专题03 与圆锥曲线相关的最值与范围问题4种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版2019选择性必修第一册

专题03与圆锥曲线相关的最值与范围问题 目录 类型一、距离和差最值与范围问题 类型二、圆锥曲线中三角形（或四边形）面积的最值问题 类型三、参数的最值与范围问题 类型四、与其它知识点的综合应用 压轴专练 类型一、距离和差最值与范围问题 1、利用定义求圆锥曲线上点到焦点和定点距离的和、差最值 以椭圆为例，设，分别为椭圆的两焦点，点是椭圆上任一点，点为平面内一定点. （1） 若定点在椭圆内， ①求 的最值：由 ，转化为求的最值. 有 ，当、、三点共线时取等号，则； ②求 的最值：有，当、、三点共线时取等号，则； （2）若定点在椭圆外，分析过程同（1）. 2. 圆锥曲线上一点与其它点的距离（或到直线的距离） （1）设圆锥曲线上点的参数式坐标（如椭圆上一点代入到两点间的距离公式（或点到直线的距离公式），得到参数的函数. （2）结合图形的几何性质，分析最值位置. 例1．已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 变式1-1．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 变式1-2．设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是 ． 变式1-3．已知P是双曲线C：右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，过点P作与l夹角为的直线，该直线交l于点A，是双曲线C的左焦点，则的最小值为 ． 类型二、圆锥曲线中三角形（或四边形）面积的最值问题 1.圆锥曲线中三角形面积的计算公式 以椭圆为例，，分别为椭圆的左右焦点，点（除长轴两端点外）是椭圆上任一点，直线与椭圆相交与、两点，,与轴相交于点 （1）焦点三角形面积 （2） （为点到直线的距离） （3）（为坐标原点） 2.圆锥曲线中四边形面积往往可以转化为两个三角形的面积之和进行计算. 【补充】直线与圆锥曲线的相交的弦长公式： ①弦长 ②弦长 （这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：；） 例2、已知椭圆，为椭圆的左焦点，过点的直线分别交椭圆于点和，且，是否存在实常数，使得恒成立？若存在，求四边形面积的最小值和最大值；若不存在，请说明理由． 变式2-1．已知椭圆的长轴长为且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)不经过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积最大时直线l的方程． 变式2-2．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.点在的右支上，当轴时，. (1)求的方程; (2)若直线与的右支的另一个交点为，求面积的最小值. 变式2-3．已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. (1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离； (2)若，求直线的方程； (3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 类型三、参数的最值与范围问题 1.求参数的最值问题常用的两种方法： （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决； （2）代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等. 2.求参数的范围问题常见的几种思路： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，从而确定参数的取值范围． 例3．已知点，椭圆上的两点满足，则实数的取值范围是 . 变式3-1椭圆C：的左右焦点分别为，直线y＝kx（k＞0）与C相交于M，N两点，若四点共圆（其中M在第一象限），且直线倾斜角不小于，则椭圆C的长轴长的取值范围是 . 变式3-2．设双曲线的左焦点为，右顶点为.若在双曲线上，有且只有个不同的点使得成立，则实数的取值范围是 . 变式3-3．直线与抛物线：相交于两点，若在轴上存在点使得，则的最小值为 . 变式3-4．已知斜率为的直线与抛物线交于轴上方不同的两点、，记直线、的斜率分别为、，则的取值范围是 . 类型四、与其它知识点的综合应用 1、坐标或截距的最值与范围问题 2、斜率或倾斜角的最值与范围问题 3、向量的最值与范围问题等 例4．的最大值为 . 变式4-1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点满足．若点是椭圆上的动点，则的最大值为 ． 变式4-2．已知、两点是双曲线的左、右顶点，点是的右焦点，点是过点且与实轴垂直的直线上的动点，则的最小值为 . 变式4-3．已知抛物线，直线l过C的焦点F且与C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆与y轴交于M，N两点且圆心为G，则的最小值是 . 变式4-4．抛物线的准线与对称轴交于点，过点作直线交抛物线于，两点，点在抛物线对称轴上，且，则的取值范围为 . 压轴专练 1．已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 2．已知椭圆的左焦点为，点为上一点，若，则的最大值为 ． 3．设椭圆的左焦点为，点在上，则的最小值为 ，最大值为 ． 4．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为右支上一动点，Q(1，4)，则＋的最小值为 ． 5．设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 6．为椭圆上一点，为长轴所在直线上一定点，若取最小值时，点恰在椭圆长轴端点处，则的取值范围是 ． 7．已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为 ． 8．如图所示，是双曲线右支（在第一象限内）上的任意一点，分别是左右顶点，是坐标原点，直线，的斜率分别为，则斜率之积的取值范围是 ． 9．已知椭圆的离心率为，上顶点为. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，点在第二象限，点在轴的下方，直线分别与轴交于点. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求四边形面积的最大值. 10．已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 11．已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 12．已知，且，点P的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)直线l：与C相交于M，N两点，第一象限上点T在轨迹C上． （ⅰ）若是等边三角形，求实数k的值； （ⅱ）若，求面积的取值范围． 13．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，且过点． (1)求双曲线E的标准方程； (2)设过原点O的直线在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03与圆锥曲线相关的最值与范围问题 目录 类型一、距离和差最值与范围问题 类型二、圆锥曲线中三角形（或四边形）面积的最值问题 类型三、参数的最值与范围问题 类型四、与其它知识点的综合应用 压轴专练 类型一、距离和差最值与范围问题 1、利用定义求圆锥曲线上点到焦点和定点距离的和、差最值 以椭圆为例，设，分别为椭圆的两焦点，点是椭圆上任一点，点为平面内一定点. （1） 若定点在椭圆内， ①求 的最值：由 ，转化为求的最值. 有 ，当、、三点共线时取等号，则； ②求 的最值：有，当、、三点共线时取等号，则； （2）若定点在椭圆外，分析过程同（1）. 2. 圆锥曲线上一点与其它点的距离（或到直线的距离） （1）设圆锥曲线上点的参数式坐标（如椭圆上一点代入到两点间的距离公式（或点到直线的距离公式），得到参数的函数. （2）结合图形的几何性质，分析最值位置. 例1．已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据双曲线定义有，则，，，则得到最小值. 【详解】因为双曲线的焦点为, 圆的圆心,恰好为双曲线的左焦点, ， (当且仅当三点共线时取等号)， (当且仅当,,三点共线时取等号), ， 的最小值为. 故答案为：. 变式1-1．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程得到，然后借助定义转化为求的最小值和的最大值，即可得解． 【详解】设右焦点为，椭圆中，，则，所以焦点坐标分别为，，由椭圆的定义得． 将点的坐标代入椭圆方程得，所以点在椭圆外，连接，如图所示． ， 将代换为，转移到中， 连接，因为， 所以，当且仅当点为线段与椭圆的交点（点）时，取等号， 所以的最小值为． 因为，当点为线段的延长线与椭圆的交点时， 取得最大值，故的最大值为． 故答案为：；． 变式1-2．设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令椭圆的左焦点为，利用椭圆的定义可求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围，即可求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】令椭圆的左焦点为，则， 由椭圆的定义知，则， 设直线交椭圆于、两点（如图）， 而，即， 当且仅当点、、共线时取等号. 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以，即，经检验，此时点在内， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 变式1-3．已知P是双曲线C：右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，过点P作与l夹角为的直线，该直线交l于点A，是双曲线C的左焦点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】结合题意画出图形，将转化为求到渐近线的距离加上，计算即可. 【详解】设右焦点为，如图：连接，过点做于点， 结合题意：为直角三角形，且，所以， 因为到渐近线的距离为， 结合双曲线的定义可得：. 故答案为：. 类型二、圆锥曲线中三角形（或四边形）面积的最值问题 1.圆锥曲线中三角形面积的计算公式 以椭圆为例，，分别为椭圆的左右焦点，点（除长轴两端点外）是椭圆上任一点，直线与椭圆相交与、两点，,与轴相交于点 （1）焦点三角形面积 （2） （为点到直线的距离） （3）（为坐标原点） 2.圆锥曲线中四边形面积往往可以转化为两个三角形的面积之和进行计算. 【补充】直线与圆锥曲线的相交的弦长公式： ①弦长 ②弦长 （这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：；） 例2、已知椭圆，为椭圆的左焦点，过点的直线分别交椭圆于点和，且，是否存在实常数，使得恒成立？若存在，求四边形面积的最小值和最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，最大值为6，最小值为. 【分析】假设存在实常数，使得恒成立，则.对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线或的斜率不存在时，可求进而得及，②当直线的斜率都存在时，设 联立直线与椭圆的方程，求出线段，再由得出线段，根据题意可求得，得出结论；并得到，令，则，，通过换元得到，从而得解. 【详解】由得，∴，， 假设存在，使得恒成立，则. ①当轴时，， 由，得． 当轴时，， 由，得， ②当都不与轴垂直时，如图 设，设， 联立消去，得， 则， 所以 从而， 直线的斜率为，，． 所以，得． 综上，存在常数，使得成立． 当轴或轴时， ； 当都不与轴垂直时， 令，则，， , 综上可得, 故的最大值为6，最小值为. 变式2-1．已知椭圆的长轴长为且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)不经过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积最大时直线l的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据条件列出关于的方程求解即可； （2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出面积的表达式，利用基本不等式求出最大值，进而得出答案. 【详解】（1）由已知，即． 又由可得，所以， 则椭圆C的方程为． （2）由题直线l与椭圆C有两个交点A和B，设，． 联立，得，即， ∴且，． 由直线l不过原点可得且． 利用弦长公式 ， 且点O到直线l的距离． ∴ ， 当且仅当，即，此时直线． 变式2-2．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.点在的右支上，当轴时，. (1)求的方程; (2)若直线与的右支的另一个交点为，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）根据题意得，代入方程即可求解； （2）设直线方程为，与双曲线联立得，由韦达定理有，代入即得，令，得，设，利用单调性即可求解. 【详解】（1）由题知 ， 又 轴时，有代入方程解得，， 则双曲线的方程为： ； （2）设直线方程为， ，消去得， 则， 所以， ， 因为， 令，则， 得 设，则该函数在上单调递减，则， 故，，即面积的最小值为12. 变式2-3．已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. (1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离； (2)若，求直线的方程； (3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）由题意，求出点的坐标和渐近线方程，根据点到直线的距离公式计算即可求解； （2）易知直线不与x轴重合，设其方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理表示，结合计算求得即可； （3）如图，由（2），利用弦长公式求出，利用平行线之间的距离公式求出平行线与之间的距离，进而表示，结合换元法计算即可求解. 【详解】（1）由题，右焦点，渐近线方程为， 因此焦点到渐近线的距离为. （2）显然，直线不与x轴重合，设直线方程为， 由，得， 由，得， 其中，恒成立， ，， 代入，消元得，， 即，解得， 所以，直线的方程为. （3）延长交双曲线于点P，延长交双曲线于点Q.则由对称性得， 四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍. 由题，设，直线程为，直线方程， 由第（2）问，易得， 因为，得，因而， 平行线与之间的距离为， 因此，. 令，则， 得在上是严格增函数， 故（等号当且仅当时成立）， 所以，四边形面积的取值范围为. 类型三、参数的最值与范围问题 1.求参数的最值问题常用的两种方法： （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决； （2）代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等. 2.求参数的范围问题常见的几种思路： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，从而确定参数的取值范围． 例3．已知点，椭圆上的两点满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，由及点差法可得，结合点在椭圆上可得，由求解即可. 【详解】由题意知，，，故点在椭圆内，、、三点共线，如图所示， 设，则， 由，可得，解得. 又， 可得，即，⑤ 将①②代入⑤可得，⑥ 联立①⑥，即，解得， 将点带入椭圆方程可得，整理得， 由可得，解得， 又，所以，故实数的取值范围是. 故答案为：. 变式3-1椭圆C：的左右焦点分别为，直线y＝kx（k＞0）与C相交于M，N两点，若四点共圆（其中M在第一象限），且直线倾斜角不小于，则椭圆C的长轴长的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求得，由椭圆的中心对称性和圆的性质得到以为直径的圆与椭圆有公共点，得到，再利用直线倾斜角，结合椭圆的定义，得到关于的不等式，求解即可得到答案. 【详解】设椭圆的半焦距为，由椭圆的中心对称性和，，，四点共圆， 则四边形为矩形， 所以以为直径的圆与椭圆有公共点， 则， 所以，又由题意，即， 故，即 因为直线倾斜角不小于， 所以直线的倾斜角不小于， 则，化简可得， 因为， 所以，则， 又，所以，故，解得，所以， 综上. 故答案为：. 变式3-2．设双曲线的左焦点为，右顶点为.若在双曲线上，有且只有个不同的点使得成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设出的坐标，求出双曲线的左焦点，右顶点的坐标，利用推出的表达式并转化为圆的方程，通过分析圆和双曲线的位置关系，列出关于的不等式，即可求解的取值范围. 【详解】设，在双曲线上，，， 双曲线方程为的左焦点为，右顶点为. ，， ，， ，表示以为圆心，以为半径的圆. 由题意可知：在双曲线上有且只有个不同的点使得成立， 即圆与双曲线有个交点，如图： 点到点间的距离大于半径，且点到双曲线左顶点点间的距离小于半径， ，，. 实数的取值范围是: 故答案为：. 变式3-3．直线与抛物线：相交于两点，若在轴上存在点使得，则的最小值为 . 【答案】 【分析】联立直线与抛物线方程，引入参数，结合韦达定理以及可得关于应该满足的条件式，结合基本不等式即可求解. 【详解】联立方程得， 令，而由题意，所以. 设，由韦达定理得. 设，则， ， 即，显然，否则，但这是不可能的， 即， 因为，所以（否则时，有，但这与已知矛盾）， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 变式3-4．已知斜率为的直线与抛物线交于轴上方不同的两点、，记直线、的斜率分别为、，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用直线的斜率公式可得出，得出与代数式相乘，结合基本不等式可求得的取值范围. 【详解】设点、，由题意可知，且， 所以，，则， 所以， ， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 类型四、与其它知识点的综合应用 1、坐标或截距的最值与范围问题 2、斜率或倾斜角的最值与范围问题 3、向量的最值与范围问题等 例4．的最大值为 . 【答案】25 【分析】将等式转化为点到点的距离问题，然后再得到两动点的轨迹，找到两点之间的最大距离即可. 【详解】设. 则在椭圆上，在圆上. . 设是上一点， ， ∵，∴，即， ∴当共线的时，取最大值，此时最大，最大值为5， ∴. 变式4-1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点满足．若点是椭圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由已知可得点A，，的坐标，再利用数量积运算法则和点P的纵坐标的取值范围即可得出最大值． 【详解】由椭圆C：可得：，，，． ，由对称性，不妨令． 设，则又， ， 的最大值为． 故答案为：. 变式4-2．已知、两点是双曲线的左、右顶点，点是的右焦点，点是过点且与实轴垂直的直线上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】分两种情况讨论，①当点与点重合时，直接求出的值；②当点不与点重合时，不妨设点为第一象限内的一点，设点，利用两角差的正切公式结合基本不等式可求得的取值范围，可求得的取值范围，再结合余弦函数的单调性可求得的最小值. 【详解】当点与点重合时，，此时，， 当点不与点重合时，不妨设点为第一象限内的一点，如下图所示： 在双曲线中，，，， 设点，则，， 所以， ，当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，此时，为锐角，则， 所以，，即的最小值为. 故答案为：. 变式4-3．已知抛物线，直线l过C的焦点F且与C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆与y轴交于M，N两点且圆心为G，则的最小值是 . 【答案】 【分析】作出辅助线，由抛物线的性质，二倍角公式和垂径定理得到，结合即可求解. 【详解】显然直线l的方程斜率不为0，因为焦点， 所以设直线l的方程为，联立得， 故，故， 所以， 显然G为的中点，过G作y轴的垂线，垂足为H，则H是的中点， 设，则， ， ， 而，当且仅当，轴时取等号，则， 所以当时，. 故答案为： 变式4-4．抛物线的准线与对称轴交于点，过点作直线交抛物线于，两点，点在抛物线对称轴上，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设直线方程为，，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，同时由得的范围，从而可求得中点（设中点为）坐标，由可得，同时设，由直线垂直可得，最后可得的范围． 【详解】抛物线标准方程是，所以焦点为，准线方程为，， 设直线方程为，， 由得，所以，， 所以， 设的中点为，则，， ，由得，即， 设，则，， 因为，所以，即点纵坐标取值范围是． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，解题关键是由向量的数量积得出的中点与点连线与直线垂直，由此得出点纵坐标与参数的关系，从而得出结论． 压轴专练 1．已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 【答案】B 【分析】先由已知条件得双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用圆的几何性质和双曲线的定义即可求的最大值. 【详解】 由，得，，则， 则双曲线的两个焦点，， 又，分别是两个圆的圆心，两圆的半径， 所以，， 则 ， 即的最大值为． 故选：B. 2．已知椭圆的左焦点为，点为上一点，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用椭圆的定义，结合图形判断三点共线时，求得所求式的最大值. 【详解】由题可得，，则，故，设右焦点为，则， ，由椭圆的定义可得，则， 易得点在椭圆外，所以， 当且仅当三点共线且点在线段上时等号成立，所以的最大值为． 故答案为：. 3．设椭圆的左焦点为，点在上，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 15 23 【分析】求出椭圆的长轴长及左、右焦点坐标，再结合椭圆定义及线段和差大小关系求出最值. 【详解】椭圆长轴长为10，左焦点，令右焦点为，点在椭圆外， 因此，当且仅当为线段与椭圆交点时取等号； ， 当且仅当为线段的延长线与椭圆交点时取等号， 所以的最小值为15，最大值为23. 故答案为：15；23    4．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为右支上一动点，Q(1，4)，则＋的最小值为 ． 【答案】 【分析】由双曲线定义可知，当三点共线时，即可. 【详解】 因为点P在双曲线的右支上，所以， 所以，连接， 又，，所以， 当且仅当点在线段上时取“＝”， 故的最小值为． 故答案为：. 5．设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】根据给定条件，求出圆心及半径，利用圆的性质及双曲线定义求出最大值. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点， ，， 要取最大值，点必在双曲线左支上， 所以. 故答案为： 6．为椭圆上一点，为长轴所在直线上一定点，若取最小值时，点恰在椭圆长轴端点处，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，，则，利用二次函数取最值的条件求解即可. 【详解】由点为椭圆上一点，可设， 则， 令，则， 又点恰在椭圆长轴端点处时，取最小值，即要使最小值在处取得， 故二次函数的对称轴不能在区间内，即或. 故答案为： 7．已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为 ． 【答案】/1.25 【分析】设直线的方程，代入椭圆方程，由由与的面积之比为，可得，根据椭圆的离心率公式及韦达定理即可求得，利用三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得面积的最大值. 【详解】设椭圆的方程，直线的方程为， 由，消去得， 由椭圆的离心率，得， 则，即， 于是，由与的面积之比为，得， 则，面积 ， 当且仅当，即时取等号，所以的面积的最大值为. 故答案为： 8．如图所示，是双曲线右支（在第一象限内）上的任意一点，分别是左右顶点，是坐标原点，直线，的斜率分别为，则斜率之积的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由点在双曲线上得到点满足的方程，再由两点间直线的斜率分别表示出，由双曲线渐近线的斜率得到的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】设，因为点在双曲线上，所以， 因为，所以，所以， 因为双曲线的渐近线方程为，是双曲线上第一象限内的一点，所以， 所以． 故答案为：. 9．已知椭圆的离心率为，上顶点为. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，点在第二象限，点在轴的下方，直线分别与轴交于点. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求四边形面积的最大值. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据已知条件结合可求得，即得答案； （2）（ⅰ）设直线的方程并联立椭圆方程，利用韦达定理化简后可得故的中垂线过即；（ⅱ）利用韦达定理化简，由基本不等式可求最大值. 【详解】（1）由已知，，结合，∴，， 故椭圆的方程为. （2） （ⅰ）由过点的直线与椭圆交于不同的两点， 可知直线的斜率一定存在且不为零， 设直线的方程为，即，设，， 联立方程组，可得， ，即， 又， 又，同理， 故 ， 所以中点的横坐标为，故的中垂线过，则. （ⅱ）故 ， 当且仅当即时，等号成立， 故四边形面积的最大值为4. 10．已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用双曲线的定义和之间的关系即可求出轨迹方程； （2）当时，符合题意，时，设是轨迹上关于对称的两点，设直线方程为，中点为，根据该中点在直线上以及在直线上，可得①式，联立直线与双曲线，结合韦达定理以及根的判别式，可得②③式，三个式子联立即得相关的不等式，求解即可. 【详解】（1）由题知，点到两定点之间距离之差的绝对值为， 所以动点的轨迹为以为焦点的双曲线， 其中焦距，实轴长， 所以， 所以动点的轨迹方程为. （2）当时，直线，符合题意； 当时，设是轨迹上关于对称的两点， 则，设直线方程为，中点为， 则，又， 可得，① 联立，可得， 则该方程必有两个不同的根， 即， 可得，② 又，，③ 联立①③，可得，， 代入②，解得， 解得或，所以或或， 综上，的取值范围为. 11．已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程与的关系即可得双曲线的方程； （2）根据直线与双曲线交点坐标关系，结合三角形几何性质以及可得的关系，从而可得实数的取值范围. 【详解】（1）渐近线方程为. 又， 双曲线的方程为. （2）直线与双曲线交于不同的两点， 由 ，得， ，且 ， ，且. 设，则， ， 线段的中点坐标为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 又在由点与构成的三角形中，， 点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上， ， 又， 且，解得，或， 实数的取值范围是. 12．已知，且，点P的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)直线l：与C相交于M，N两点，第一象限上点T在轨迹C上． （ⅰ）若是等边三角形，求实数k的值； （ⅱ）若，求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】 （1）根据双曲线的定义即可求解； （2）（ⅰ）由直线分别与双曲线联立，得到的横坐标，进而求得，，再根据为等边三角形，得到即可求解； （ⅱ）根据，再利用换元法求得的取值范围即可． 【详解】（1） 根据双曲线的定义，可得C是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线， 设其方程为，则，可得， 故C的方程为； （2） （ⅰ）由题意知是等边三角形，点T在第一象限， 显然，直线的斜率均存在且不为0，设直线的斜率分别为， 如下图所示： 则直线MN的方程为，直线OT的方程为， 设，则由，得， 可得，所以，且， ， 同理可得：，且， 若为等边三角形，则， 即，可得； （ⅱ）若，则， ， 设，，故， 设，则，可得， 易知在上单调递增，上单调递减， ，∴， 即的面积的取值范围为． 13．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，且过点． (1)求双曲线E的标准方程； (2)设过原点O的直线在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值． 【答案】(1)； (2)24． 【分析】（1）利用双曲线的标准方程与性质即可求解. （2）通过直线与双曲线的位置关系，利用韦达定理，代入，求解双曲线中的最值问题． 【详解】（1）由双曲线E的离心率为2，得 ①． 因为双曲线E过点，所以 ②． 又③， 联立①②③式，解得，． 故双曲线E的标准方程为． （2）由双曲线的对称性，知四边形ABCD为平行四边形，所以． 由题意知直线AD的斜率不为零，设AD的方程为． 联立消去x，得． ，设，，则，． 因为A，D均在双曲线右支，所以 所以解得． 所以， ． 令，则． 所以． 令函数，易得在区间上单调递减， 所以当时，． 所以四边形ABCD面积的最小值为24． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$