专题02 圆锥曲线离心率定值，最值，范围问题5种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版2019选择性必修第一册

专题01圆锥曲线离心率定值，最值，范围问题 目录 类型一、根据圆锥曲线的定义求离心率 类型二、根据圆锥曲线的性质求离心率 类型三、根据几何图形关系求离心率 类型四、向量法求离心率 类型五、结合正、余弦定理求离心率 压轴专练 类型一、根据圆锥曲线的定义求离心率 1、根据圆锥曲线的定义求离心率 通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率. 2、注意： （1） 区分椭圆或双曲线的焦点位置； 椭圆、双曲线离心率自身的范围. 例1．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的点，的内切圆的圆心为，延长，交轴于点，若，则椭圆的离心率等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：通过三角形内切圆的圆心是内角平分线的交点，利用角平分线的性质转化得到和的等量关系． 解法二：利用三角形的面积关系转化得到和的等量关系． 【详解】解法一：因为是的内心， 由内角平分线定理得， 则，所以， 故选：B． 解法二：设内切圆的半径为， 则，， 所以， 由已知条件，得， 所以，得，即， 故选：B 变式1-1．已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形为等边三角形确定点的坐标，然后可求出的中点的坐标，然后将其代入双曲线中解得离心率. 【详解】因为，所以正三角形的边长为. 所以点在轴上，且，所以. 所以的中点. 因为的中点在双曲线上，所以. 化简得，继续化简得， 解得. 所以解得. 故选：C. 变式1-2．已知双曲线的焦点分别在轴，轴上，渐近线方程为，离心率分别为，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据渐近线方程设出双曲线方程，得到离心率，利用基本不等式求解. 【详解】因为渐近线方程为， 所以双曲线方程可设为 ，， ，， ． 第一次取等号的条件为，即， 第二次取等号的条件为，即． 的最小值为． 故选：D． 变式1-3．已知椭圆C：的右焦点为F，P为C上一点，∠OPF的最大值为．则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】又题设，则，，则，可得到，且等号需成立，即可得到离心率. 【详解】    由题意，． 设，则，．P在椭圆上，则， 故， 即．而，故， 整理得， 所以，，． 由题意，最大值可取到，即等号须成立，否则不存在使得． 故，，C的离心率为. 故答案为：. 类型二、根据圆锥曲线的性质求离心率 1、椭圆的焦点三角形：以椭圆两焦点，及椭圆上任一点（除长轴两端点外）为顶点. （1），周长为定值：； （2）设当点靠近短轴端点时增大，当点靠近长轴端点时减小，与短轴端点重合时最大； （3）三角形面积：，即与短轴端点重合时面积最大； （4）由余弦定理得： 2、双曲线的焦点三角形：以双曲线两焦点，及双曲线上任一点（除实轴两端点外）为顶点 （1），的面积 （2）设则. 3. 圆锥曲线的通径：过焦点且垂直于对称轴的弦.通径是所有过该焦点的弦中最短的. （1）椭圆的通径长度为 ； （2）双曲线的通径长度为 （3）抛物线的通径长度为 . 4. 由双曲线的渐近线得到、、的关系转化为关于的方程求解. 例2、已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据椭圆的定义可得，，结合勾股定理列方程可得，进而结合余弦定理可求得，进而求解即可. 【详解】因为，设，如图所示， 由椭圆的定义可知，，则， 同理，则， 因为，则， 则，化简可得， 则，则（舍去）或， 所以，所以为椭圆的上（或下）顶点， 又， 所以在中，，解得，即. 故选：A 变式2-1．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其中为左焦点，点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查椭圆和双曲线的性质，根据题意，将应用到的性质转化成数学符号，进行运算. 【详解】设双曲线的焦距为． 则依题意得，，，，． 由得于是，． 又，则． 设，由，． 由在区间上为减函数，得的值域为． 所以的取值范围为， 故选B． 变式2-2．已知，分别是双曲线的左、右焦点，经过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若，，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的定义可知，，结合可得.由可得，利用即可求得，即可求解双曲线的离心率. 【详解】 如图所示，由双曲线的定义可知，. 又，所以，. 因为，所以，所以，所以， 故双曲线的离心率. 故选：A. 变式2-3．已知点P在圆上，点Q在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为 . 【答案】 【分析】把的最大值的问题转化为椭圆上的点到圆心的最大值，进而转化为不等式恒成立问题，得到范围及离心率的最大值. 【详解】由化简为，圆心．如图，    因为，所以的最大值为5等价于的最大值为4. 设，由，得 ①，又在上 ② 联立①②消去，化简得， 即，因在上，则有，得， 故，即在上成立(*). 令，因，则函数在上单调递减. 故，由（*）可得，解得，故. 所以，即， 即椭圆的离心率的最大值为. 故答案为：. 类型三、根据几何图形关系求离心率 1、中点弦（点差法） 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得， 将两式相减，可得； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 2、圆锥曲线的第二定义：平面上到一个定点（焦点）的距离与到一条定直线（准线）的距离之比为常数（离心率）的点的轨迹，称为圆锥曲线. 当 () 时，轨迹是椭圆；当 () 时，轨迹是抛物线；当 () 时，轨迹是双曲线. 例3．过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可. 【详解】设， 因为为线段的中点，所以， 由，两式相减可得：， 整理得，即， 所以，则，即椭圆的焦点在轴上， 即，则， 所以. 故选：B. 变式3-1．已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点M，可得点M为的中点，设.根据点为的重心，列方程可求得点的坐标.由点差法可得.将代入整理得，再结合即可求解. 【详解】延长交于点M，所以点M为的中点，设. 因为，点为的重心， 所以即，所以. 因为点在椭圆上， 所以，两式相减得，即， 整理得. 因为，所以，即， 所以，解得或. 又因为，所以，，所以. 故选：D. 变式3-2．已知斜率为的直线与双曲线的右支交于两点（点在第一象限，点在第四象限），点关于坐标原点对称的点为且，则该双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据题意作图，取的中点，连接，得到，，利用两角和的正切公式求得直线的斜率，再利用点差法求得，根据离心率的公式计算即可. 【详解】 如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接， 由双曲线的对称性可知为线段的中点，则， 因为，所以， 由直线的斜率，得， 则直线的斜率， 设，则，两式相减得， 化简得即， 则. 故答案为：. 变式3-3．已知双曲线的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与的左支交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率是 . 【答案】/ 【分析】联立直线与双曲线的方程，求出点坐标，由给定关系求出离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为，则，直线方程为， 由消去得， ，设，则， 于是点，， 解得，所以双曲线的离心率. 故答案为： 类型四、向量法求离心率 根据向量关系，建立方程 例4．已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由椭圆的定义求出，再由勾股定理求出，又由，即可求出答案. 【详解】设， 由椭圆的定义可得：， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 化简可得：，解得：， 所以， 又因为，所以， 所以. 故选：D. 变式4-1．已知椭圆的左，右焦点分别为、，过且斜率为的直线l与椭圆C在x轴上方的交点为，的角平分线与线段交于点N，若，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用角平分线定理以及椭圆定义得出，再在中利用余弦定理即可求出离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为， 因为的角平分线， 则在中利用角平分线定理可知，， 因，，则，则， 由椭圆的定义可知，，则， 由直线的斜率为，则， 则在中利用余弦定理可得，， 即，得或（舍）， 则椭圆C的离心率是. 故选：A      变式4-2．已知为双曲线的右焦点，是双曲线上两点且满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，可以确定A、B两点的大概位置，再结合双曲线的性质，求出和的三边长，利用余弦定理以及a、b、c本身的关系可以求解出a、b的比值关系，从而求出离心率大小． 【详解】设双曲线左焦点为，连接，因为，，所以三点共线，A、B分别在双曲线两支上，且，，根据双曲线的定义可知，，，在和中，由余弦定理可得， ， 又，整理化简可得，所以， 故选：D．    变式4-3．已知双曲线的左、右焦点分别为、，的右支上一点满足，且与的夹角的正切值为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设、的夹角为，根据同角三角函数的基本关系求出的值，利用已知条件和双曲线的定义求出、，再利用余弦定理可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 设、的夹角为，则，解得， 因为，由双曲线的定义可得，故， 由余弦定理可得， 即，可得，故. 故选：D. 类型五、结合正、余弦定理求离心率 通过三角函数（如正弦定理）转化几何关系，或利用不等式（如三角形三边关系）构造，的齐次式求离心率（注意椭圆，双曲线）. 例5．椭圆的左、右焦点分别为，过点作直线交椭圆于两点，，，求椭圆的离心率． 【答案】 【分析】由题意结合椭圆定义表示出相关线段的长，利用余弦定理可列式，化简可得，即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 由，可得， 又， 故， 即， 化简可得，即得， 解得或（舍去），故椭圆的离心率为. 变式5-1．设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上一点，若点关于的角平分线l的对称点恰好是点P，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对称特征及余弦定理、数量积定义列式求出离心率. 【详解】由关于的角平分线l的对称点恰好是点P，得， 由椭圆的定义得，设，    在中，由余弦定理得， 由，得，则， 整理得：，即，又，所以. 故选：A 变式5-2．已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用双曲线的性质把的三边用，，表示出来，然后用的余弦定理建立起，，的方程，进而可得到答案. 【详解】记为坐标原点，由双曲线的性质可知：在中，，，，． 在中，， 因为，所以，所以， 化简得，即， ，，． 因为，所以． 故选：D 【点睛】 变式5-3．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点在上，且满足，，则的离心率为 . 【答案】 【分析】设，则，在中，利用余弦定理，列出方程，求得，结合双曲线定义，求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】因为，可设，则， 又因为，在中，由余弦定理有， 即，解得， 由双曲线定义得，即，解得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 1．设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是椭圆的定义及三角形的内切圆，作图利用三角形内切圆的性质即得答案. 【详解】由题意，如图，P，D是内切圆与的切点， 因为左、右焦点分别为，上顶点为A，椭圆参数关系， 由，结合对称性、圆的切线性质， 令，且， 所以， 所以，可得，故， 故选：D． 2．如图，已知椭圆，点分别是椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线与椭圆交于另一点，直线的斜率的乘积恒为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，代入椭圆方程可得，进而求得点的坐标为，由题设建立方程可得，进而求解即可. 【详解】设点的坐标为，有，得， 点的坐标为，点的坐标为，则直线的斜率为， 可得直线的方程为，代入， 可求得点的坐标为， 而直线的斜率为，直线的斜率为， 有， 可得，即，则，即， 则. 故选：D. 3．已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出相关点的坐标，然后根据向量关系以及椭圆的定义和性质来求解离心率. 【详解】设，，，，，， 又，，解得，， 此时，，，，解得， 又点在上，，，， 又，即，解得，， 即. 故选： 4．已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，设，可得点，再代入双曲线方程并整理求得，进而求出离心率范围. 【详解】由关于原点对称，且是等边三角形，得， 设，则，即点， 因此，整理得，由，得，则， 于是，解得，即，则的离心率， 所以的离心率的取值范围为. 故选：A 5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义（或方程）及对称性，结合菱形的性质，可得关系，进而得到双曲线的离心率. 【详解】如图，因为四边形OFMN为菱形，所以, 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,且根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以点在双曲线上，代入双曲线方程，得, 整理得：， 联立, 得：,化简得： 两边同除以,得：,解得：,. 因为双曲线的离心率大于1，所以. 方法二：如图，因为四边形OFMN为菱形，所以, 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以,以, 由双曲线的定义，知,所以, 所以,双曲线C的离心率为. 故选：D. 6．已知双曲线的左顶点为，若圆交的一条渐近线于两点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，可设，，，结合已知夹角及向量夹角的坐标表示列方程得，进而求离心率. 【详解】由题设，渐近线为，联立圆得，可得， 不妨令，，则，又， 所以，可得， 所以，则，故离心率.    故选：C 7．双曲线的左、右焦点为，一条渐近线方程为，过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于两点，满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得直线的方程为，联立直线与双曲线方程，结合条件，利用根与系数间的关系，得，即可求解. 【详解】设，，与垂直且过点，则直线的方程为， 联立，整理得， 则，． 因为，所以为线段的中点，所以， 则，整理得，则， 故该双曲线的离心率．    故选：B 8．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由点到线的距离公式可得，由勾股定理可得，从而得，在中，由余弦定理可得 ，则有，即可得，最后根据离心率公式计算即可. 【详解】由题意得，，双曲线的渐近线方程为， 如图，不妨设点在直线上， 即点在直线上， 则， 在直角中，， 所以， 故， 在中，， 所以， 所以， 故双曲线的离心率. 故选：C. 9．已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的渐近线上，且点在第一象限，线段的中点在的左支上，，则双曲线的离心率为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】设出点的坐标，求出点的坐标，由已知建立方程组即可求得离心率. 【详解】双曲线的左焦点，渐近线， 依题意，点在直线上，设，则， 由点在的左支上，得，整理得， 由，得，整理得， 消去得，解得，所以双曲线的离心率. 故选：C 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】设的中点为，连接，由得，即，得，结合双曲线的定义得，又由，得，记，利用二倍角的余弦公式得，进而求解. 【详解】如图，设的中点为，连接．故， 由得，故， 故为等腰三角形，即，又， 所以，．由直线， 所以，所以， 又， 解得，记，则， 所以，得，即， 所以． 故选：B.    11．如图，过双曲线的右顶点作斜率为1的直线，分别与两渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率 ． 【答案】或 【分析】由题意可得直线，求得渐近线方程，进而求得交点，，分当是的中点与为的中点两种情况求解即可. 【详解】由题意得，双曲线的右顶点为，所以直线． 若与双曲线的两条渐近线分别交于点． 联立其中一条渐近线，即解得．① 同理联立方程，解得．② 又因为， 如图，当是的中点时，，即，③ 把①②代入③，， 所以，所以得． 所以； 当在之间时，根据三角形相似可以得到，所以，④ 把①②代入④，整理得，所以． 综上所述，双曲线的离心率为或． 故答案为：或． 12．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的一点，若到直线的距离是，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解法一：求得过与渐近线平行的直线方程，进而可得点到的距离，可得，求解即可.解法二：数形结合可得，求解即可. 【详解】法一：由题意可得，双曲线的一条渐近线为， 则过与渐近线平行的直线方程为， 即， 则点到的距离， 若到直线的距离是，则可得，所以， 所以，所以，所以，所以双曲线离心率的取值范围是. 法二：如图10，因为点在右支上， 所以，，， 即，可得． 13．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于点与椭圆的另一个交点为.若，且，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】运用坐标进行运算，把坐标代入进已知条件中，化简后得到离心率的范围. 【详解】因为，，所以，令， 因为，所以 由点都在椭圆上，得解得 因为，所以，解得.所以. 所以椭圆的离心率的取值范围为. 14．已知椭圆上存在一点，使得（为长轴端点），则此椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】写出所在直线的斜率表达式，利用三角形的外角，得出，两边取正切，得出，由点在椭圆上得出，两式联立求出有关的表达式，即可求解离心率范围. 【详解】由题意，设点的坐标分别为． 由椭圆的对称性，不妨设点在轴上方，即， 则所在直线的斜率分别为，． 设的外角为，， 由外角性质得，即， ∴， ∵， ∴，即， 化简得， 又点在椭圆上，则，即． ，得， ∵，∴． ∵，∴，即， ∴，整理得， 即，解得． ∵，∴． 故答案为：. 15．已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】法一：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆的定义、双曲线的定义与勾股定理，建立方程组，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案；法二：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆与双曲线焦点三角形面积的二级结论，建立方程，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案. 【详解】 法一：因为，所以． 设，（不妨设），， 依题意有，，， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为． 法二：因为，所以． 对于焦点三角形，根据椭圆的性质可得其面积， 根据双曲线的性质可得，所以， 所以，整理可得． 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为． 故答案为：. 16．已知双曲线上存在点，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设点的坐标，根据点在双曲线上，结合点，的坐标得到直线PA，PB的斜率之积，利用基本不等式得到，从而得到双曲线离心率的取值范围． 【详解】设点，其中，易知点，且有， 则. 因为，所以在第一或第三象限，由双曲线的对称性， 不妨令点在第一象限，则， 则，且， 由基本不等式可得， 所以存在点，使得直线PA，PB的斜率之和为， 即，所以． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01圆锥曲线离心率定值，最值，范围问题 目录 类型一、根据圆锥曲线的定义求离心率 类型二、根据圆锥曲线的性质求离心率 类型三、根据几何图形关系求离心率 类型四、向量法求离心率 类型五、结合正、余弦定理求离心率 压轴专练 类型一、根据圆锥曲线的定义求离心率 1、根据圆锥曲线的定义求离心率 通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率. 2、注意： （1） 区分椭圆或双曲线的焦点位置； 椭圆、双曲线离心率自身的范围. 例1．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的点，的内切圆的圆心为，延长，交轴于点，若，则椭圆的离心率等于（    ）    A． B． C． D． 变式1-1．已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．已知双曲线的焦点分别在轴，轴上，渐近线方程为，离心率分别为，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 变式1-3．已知椭圆C：的右焦点为F，P为C上一点，∠OPF的最大值为．则C的离心率为 ． 类型二、根据圆锥曲线的性质求离心率 1、椭圆的焦点三角形：以椭圆两焦点，及椭圆上任一点（除长轴两端点外）为顶点. （1），周长为定值：； （2）设当点靠近短轴端点时增大，当点靠近长轴端点时减小，与短轴端点重合时最大； （3）三角形面积：，即与短轴端点重合时面积最大； （4）由余弦定理得： 2、双曲线的焦点三角形：以双曲线两焦点，及双曲线上任一点（除实轴两端点外）为顶点 （1），的面积 （2）设则. 3. 圆锥曲线的通径：过焦点且垂直于对称轴的弦.通径是所有过该焦点的弦中最短的. （1）椭圆的通径长度为 ； （2）双曲线的通径长度为 （3）抛物线的通径长度为 . 4. 由双曲线的渐近线得到、、的关系转化为关于的方程求解. 例2、已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其中为左焦点，点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知，分别是双曲线的左、右焦点，经过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若，，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知点P在圆上，点Q在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为 . 类型三、根据几何图形关系求离心率 1、中点弦（点差法） 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得， 将两式相减，可得； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 2、圆锥曲线的第二定义：平面上到一个定点（焦点）的距离与到一条定直线（准线）的距离之比为常数（离心率）的点的轨迹，称为圆锥曲线. 当 () 时，轨迹是椭圆；当 () 时，轨迹是抛物线；当 () 时，轨迹是双曲线. 例3．过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式3-1．已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（   ） A．或 B． C． D． 变式3-2．已知斜率为的直线与双曲线的右支交于两点（点在第一象限，点在第四象限），点关于坐标原点对称的点为且，则该双曲线的离心率为 . 变式3-3．已知双曲线的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与的左支交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率是 . 类型四、向量法求离心率 根据向量关系，建立方程 例4．已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式4-1．已知椭圆的左，右焦点分别为、，过且斜率为的直线l与椭圆C在x轴上方的交点为，的角平分线与线段交于点N，若，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D．     变式4-2．已知为双曲线的右焦点，是双曲线上两点且满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．  变式4-3．已知双曲线的左、右焦点分别为、，的右支上一点满足，且与的夹角的正切值为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 类型五、结合正、余弦定理求离心率 通过三角函数（如正弦定理）转化几何关系，或利用不等式（如三角形三边关系）构造，的齐次式求离心率（注意椭圆，双曲线）. 例5．椭圆的左、右焦点分别为，过点作直线交椭圆于两点，，，求椭圆的离心率． 变式5-1．设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上一点，若点关于的角平分线l的对称点恰好是点P，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 变式5-3．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点在上，且满足，，则的离心率为 . 1．设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知椭圆，点分别是椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线与椭圆交于另一点，直线的斜率的乘积恒为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 6．已知双曲线的左顶点为，若圆交的一条渐近线于两点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．双曲线的左、右焦点为，一条渐近线方程为，过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于两点，满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 9．已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的渐近线上，且点在第一象限，线段的中点在的左支上，，则双曲线的离心率为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 11．如图，过双曲线的右顶点作斜率为1的直线，分别与两渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率 ． 12．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的一点，若到直线的距离是，则双曲线离心率的取值范围是 ． 13．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于点与椭圆的另一个交点为.若，且，则椭圆的离心率的取值范围是 . 14．已知椭圆上存在一点，使得（为长轴端点），则此椭圆的离心率的取值范围是 ． 15．已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ． 16．已知双曲线上存在点，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 1 / 10 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