专题01 勾股定理（一）8大高频考点（期中真题汇编，辽宁专用）八年级数学上学期

专题01 勾股定理（一） 8大高频考点概览 考点01 利用勾股定理求长度 考点02 利用勾股定理与逆定理求解 考点03 勾股数 考点04 判断能否构成直角三角形 考点05 勾股定理与无理数 考点06 勾股树问题 考点07 勾股定理与弦图 考点08 勾股定理的证明 地 城 考点01 利用勾股定理求长度 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁丹东第十三中学·期中)已知一个直角三角形的斜边长是4，一条直角边是3，则第三边长为（　　） A．5 B． C．5或 D．7 【答案】B 【分析】利用勾股定理直接计算即可. 【详解】解：由勾股定理得，第三边长＝＝， 故选B． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 2．(24-25八上·辽宁本溪·期中)如图，在中，，，，点到的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出AB，再根据三角形面积关系求CD. 【详解】在中，，，， 所以AB= 因为AC∙BC=AB∙CD 所以CD= 故选A 【点睛】考核知识点：勾股定理的运用.利用面积关系求斜边上的高是关键. 3．(24-25八上·辽宁沈阳·期中)如图，，，以为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接，过点作，垂足为．若，，则的长为（　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合勾股定理可求出长，再根据，可证明，即可证明，得出结论BF=AE，即可求出EF． 【详解】根据题意可知BC=BE=10，． 在中，． ∵， ∴， ∴， ∴BF=AE=8， ∴EF=BE-BF=10-8=2． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质以及勾股定理．利用“角角边”证明是解答本题的关键． 4．(24-25八上·辽宁沈阳南昌中学·期中)如图，在中，于点，平分交与点，交于点，，则的长等于（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】利用勾股定理可得DC和AB的长，由角平分线定理可得EG=ED，证明Rt△BDE≌Rt△BGE（HL），可得BG=BD=9，设AE=x，则ED=12-x，根据勾股定理列方程可得结论． 【详解】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC=∠ADB=90°， ∵AD=12，AC=13， ∴， ∵BC=14， ∴BD=14-5=9， 由勾股定理得：AB==15， 过点E作EG⊥AB于G， ∵BF平分∠ABC，AD⊥BC， ∴EG=ED， 在Rt△BDE和Rt△BGE中， ∵， ∴Rt△BDE≌Rt△BGE（HL）， ∴BG=BD=9， ∴AG=15-9=6， 设AE=x，则ED=12-x， ∴EG=12-x， Rt△AGE中，x2=62+（12-x）2， x=， ∴AE=． ∴DE=AD-AE=12-= 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 二、填空题 5．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期中)已知直角三角形两边分别为3cm和4cm，则其斜边长为 cm． 【答案】或 【分析】直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为的边是否为斜边，所以要讨论（1）边长为的边为斜边；（2）边长为的边为直角边． 【详解】解：（1）当边长为的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为； （2）当边长为的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为， 故该直角三角形斜边长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，解题的关键是利用分类讨论思想进行解答． 6．(24-25八上·辽宁阜新实验中学·期中)若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了勾股定理，非负数的性质以及分类讨论思想的运用，本题中讨论边长为4的边是直角边还是斜边是解题的关键． 利用完全平方公式先将化为两个非负数和的形式，根据非负数的性质可以求出的值，另外已知直角三角形两边的长，具体是两条直角边或是一条直角边一条斜边，应分类讨论求解． 【详解】解：∵， ， ， ， 当都是直角边时，则直角三角形的第三边长， 当a为直角边，为斜边时，则直角三角形的第三边长， ∴直角三角形的第三边长为10或， 故答案为：10或． 7．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期中)在四边形ABCD中，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 先作，，再证明，可得，进而得出，可得，最后根据勾股定理得出答案.． 【详解】如图所示，过点D作，于点E ，作，交延长线于点F， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理，得． 故答案为：． 地 城 考点02 利用勾股定理与逆定理求解 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁本溪·期中)如图，在中，，D为上一点．若，的面积为90，则的长是（    ） A．24 B．12 C．3 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了三角形面积公式及勾股定理，根据为中上的高及面积，可得，再利用勾股定理可求得，即可求解． 【详解】解：∵，的面积为90， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期中)如图，在中，，，，D是延长线上一点，连接，若，求的长． 【答案】11 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再在中，利用勾股定理可求，然后根据线段和差即可得． 【详解】解：在中，，，， ， 是直角三角形，且， 在中，， ， 故的长为11． 3．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中)如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且． (1)求的度数； (2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，通过计算说明道路被监控到的最大范围为多少米． 【答案】(1)； (2)被监控到的道路长度为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可； （2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：连接， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，， 是直角三角形， ， ； （2）解：过点作于，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质，得：，， 由（1）知，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 被监控到的道路长度为． 4．(24-25八上·辽宁丹东多校联考·期中)在四边形中，已知，，，，且，求：四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在中， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 5．(24-25八上·辽宁辽阳灯塔·期中)如图：四边形ABCD中, AB=BC=, , DA=1, 且AB⊥CB于B. 试求:（1）∠BAD的度数;（2）四边形ABCD的面积. 【答案】（1）135°（2）2 【分析】（1）连接AC，根据Rt△ABC求出AC的长，再利用勾股定理证明△ACD是直角三角形，故可求出∠BAD的度数 （2）由S四边形ABCD=S△ABC+ S△ADC，即可求出四边形ABCD的面积. 【详解】（1）连接AC，∵AB=BC=, ∴AC= ∴∠BAC=45°， ∵AD2+AC2=1+4=5=CD2， ∴△ACD为直角三角形. ∴∠BAD=90°+45°=135°， （2）S四边形ABCD=S△ABC+ S△ADC = =1+1=2 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的逆定理. 6．(24-25八上·辽宁沈阳第七中学·期中)如图，在中，，是边上的一点，，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的周长． 【答案】(1)直角三角形；理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理，解拓展一元一次方程，属于常考题型，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）设，则，然后在中根据勾股定理即可得到关于x的方程，解方程即可求出x，进一步即可求出的长，从而求得的周长． 【详解】（1）解：是直角三角形；理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，则， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，则 ∴的周长． 7．(24-25八上·辽宁沈阳铁西区·期中)如图，在中，，垂足为．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键． （1）在直角中利用勾股定理即可求解． （2）利用勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】（1）解：， 是直角三角形，． ． （2）是直角三角形，理由如下： ， 是直角三角形，． ， ． ， 是直角三角形，是直角． 8．(24-25八上·辽宁阜新细河区·期中)为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果.如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地.经测量，，，，且． (1)试说明：． (2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)3600 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理可证是直角三角形，且即可； （2）过A作于点E，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，然后求出阴影部分的面积，即可解决问题． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ， 是直角三角形， ； （2）解：如图，过点作于点， ， ， ， 在中，，， ， . ， ， 共需花费（元）． 9．(24-25八上·辽宁铁岭部分学校·期中)如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D、E，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析． (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，根据定理以及线段垂直平分线的性质解题即可． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求证； （2）设，在（1）的结论上，利用勾股定理列出方程计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如下图： ∵边上的垂直平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）设，则， ∴在中， ， 即 解得：， 则． 10．(23-24八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)如图，，，，，，求四边形的面积．    【答案】24 【详解】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，先根据勾股定理求出的长度， 再根据勾股定理的逆定理判断出的形状， 再利用三角形的面积公式求解即可 ． 【解答】解： 连接，如图所示： ， ， ， 是直角三角形，， 四边形的面积的面积的面积．    地 城 考点03 勾股数 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁锦州第八初级中学·期中)下列各组数据的三个数，是勾股数的有（    ） ①，，  ②6，8，10  ③7，24，25  ④，，  ⑤1.5，2，2.5 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，据此解答即可． 【详解】解：①，所以①不是勾股数； ②，所以②是勾股数； ③，所以③是勾股数； ④，所以④不是勾股数； ⑤，但其不是正整数，所以⑤不是勾股数. 综上所述②③是勾股数，共2个. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数． 2．(24-25八上·辽宁沈阳第一二六中学教育集团·期中)下列各组数据为勾股数的是（   ） A．9，40，41 B．9，16，2 C．，2， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查勾股数，根据三个正整数，满足两个数的平方和等于第三个数的平方，那么这三个数为勾股数，进行判断即可．熟记常见的勾股数，可以快速解题． 【详解】解：A、，是勾股数，符合题意； B、，不能构成三角形，故更不是勾股数，不符合题意； C、不是整数，不是勾股数，不符合题意； D、三个数都不是正整数，不是勾股数，不符合题意； 故选A． 3．(24-25八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中)下列各组数据为勾股数的是（   ） A．9，40，41 B．9，16，20 C． D． 【答案】A 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，熟悉相关性质是解题的关键． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，符合题意； B、，不能构成三角形，故不是勾股数，不符合题意； C、，能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意， 故选：A． 4．(24-25八上·辽宁阜新细河区·期中)下列各组数据中是勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．1，2， C．4，5，7 D．5，12，13 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．据此即可得出答案． 【详解】解：A、0.3，0.4，0.5都不是整数，故不是勾股数，不符合题意； B、，能构成直角三角形，但边长不是整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、，三边是整数，同时能构成直角三角形，故符合题意； 故选：D． 5．(24-25八上·辽宁锦州黑山县·期中)在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A．0.3，0.4，0.5 B． C．1，2，3 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A. 0.3，0.4，0.5不是整数，故不是勾股数，不符合题意； B.不是整数，故不是勾股数，不符合题意； C. ，不能够构成三角形，不符合题意； D.，故是勾股数，符合题意； 故选：D． 6．(24-25八上·辽宁本溪·期中)下面三组数中是勾股数的一组是（    ） A．6，7，8 B．20，28，35 C．1.5，5，2.5 D．5，12，13 【答案】D 【分析】此题考查的知识点是勾股数．勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； B、，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； C、1.5和2.5不是整数，所以不能构成勾股数，故本选项不符合题意； D、，能构成勾股数，故本选项符合题意； 故选：D． 7．(23-24八上·辽宁抚顺清原满族自治县·期中)下列各数中，属于勾股数的是（    ） A． B．1， 2， 3 C． D．5， 12， 13 【答案】D 【分析】解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足， 则是直角三角形，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、不是正整数，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、不是正整数，故选项不符合题意； D、，是勾股数，故选项符合题意； 故选：D． 8．(23-24八上·辽宁辽阳白塔区辽阳第一中学·期中)有下列各组数：①3，4，5；②62，82，102；③0.5，1.2，1.3；④1，，．其中勾股数有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：①32+42=52，三边是整数，同时能构成直角三角形，故为勾股数； ②（62）2+（82）2≠（102）2，不能构成直角三角形，故不为勾股数； ③0.5，1.2，1.3三边不是正整数，故不为勾股数； ④1，，，三边不是正整数，故不为勾股数； 故其中勾股数有1组． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形． 9．(23-24八上·辽宁沈阳皇姑区第十二中学·期中)下列三个数中，能组成一组勾股数的是（　　） A．，， B．32，42，52 C．，， D．12，15，9 【答案】D 【分析】勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了勾股数的定义，注意：作为勾股数的三个数必须是正整数． 地 城 考点04 判断能否构成直角三角形 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳虹桥初级中学·期中)中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为，，，由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A．∠A+∠B=∠C B．∠A∶∠B∶∠C =3∶4∶5 C． D．∶∶=3∶4∶5 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、B的正误；根据勾股定理逆定理可分析出C、D的正误． 【详解】解：A、∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=90°， ∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意； B、设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x， 3x+4x+5x=180， 解得：x=15， 则5x=75， 所以△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意； C、∵a2=c2-b2， ∴a2+b2=c2， ∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意； D、∵a：b：c=3：4：5， 设a=3y，b=4y，c=5y， ∵（3y）2+（4y）2=（5y）2， ∴能构成直角三角形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 2．(24-25八上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团·期中)下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．1.5，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．5，13，14 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A．因为，所以以1.5，2，3为边长不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B．因为，所以以2，3，4为边长不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C．因为，所以以1，，为边长能组成直角三角形，故本选项符合题意； D．因为，所以以5，13，14为边长不能组成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C 3．(24-25八上·辽宁沈阳法库县·期中)下列各组数据中，能构成直角三角形的是（    ） A．，2， B．6，7，8 C．2，3，4 D．8，15，17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此只需判断两小边的平方和与最长边的平方是否相等即可． 【详解】解：A．，故不为直角三角形； B．，故不为直角三角形； C．，故不为直角三角形； D．，故为直角三角形． 故选：D． 4．(24-25八上·辽宁阜新太平区阜新第四中学·期中)下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（   ） A．3，4，5 B．1，2， C．1，2， D．7，9，11 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理，能根据勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形是解题的关键．根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A．， 能构成直角三角形， 故A选项不符合题意； B．， 能构成直角三角形， 故B选项不符合题意； C．， 能构成直角三角形， 故C选项不符合题意； D． ， 不能构成直角三角形， 故D选项符合题意． 故选：D． 5．(24-25·辽宁沈阳南昌中学·期中)下列条件中，不能确定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理；根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析判断即可． 【详解】解：A. 若，则有，则，故是直角三角形，该选项不符合题意； B. 若，设，则，由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不符合题意； C. 若，设，，，则有，解得，则，，，故不是直角三角形，该选项符合题意； D. 若，则有， 由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不符合题意． 故选：C． 6．(24-25八上·辽宁锦州第四中学教育集团·期中)由下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B．，， C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理及勾股定理逆定理，根据三角形内角和及即可判断A，根据勾股定理逆定理即可判断B，根据平方差公式及勾股定理逆定理即可判断C，根据三角形内角和及即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为直角三角形，故A不符合题意； ∵， ∴不能判定三角形为直角三角形，故B符合题意； ∵， ∴为直角三角形，故C不符合题意； ∵，， ∴， ∴为直角三角形，故D不符合题意， 故选：B． 7．(24-25八上·辽宁沈阳第七中学·期中)下列各组数中，能作为直角三角形三边的是（   ） A．，， B．2，3，4 C．，， D．3，4， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理逆定理；根据定理内容，两条较短边的平方和等于长边的平方，由此判断即可求解． 【详解】解：A.不能构成直角三角形，不符合题意；     B.不能构成直角三角形，不符合题意；     C. 不能构成直角三角形，不符合题意；     D. 能构成直角三角形，符合题意， 故选：D． 8．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期中)在中，a，b，c分别是的对边，在下列条件中，不能确定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，根据勾股定理逆定理及三角形内角和定理判定即可． 【详解】解：因为，所以这个三角形是直角三角形，则A不符合题意； 设，则，可知，所以这个三角形是直角三角形，则B不符合题意； 因为，所以不能组成直角三角形，则C符合题意； 设，则，根据题意，得， 解得， ∴． 所以这个三角形是直角三角形． 则D不符合题意． 故选：C． 9．(24-25八上·辽宁丹东多校联考·期中)的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理的应用是解题关键．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设，则，， ∵， ∴，解得 ∴，，， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 10．(24-25八上·辽宁沈阳浑南·期中)下列各组数据中能组成直角三角形的是（　　） A．9 ，16，25 B．2，5，6 C．3，3，5 D．9，12 ，15 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、， 不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、， 不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、， 不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、， 能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：D． 11．(24-25八上·辽宁阜新实验中学·期中)根据下列条件分别判断以a，b，c为三边的，不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项分析判断即可． 【详解】A. ， 设，则，， ， 解得：， ，，， 是直角三角形， 故本选项错误； B. ， 设， ， 是直角三角形， 故本选项错误； C. ， ， ， ， ， 是直角三角形， 故本选项错误； D. ， 设，，， ， 解得：， ，，， 不是直角三角形， 故本选项正确， 故选：D． 12．(24-25八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理对四个选项依次判断即可． 【详解】解：对于A选项． ∵∠A=∠B-∠C， ∴∠A+∠C=∠B． ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠B=180°． ∴∠B=90°． ∴△ABC为直角三角形． 故A选项不符合题意． 对于B选项． ∵∠A：∠B：∠C=1:2:3， ∴． ∴△ABC为直角三角形． 故B选项不符合题意． 对于C选项． ∵， ∴． ∴△ABC为直角三角形． 故C选项不符合题意． 对于D选项． ∵， ∴设，则，． ∵， ∴△ABC不是直角三角形． 故D选项不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，勾股定理逆定理，熟练掌握这些知识点是解题关键． 13．(24-25八上·辽宁丹东东港·期中)的三边分别为a，b，c，下列条件不能使为直角三角形的是（　　） A．， B． C．，， D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的判定方法：利用勾股定理逆定理判断边或利用角度判断角是解题的关键．利用勾股定理和三角形内角和对选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A中、∵， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； B中、∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； C中、∵， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； D中、∵， 设，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； 故选：D． 14．(24-25八上·辽宁丹东第五中学·期中)已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A． B．，， C． D．∶∶∶∶ 【答案】D 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，，∴最大的角，∴不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理． 15．(24-25八上·辽宁沈阳大东区·期中)已知ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，则ABC的形状是（　　） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】根据（a-b）（c2-a2-b2）=0得a-b=0，或c2-a2-b2=0，求出a、b、c之间的数量关系进行判断． 【详解】解：∵（a-b）（c2-a2-b2）=0， ∴a-b=0或c2-a2-b2=0， ∴a=b或a2+b2=c2， ∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，掌握这两个知识点的熟练应用，根据（a-b）（c2-a2-b2）=0得a-b=0，或c2-a2-b2=0，是解题关键． 地 城 考点05 勾股定理与无理数 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁丹东第十三中学·期中)如图，边长为1的正方形，在数轴上，点在原点，点对应的实数1，以为圆心，长为半径逆时针画弧交数轴于点，则点对应的实数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出的长度，进而得出点对应的实数． 【详解】解：∵正方形边长为， ∴， ∴， ∴点对应的实数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理以及数轴上表示实数，熟练掌握实数在数轴上的表示方法以及勾股定理是解本题的关键． 2．(24-25八上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团·期中)如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点表示的数，勾股定理．熟练掌握勾股定理以及数轴上的点表示的数是解题的关键． 根据勾股定理以及数轴上的点表示的数解答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴． ∴a的值为：． 故选：C． 3．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期中)如图，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴．先用勾股定理求出，再根据数轴上的点与实数的对应关系，即可求出点C表示的数． 【详解】解：∵， ∴点C表示的数为， 故选：A． 4．(24-25八上·辽宁锦州第四中学教育集团·期中)如图，长方形中，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为(   ) A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴；首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点表示，可得点表示的数． 【详解】解：，， 点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点， 点表示， 点表示的数为： 故选：A． 5．(24-25八上·辽宁阜新实验中学·期中)如图，正方形的面积为3，A是数轴上表示的点，以A为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，考查实数与数轴，根据题意得出正方形的边长是解题的关键． 根据已知条件求出正方形的边长再确定点所表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴正方形的边长为， ∵是数轴上表示的点， ∴点表示的数是． 故选：C． 6．(24-25八上·辽宁丹东多校联考·期中)如图，在Rt△PQR中，∠PRQ＝90°，RP＝RQ，边QR在数轴上．点Q表示的数为1，点R表示的数为3，以Q为圆心，QP的长为半径画弧交数轴负半轴于点P1，则P1表示的数是(　　) A．－2 B．－2 C．1－2 D．2－1 【答案】C 【分析】首先利用勾股定理计算出QP的长，进而可得出QP1的长度，再由Q点表示的数为1可得答案. 【详解】根据题意可得QP==2， ∵Q表示的数为1, ∴P1表示的数为1-2. 故选C. 【点睛】此题主要考查了用数轴表示无理数，关键是利用勾股定理求出直角三角形的斜边长. 二、填空题 7．(24-25·辽宁沈阳南昌中学·期中)如图，数轴上点A表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】如图，由勾股定理求出的长，再由勾股定理求出的长，即可得到，由点C表示的数为，即可得到答案． 【详解】解：如图， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，，， ， ∴， ∵点C表示的数为， ∴数轴上点A表示的数为， 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理、实数的运算、实数与数轴的关系等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 8．(24-25八上·辽宁沈阳康平县·期中)如图，长方形的边落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，，连接，以B为圆心，为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理求得，进而根据数轴上的两点距离即可求得点E在数轴上所表示的数． 【详解】解：四边形是长方形，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，， 依题意. 设点E在数轴上所表示的数为，则 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，掌握勾股定理求得是解题的关键． 9．(24-25八上·辽宁本溪·期中)如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A所表示的数为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理可求出圆的半径，进而求出点A到原点的距离，再根据点A的位置确定点A所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可求出圆的半径为：＝，即点A到表示1的点的距离为， 那么点A到原点的距离为（+1）个单位， ∵点A在原点的右侧， ∴点A所表示的数为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关键是解题的关键． 10．(24-25八上·辽宁锦州太和区·期中)我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为“1”的线段作一个正方形，然后以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点”，如图线段的长度是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴之间的关系，勾股定理， 利用勾股定理求得对角线的长度再结合图形即可求解． 【详解】解：根据题意知， ， 故答案为： 三、解答题 11．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期中)如图甲，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，体积为． (1)这个魔方的棱长为 （用代数式表示）； (2)当魔方体积时， ①这个魔方的棱长为 ； ②图甲中阴影部分是一个正方形，则正方形的边长为 ； ③把正方形放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则点D在数轴上表示的数为 ； ④请在图乙中的数轴上准确画出表示实数的点E的位置（保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)①4；②；③；④见解析． 【分析】本题考查数轴表示数，立方根，掌握立方根的意义以及数轴表示的方法是解决问题的关键． （1）根据体积的计算方法，可表示其棱长， （2）①由魔方体积，可求出魔方的棱长； ②求出每个小立方体的棱长，再根据勾股定理可求出答案； ③求出点D所表示数的绝对值，再得出点D所表示的数； ④利用勾股定理求出长度为的线段，再在数轴上确定的位置． 【详解】（1）因为拼成的魔方体积为． 所以正方形的边长为， 故答案为：； （2）当魔方体积时， ①∵， ∴， 所以这个魔方的棱长为； 故答案为：4； ②因为魔方的棱长为； 所以每个小立方体的棱长为， 所以阴影部分正方形的边长为， 答：阴影部分正方形的边长为， 故答案为：； ③点D到原点的距离为：， 又因为点D在原点的左侧， 所以点D所表示的数为， 故答案为：； ④如图，作一个长为2，宽为1的矩形，使以原点为一个顶点，长为2的边在数轴的负半轴，再以矩形的对角线的长为半径，原点为圆心画弧，与数轴的负半轴相交于点E，点E所表示的数为． 地 城 考点06 勾股树问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁锦州黑山县·期中)如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（  ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，设面积分别为的正方形边长为，由勾股定理得到，代入求解即可得到答案，熟记勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：设面积分别为的正方形边长为， ， ， 在中，，则， ， ，解得， 故选：B． 2．(24-25八上·辽宁沈阳第七中学·期中)如图，在中，．分别以为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理．根据题意得到，再利用，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 3．(24-25八上·辽宁锦州第八初级中学·期中)分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理；根据勾股定理可得，再由正方形、三角形面积公式可得，，，， ，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点A作AK⊥HI于点K，交BC于点J， 中，， ， 四边形、四边形、四边形均为正方形， ， 正方形与同底等高， ， ， 正方形与同底等高， ， ， ， ， 故选：A． 4．(24-25八上·辽宁沈阳大东区·期中)如图，字母B所代表的正方形的面积是（    ） A．144 B．194 C．12 D．169 【答案】A 【分析】根据勾股定理：直角三角形斜边的平方减直角边的平方等于另一直角边的平方，可得答案． 【详解】解：由勾股定理，得 B＝169﹣25＝144， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，利用了勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方． 5．(24-25八上·辽宁沈阳·期中)图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，而边长的平方恰是正方形的面积，从而根据选项提供的面积即可得出答案． 【详解】解：A、B代表的正方形的面积为400+225=625； B、A代表的正方形的面积为400-225=175； C、D代表的正方形的面积为400-120=280； D、C代表的正方形的面积为256-112=144． 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理（在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2），仔细观察选项所给图形的特点，利用勾股定理进行解答是关键． 6．(23-24八上·辽宁沈阳大东区·期中)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（    ） A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和 【答案】C 【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可． 【详解】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a， 由勾股定理得，c2=a2+b2， 阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c）， 较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a， 则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c）， ∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积， 故选C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 7．(23-24八上·辽宁大连·期中)如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律“”（n≥3），依此规律即可得出结论． 【详解】解：在图中标上字母，如图所示．   ∵正方形的边长为2，为等腰直角三角形， ∴，， ∴． 观察，发现规律：，，，S，…， ∴．当时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题关键是找出规律“”，解决该题目时，写出部分的值，根据数值的变化找出变化规律是关键． 二、填空题 8．(24-25八上·辽宁丹东第十三中学·期中)如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 ．    【答案】225 【分析】本题考查正方形的面积公式以及勾股定理，三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积． 【详解】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方，一直角边的平方， 则斜边的平方． 即A所代表的正方形的面积为225． 故答案为：225． 9．(24-25八上·辽宁沈阳法库县·期中)如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A，B，C，D的面积的和是64cm2，则最大的正方形的边长为 cm． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理．勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积． 根据题意可得，最大的正方形的面积为，则答案可解． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，最大的正方形的面积为，则最大的正方形的边长为． 故答案为：8． 10．(24-25八上·辽宁阜新细河区·期中)如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为 【答案】55 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得，，，，然后列式解答即可． 【详解】解：建立如图的数据， 由题意得，，，，，， ∴ ， 故答案为：55． 11．(24-25八上·辽宁铁岭部分学校·期中)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 【答案】98 【分析】此题主要考查了勾股定理以及正方形的性质，解题的关键是得到图中正方形面积之间的关系； 根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，得到四个小正方形的面积之和等于最大正方形的面积，即可求解． 【详解】根据勾股定理和正方形的性质可知， ， ， ， ， 正方形A、B、C、D、E、F的面积之； 故答案为：98． 12．(23-24八上·辽宁本溪·期中)如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形A的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理，得正方形E的面积=正方形B的面积+正方形A的面积，得正方形E的面积=正方形D的面积-正方形C的面积， 则正方形A的面积， 故答案为：4． 三、解答题 13．(24-25八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中)探究一：如图1，P、Q、M均为正方形． （1）若图1中的为直角三角形，，正方形P的面积为3，正方形M的面积为，则正方形Q的面积为________； 探究二：图形变化： （2）如图2，为直角三角形，，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说明理由； （3）如图3，如果直角三角形两直角边长分别为5和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）能，面积为，过程见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，以直角三角形三边为边长的图形面积，圆的面积公式，三角形面积，正方形面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式结合勾股定理，可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和； （2）根据圆的面积公式结合勾股定理，可发现大半圆的面积是两个小半圆的面积和； （3）由（2）可得，阴影部分的面积等于直角三角形的面积，据此解答即可求解． 【详解】解：（1） 为直角三角形，， ， 由题意得：，， ， 故答案为：； （2），理由如下： 是直角三角形，， ， ，，， ， ； （3）设以AC为直径的半圆面积为，以BC为直径的半圆面积为，以AB为直径的半圆面积为， 由（2）可知，，，， ． 地 城 考点07 勾股定理与弦图 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁锦州太和区·期中)如图是用四个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的大正方形图案．若较短直角边y为3，较长直角边x为5，则图中大正方形与小正方形面积之比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得小正方形的边长，根据勾股定理求出大正方形的边长，由正方形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是3和5， ∴小正方形的边长为， 根据勾股定理得：大正方形的边长， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理和正方形的面积．本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． 2．(24-25八上·辽宁凌海·期中)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为，大正方形的边长为，则中间小正方形的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积． 【详解】解：由勾股定理得，直角三角形的另一条直角边长为， ∴小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 3．(24-25八上·辽宁本溪第十二中学教育集团·期中)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，得出．设，则，，由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ． 设， 为，的交点， ，， 四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 4．(24-25八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中)“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则（   ） A． B．14 C．6 D．3 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理的应用，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 根据正方形的性质得到，，，然后证明出，得到，然后求出，由得到，然后在中利用勾股定理得到，然后利用完全平方公式的变形求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形、、均为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．(23-24八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)如图，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若每个直角三角形的面积为，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据大正方形的面积为，每个直角三角形面积为，设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，得出，即可求解． 【详解】解：设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为， 大正方形的面积为，每个直角三角形面积为， ， ， 即小正方形的边长为． 故选：． 【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算，根据大正方形的面积等于个直角三角形的面积加上小正方形的面积求解是解题的关键． 6．(24-25八上·辽宁沈阳第七中学·期中)如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的．人们称它为“赵爽弦图”，如果图中直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图中阴影部分的面积为S，那么S的值为（    ）    A．5 B． C．25 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型，根据题意求出小正方形的边长再计算即可． 【详解】解：∵直角三角形的长直角边为9，短直角边为4， ∴小正方形的边长为， ∴阴影部分的面积， 故选：D． 7．(23-24八上·辽宁锦州太和区·期中)“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设图中直角三角形的两条直角边长分别为，斜边为，根据题意“空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25”可得，将两式相加并求解即可获得答案． 【详解】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为，斜边为，    ∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25， ∴可有， 解得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴大正方形的边长是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、方程组的应用等知识，正确表示出直角三角形的面积是解题关键． 二、填空题 8．(24-25八·辽宁营口盖州·期中)“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形．如果直角三角形的两条直角边分别为，，若小正方形的面积为8，且，则大正方形的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和的关系． 根据所求问题，利用小正方形的面积得到，进一步求出即可求解． 【详解】解：小正方形的面积为8，得到它的边长为， 即得， ∴， 即①， ∵， ∴②， ①②得，， ∴， 即大正方形的面积为， 故答案为：． 9．(23-24八上·辽宁丹东凤城·期中)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是 ．    【答案】49 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积． 【详解】解：由题意可得： 小正方形的边长， 小正方形的面积为， 故答案为：49 三、解答题 10．(23-24八上·辽宁锦州凌海·期中)我国数学家赵爽（又名婴，字君卿．三国时吴国人，一说魏晋人或汉人．籍贯、生卒年不详，约生活于公元3世纪初，数学家，天文学家．）为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果大正方形的面积为25，，，，且．试求小正方形的边长．    【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据大正方形可以看成边长为c的正方形，也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，从而用不同的方法表示大正方形的面积，从而得到等式，再整理即可得出结论． 【详解】解：∵，，，和是四个全等的直角三角形， ， ， 小正方形的面积， ， ∴小正方形的边长为3． 地 城 考点08 勾股定理的证明 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁锦州黑山县·期中)我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【详解】解：A、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁法库县·期中)著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为)，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． 【结论探究】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点，，在同一条直线上，并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 (3)中，，，，，垂足为，请直接写出的值． 【答案】[结论探究]（1）见解析；[结论应用]（2）千米；[问题拓展]（3） 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． [结论探究]（1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； [结论应用]（2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； [问题拓展]（3）作，垂足为，在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【详解】[结论探究] （1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； [结论应用]（2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； [问题拓展]（3）作，垂足为， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 3．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期中)甲同学在拼图探索活动中发现；用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为，a，b，斜边长为c，可以拼成像图1那样的正方形，并由此得出了关于a2，b2，c2.的一个等式． （1）请你写出这一结论：　 　，并给出验证过程； （2）试用上述结论解决问题：如图2如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，求“丁”的面积． 【答案】（1）；（2）29． 【分析】（1）用不同的方法表示阴影部分的面积，即可得到关于，，的一个等式． （2）由（1）得，，进而根据正方形面积得出等量关系求出“丁”的面积． 【详解】解：（1）结论：． 验证：阴影部分的面积， 阴影部分的面积= ， ， 即． 故答案为：． （2）如图，连接AC， ∵∠B＝∠D＝90° ∴，， 又∵，，，， ∴， 又∵甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17 ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及面积法的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 4．(24-25八上·辽宁沈阳康平县·期中)综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 从而得到等式 化简便得结论 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者. 向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和 如图2放置，其三边长分别为a，b，c， 显然 （对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） (1)请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理 【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点， 可得， 则为 ， 边上的高为 ． (2)如图4， 在中， 是边上的高， 设 求x的值． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出 的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明： ，，，， ， ， ； （2）设边上的高为， 则， ， ， ， 即边上的高是， 故答案为：； （3）)在中，由勾股定理得 ， ， 在中，由勾股定理得， ， ． 【点睛】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 5．(23-24八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中)勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有余种．其中我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定理： 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，完全平方公式等知识．熟练掌握勾股定理的证明，完全平方公式是解题的关键． 由弦图可知，，则四边形和四边形是正方形，由，可得，整理得． 【详解】证明：由弦图可知，， ∴四边形和四边形是正方形， ∵， ∴， ， ∴． 6．(23-24八上·辽宁锦州凌海·期中)我国数学家赵爽（又名婴，字君卿．三国时吴国人，一说魏晋人或汉人．籍贯、生卒年不详，约生活于公元3世纪初，数学家，天文学家．）为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．根据此图证明勾股定理（如图每个直角三角形斜边为c两个直角边分别为a、b）    【答案】详见解析 【分析】大正方形可以看成边长为c的正方形，也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，从而用不同的方法表示大正方形的面积，从而得到等式，再整理即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴， 整理得． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形面积是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理（一） 8大高频考点概览 考点01 利用勾股定理求长度 考点02 利用勾股定理与逆定理求解 考点03 勾股数 考点04 判断能否构成直角三角形 考点05 勾股定理与无理数 考点06 勾股树问题 考点07 勾股定理与弦图 考点08 勾股定理的证明 地 城 考点01 利用勾股定理求长度 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁丹东第十三中学·期中)已知一个直角三角形的斜边长是4，一条直角边是3，则第三边长为（　　） A．5 B． C．5或 D．7 2．(24-25八上·辽宁本溪·期中)如图，在中，，，，点到的距离是（    ）    A． B． C． D． 3．(24-25八上·辽宁沈阳·期中)如图，，，以为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接，过点作，垂足为．若，，则的长为（　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．(24-25八上·辽宁沈阳南昌中学·期中)如图，在中，于点，平分交与点，交于点，，则的长等于（    ） A． B．5 C． D．7 二、填空题 5．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期中)已知直角三角形两边分别为3cm和4cm，则其斜边长为 cm． 6．(24-25八上·辽宁阜新实验中学·期中)若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 7．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期中)在四边形ABCD中，则 ． 地 城 考点02 利用勾股定理与逆定理求解 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁本溪·期中)如图，在中，，D为上一点．若，的面积为90，则的长是（    ） A．24 B．12 C．3 D．9 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期中)如图，在中，，，，D是延长线上一点，连接，若，求的长． 3．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中)如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且． (1)求的度数； (2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，通过计算说明道路被监控到的最大范围为多少米． 4．(24-25八上·辽宁丹东多校联考·期中)在四边形中，已知，，，，且，求：四边形的面积． 5．(24-25八上·辽宁辽阳灯塔·期中)如图：四边形ABCD中, AB=BC=, , DA=1, 且AB⊥CB于B. 试求:（1）∠BAD的度数;（2）四边形ABCD的面积. 6．(24-25八上·辽宁沈阳第七中学·期中)如图，在中，，是边上的一点，，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的周长． 7．(24-25八上·辽宁沈阳铁西区·期中)如图，在中，，垂足为．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 8．(24-25八上·辽宁阜新细河区·期中)为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果.如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地.经测量，，，，且． (1)试说明：． (2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 9．(24-25八上·辽宁铁岭部分学校·期中)如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D、E，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 10．(23-24八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)如图，，，，，，求四边形的面积．    地 城 考点03 勾股数 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁锦州第八初级中学·期中)下列各组数据的三个数，是勾股数的有（    ） ①，，  ②6，8，10  ③7，24，25  ④，，  ⑤1.5，2，2.5 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(24-25八上·辽宁沈阳第一二六中学教育集团·期中)下列各组数据为勾股数的是（   ） A．9，40，41 B．9，16，2 C．，2， D．，， 3．(24-25八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中)下列各组数据为勾股数的是（   ） A．9，40，41 B．9，16，20 C． D． 4．(24-25八上·辽宁阜新细河区·期中)下列各组数据中是勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．1，2， C．4，5，7 D．5，12，13 5．(24-25八上·辽宁锦州黑山县·期中)在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A．0.3，0.4，0.5 B． C．1，2，3 D．5，12，13 6．(24-25八上·辽宁本溪·期中)下面三组数中是勾股数的一组是（    ） A．6，7，8 B．20，28，35 C．1.5，5，2.5 D．5，12，13 7．(23-24八上·辽宁抚顺清原满族自治县·期中)下列各数中，属于勾股数的是（    ） A． B．1， 2， 3 C． D．5， 12， 13 8．(23-24八上·辽宁辽阳白塔区辽阳第一中学·期中)有下列各组数：①3，4，5；②62，82，102；③0.5，1.2，1.3；④1，，．其中勾股数有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 9．(23-24八上·辽宁沈阳皇姑区第十二中学·期中)下列三个数中，能组成一组勾股数的是（　　） A．，， B．32，42，52 C．，， D．12，15，9 地 城 考点04 判断能否构成直角三角形 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳虹桥初级中学·期中)中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为，，，由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A．∠A+∠B=∠C B．∠A∶∠B∶∠C =3∶4∶5 C． D．∶∶=3∶4∶5 2．(24-25八上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团·期中)下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．1.5，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．5，13，14 3．(24-25八上·辽宁沈阳法库县·期中)下列各组数据中，能构成直角三角形的是（    ） A．，2， B．6，7，8 C．2，3，4 D．8，15，17 4．(24-25八上·辽宁阜新太平区阜新第四中学·期中)下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（   ） A．3，4，5 B．1，2， C．1，2， D．7，9，11 5．(24-25·辽宁沈阳南昌中学·期中)下列条件中，不能确定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·辽宁锦州第四中学教育集团·期中)由下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B．，， C． D． 7．(24-25八上·辽宁沈阳第七中学·期中)下列各组数中，能作为直角三角形三边的是（   ） A．，， B．2，3，4 C．，， D．3，4， 8．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期中)在中，a，b，c分别是的对边，在下列条件中，不能确定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 9．(24-25八上·辽宁丹东多校联考·期中)的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 10．(24-25八上·辽宁沈阳浑南·期中)下列各组数据中能组成直角三角形的是（　　） A．9 ，16，25 B．2，5，6 C．3，3，5 D．9，12 ，15 11．(24-25八上·辽宁阜新实验中学·期中)根据下列条件分别判断以a，b，c为三边的，不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 12．(24-25八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 13．(24-25八上·辽宁丹东东港·期中)的三边分别为a，b，c，下列条件不能使为直角三角形的是（　　） A．， B． C．，， D． 14．(24-25八上·辽宁丹东第五中学·期中)已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A． B．，， C． D．∶∶∶∶ 15．(24-25八上·辽宁沈阳大东区·期中)已知ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，则ABC的形状是（　　） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 地 城 考点05 勾股定理与无理数 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁丹东第十三中学·期中)如图，边长为1的正方形，在数轴上，点在原点，点对应的实数1，以为圆心，长为半径逆时针画弧交数轴于点，则点对应的实数是（　　） A． B． C． D． 2．(24-25八上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团·期中)如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　） A． B． C． D． 3．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期中)如图，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（　　） A． B． C． D． 4．(24-25八上·辽宁锦州第四中学教育集团·期中)如图，长方形中，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为(   ) A． B． C．2 D． 5．(24-25八上·辽宁阜新实验中学·期中)如图，正方形的面积为3，A是数轴上表示的点，以A为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 6．(24-25八上·辽宁丹东多校联考·期中)如图，在Rt△PQR中，∠PRQ＝90°，RP＝RQ，边QR在数轴上．点Q表示的数为1，点R表示的数为3，以Q为圆心，QP的长为半径画弧交数轴负半轴于点P1，则P1表示的数是(　　) A．－2 B．－2 C．1－2 D．2－1 二、填空题 7．(24-25·辽宁沈阳南昌中学·期中)如图，数轴上点A表示的数为 ． 8．(24-25八上·辽宁沈阳康平县·期中)如图，长方形的边落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，，连接，以B为圆心，为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为 ． 9．(24-25八上·辽宁本溪·期中)如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A所表示的数为 ． 10．(24-25八上·辽宁锦州太和区·期中)我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为“1”的线段作一个正方形，然后以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点”，如图线段的长度是 ．    三、解答题 11．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期中)如图甲，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，体积为． (1)这个魔方的棱长为 （用代数式表示）； (2)当魔方体积时， ①这个魔方的棱长为 ； ②图甲中阴影部分是一个正方形，则正方形的边长为 ； ③把正方形放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则点D在数轴上表示的数为 ； ④请在图乙中的数轴上准确画出表示实数的点E的位置（保留作图痕迹）． 地 城 考点06 勾股树问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁锦州黑山县·期中)如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（  ） A．20 B．30 C．40 D．50 2．(24-25八上·辽宁沈阳第七中学·期中)如图，在中，．分别以为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·辽宁锦州第八初级中学·期中)分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为(    ) A． B． C． D． 4．(24-25八上·辽宁沈阳大东区·期中)如图，字母B所代表的正方形的面积是（    ） A．144 B．194 C．12 D．169 5．(24-25八上·辽宁沈阳·期中)图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（　　） A． B． C． D． 6．(23-24八上·辽宁沈阳大东区·期中)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（    ） A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和 7．(23-24八上·辽宁大连·期中)如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．(24-25八上·辽宁丹东第十三中学·期中)如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 ．    9．(24-25八上·辽宁沈阳法库县·期中)如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A，B，C，D的面积的和是64cm2，则最大的正方形的边长为 cm． 10．(24-25八上·辽宁阜新细河区·期中)如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为 11．(24-25八上·辽宁铁岭部分学校·期中)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 12．(23-24八上·辽宁本溪·期中)如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形A的面积为 ． 三、解答题 13．(24-25八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中)探究一：如图1，P、Q、M均为正方形． （1）若图1中的为直角三角形，，正方形P的面积为3，正方形M的面积为，则正方形Q的面积为________； 探究二：图形变化： （2）如图2，为直角三角形，，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说明理由； （3）如图3，如果直角三角形两直角边长分别为5和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 地 城 考点07 勾股定理与弦图 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁锦州太和区·期中)如图是用四个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的大正方形图案．若较短直角边y为3，较长直角边x为5，则图中大正方形与小正方形面积之比为（    ）    A． B． C． D． 2．(24-25八上·辽宁凌海·期中)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为，大正方形的边长为，则中间小正方形的面积是（ ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·辽宁本溪第十二中学教育集团·期中)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则的值是（  ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中)“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则（   ） A． B．14 C．6 D．3 5．(23-24八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)如图，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若每个直角三角形的面积为，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（  ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·辽宁沈阳第七中学·期中)如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的．人们称它为“赵爽弦图”，如果图中直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图中阴影部分的面积为S，那么S的值为（    ）    A．5 B． C．25 D． 7．(23-24八上·辽宁锦州太和区·期中)“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 8．(24-25八·辽宁营口盖州·期中)“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形．如果直角三角形的两条直角边分别为，，若小正方形的面积为8，且，则大正方形的面积为 ． 9．(23-24八上·辽宁丹东凤城·期中)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是 ．    三、解答题 10．(23-24八上·辽宁锦州凌海·期中)我国数学家赵爽（又名婴，字君卿．三国时吴国人，一说魏晋人或汉人．籍贯、生卒年不详，约生活于公元3世纪初，数学家，天文学家．）为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果大正方形的面积为25，，，，且．试求小正方形的边长．    地 城 考点08 勾股定理的证明 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁锦州黑山县·期中)我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁法库县·期中)著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为)，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． 【结论探究】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点，，在同一条直线上，并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 (3)中，，，，，垂足为，请直接写出的值． 3．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期中)甲同学在拼图探索活动中发现；用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为，a，b，斜边长为c，可以拼成像图1那样的正方形，并由此得出了关于a2，b2，c2.的一个等式． （1）请你写出这一结论：　 　，并给出验证过程； （2）试用上述结论解决问题：如图2如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，求“丁”的面积． 4．(24-25八上·辽宁沈阳康平县·期中)综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 从而得到等式 化简便得结论 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者. 向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和 如图2放置，其三边长分别为a，b，c， 显然 （对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） (1)请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理 【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点， 可得， 则为 ， 边上的高为 ． (2)如图4， 在中， 是边上的高， 设 求x的值． 5．(23-24八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中)勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有余种．其中我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定理： 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么． 6．(23-24八上·辽宁锦州凌海·期中)我国数学家赵爽（又名婴，字君卿．三国时吴国人，一说魏晋人或汉人．籍贯、生卒年不详，约生活于公元3世纪初，数学家，天文学家．）为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．根据此图证明勾股定理（如图每个直角三角形斜边为c两个直角边分别为a、b）    试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$