1.2 矩形的性质与判定（14题型+针对训练）2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

第1章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定 命题1：矩形性质理解…………………………………………………2 命题2：利用矩形的性质求角度………………………………………2 命题3：利用矩形的性质求线段长……………………………………3 命题4：利用矩形的性质求面积………………………………………4 命题5：利用矩形的性质证明…………………………………………5 命题6：求矩形在坐标系中的坐标……………………………………6 命题7：矩形与折叠问题……………………………………………8 命题8：斜边的中线等于斜边的一半……………………………8 命题9：矩形的判定定理理解………………………………………10 命题10：添加一条件使四边形是矩形……………………………10 命题11：证明四边形是矩形………………………………………12 命题12：根据矩形的性质与判定求角度………………………12 命题13：根据矩形的性质与判定求线段长……………………13命题14：根据矩形的性质与判定求面积………………………14 针对训练………………………………………………………………22 命题1： 矩形性质理解 1．下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 2．如图，矩形的对角线交于点O，则是的（    ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．中位线 3．如图，在矩形中，对角线，相交于点O．则下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 命题2：利用矩形的性质求角度 4．如图，矩形中，点E在的延长线上，且，，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，点在边上，若，，则 ． 6．如图，矩形中，的平分线交于点，O为对角线和的交点，且，求的度数． 命题3：利用矩形的性质求线段长 7．如图，矩形的对角线，相交于点O，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 8．如图，在矩形中，E、F分别为的中点，若，则 ． 9．如图，矩形的两条对角线，相交于点，，，求的长． 命题4：利用矩形的性质求面积 10．如图，已知矩形在平面直角坐标系中，轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 11．如图，点O是矩形的对称中心，点E、F分别是边、上的点，且，已知矩形的面积是20，那么图中阴影部分的面积为 ． 12．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，若，，，求四边形的面积．    命题5：利用矩形的性质证明 13．已知：四边形，连接，点分别是的中点，依次连接，若四边形是矩形，则（   ） A． B． C．且 D．无法判断 14．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④S△AOE：S△BCF＝1：2．其中正确结论的序号是 ． 15．如图，在矩形中，于点，点是边上一点，若平分，交于点G，于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 命题6：求矩形在坐标系中的坐标 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，动点P从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动，运动时间为t（秒）. （1）直接写出点B和点C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）； （2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围. 命题7：矩形与折叠问题 19．如图，将破损的长方形纸带沿折叠后，点，分别落在点，的位置，经测量得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．如图，在矩形纸片中，，，E是边上一点，先将沿AE折叠，点B落在点处，与交于点F，再折叠矩形纸片，使得点C与点重合，点D落在点处，折痕为，则 ． 21．【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． 【初步认识】 （1）如图1，折痕的端点P与点A重合． ①当时，则___________度； ②若点E恰好落在线段上，求的长； 【深入思考】 （2）如图2，点E恰好落在边上． 过点E作交于点F，连接．请在图2中画出线段，，并判断四边形的形状，且证明你的结论； 【拓展提升】 （3）如图3，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 命题8：斜边的中线等于斜边的一半 22．如图，中，，，，D是的中点，的长是（  ）．    A．2.4 B．2.5 C．5 D．10 23．如图，中，，，D为中点，则的大小为 ． 24．如图，在中，，点为边的中点，连接，点为的中点．若，，求边的长． 命题9：矩形的判定定理理解 25．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两组对边是否分别平行 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否互相垂直 26．如图，工人师傅砌门时，要想检验门框是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是 ． 27．学习了四边形知识后，八年级数学兴趣小组开展检测学校雕塑（如图）底座正面四边形是不是一个矩形的实践活动． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：雕塑底座正面是一个平行四边形，但究竟是不是矩形有待验证． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先利用卷尺测量四条边，，，的长度，并测量出点B，D之间的距离； 第二步：通过计算验证底座正面四边形是不是一个矩形． 【问题解决】 (1)小明同学是这样测量的：利用卷尺测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，对角线的长是100厘米，则四边形是矩形吗？为什么？ (2)爱脑筋的小华同学说如果卷尺是没有刻度的，他也有办法检验四边形是不是矩形．请写出小华的检验方法并说明理由． 命题10：添加一条件使四边形是矩形 28．如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 29．如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是 30．如图，在中，分别过点、作、边的平行线交于点，、分别是、的中点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，满足什么数量关系时四边形是矩形，请说明理由． 命题11：证明四边形是矩形 31．如图在中，，，以为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 32．已知：和线段， 求作：平行四边形，使， 作法；如图． （）在射线上截取，在射线上截取； （）分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； （）连接、 如果是一个直角，那么这个平行四边形就是一个矩形． 你认为王芳同学做出判断的依据是： ． 33．如图，在中，，是的中点．过点作，过点作，交于点．求证：四边形是矩形 命题12：根据矩形的性质与判定求角度 34．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 35．如图，在中，，直线垂直平分，把线段绕点顺时针旋转，使点落在直线上的点处，联结、，线段、交于点，如果，那么 度． 36．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 命题13：根据矩形的性质与判定求线段长 37．如图，，，若，，，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 38．如图，已知的四个内角的平分线相交组成四边形，连结，，如果，那么的长为 ． 39．如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作，过点作，、交于点，连接．若，求的长． 命题14：根据矩形的性质与判定求面积 40．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．20 41．如图，四边形的两条对角线互相垂直，是四边形各边的中点，如果，那么四边形，的面积为 ． 42．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，求平行四边形的面积．    针对训练： 1．下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内 ②有一个角是直角的四边形是矩形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④平行四边形两对角线的平方和等于其四条边的平方和 ⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为（ ） A．15 B．12 C．10 D．8 3．如图，一架梯子斜靠在一个垂直于地面的墙面上，是的中点．若米，米，则为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，在矩形中，O为对角线BD的中点，，E为边上一点，且，连接，取的中点F，连接，则的长度为（   ） A．2 B． C．3 D． 5．如图，在菱形中，对角线相交于点，点，分别是边的中点，连接，若，，则的长为(　　) A．3 B． C．2 D． 6．如图所示，把长方形纸片沿对角线所在直线折叠，设重叠部分为，那么下列说法错误的是（　　） A．是等腰三角形， B．折叠后和一定相等 C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D．和一定是全等三角形 7．如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点，下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边中点，菱形的周长为24，则的长等于 ． 10．如图：矩形的对角线、相交于点O，过点O作交于E，若，则的面积为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标为 ． 12．如图，已知矩形纸片，点E和点F分别在边和上，且，H、G分别是边和上的点，现将纸片沿折叠，点A、B、C、D的对应点分别是N、M、P、，若，则的度数为 13．如图，已知，，，点为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点落在点处，过点作的垂线，分别交，于，两点，当为线段的三等分点时，则折痕的长为 14．如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 15．如图，两张完全相同的矩形纸片和矩形纸片叠合在一起，其中点与点重合，点与点重合． (1)求证：重叠部分的四边形是菱形； (2)若矩形的长为，宽为，求四边形的面积． 16．如图，在矩形中，是对角线，． (1)实践与操作：利用尺规作的平分线交于点E，过点E作的垂线，垂足为点O，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法、不写结论，但要保留作图痕迹，标明字母）； (2)猜想与证明：试猜想四边形的形状，并证明你的结论． 17．如图，等腰中，，交于点，点是的中点，分别过、两点作线段的垂线，垂足分别为、两点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点．线段的两个端点均在格点上，按要求完成下列作图． (1)在图①中，在线段上找到一点，使； (2)在图②中，画出一个四边形，使其既是中心对称图形，又是轴对称图形，且为格点． 19．综合与实践 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，其中，. (1)操作发现 操作一：如图1，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，将纸片展平再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平得到图2，以点A，F，C，E为顶点的四边形是______形． (2)实践探究 操作二：如图3，在矩形纸片中，点G为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①判断与折痕的位置关系，并说明理由； ②直接写出______ 20．【问题探究】 (1)如图1，在中，，，，点D是的中点，连接，则的长为________； (2)如图2，点E在矩形的上方，连接、、、，若，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，李师傅有一块四边形的板材，，，连接，，点M在上，．李师傅现要从这个板材上裁出一个四边形部件，点P在上，要求．李师傅取的中点为点P，裁出四边形部件，请问李师傅裁出的四边形部件是否符合要求，并说明理由． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定 命题1：矩形性质理解…………………………………………………1 命题2：利用矩形的性质求角度………………………………………3 命题3：利用矩形的性质求线段长……………………………………5 命题4：利用矩形的性质求面积………………………………………6 命题5：利用矩形的性质证明…………………………………………8 命题6：求矩形在坐标系中的坐标……………………………………13 命题7：矩形与折叠问题……………………………………………16 命题8：斜边的中线等于斜边的一半……………………………19 命题9：矩形的判定定理理解………………………………………21 命题10：添加一条件使四边形是矩形……………………………23 命题11：证明四边形是矩形………………………………………24 命题12：根据矩形的性质与判定求角度………………………26 命题13：根据矩形的性质与判定求线段长……………………28 命题14：根据矩形的性质与判定求面积………………………30 针对训练………………………………………………………………32 命题1： 矩形性质理解 1．下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 【答案】C 【详解】A．矩形的对角线相等，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A错误； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非矩形，故B错误； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线相等，则此平行四边形为矩形，故C正确； D．矩形的对角线平分一组对角仅当其为正方形时成立，普通矩形不满足，故D错误． 故选：C． 2．如图，矩形的对角线交于点O，则是的（    ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．中位线 【答案】B 【详解】解：四边形是矩形， 对角线互相平分， 即， 是的中线． 故选：B． 3．如图，在矩形中，对角线，相交于点O．则下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在矩形中，对角线，相交于点O． ，，， 不能得出， 故选：D． 命题2：利用矩形的性质求角度 4．如图，矩形中，点E在的延长线上，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，连接，根据矩形的性质得出，即可求出，进而可求出，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 【详解】解：连接，交于点O，如图，   四边形矩形， ，，， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 5．如图，在矩形中，点在边上，若，，则 ． 【答案】/40度 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 在△中，， ， ． 故答案为：． 6．如图，矩形中，的平分线交于点，O为对角线和的交点，且，求的度数． 【答案】 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 平分， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ． 命题3：利用矩形的性质求线段长 7．如图，矩形的对角线，相交于点O，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 8．如图，在矩形中，E、F分别为的中点，若，则 ． 【答案】8 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵E、F分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 9．如图，矩形的两条对角线，相交于点，，，求的长． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 命题4：利用矩形的性质求面积 10．如图，已知矩形在平面直角坐标系中，轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∵轴， ∴轴， ∴，， ∴矩形的面积是， 故选：B． 11．如图，点O是矩形的对称中心，点E、F分别是边、上的点，且，已知矩形的面积是20，那么图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【详解】解：过点O作交于点H，如图， ∵点O是矩形的对称中心， ∴， 即为等腰三角形， ∴， ∵在矩形中， ， ∴， ∵， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∵矩形的面积是20， ∴， ∴． 故答案为：5 ． 12．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，若，，，求四边形的面积．    【答案】 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴ 四边形是矩形． 矩形的面积． 故答案为：． 命题5：利用矩形的性质证明 13．已知：四边形，连接，点分别是的中点，依次连接，若四边形是矩形，则（   ） A． B． C．且 D．无法判断 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形， ； 点分别是的中点， ， ； 点分别是的中点， ， ； 故选：B． 14．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④S△AOE：S△BCF＝1：2．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：连接OD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AC、BD互相平分， ∵O为AC中点， ∴BD也过O点， ∴OB＝OC， ∵∠COB＝60°，OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°， 在△OBF与△CBF中， ， ∴△OBF≌△CBF（SSS）， ∴△OBF与△CBF关于直线BF对称， ∴FB⊥OC，OM＝CM， ∴①正确； FB垂直平分OC， ∴∠CBM＝∠OBM＝30°，∠CMB＝90°， 又∠OBE＝90°−∠CBO＝30°， ∴∠CBM＝∠OBE， 过O作OH⊥BE于H， ∴∠OHB＝∠CMB＝90°， 在△OHB与△CMB中， ， ∴△OHB≌△CMB（AAS）， ∵△OEB包含了△OHB， ∴△EOB≌△CMB是不成立的， ∴②是错误的； ∵∠OBC＝60°， ∴∠ABO＝30°， ∵△OBF≌△CBF， ∴∠OBM＝∠CBM＝30°， ∴∠ABO＝∠OBF， ∵AB∥CD， ∴∠OCF＝∠OAE， 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF， ∴OB⊥EF， ∴四边形EBFD是菱形， ∴③正确， ④∵四边形ABCD是矩形，四边形EBFD是菱形， ∴OA＝OC，∠COF＝∠AOE，OF＝OE， ∴△AOE≌△COF（SAS）， ∴S△AOE＝S△COF， ∵S△COF＝2S△CMF， ∵∠FCO＝30°， ∴FM＝CM，BM＝CM， ∴， ∴S△FOM：S△BOF＝1：4， ∵∠OGE＝∠OMF，∠GOE＝∠MOF，OE＝OF， ∴△GEO≌△MFO（AAS）， ∴S△GEO＝S△MFO， ∴S△DEF＝S△EFB＝2S△BOF， 设S△EGO＝x，则S△AOE＝2x，S△BOF＝4x， ， 故④正确； 所以其中正确结论有：①③④， 故答案为：①③④． 15．如图，在矩形中，于点，点是边上一点，若平分，交于点G，于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 命题6：求矩形在坐标系中的坐标 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ． 将矩形绕点O逆时针旋转，如图 可知：，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ， 即：第2025次旋转结束时，完成了506次循环，与的位置相同， 的坐标为． 故选：D． 17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为 ． 【答案】或或 【详解】解：矩形的顶点、的坐标分别为，，点为， ∴， 过作于， ①当时，如图1所示： ，， 由勾股定理得：， ； ②当时， 如图2所示： ，， 由勾股定理得：， ， ； 如图3所示： ，， 由勾股定理得：， ， ； 综上，满足题意的点的坐标为或或， 故答案为：或或． 18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，动点P从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动，运动时间为t（秒）. （1）直接写出点B和点C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）； （2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围. 【答案】（1）0，6；8，0；（2）， 【详解】解：（1）根据题意， ∵AB∥x轴，AC∥y轴，点A为（8，6）， ∴点B为：（0，6），点C为（8，0）， 故答案为0，6；8，0. （2）由（1）知，A（8，6），B（0，6），C（8，0）， ∴AB=8，AC=6， 当点P在线段BA上时， （）， 当点P在线段AC上时， （）； ∴. 命题7：矩形与折叠问题 19．如图，将破损的长方形纸带沿折叠后，点，分别落在点，的位置，经测量得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 由折叠的性质可知， ． 故选：C． 20．如图，在矩形纸片中，，，E是边上一点，先将沿AE折叠，点B落在点处，与交于点F，再折叠矩形纸片，使得点C与点重合，点D落在点处，折痕为，则 ． 【答案】10 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， 由折叠得，，， ∴， ∵，且， ∴， 解得， 故答案为：10． 21．【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． 【初步认识】 （1）如图1，折痕的端点P与点A重合． ①当时，则___________度； ②若点E恰好落在线段上，求的长； 【深入思考】 （2）如图2，点E恰好落在边上． 过点E作交于点F，连接．请在图2中画出线段，，并判断四边形的形状，且证明你的结论； 【拓展提升】 （3）如图3，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①64，②2；（2）四边形是菱形，见解析；（3）或 【详解】解：（）①∵， ∴， 由折叠可得，， ∴， 故答案为：； ②当点恰好在线段上时，如图所示， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长； （）补图如下： 证明：∵， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （）由折叠可知，，设，则， ①当时， 在中，， 解得， ∴； ②当时，过点作交于， 则， ， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，线段的长为或． 命题8：斜边的中线等于斜边的一半 22．如图，中，，，，D是的中点，的长是（  ）．    A．2.4 B．2.5 C．5 D．10 【答案】B 【详解】解：∵在中，，， ∴根据勾股定理， ∵是的中点 ∴ 故选：B． 23．如图，中，，，D为中点，则的大小为 ． 【答案】/度 【详解】解：，，，为中点， ， ， ， 故答案为：． 24．如图，在中，，点为边的中点，连接，点为的中点．若，，求边的长． 【答案】 【详解】解：在中，，点为的中点， ， ， 又， 在中，， 点为边的中点， ． 命题9：矩形的判定定理理解 25．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两组对边是否分别平行 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】C 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 26．如图，工人师傅砌门时，要想检验门框是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是 ． 【答案】对角线相等的平行四边形为矩形 【详解】解：依题意，∵两组对边分别相等， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 则只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是对角线相等的平行四边形为矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形为矩形． 27．学习了四边形知识后，八年级数学兴趣小组开展检测学校雕塑（如图）底座正面四边形是不是一个矩形的实践活动． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：雕塑底座正面是一个平行四边形，但究竟是不是矩形有待验证． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先利用卷尺测量四条边，，，的长度，并测量出点B，D之间的距离； 第二步：通过计算验证底座正面四边形是不是一个矩形． 【问题解决】 (1)小明同学是这样测量的：利用卷尺测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，对角线的长是100厘米，则四边形是矩形吗？为什么？ (2)爱脑筋的小华同学说如果卷尺是没有刻度的，他也有办法检验四边形是不是矩形．请写出小华的检验方法并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：垂直，理由为： 在中，因为厘米，厘米，厘米， 所以厘米， ， 所以， 所以四边形是矩形； （2）解：在边上量取3个相等的小段，记， 在边上量取4个相等的小段，记，， 这时只要量一下是否等于5个相等的小段，即，即可判断四边形是矩形． 命题10：添加一条件使四边形是矩形 28．如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； C、中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意； 故选D． 29．如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是 【答案】(答案不唯一) 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 若， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，此时平行四边形就成为矩形， 故答案为：． 30．如图，在中，分别过点、作、边的平行线交于点，、分别是、的中点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，满足什么数量关系时四边形是矩形，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵由题意可知：,, ∴四边形是平行四边形， ∴ ， ∵、分别是、的中点，即：， ， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， （2）解：当时，四边形是矩形， 理由：∵，为的中点， ∴， ∴平行四边形为矩形． 命题11：证明四边形是矩形 31．如图在中，，，以为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【详解】解：依题意作图如下： 连接，，由作图知，， 四边形是平行四边形， 又，， 四边形是矩形． 故选：B． 32．已知：和线段， 求作：平行四边形，使， 作法；如图． （）在射线上截取，在射线上截取； （）分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； （）连接、 如果是一个直角，那么这个平行四边形就是一个矩形． 你认为王芳同学做出判断的依据是： ． 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形都是矩形， 做出判断的依据是：有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 33．如图，在中，，是的中点．过点作，过点作，交于点．求证：四边形是矩形 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 命题12：根据矩形的性质与判定求角度 34．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 35．如图，在中，，直线垂直平分，把线段绕点顺时针旋转，使点落在直线上的点处，联结、，线段、交于点，如果，那么 度． 【答案】105 【详解】解：过点C作CH⊥AB于H， ∵线段AE绕点E顺时针旋转90°，使点A落在直线DE上的点F处， ∴AE＝EF， ∵直线DE垂直平分AB，AB＝AC， ∴AE＝BE＝AB＝AC，∠BEF＝90°， ∴EF＝BE＝AE， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴∠EBF＝45°， ∵DE⊥AB，CF AB， ∴CF⊥DE， ∵DE⊥AB，CH⊥AB， ∴四边形EFCH是矩形， ∴CH＝EF＝AB＝AC， ∴∠CAH＝30°， ∴∠AGB＝180°−∠EBF−∠CAH＝180°−45°−30°＝105°． 故答案为：105． 36．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴平行四边形是矩形， ∴ ∵， ∴． 命题13：根据矩形的性质与判定求线段长 37．如图，，，若，，，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点D作交延长线于点E ∵，， ∴四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴． 故选：A． 38．如图，已知的四个内角的平分线相交组成四边形，连结，，如果，那么的长为 ． 【答案】5 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，连接, ∵四边形是平行四边形， ， ， 又∵平分，平分，平分， ∴，， ∴， ∴ 同理 ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：5． 39．如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作，过点作，、交于点，连接．若，求的长． 【答案】10 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ∴， 四边形是矩形， ． 命题14：根据矩形的性质与判定求面积 40．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【详解】解：过点，作于M，交于N． 则有四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 41．如图，四边形的两条对角线互相垂直，是四边形各边的中点，如果，那么四边形，的面积为 ． 【答案】20 【详解】解：在中，点是的中点， ∴， 在中，点是的中点， ∴， ∴， 同理，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 已知对角线互相垂直，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴的面积为， 故答案为： ． 42．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，求平行四边形的面积．    【答案】48 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，                             又∵ ∴ ∴平行四边形是矩形                                       ∴ ∴                              ∴的面积= 针对训练： 1．下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内 ②有一个角是直角的四边形是矩形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④平行四边形两对角线的平方和等于其四条边的平方和 ⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外，不符合题意； ②错误，理由：有一个角是直角的四边形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形，故不符合题意； ③正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故符合题意； ④如图所示，平行四边形， 作，如图所示： ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中，由勾股定理，得，， ∴， 又∵， 即：， ∵， ∴， 故正确，符合题意； ⑤错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形，故不符合题意． 正确的只有③④， 故选：B． 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为（ ） A．15 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【详解】解：四边形是矩形，对角线，相交于点O， ，，且， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 3．如图，一架梯子斜靠在一个垂直于地面的墙面上，是的中点．若米，米，则为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：依题意，， ∵是的中点， ∴， 在中， 故选：B． 4．如图，在矩形中，O为对角线BD的中点，，E为边上一点，且，连接，取的中点F，连接，则的长度为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】解：取中点，连接和， ∵在矩形中， ， ， ∵O为对角线的中点，F为的中点，为中点， ∴分别为和中位线， ∴，且， 三点共线， ． 故选：C． 5．如图，在菱形中，对角线相交于点，点，分别是边的中点，连接，若，，则的长为(　　) A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点，分别是边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 故选：D． 6．如图所示，把长方形纸片沿对角线所在直线折叠，设重叠部分为，那么下列说法错误的是（　　） A．是等腰三角形， B．折叠后和一定相等 C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D．和一定是全等三角形 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形，把矩形沿折叠，点C落在点处， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故A正确； 折叠后的图形是一个轴对称图形， 故C正确； ∵， ∴， 故D正确； 无法证明和一定相等， 故B错误． 故选：B． 7．如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：矩形中，，， 又平分，， ，，， ， ， 中，， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， 即． 故选：． 8．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点，下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ，，， ，， ， ， ， 是的中点， ，即， 故①正确； ，G是的中点， ， 、F分别是、的中点， ∵，， ， 故②正确； ∵，，G是的中点， ∴，， ∴，且， ， 在和中， ， ， 故③正确； ， ， ∵， ， ， 平分， 故④正确． 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 9．如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边中点，菱形的周长为24，则的长等于 ． 【答案】3 【详解】解：∵菱形的周长等于24， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵H为边中点， ∴在中，为斜边上的中线， ∴． 故答案为：3． 10．如图：矩形的对角线、相交于点O，过点O作交于E，若，则的面积为 ． 【答案】5 【详解】解：连接． ∵四边形是矩形， ∴，O是中点（矩形对角线互相平分）． 又∵， ∴是的垂直平分线，得． 在中，，由勾股定理得： ∴． 的面积； ∵O是中点，是的中线， ∴． ∵与有公共顶点O，且底边、在同一直线上， ∴． 设，由，得： ，解得，， ∴． 故答案为：5． 11．如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，点D的坐标为， ∴，， ，轴， ∴，， 设， 则，， ∴， 解得， 故， 故答案为：． 12．如图，已知矩形纸片，点E和点F分别在边和上，且，H、G分别是边和上的点，现将纸片沿折叠，点A、B、C、D的对应点分别是N、M、P、，若，则的度数为 【答案】或 【详解】解：在矩形中，， ， 由折叠可知：， ， ， 如图1， ，且与在直线的异侧，延长交于点L，设交于点I， ，， ， ， ， ， ， 如图2，，且与在直线的同侧，延长交于点J， ， ， ， ， 综上所述： 或， 故答案为：或． 13．如图，已知，，，点为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点落在点处，过点作的垂线，分别交，于，两点，当为线段的三等分点时，则折痕的长为 【答案】或 【详解】解：根据题意得：， ∴四边形是矩形， ∴， 根据折叠的性质得：，， 点为线段的三等分点时，分两种情况： ①当时， 在 中，由勾股定理得： ， 设， 在中，由勾股定理得：，解得，即， ∴； ②当时， 在 中，由勾股定理得： ， 设， 在中，由勾股定理得：，解得，即． ∴． 综上，折痕的长为或． 故答案为：或． 14．如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． （2）解：如图：过点E作于点G， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积等于， ∵， ∵点E是对角线的中心， ∴， ∴ ∴四边形的面积为：． 15．如图，两张完全相同的矩形纸片和矩形纸片叠合在一起，其中点与点重合，点与点重合． (1)求证：重叠部分的四边形是菱形； (2)若矩形的长为，宽为，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：两张完全相同的矩形纸片和矩形纸片叠合在一起，其中点与点重合，点与点重合, ，，，， ，四边形是平行四边形， 在和中， ， ， ， 四边形是菱形； （2）四边形是菱形， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， ， 菱形的面积为． 16．如图，在矩形中，是对角线，． (1)实践与操作：利用尺规作的平分线交于点E，过点E作的垂线，垂足为点O，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法、不写结论，但要保留作图痕迹，标明字母）； (2)猜想与证明：试猜想四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)猜想：四边形是菱形，证明见解析 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：猜想：四边形是菱形，证明如下： ∵矩形中，，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 17．如图，等腰中，，交于点，点是的中点，分别过、两点作线段的垂线，垂足分别为、两点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：，， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ． ，， ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形为矩形； （2）解：，点是的中点，， 在中，， 由（1）知，四边形为矩形，则． 在中，由勾股定理得：． ， ． 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点．线段的两个端点均在格点上，按要求完成下列作图． (1)在图①中，在线段上找到一点，使； (2)在图②中，画出一个四边形，使其既是中心对称图形，又是轴对称图形，且为格点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）如图①所示，点即为所求； （2）如图②所示，矩形即为所求（答案不唯一）． 19．综合与实践 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，其中，. (1)操作发现 操作一：如图1，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，将纸片展平再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平得到图2，以点A，F，C，E为顶点的四边形是______形． (2)实践探究 操作二：如图3，在矩形纸片中，点G为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①判断与折痕的位置关系，并说明理由； ②直接写出______ 【答案】(1)菱 (2)① ．理由见解析；② 7.2 【分析】(1)根据折叠可得垂直平分，推出，证明可得，然后利用四边相等的四边形是菱形即可得出结论； (2)①由折叠的性质可得，利用等边对等角、三角形外角的性质可得，进而得出，然后利用平行线的判定即可得证；②连接交于M，证明，利用等面积法求出，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形． 理由如下：如图，连接，设与交于点M， 由折叠可知，，，即垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形， 故答案为：菱． （2）解：①．理由如下： ∵折叠， ∴，， ∴， ∵G为中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 如图，连接交于M， ∵， ∴， 又，， ∴，即， ∵矩形纸片中，，，G为中点， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7.2． 【点睛】本题考查折叠的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后对应边相等，对应角相等，对应点连线被折痕垂直平分． 20．【问题探究】 (1)如图1，在中，，，，点D是的中点，连接，则的长为________； (2)如图2，点E在矩形的上方，连接、、、，若，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，李师傅有一块四边形的板材，，，连接，，点M在上，．李师傅现要从这个板材上裁出一个四边形部件，点P在上，要求．李师傅取的中点为点P，裁出四边形部件，请问李师傅裁出的四边形部件是否符合要求，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)李师傅的做法正确，理由见解析 【详解】（1）解：在中， ，， 点D是的中点， 故答案为：2． （2）证明：在矩形中，，， ， ， ， ，     ． （3）解：李师傅的做法正确．理由如下： 连接、，如图， ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形， ． 点P是的中点， ， 同理（2）易得， ．     ， ， ，即， ， ， 李师傅裁出的四边形部件符合要求． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$