最小值为 D．面积的最大值为 6．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线（），弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（   ） A．点在抛物线（）的准线上 B．存在点，使得 C． D．面积的最小值为 二、填空题 7．抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形．设抛物线为，弦AB过焦点，为阿基米德三角形，则的面积的最小值为 ． 三、解答题 8．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C：的阿基米德三角形为例，经探究发现：若AB为过焦点的弦，则：①点P在定直线上；②；③.已知△PAB为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB过Γ的右焦点F. (1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可） (2)若，弦AB的中点为Q，，求点P的坐标. （注：双曲线的以为切点的切线方程为 9．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中且. (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P在（1）的轨迹上运动，点M为AP的中点，求点M的轨迹方程; (3)若点在（1）的轨迹上运动，求的取值范围. 10．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，阿波罗尼斯圆指的是已知动点与两定点Q，的距离之比（且），是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆：的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在x轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分. ①求的取值范围； ②设、的面积分别为、，当时，求直线的方程. 11．圆称为椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的离心率为，的蒙日圆方程为. (1)求的方程； (2)若为的左焦点，过上的一点作的切线，与的蒙日圆交于，两点，过作直线与交于，两点，且，证明：是定值. 12．已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“蒙日圆”，椭圆的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点，与其“蒙日圆”交于、两点，当时，求面积的最大值． 13．法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为，作直线与椭圆交于、两点，与椭圆的蒙日圆交于、两点． (1)已知，直线斜率为，若直线、的斜率满足，求直线的方程； (2)若椭圆的左右焦点分别为、，直线过坐标原点．求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展训练06 圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆、蒙日圆、阿基米德三角形 3类题型归类 目录 典例详解 类型一、圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆 类型二、圆锥曲线中的蒙日圆 类型三、阿基米德三角形的应用 压轴专练 类型一、圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆 【知识归纳】 平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点M的轨迹是圆（，此圆被称为阿波罗尼斯圆．特别的，当时，点M的轨迹是线段AB的中垂线. 证明 以直线AB为x轴建立平面直角坐标系，并设，，． 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以，所以点M的轨迹是圆． 2．阿波罗尼斯圆的性质——三角形相似 当把点A，B的坐标分别记为，时，其阿波罗尼斯圆的方程为， 即，则阿波罗尼斯圆圆心为，半径为， 此时有，于是与相似． 若取，，则如下图所示．虽然是取特殊坐标推导的，但结论具有普遍性，即当M为阿波罗尼斯圆上一点，且M不与O，A，B三点所在直线共线时，相似于． 例1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，阿波罗尼斯圆指的是已知动点与两定点的距离之比且是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的上顶点与右顶点，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，过点斜率分别为的直线与椭圆的另一个交点分别为，且满足，试探究面积是否存在最大值，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在最大值为2，直线方程为 【分析】（1）法一：设，上顶点，右顶点，由题意知：，化为标准方程，与圆的方程对比可求的值，可求椭圆的标准方程； 法二：圆心在两定点所在直线上，设直线为，进而可求得的值，可求椭圆的标准方程； （2）设，联立方程组可得，结合已知可得，可求得，求得点到直线的距离，进而求得的长，可求三角形面积的最大值. 【详解】（1）法一：设，上顶点，右顶点，由题意知：， 整理可得：， 又． 又圆的方程为，， 解得， 则椭圆方程为． 法二：圆心在两定点所在直线上，，又， 且圆心为， 则椭圆方程为. （2）由题可知，直线的斜率显然存在设， 则，解得：，需满足判别式大于0， 则，又 整理可得，即， 即或， 当时直线过点，不合题意， 此时点到直线的距离为， 又， ， 当时面积取得最大值，最大值为2，此时， 存在最大值为2，此时直线方程为． 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系，以及定点坐标的求法，新定义的综合应用，属于难题，本题的关键是读懂题意，并根据几何关系进行消参，转化与化归，是本题的关键也是难点. 【变式1-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D．5 【答案】B 【分析】将圆用阿氏圆表示，得到，将问题转化为求最小值问题，利用二次函数求最值即可得到． 【详解】易知抛物线的焦点， 不在圆E上， 将圆变形为： 即， ，当且仅当三点共线时取等号； 设，则，当且仅当时取等号； 所以，故 所以的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题解题的关键是借助题目的背景提示，将圆用阿氏圆表示，分别用几何法和代数法求最值． 【变式1-2】（多选）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，若点Q为抛物线E：上的动点，Q在直线上的射影为H，F为抛物线E的焦点，则下列选项正确的有（    ） A．的最小值为2 B．的面积最大值为 C．当最大时，的面积为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A选项，由抛物线定义得到，数形结合得当三点共线时取得最小值，得到A正确；B选项，求出点的轨迹为以为圆心，3为半径的圆，求出到直线的距离最大值，从而得到面积的最大值；C选项，数形结合得到要想取得最大值，则需最大，当与垂直时，取得最大值，并根据求出正弦值，利用三角形面积公式求出此时的面积，D选项，由题意及抛物线定义得到，求出四点共线时，取得最小值，求出答案. 【详解】A选项，抛物线的准线方程为，， 由抛物线定义可得， 则， 由三角形三边关系可得， 当且仅当三点共线时，等号成立， 故的最小值为，A正确； B选项，由题意得，点的轨迹方程为， 化简得，即以为圆心，3为半径的圆， 直线，即， 圆心到直线的距离为， 则到直线的距离最大值为， 又， 故的面积最大值为，B错误； C选项，为定值，由勾股定理得， 且，， 要想取得最大值，则需最大， 如图所示，当与垂直且在图中位置时，取得最大值， 其中，故，，， 故当最大时， ， 则的面积为，C正确； D选项，由题意得，， ， 连接，线段与圆和抛物线的交点分别为， 即四点共线时，取得最小值， 最小值为， 故最小值为，D正确. 故选：ACD 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 【变式1-3】阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他的主要一生研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线轨迹的建模》此书最突出的成果是研究出阿波罗尼斯圆上动点与相关定点的距离比值问题，即定义：已知动点与两个定点Q，P的距离之比为一个不等于1的正常数，则动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，且圆心在直线上，已知动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，其方程是，定点分别为椭圆的右顶点与右焦点，且椭圆的离心率， (1)求椭圆的两条准线距离； (2)如图所示，过右焦点作一条斜率为正数的直线l与椭圆相交于B，D（点在轴的上方），点是椭圆上相异于B，D的两点，平分，TF平分， ①求的取值范围； ②若点S，F，T是另一个阿波罗尼斯圆上的三点，且外接圆的面积为，试求直线l方程， 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用定义整理得，再根据条件列式求得； （2）①首先由面积比值求得，令，则，利用坐标表示向量，求得，再求范围；②由阿波罗尼斯圆定义知，在以为定点得阿波罗尼斯圆上，由几何关系列式得，求得，再根据，求得，即可计算直线方程. 【详解】（1）设（且），， 则， 整理得，， 另一方面动点的阿波罗尼斯圆方程是， 于是，，解得，，，， 则椭圆的两条准线距离. （2）①由，又， 则（或由角平分线定理得）, 令，则，设，，则有， 又直线的斜率，则， 又得， 将其代入中， 得，即， 因，则， 故的取值范围为； ②因点S，F，T在以B，D为定点的阿波罗尼斯圆上，不妨设此圆半径为，直线与圆相交于点，显然点也在圆上， 根据阿波罗尼斯圆定义有：， 即，整理得， 因圆的面积，解得，即， 又， 则 解得，， 则，故直线l方程为. 类型二、圆锥曲线中的蒙日圆 【知识归纳】 与曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相切的两条动直线交于一点，求离心率、曲线方程、点到直线的距离等问题． 1.蒙日圆的相关定理： （1）与椭圆相切的两条垂直切线的交点在圆上． （2）与双曲线相切的两条垂直切线的交点在圆上，此时双曲线的离心率满足． （3）与抛物线相切的两条垂直切线交点的轨迹，就是该抛物线的准线． （4）与圆相切的两条垂直切线的交点在圆上． 蒙日圆的证明（以椭圆为例）： ①当平面中两条互相垂直的切线的斜率不存在或斜率为0时，可得的坐标为． ②当两条切线的斜率存在，且设其中一条的斜率为，交点为，则过的切线方程为．由消去得． 令，整理得． ∵是关于的一元二次方程的两个根， ∴． 由，得， 即．命题得证． 双曲线，抛物线的定理均可按照这种方式证明． 2.蒙日圆的性质： 性质1：过圆上的动点作椭圆的两条切线，切点为，则，且平分弦． 性质2：为圆上任一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，延长交圆于两点，则 （1）三点共线； （2）； （3）； （4）当位于轴上时，弦取得最大值． 例2．法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程，，分别为椭圆的左，右焦点，离心率为，P为蒙日圆C上一个动点，过点P作椭圆的两条切线，与蒙日圆C分别交于A，B两点，若面积的最大值为25，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的离心率可得，分析可知为蒙日圆的直径，利用勾股定理可得，再利用基本（均值）不等式即可求解. 【详解】如图： 因为椭圆的离心率，所以. 因为，所以， 所以椭圆的蒙日圆C的半径为. 因为，所以为蒙日圆的直径， 所以，所以. 因为， 当时，等号成立. 所以面积的最大值为：. 由面积的最大值为25，得，得， 进而有，， 故椭圆的长轴长为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于借助基本（均值）不等式分析在何时取得最大值. 【变式2-1】法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（    ） ①椭圆的离心率为 ②到的左焦点的距离的最小值为 ③面积的最大值为 ④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据定义，确定蒙日圆的点结合椭圆离心率计算判断①；根据定义求得，再求出最大面积判断③；设出点M的坐标并求出其横坐标范围计算判断②；根据定义确定点A，B的关系，再利用“点差法”计算判断④. 【详解】对于①，直线，与椭圆都相切，且这两条直线垂直，因此其交点在圆上， 即有，则，椭圆的离心率，①正确； 对于③，依题意，点均在圆上，且，因此线段是圆的直径， 即有，显然圆上的点到直线距离最大值为圆的半径，即点到直线距离最大值为， 因此面积的最大值为，③正确； 对于②，令，有，令椭圆的左焦点，有， 则，而， 因此，即， 所以到的左焦点的距离的最小值为，②正确； 对于④，依题意，直线过原点O，即点A，B关于原点O对称，设，有， 于是得， 又由①知，，得， 所以，④正确， 所以说法正确的有①②③④. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题关键是对椭圆的蒙日圆及椭圆性质应用，及点差法得出斜率积等的应用. 【变式2-2】加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先通过椭圆切点在顶点的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解. 【详解】由椭圆方程可知蒙日圆半径为， 所以蒙日圆方程为， 因为点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上， 所以直线和蒙日圆有公共点. 即圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以， 所以椭圆离心率，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是对“蒙日圆”定义的理解，能够利用椭圆的四条特殊切线确定蒙日圆的半径，将问题转化为直线与圆有交点的问题. 【变式2-3】19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且蒙日圆的半径为（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）．已知椭圆上任一点到点的距离与到直线的距离之比为，椭圆的蒙日圆为圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为坐标原点，点是椭圆上的任意一点，是椭圆左右焦点，直线与圆相交于两点，求证：是定值； (3)过点作直线交圆于、两点，作直线交椭圆于、两点，且，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意列出方程，化简即可； （2）分别求出，，进而可求解； （3）分类讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线的距离及面积公式求解即可. 【详解】（1）设满足，整理可得， 椭圆的方程为． （2）由（1）得该椭圆的蒙日圆为， 设，则，∴， 又、， ∴， 同理，∴， ， 所以． （3）①当斜率不存在，斜率为0时，方程为，原点到的距离为， 所以， 所以四边形面积； ②当斜率存在，斜率不为0时，设的方程为， 则的方程为即， 则原点到的距离为， 所以． 设、，联立与的方程，即， 消去得， 由于在椭圆内部，所以直线与椭圆必相交且， 所以 因为，所以四边形面积 ， 令，则， 故， ∵，∴，令，则单调递减， 所以当时，即四边形的最小值为． 类型三、阿基米德三角形的应用 【知识归纳】 1. 椭圆中的阿基米德三角形 设椭圆的弦为 为阿基米德三角形, 则有: 性质 1: 弦 绕着定点 转动时, 则其所对顶点 落在直线 上. 其中, 当 点为左 (右) 焦点时, 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 的斜率成等差数列, 即 . 性质 3: 当 点为焦点时, . 2. 双曲线中的阿基米德三角形 设双曲线 的弦为 为阿基米德三角形, 则有: 性质 1: 弦 绕者定点 转动时, 则其所对顶点 落在直线 上. 其中, 当 点为左 (右) 焦点时, 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 的斜率成等差数列, 即 . 性质 3: 当 点为焦点时, . 3. 抛物线中的阿基米德三角形 抛物线的弦为 为阿基米德三角形, 则有: （1） 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴 （2） 若阿基米德三角形的底边即弦 过抛物线内的定点 , 则另一顶点 的轨迹为一条直线 （3） 若直线 与抛物线没有公共点，以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线 方程为: , 则定点的坐标为 . （4） 底边为 的阿基米德三角形的面积最大值为 . （5） 若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点 的轨迹为准线, 且阿基米德三角形的面积最小值为 （6） 在阿基米德三角形中, （7） . （8） 抛物线上任取一点 (不与 重合), 过 作抛物线切线交 于 ,连接 , 则 的面积是 面积的 2 倍 例3．抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线，，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N. (1)若为阿基米德三角形，求； (2)证明：切线三角形的外接圆过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先由条件求得，即可得到抛物线的方程，通过求出抛物线方程和切线斜率，利用斜率乘积判断两切线垂直得出角度； （2）先求出切线方程，进而得到、坐标，再根据外接圆性质证明过定点. 【详解】（1）由题意得，则， 所以抛物线的方程为， 因为为阿基米德三角形， 所以分别与抛物线切于点， 不妨设点在轴左侧，则. 由，得，则， 所以的斜率为的斜率为1，则， 所以. （2）由（1）可知抛物线， 设分别与抛物线切于点，， 由（1）可知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 所以. 设外接圆的圆心为， 则圆心在线段的垂直平分线上，所以， 则圆的半径为， 所以圆的方程为， 又点在圆上，所以， 即，所以， 所以， 整理得， 即， 令，得， 所以的外接圆过定点. 【变式3-1】阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．点P的坐标为 【答案】D 【分析】联立方程可解得，则，根据导数可得，可判断，利用点斜式可求得两条切线方程和，联立求P，再求，可判断． 【详解】联立方程，消去得：，解得或 即，则，A正确； ∵，即 对于，切线斜率分别为 ∴，即，B正确； 在点A的切线方程为，即 同理可得在点B的切线方程为 联立方程，解得，即P，D不正确； ∵，则， ∴，即，C正确； 故选：D． 【变式3-2】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则为（    ）. A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随位置变化前三种情况都有可能关系 【答案】B 【分析】本题首先可根据题意绘出图像，然后设出直线，与抛物线方程联立得出，再然后设出过点的切线，与抛物线方程联立得出，用同样的方式设出过点的切线，得出，最后根据即可得出结果. 【详解】如图，结合题意绘出 图像： 设，，则，， 设直线， 联立，整理得，则，， 设过点的切线为， 联立，整理得， 则，即， 设过点的切线为，同理可得， 则，即，， 故是直角三角形， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线的相关问题的求解，考查韦达定理和判别式的应用，考查学生对“阿基米德三角形”的理解，若两条直线的斜率乘积为，则这两条直线互相垂直，考查计算能力，是中档题. 【变式3-3】过抛物线的焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，又常被称作阿基米德三角形．的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设出直线的方程，利用弦长公式求出弦长，求出两条切线的方程得出点的坐标，利用三角形的面积公式可得. 【详解】设，，由题意可得直线AB的斜率不为0, 因为直线AB过焦点，所以设直线AB的方程； 联立得， 所以， 由抛物线的性质可得过点，的抛物线的切线方程为： ， 联立得，，即. 点到直线的距离， 当且仅当时取到最小值. 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，结合韦达定理求解弦长，根据点到直线的距离求出三角形的高，根据面积公式的特点求出最值，侧重考查数学运算的核心素养. 【变式3-4】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，设直线为，代入抛物线方程，由韦达定理得，设过的切线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式得，则过点A的切线为，同理得过的切线斜率为，过点B的切线为，可得，可证得，则的面积，结合图形特征，可得面积的最小值． 【详解】设且，直线，联立， 整理得，则． 设过点的切线方程为，联立， 整理得，由，可得， 则过A的切线为：，即，即，即， 同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：， 联立两切线，则， 所以两条切线的交点在准线上，则， 两式相减得， ，可得，， 又因为直线的斜率为，（也成立）， 如图，设准线与轴的交点为， 的面积， 当轴时，最短（最短为），也最短（最短为）， 此时的面积取最小值． 故选：B 【点睛】关键点点睛：设且，，联立抛物线应用韦达定理有，求过的切线，进而确定在准线上且，利用面积公式讨论最小值情况. 【变式3-5】（多选）阿基米德（公元前287年——公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线C：的焦点为F，过A、B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（    ） A． B． C．点P的坐标为 D． 【答案】ABD 【分析】由直线方程与抛物线方程联立，解得两点的坐标，计算线段的长判断A，利用导数的几何意义求得切线方程，由切线斜率关系判断B，两切线方程联立求得交点的坐标判断C，由直线的斜率关系判断D. 【详解】设，， 联立，可得， 解得或， 不妨设，，则，， 故，，，A项正确； 又因为，所以，故直线PA的斜率为， 直线PA的方程为，即， 同理可得直线PB的方程为，， 所以，B项正确； 联立，可得， 故点P的坐标为，C项错误； 易知点F的坐标为，，， 所以，D项正确． 故选：ABD. 【变式3-6】设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. （1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】本试题主要考查了轨迹方程的求解和证明角的相等问题． 解：（1）设切点，坐标分别为和， 切线的方程为：；切线的方程为：； 由于既在又在上，所以 解得， 所以的重心的坐标为， ， 所以，由点在直线上运动，从而得到重心的轨迹方程为： ，即． （2）方法1：因为，，． 由于点在抛物线外，则． ， 同理有， ． 方法2：①当时，由于，不妨设，则，所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：；而直线的方程：， 即．所以P点到直线BF的距离为： 所以，即得． ②当时，直线AF的方程：，即， 直线的方程：，即， 所以P点到直线AF的距离为： ， 同理可得到P点到直线BF的距离，因此由，可得到． 一、多选题 1．为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．底边的直线方程为； C．是直角三角形； D．面积的最小值为. 【答案】ABC 【分析】由导数的几何意义，求得可得A处的切线方程，得出直线的方程为和，得到，进而可判定A正确；点在直线上，进而得到底边的直线方程，可判定B正确；设直线，联立方程组，根据，可判定C正确；取的中点，化简得到的面积为，可判定D不正确. 【详解】依题意设，，由方程，可得，则， 由导数的几何意义知，直线的斜率为，同理直线的斜率为， 可得A处的切线方程为：，即， 化简可得，所以直线的方程为， 同理可得：直线BM的方程为，所以， 则， 因为，解得，即，所以A正确； 因点在直线上， 可得，， 即在上，在上， 所以底边的直线方程为，所以B正确； 设直线，联立方程组，整理得， 则且，， 因为，所以， 所以是直角三角形，所以C正确； 取的中点，连接，根据抛物线的定义，可得平行轴， 所以 因为，，所以， ， 代入可得， 当时，，所以D不正确. 故选：ABC.    【点睛】方法点拨：圆锥曲线中的最值问题的分类及求解策略： 1、圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中的几何元素的最值，以及当这些元素存在最值时，求解与之有关的一些问题； 2、对于圆锥曲线中的最值问题，一般可采用数形结合的方法或转化为函数的最值的问题加以解决，解决最值范围问题时，应重视圆锥曲线的定义、曲线的几何特征、方程的代数特征在解题中的作用. 2．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（    ） A．存在点，使得 B． C．对于任意的点，必有向量与向量共线 D．面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】设，，设直线，联立抛物线方程，结合韦达定理可得，利用直线与抛物线相切条件分别求得过点的切线斜率为.对于A，计算，从而可判断；对于B，求得点A ，B处的切线方程分别为：，从而可得，进而可得，从而有，根据数量积的定义和相似三角形的性质即可判断；对于C，设AB的中点为，得到，从而轴，而，即可判断；对于D，设准线与轴的交点为，由面积的，可知当最短时（最短为），也最短，最短为，即可判断. 【详解】    设，，设直线， 联立，化为，而， 所以. 设过点的切线为， 联立，整理可得， 由，可得. 同理可得过点的切线斜率为. 对于A，，，，故A错； 对于B，可得点A ，B处的切线方程分别为：， 可得, 又因为直线AB的斜率为，， 又由A选项可知，所以，所以， ，故B正确； 对于C，设AB的中点为，则由轴， 而向量，向量与向量共线，故C正确； 对于D，如图，设准线与轴的交点为， 面积的，可知当最短时（最短为），也最短， 最短为，所以面积的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 3．圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”，如图是抛物线（）的阿基米德三角形，弦经过焦点，（其中点在点上方），，均垂直于准线，且，为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以为直径的圆必与准线相切 B．为定值4 C．设点，则周长的最小值为 D．若弦的倾斜角为锐角，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据抛物线的切线方程，相似关系，联立直线与抛物线方程后根与系数的关系，两角和的正切公式代入即可求解. 【详解】先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为 证明如下： 由于点在抛物线上， 则， 联立 即，， 所以抛物线在其上一点处的切线方程为 设，，设直线的方程为， 联立消去得，显然， 根据根与系数的关系可得， 所以，， 所以以AB为直径的圆的圆心到准线的距离为， 即以AB为直径的圆必与准线l相切于点，故A正确； 又抛物线在点A处的切线方程为，即 同理可知，抛物线在点B处的切线方程为， 由题意知，， 直线MA的斜率为，直线MB的斜率为， ， 所以，即点M在以AB为直径的圆上， 联立，解得， 所以点的横坐标为， 所以点在抛物线的准线上， 当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点 为抛物线的准线与x轴的交点， 此时，则，， 又此时，则为定值4， 当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为， 直线的斜率为， ， 则，在中，， 又以AB为直径的圆与准线l相切于M点， 设以AB为直径的圆的圆心为，即得， 则点坐标为， 则，故B正确； 对于C： 抛物线的焦点为，准线为，所以， 由抛物线的定义可知， 则的周长为， 当且仅当、、三点共线时取等号，故C错误； 对于D：直线的倾斜角为锐角，则且， 由题意知， ，，，， 则 ， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键是利用两角和的正切公式表示出，再由基本不等式求出的最小值. 4．法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，被称为“画法几何”创始人“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过圆上的动点作椭圆的两条切线，交圆于两点，直线交椭圆于两点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．若点在椭圆上，且直线的斜率之和为0，则直线的斜率为 C．点到椭圆的左焦点的距离的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】AB 【分析】过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，即可得到交点在圆上，从而求出离心率，即可判断A；依题意可得直线经过坐标原点，则点，关于原点对称，设，由斜率公式求出、即可判断B；设，椭圆的左焦点为，连接，表示出，再由的范围，求出的最小值，即可判断C；依题意可得为圆的直径，则，再由面积公式即可判断D. 【详解】对于A，依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线， 则这两条垂线的交点在圆上， 所以，得，所以椭圆的离心率，故A正确； 对于B，由可知，又过点，所以，解得， 所以椭圆方程为， 因为点都在圆上，且，所以为圆的直径， 所以直线经过坐标原点，易得点，关于原点对称， 设，则，，，， 所以，所以， 又，，所以，故B正确； 对于C，设，椭圆的左焦点为，连接， 因为，即， 所以， 又，所以， 所以则到左焦点的距离的最小值为，故C不正确； 对于D，因为点都在圆上，且，所以为圆的直径，则， 设点到的距离为，则， 所以面积，故D不正确； 故选：AB 【点睛】关键点点睛：C选项关键是结合的范围，D选项关键是推导出. 5．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过圆上的动点作椭圆的两条切线，交圆于两点，直线交椭圆于两点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．若点在椭圆上，将直线的斜率分别记为，则 C．点到椭圆的左焦点的距离的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】BCD 【分析】取椭圆左顶点与上顶点处的切线，建立齐次方程，即可判断A；根据圆的性质，结合三角形的面积公式，即可判断D；设出点的坐标，由两点距离公式，利用函数的思想，即可判断C；设出点的坐标，代入椭圆的标准方程，利用点差法，结合两点之间斜率公式，即可判断B. 【详解】对于A，依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线， 过椭圆的右顶点作轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆上，    所以，得， 所以椭圆的离心率，故A错误； 对于D，因为点都在圆上，且， 所以为圆的直径，则， 所以面积的最大值为，故D正确； 对于C，设，椭圆的左焦点为，连接， 因为，即， 所以 ， 又，所以， 所以则到的左焦点的距离的最小值为，故C正确； 对于B，由直线经过坐标原点，易得点关于原点对称， 设，则， 又，所以， 所以，所以，故B正确； 故选：BCD. 6．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线（），弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（   ） A．点在抛物线（）的准线上 B．存在点，使得 C． D．面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】设，联立直线和抛物线，利用韦达定理得到，设出过和过的切线方程，利用已知得到，，即可判断选项A，再由结合相似，即可判断选项C，再由向量间的转化和运算即可判断选项B，结合特殊情况即可判断选项D. 【详解】设， 设直线：， 联立得， 则， 设过点的切线为， 联立得， 由，可得， 同理可得过点的切线斜率为， 所以处切线方程分别为， 联立可得，故A正确； 又即，， 所以，， 所以，， 即，C正确； 又， 所以， ， 所以 ，B错； 由上述知，， 又因为直线斜率为， 所以， 设准线与轴的交点为， 则面积， 当轴时，最短（最短为）， 也最短（最短为）， 此时面积取最小值，D正确.    故选：ACD 【点睛】方法点睛：涉及方法有：（1）直线与抛物线相切问题；（2）焦点弦问题的计算能力；（3）数形结合思想. 二、填空题 7．抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形．设抛物线为，弦AB过焦点，为阿基米德三角形，则的面积的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据抛物线在点处的切线方程为结合点到直线的距离解决面积问题即可． 【详解】先证抛物线在点处的切线方程为， 不妨设切线方程为：，且有， 切线方程与抛物线联立可得：， 所以， 易知该切线只有一条， 所以，得证. 先设点A的坐标为，点B的坐标为，点Q的坐标为， 由于弦AB过抛物线的焦点，于是可反设直线AB的方程为． 因此点A，B的坐标满足进而得到， 再使用韦达定理就有， 由于在处抛物线的切线方程为，在处抛物线的切线方程为， 因此阿基米德三角形的顶点满足， 进而，从而， 将代入得． 因此点Q的坐标为，于是点Q到直线AB的距离， 根据弦长公式得， 于是的面积，当且仅当时等号成立， 因此的面积的最小值为4． 故答案为：4.    【点睛】关键点点睛：（1）抛物线在点处的切线方程为; （2）阿基米德三角形的底边过抛物线的焦点，则阿基米德三角形的另一个顶点在准线上，且阿基米德三角形的面积最小值为. 三、解答题 8．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C：的阿基米德三角形为例，经探究发现：若AB为过焦点的弦，则：①点P在定直线上；②；③.已知△PAB为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB过Γ的右焦点F. (1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可） (2)若，弦AB的中点为Q，，求点P的坐标. （注：双曲线的以为切点的切线方程为 【答案】(1)条件选择，答案见解析； (2)，. 【分析】（1）选①②③，设出点A，B，P的坐标，借助切线方程求出直线AB的方程，代入焦点坐标，求出点P的横坐标，再利用斜率计算判断作答. （2）设出直线AB的方程，与双曲线方程联立，借助弦长公式及已知等式求解作答. 【详解】（1）选①，设点，双曲线的焦点， 依题意，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为， 而两切线交于点，于是，且， 因此是方程的两组实数解，即点在直线上， 则直线AB的方程为，又直线AB过点，则，解得， 所以点P在定直线上，即点P在定直线上成立. 选②，设点，双曲线的焦点， 依题意，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为， 而两切线交于点，于是，且， 因此是方程的两组实数解，即点在直线上， 则直线AB的方程为，又直线AB过点，则，解得， 当时，点，直线AB垂直于x轴，显然有， 当时，直线AB的斜率，直线PF的斜率， 则有，即， 所以成立. 选③，设点，双曲线的焦点， 依题意，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为， 而两切线交于点，于是，且， 因此是方程的两组实数解，即点在直线上， 则直线AB的方程为，又直线AB过点，则，解得， 当时，点，直线AB垂直于x轴，直线， 由得，不妨令， 直线PA的斜率，直线PB的斜率， 有，显然不垂直于， 所以不成立. （2）当时，双曲线，，由（1）知，，直线AB的方程为：， 由消去x整理得：，显然， ，弦AB的中点Q的纵坐标为， ， ，，而， 即，化简得，解得或， 所以点P的坐标是，. 【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点间的距离； 直线l：x=my+t上两点间的距离. 9．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中且. (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P在（1）的轨迹上运动，点M为AP的中点，求点M的轨迹方程; (3)若点在（1）的轨迹上运动，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）设出，由题意列出方程，化简得到点P的轨迹方程； （2）利用相关点法求解点M的轨迹方程； （3）表示的几何意义为圆心为，半径为2的圆上的点与连线的斜率，画出图形，数形结合求出最值，从而求出取值范围. 【详解】（1）设，则， 化简得：，故点P的轨迹方程为； （2）设，因为点M为AP的中点， 所以点P的坐标为， 将代入中，得到， 所以点M的轨迹方程为； （3）因为点在（1）的轨迹上运动， 所以，变形为， 即点为圆心为，半径为2的圆上的点， 则表示的几何意义为圆上一点与连线的斜率，如图： 当过的直线与圆相切时，取得最值， 设， 则由点到直线距离公式可得：， 解得：或·， 故的取值范围是. 10．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，阿波罗尼斯圆指的是已知动点与两定点Q，的距离之比（且），是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆：的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在x轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分. ①求的取值范围； ②设、的面积分别为、，当时，求直线的方程. 【答案】(1); (2)①，②. 【分析】（1）根据题中阿波罗尼斯圆的定义，设出，结合离心率可以求出椭圆方程；（2）根据等面积法或者内角平分线定理，将求转化到求，再利用，，三点共线求解. 【详解】（1）设，由题意知（常数）， 整理得：，所以， 又，解得：，，， 椭圆的标准方程为. （2）①根据平分, 则，又（底边相同）， 故（或由内角平分线定理得），由，设，， 则，，设 所以，即， 因为直线斜率为，得，将，坐标代入椭圆方程得： 和， 即， 化简得， 整理得，因为，故， 所以的取值范围为. ②由①知，，根据平分，，故， 即，，故， 所以， 直线的方程为. 【点睛】关键点睛：第二问，首先要利用等面积法或者内角平分线定理，将转化到上，结合三点共线建立三点坐标之间的关系，将，点坐标代入椭圆方程中得出相应的表达式. 11．圆称为椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的离心率为，的蒙日圆方程为. (1)求的方程； (2)若为的左焦点，过上的一点作的切线，与的蒙日圆交于，两点，过作直线与交于，两点，且，证明：是定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意，利用待定系数法即可得解； （2）分类讨论，的斜率取值情况，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求得，从而得证. 【详解】（1）依题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）当，的斜率等于0时，，， 所以； 当，的斜率不等于0时，设：，则：， 由，得， 令，得. 设到的距离为，则， 得， 由，得， 易知，设，，则， 则， 故. 综上，是定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 12．已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“蒙日圆”，椭圆的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点，与其“蒙日圆”交于、两点，当时，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，根据的值求出的方程，进而可求得的面积；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，根据可得出，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、三角形的面积公式以及基本不等式可求得面积的最大值. 【详解】（1）解：因为椭圆的焦距为，离心率为， 则，可得，故椭圆的方程为. （2）解：由题意，蒙日圆方程为，圆心为，半径，     ①当轴时，设直线的方程为， 将代入“蒙日圆”的方程得，解得， 则，解得：， 将直线的方程代入椭圆C的方程可得，解得，则， 所以，； ②当直线不垂直轴时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，得， 联立，消去得， ，可得， 设、，则，， ， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故的面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 13．法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为，作直线与椭圆交于、两点，与椭圆的蒙日圆交于、两点． (1)已知，直线斜率为，若直线、的斜率满足，求直线的方程； (2)若椭圆的左右焦点分别为、，直线过坐标原点．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的方程，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合求出的值，验证其满足，由此可得出直线的方程； （2）设，其中，则，利用平方差公式可得出关于的表达式，利用两点间的距离公式结合椭圆方程可得出的表达式，即可证得结论成立. 【详解】（1）由椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为， 由题意可得，解得，所以，椭圆的方程为. 设直线方程为，设点、， 联立方程，消去整理得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 因为，且，所以， 所以，， 即，解得，且满足， 所以直线方程为. （2）因为直线与椭圆交于、两点，与椭圆的蒙日圆交于、两点， 设，其中且， 因为 ， ， 同理可得，故， 因此，，证毕. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$