专题04 圆锥曲线中的定点定值定直线问题3种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版2019选择性必修第一册

专题04 圆锥曲线中的定点定值定直线问题 目录 类型一、圆锥曲线中过定点问题 类型二、圆锥曲线中的定值问题 类型三、圆锥曲线中的定直线问题 压轴专练 类型一、圆锥曲线中过定点问题 1、定点问题的求解思路： （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 2、过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将用表示为得 故动直线过定点；若动直线斜率不为0，可设方程为. （2）动曲线过定点问题 解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 例1．已知椭圆的一个焦点为，其短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点的直线与椭圆交于不同的两点. （i）当直线的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线分别与椭圆交于点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由题意可得，即可得到椭圆的标准方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程即可得到坐标，再结合椭圆的性质即可得到三角形的周长；（ii）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，然后分别联立直线与椭圆方程，表示出的纵坐标，再由代入计算，即可得到的关系，即可得到结果. 【详解】（1）依题意可得，则，因为焦点，则， 所以椭圆方程为. （2）（i）当直线的斜率为时，则直线方程为， 与椭圆方程联立，解得， 不妨设点，， 则， 设椭圆的左焦点为， 由椭圆的性质可得， 所以的周长为， 又， 所以的周长为， 所以当直线的斜率为1时，求的周长为. （ii）依题意可设直线， 与椭圆方程联立可得，整理可得， 设， 则， 设直线，与椭圆方程联立可得， 整理可得， 设， 则， 又，所以， 同理可得， 由题意与关于原点对称，所以， 即， 整理可得， 即， ， 将代入上式可得， 又不恒为，故， 所以直线恒过点. 变式1-1．已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由． 【答案】(1) (2)过定点 【分析】（1）根据椭圆顶点坐标以及离心率列方程求解即可； （2）分情况讨论直线斜率是否存在并设出直线的方程并于椭圆方程联立，利用韦达定理并根据斜率之间的关系列方程计算得出或，可求出直线过定点. 【详解】（1）由顶点为可知， 又离心率为，即，可得， 因此， 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线：，，如下图所示： 联立，整理可得， 显然，即，可得； 且， 则直线与直线的斜率分别为； 即可得 ， 所以可得，所以； 解得或； 当时，直线为，此时直线恒过点， 当时直线为，恒过，与点重合，不合题意； 当直线的斜率不存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程可得， 不妨取， 则， 解得，即直线为，恒过点， 当时，直线过点，不合题意； 综上可知，直线过定点. 变式1-2．已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设斜率为且不经过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，，若，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线上的点及离心率求得，即可求解； （2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，韦达定理，根据斜率关系并化简得，即可判断定点. 【详解】（1）因为点在双曲线上，所以， 由离心率为可得，解得， 所以的方程为． （2）如图，设直线的方程为，， 联立得， 由题意可得，且， 化简得， 由韦达定理得． 因为， 所以， 整理得， 即， 化简得，因为直线不经过点，所以， 此处需要排除当直线经过点时满足的参数关系． 所以，即，满足， 所以直线的方程为，即直线过定点． 变式1-3．已知抛物线的焦点为为坐标原点，上存在点到和的距离都等于． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于点，直线与相交于另一点，直线与相交于另一点． （i）求证：； （ii）求证：直线经过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）结合题意先判断在的中垂线上，再利用两点间距离公式建立方程求出，进而得到，最后求出抛物线方程即可. （2）（i）联立方程组求出和，再结合平面向量的数量积得到即可. （ii）利用三点共线求出，同理得到，再结合和建立方程，得到，进而确定定点即可. 【详解】（1）如图，作出符合题意的图形，    由题意得，则， 而，可得在的中垂线上，故设点的坐标为， 由两点间距离公式得，解得， 而点在上，则，即，解得， 故抛物线的方程为． （2）（i）如图，设直线的方程为，并记点，    联立方程组，消去得，易知， 则，， 而，则， 可知，即． （ii）由题意，点，设直线的方程为， 并记点， 联立方程组，消去得，则， 由三点共线，可得， 得到，将代入化简， 得， 所以，而，可知，同理可得， 则，解得， 故直线的方程为，过定点． 类型二、圆锥曲线中的定值问题 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用， 【一般策略】 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 ②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值 例2、在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 为垂足． (1)当点 在圆上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程． (当点 经过圆与 轴的交点时，规定点 与点 重合) (2)根据（1）中所得的点 的轨迹方程，若直线 与点 的轨迹相交于 ， 两点，且 ，试判断的面积是否为定值． 若是，求出该定值；若不是， 请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为定值且定值为1，理由见解析. 【分析】（1）设，则，根据在圆上可得的轨迹方程； （2）设，则可用两点坐标表示的面积，再联立直线方程和椭圆方程后用斜率表示坐标，进而表示面积，化简后可得定值. 【详解】（1）设，则，由题设可知， 而在圆上，故即. （2）因为，故均存在且不为零， 故直线，直线，设，    由椭圆的对称性，不妨设在第一象限，在第四象限，故. 又，故， 由可得， 同理，而， 故，故. 故的面积为定值且定值为1. 变式2-1．已知椭圆的两个焦点是，且过点的直线与交于，两点，若的周长为8，的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，设点关于轴的对称点为，是椭圆上一点，直线和与轴分别交于点（不重合），为原点，证明为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）已知条件中涉及椭圆的两个特殊三角形计算得参数可得椭圆方程; （2）设，求出和的方程，得到的表达式，计算，因为在椭圆上，利用椭圆方程化简即可. 【详解】（1）由周长为，则．周长为，则，所以， 故椭圆的方程是．    （2）由于点关于轴的对称点为，则． 设，则有，，． 直线的方程为，令，可得，所以． 直线的方程为，令，可得，所以． 所以，所以为定值． 变式2-2．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线与双曲线交于点，其中点在第二象限． ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为，设直线的斜率分别为，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据点在双曲线上结合离心率计算得出，即可得出双曲线方程； （2）①联立直线和双曲线方程得出韦达定理即可得出弦长；②应用斜率公式结合韦达定理计算求出定值. 【详解】（1）因为点在双曲线上，所以． 离心率为，解得． 故双曲线的标准方程为． （2）①设． 联立得，则． 故． ②． 由题意得点都在双曲线的左支上，且点在第二象限，所以， 则． 故． 变式2-3．已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②为定值，理由见解析 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程计算可得； （2）①设出直线方程，联立抛物线方程消元，利用判别式，结合题意求解即可；②设出直线的方程，联立抛物线方程消元，利用坐标表示出直线，方程，进而可得、的坐标，表示出，利用韦达定理进行化简即可得解. 【详解】（1）因为抛物线过点， 所以，从而，故抛物线的方程为． （2）①由题意知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为， 由得， 依题意，解得且． 又直线与轴相交，故直线不过点，从而， 所以直线斜率的取值范围为． ②为定值2．理由如下： 设，直线． 联立直线与抛物线的方程，可得， 根据韦达定理有．则, 故， 直线的方程为， 令，则，同理可得． 由得,得 同理， 则, 所以为定值，定值为2． 类型三、圆锥曲线中的定直线问题 1、 在圆锥曲线中，定直线问题指的是：在曲线或相关点、线满足某些动态条件（如点在曲线上运动、直线绕定点转动等）时，始终存在一条固定不变的直线，使得动态元素（如交点、轨迹、垂足等）始终在这条直线上，这条直线就被称为“定直线”. 2、圆锥曲线中的定直线问题的常见类型及解题策略： ①联立方程消去参； ②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标 ③将横纵坐标分别用参数表示，再消参 ④设点，对方程变形解得定直线 例3．已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程． (2)设过点且与轴不重合的直线交曲线于E，F两点． ①过点作与直线垂直的直线交曲线于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值； ②设曲线与轴交于P，Q两点，直线PE与直线QF相交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)①7 ；②证明见解析 【分析】（1）根据两点间距离公式列方程，化简可得结论． （2）①根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式可计算｜EF｜，｜GH｜，即可根据面积公式得表达式，结合基本不等式即可求解最值．②联立直线与圆的方程得根与系数的关系，由圆的方程得P，Q的坐标，即可根据点斜式求解直线PE，QF的方程，联立两直线方程即可求解定直线，从而得证． 【详解】（1）设动点的坐标为，因为，且， 所以， 整理得，即， 所以动点的轨迹的方程为． （2）①如图，因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为， 即，则直线GH的方程为． 由（1）知轨迹为圆，圆的半径为， 设圆的圆心到直线和直线GH的距离分别为， 则， 所以， 所以． 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立． 综上所述，四边形EGFH面积的最大值为7． ②设，联立得， 则． 因为曲线与轴交于P，Q两点，所以不妨取（如图）， 则直线PE的方程为， 直线QF的方程为． 联立两直线方程得， 所以在定直线上，得证． 变式3-1．已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，且． (1)求的方程； (2)设过点的直线与交于，两点（不与，两点重合）． （i）若的面积为，求的方程； （ii）若直线与直线交于点，证明：在一条定直线上． 【答案】(1)； (2)（i）或；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据可求出的值，即可得出椭圆方程； （2）（i）根据题意设直线，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理计算的面积可解得的值，即可得直线方程； （ii）分别写出直线与直线的方程，联立方程组，利用韦达定理化简可得，由此可证明交点在定直线上. 【详解】（1）由题意，，即，解得，则， 所以，椭圆的方程为. （2） 由题意，直线不与轴重合，且过点，设直线， 联立，可得， 则， 设，则. （i）因为，所以， 则，即， 整理可得，即， 解得或（舍去），所以，， 所以直线的方程为,即或. （ii）由题意，， 所以直线，直线， 联立两直线方程，消去可得，即， 整理得，即， ， 即，解得， 所以，直线与直线的交点在定直线上. 变式3-2．已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题中所给数据求解即可； （2）设直线方程为：，，，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理可得，求出点坐标，直线方程，再联立直线和直线方程，求出交点坐标即可得证. 【详解】（1）由题意，，， 所以， 所以C的方程为． （2）证明：由题意，直线的斜率存在， 设直线方程为：，，．    联立，消去，得， 由于，同号，所以，， ， 所以， 联立，解得， 所以， 所以直线的方程为，即， 联立，解得， 所以直线与直线的交点在定直线上． 变式3-3．已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知是上一点，且的焦点为的重心，设的横坐标为，求的取值范围； (3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）代入点的坐标，即可求解抛物线方程； （2）首先设点，，，再根据点在抛物线上以及重心坐标公式，转化为，再结合基本不等式即可求解； （3）首先利用导数求切线和的斜率，并表示切点坐标的关系，以及利用坐标表示直线和直线的方程，并联立求交点的坐标，即可证明. 【详解】（1）设抛物线方程为，代入点，得，得， 所以抛物线的标准方程为； （2）设，，， 则重心坐标公式可知，，， 得，， 且，，， 所以，且， 所以，得且， 综上可知，的取值范围是； （3）直线的斜率，直线的方程为， 设，，， 两边求导，，得， 设，， 抛物线在点处的切线方程为，即， 因为切线过点，即， 整理得， 同理，抛物线在点处的切线方程为， 所以是方程的两个根，则，， 切线，令，得，得，同理， 直线的方程为，即， 同理，直线的方程为， 设直线与直线的交点为， 联立直线与直线的方程为， ，得， 且，代入上式化简为，① 代回直线得，， 得 即，② 由①②可得， 所以直线与直线的交点在定直线上上. 压轴专练 1．已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，且过点，过原点的直线与交于两点. (1)求的方程； (2)若点在第一象限，过点作直线的垂线，垂足分别为，求证：； (3)若点关于轴的对称点为，点的坐标为（4，0），直线交于点，探究：直线是否过定点，若是，请求出定点，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是， 【分析】（1）由题意可得和关系式，求解可得椭圆方程； （2）法一：设，则，由，可得，可求得范围；法二：设，则，求得直线的方程，求得，求得，进而可求得范围； （3）设，设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得，利用直线的方程，可求定点坐标. 【详解】（1）由题意得，，解得， 故椭圆C的方程为； （2）法一：设，则， 因为分别为椭圆的左、右焦点，所以， 则， 所以. 因为， 所以，即. 法二：设，则， 易得直线的方程为， 即， 则. 同理可得，直线的方程为，即， 则. 所以. 因为，且在上单调递减， 所以，即. （3）设，则， 由题意得，直线斜率不为0，故设直线的方程为. 联立，消去，整理得， 由，得， 则. 直线的方程为， 由对称性令，得 所以直线过定点，且定点坐标为. 2．已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点， ①若 ，且不过坐标原点，求三角形面积的最大值，并写出求得此最大值时的值 ②点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)①，；②证明见解析 【分析】（1）由题可得，据此可求得椭圆方程； （2）①由弦长公式及三角形面积公式确定三角形面积，再结合二次函数求最值即可；②将直线方程与椭圆方程联立，后由韦达定理结合，可得m与k的关系即可得直线恒过的定点. 【详解】（1）由题知，，，， 由的面积为，得， 又，代入可得，， ∴椭圆的方程为. （2）①设坐标原点到直线的距离为， 联立， 得， 可得， 设，， 则， 所以此时 当，即时， 三角形面积有最大值 ②联立得， 设，，可得，， 由题知， 即， 即，解得， ∴直线的方程为，故直线恒过定点. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，，点在椭圆上，满足直线的斜率之积为，且面积的最大值为2． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，同时与直线交于点，假设，，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)为定值，定值为0． 【分析】（1）由斜率关系求得的关系，根据面积的最大值为，得到，结合，求得，即可求得椭圆的方程； （2）设过点的直线为，联立方程组得到，再联立两直线，求得，根据，，求得，进而结合韦达定理，化简得到，即可得到结论. 【详解】（1）设，由已知，得． 又点在椭圆上，所以，则，所以，即． 因为，所以．又由面积的最大值为2，可得， 即，解得．故椭圆的方程为． （2）    由，可得点四点共线， 设过点的直线斜率存在时，直线方程为，即， 联立方程组，整理得． 设，则，， 联立方程组，可得，即． 因为，可得， 所以， 则 ． 当直线斜率不存在时，直线方程为， 求得 可得， 所以为定值，定值为0． 4．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率得到，将代入椭圆方程，待定系数法求出椭圆方程； （2）设直线AB的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据点B，P，D共线，得到方程，求出，得到，，而，所以，可得，而，故，又，所以，得到答案. 【详解】（1）由，得，则，所以， 将点代入椭圆方程，得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）易知直线AB斜率存在，设直线AB的方程为， 并设点，AD的中点坐标设为． 联立方程，消去y，得， 所以，且即或, 由条件，，点B，P，D共线，其中，， 则， 所以， ， ， ， 而， 所以，可得， 而，故， 又，所以， 即线段AD的中点在定直线上． 5．已知双曲线的渐近线为，双曲线的左顶点为，直线与双曲线C相交于A，B（异于点P）两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若的中点为，求直线l的方程； (3)若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点，定点坐标为． 【分析】（1）根据给定条件，求出渐近线方程，进而求出即可. （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式求解. （3）利用韦达定理及数量积的坐标表示求出的关系即可得解. 【详解】（1）双曲线的渐近线为，依题意，， 而双曲线C的左顶点为，则， 所以双曲线的方程为． （2）由（1）知，双曲线的方程为，设， 由消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. （3）由（2）知，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为.    6．已知双曲线为双曲线的左焦点，过点的直线交双曲线于两点，分别为双曲线的左、右顶点，动点满足，，动点满足，，试探究是否为定值． 【答案】是 【分析】设．直线与双曲线联立方程组消元化简得到．结合题中条件化简得点的横坐标，设，，结合点和点在同一条直线上，得直线方程两式相乘计算得，计算，可得结果. 【详解】如图，由题知，， 设． 因为与双曲线相交， 所以．整理得， 解得,, 因为动点满足，，可得 , 消去得, 根据上等式（消去），得 化简为 结合可得 化简可得 代入，得 同理动点满足，，可知 所以，， 已知点在同一条直线上，即， 点在同一条直线上，， 以上两式相乘得， ． 将代入，得 ． 所以，因为，，所以， 所以，所以为定值． 7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为，且点到其渐近线的距离为． (1)求C的标准方程； (2)若点是C上第一象限的动点，过点作直线l（l不与渐近线平行），若l与C只有一个公共点，且l与x轴相交于点M． （i）证明：； （ii）若点N在直线l上，且，那么点N是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）点N在定直线上 【分析】（1）由已知条件求出、的值，可得出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）（i）利用两点间的距离公式化简、的表达式，证明出双曲线在点处的切线方程为，求出点的坐标，由此可证得； （ii）求出直线的方程，将该直线方程与直线的方程联立，求出点的坐标，即可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，可得， 双曲线C的渐近线方程为，即， 点到其渐近线的距离为，所以， 因此，双曲线C的方程为． （2）（i）因为是C上第一象限的动点，则， 可得且，易知点、， 所以， ， 由双曲线的定义可得， 所以， 先证明：双曲线在点处的切线方程为． 联立，可得，又， 整理可得，解得， 所以双曲线在点P处的切线方程为， 由，令，可得，即点，且， 所以，因此． （ii）如下图所示： 直线的斜率为， 因为，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为， 联立直线和直线l的方程， 消去y，可得，解得， 因此点N在定直线上． 8．已知为抛物线的焦点，且上一点到点的距离为5. (1)求； (2)设为坐标原点，若斜率与纵截距均大于0的直线交于两点，过与轴垂直的直线分别交于两点，且为的中点，证明：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将上一点的坐标代入抛物线方程，得到之间的关系，再利用抛物线上一点到焦点的距离等于其得到准线的距离得到一个方程，解方程并验证即可； （2）设出的坐标，同时设出直线的方程为：，联立直线的方程和抛物线方程并使用韦达定理，结合题意，根据直线的方程和直线的方程得到的坐标，利用为的中点这一条件，得到一个方程，消参并代入韦达定理的结果，即可解得的值，问题得证. 【详解】（1）由点在抛物线上可得，解得， 故，整理得， 解得或， 当时，，不满足，舍去， 当时，，满足，故. （2）由（1）知点，则直线的方程为， 如图，设，由题意知，    因为直线的斜率与纵截距均大于0，设直线的方程为， 由（1）得的方程为，联立，得， 则，则，， 由直线的方程为，得， 易知直线的方程为，故， 又为的中点，所以，即， 因为，，所以， 整理得，则，即，解得， 所以直线的方程为，故直线过定点. 9．如图，已知抛物线过点，过定点的直线与曲线交于两点，以为直径的圆交轴于两点，为原点，求证：为定值． 【答案】证明见解析 【分析】先由已知条件解出抛物线方程，再设直线 ，代入抛物线方程，运用韦达定理， 求得圆的直径式方程，设，再用韦达定理，求得为定值，即可得证. 【详解】证明：由题意得，故，所以． 设，则，即. 设，则以为端点的圆为， 即可得． 令，设， 则是方程，即的两个实根， 故有． 又 ， 所以． 综上，即证得的为定值. 10．已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若经过定点的直线与曲线交于，两点，是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程． 【答案】(1) (2)存在，或． 【分析】（1）利用直接法，设出点坐标根据相切关系找到等量关系即可求动圆圆心P的轨迹T的方程； （2）由题意设直线l的方程为，联立抛物线方程，利用，从而由向量的数量积的坐标运算于韦达定理可得，即可求出直线方程． 【详解】（1）设，由题可知动圆圆心不能在轴左侧，故， 因为动圆与直线相切且与圆外切， 所以， 所以， 化简得， 所以动圆圆心的轨迹的方程为； （2）设，， 由题意，设直线的方程为， 联立 消去得， 所以，①， 所以，②， 假设存在使得， 则由题意可得③， 因为在抛物线上，所以，即④， 又，，， 所以， 将①②③④代入此式并化简，可得， 所以，即， 所以存在直线，使得，且直线的方程为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆锥曲线中的定点定值定直线问题 目录 类型一、圆锥曲线中过定点问题 类型二、圆锥曲线中的定值问题 类型三、圆锥曲线中的定直线问题 压轴专练 类型一、圆锥曲线中过定点问题 1、定点问题的求解思路： （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 2、过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将用表示为得 故动直线过定点；若动直线斜率不为0，可设方程为. （2）动曲线过定点问题 解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 例1．已知椭圆的一个焦点为，其短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点的直线与椭圆交于不同的两点. （i）当直线的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线分别与椭圆交于点，证明：直线过定点. 变式1-1．已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由． 变式1-2．已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设斜率为且不经过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，，若，证明：直线过定点． 变式1-3．已知抛物线的焦点为为坐标原点，上存在点到和的距离都等于． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于点，直线与相交于另一点，直线与相交于另一点． （i）求证：； （ii）求证：直线经过定点． 类型二、圆锥曲线中的定值问题 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用， 【一般策略】 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 ②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值 例2、在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 为垂足． (1)当点 在圆上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程． (当点 经过圆与 轴的交点时，规定点 与点 重合) (2)根据（1）中所得的点 的轨迹方程，若直线 与点 的轨迹相交于 ， 两点，且 ，试判断的面积是否为定值． 若是，求出该定值；若不是， 请说明理由． 变式2-1．已知椭圆的两个焦点是，且过点的直线与交于，两点，若的周长为8，的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，设点关于轴的对称点为，是椭圆上一点，直线和与轴分别交于点（不重合），为原点，证明为定值． 变式2-2．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线与双曲线交于点，其中点在第二象限． ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为，设直线的斜率分别为，求的值． 变式2-3．已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 类型三、圆锥曲线中的定直线问题 1、 在圆锥曲线中，定直线问题指的是：在曲线或相关点、线满足某些动态条件（如点在曲线上运动、直线绕定点转动等）时，始终存在一条固定不变的直线，使得动态元素（如交点、轨迹、垂足等）始终在这条直线上，这条直线就被称为“定直线”. 2、圆锥曲线中的定直线问题的常见类型及解题策略： ①联立方程消去参； ②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标 ③将横纵坐标分别用参数表示，再消参 ④设点，对方程变形解得定直线 例3．已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程． (2)设过点且与轴不重合的直线交曲线于E，F两点． ①过点作与直线垂直的直线交曲线于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值； ②设曲线与轴交于P，Q两点，直线PE与直线QF相交于点，证明：点在定直线上． 变式3-1．已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，且． (1)求的方程； (2)设过点的直线与交于，两点（不与，两点重合）． （i）若的面积为，求的方程； （ii）若直线与直线交于点，证明：在一条定直线上． 变式3-2．已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 变式3-3．已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知是上一点，且的焦点为的重心，设的横坐标为，求的取值范围； (3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 压轴专练 1．已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，且过点，过原点的直线与交于两点. (1)求的方程； (2)若点在第一象限，过点作直线的垂线，垂足分别为，求证：； (3)若点关于轴的对称点为，点的坐标为（4，0），直线交于点，探究：直线是否过定点，若是，请求出定点，若不是，请说明理由. 2．已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点， ①若 ，且不过坐标原点，求三角形面积的最大值，并写出求得此最大值时的值 ②点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，，点在椭圆上，满足直线的斜率之积为，且面积的最大值为2． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，同时与直线交于点，假设，，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 4．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上． 5．已知双曲线的渐近线为，双曲线的左顶点为，直线与双曲线C相交于A，B（异于点P）两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若的中点为，求直线l的方程； (3)若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 6．已知双曲线为双曲线的左焦点，过点的直线交双曲线于两点，分别为双曲线的左、右顶点，动点满足，，动点满足，，试探究是否为定值． 7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为，且点到其渐近线的距离为． (1)求C的标准方程； (2)若点是C上第一象限的动点，过点作直线l（l不与渐近线平行），若l与C只有一个公共点，且l与x轴相交于点M． （i）证明：； （ii）若点N在直线l上，且，那么点N是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由． 8．已知为抛物线的焦点，且上一点到点的距离为5. (1)求； (2)设为坐标原点，若斜率与纵截距均大于0的直线交于两点，过与轴垂直的直线分别交于两点，且为的中点，证明：直线恒过定点. 9．如图，已知抛物线过点，过定点的直线与曲线交于两点，以为直径的圆交轴于两点，为原点，求证：为定值． 10．已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若经过定点的直线与曲线交于，两点，是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$