专题05 圆锥曲线中的证明与探究性问题2种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版2019选择性必修第一册

专题05圆锥曲线中的证明与探究性问题 目录 类型一、圆锥曲线中的证明问题 类型二、圆锥曲线中的探究性问题 压轴专练 类型一、圆锥曲线中的证明问题 1.圆锥曲线中的证明问题，主要有两类： （1）证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等； （2）证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等). 2.解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明 3、常涉及：①向量法证明垂直②斜率，夹角公式等 例1已知双曲线C：（，）的一个焦点为，点在C上. (1)求C的方程； (2)已知点，，B为线段PQ上一点，且直线AB交C于D，E两点，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意列方程组求出，即可得出C的方程. （2）根据四点共线，要证，即证，设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示计算得证. 【详解】（1）由双曲线的一个焦点为，得， 由点在双曲线上，得，解得，， 所以双曲线的方程为. （2）设，，则直线AB方程为， 由，消去得， 由直线AB交C于D，E两点，得， 解得，且，且，， 当时，在A的异侧，在B的同侧；当时，在A的同侧，在B的异侧， 则总有， ， 所以. 变式1-1．已知为椭圆上一点，过动点作的两条切线，切点分别为，点在直线上，且（为坐标原点）． (1)求的方程； (2)证明点在定圆上，并求该圆的方程； (3)若点都在第一象限，直线交于两点，记的面积为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）将已知点代入椭圆方程即可得解； （2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立，利用，进而得到直线的方程，再设，根据，利用向量内积为0，解出定圆，即可得证； （3）设直线的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理求出，再结合直线与圆相切的条件以及点的位置关系求出三角形面积，即可得证. 【详解】（1）将代入，得， 解得，所以的方程为； （2）根据题意作图如下： 设直线的方程为，与椭圆的方程联立得，消去， 得， 又，化简得， 代入， 得，即，所以， 则， 所以直线的方程为； 设，则， 由，得， 即，所以点在定圆上； （3）根据题意作图如下： 设直线的方程为， 因为，所以，所以点不在轴上， 则直线的斜率，且， 令，有，故， 设，直线与椭圆的方程联立得，消去， 得， 所以， 则， 由（2）知点在圆上，又， 所以直线与圆相切， 所以圆心到直线（即）的距离为， 所以，则； 因为点在椭圆上，点在圆上，且都在第一象限， 所以， 则， 设点到直线的距离为， 所以， 由式有，故. 变式1-2．已知椭圆：（）的右焦点为，且点到长轴两个端点的距离分别为和，为坐标原点. (1)求的方程. (2)过点且不与轴重合的直线与交于两点. （ⅰ）若的面积为，求的方程； （ⅱ）若线段的中点为，在点处分别作的切线，两切线相交于点，求证：，，三点共线. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）或或或； （ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，解得，从而可得，即可得椭圆方程； （2）（ⅰ）设直线，联立方程组，根据韦达定理计算的面积，可解得或，即可得直线方程； （ⅱ）利用中点坐标公式计算出点的坐标，即可得；设出以点为切点的切线方程，与椭圆方程联立，利用根的判别式可求出切线斜率，即可得出切线方程，同理可得点为切点的切线方程，联立两切线方程可求得点的坐标，即可得，由可证得三点共线. 【详解】（1）由题意可得，解得，则， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，，设直线， 联立，可得， 则， 设，则. （ⅰ）， 则， 整理可得即，解得或，则或， 所以，直线的方程为或或或. （ⅱ）设点，则，，所以. 设以点为切点的切线方程为即， 联立，可得， 则， 整理得， 则， 因为点是椭圆上的点，所以，即， 则， 所以以点为切点的切线方程为. 同理可得，以点为切点的切线方程为. 联立两切线方程，消去，可得，整理得, 结合化简可得， 由题意，，故，代入直线方程，可得， 所以，则,其中， 故，，三点共线. 变式1-3．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求的标准方程. (2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线，（斜率都存在），与交于另一点，与交于另一点，证明： （i），的斜率之积为定值； （ii）存在定点，使得关于点对称. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据题意列出方程组，，即可求解； （2）（i）设切线方程为，利用直线和圆相切可得，再由韦达定理整理可得的斜率之积为定值，且定值为2； （ii）联立直线与双曲线方程，可得，同理可求出，化简得，所以，因此关于点对称. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则由题意可知，， 结合得，，， 故的标准方程为. （2）（i）设，如下图所示： 设过点的切线方程为，即， 所以圆心到切线的距离为，即， 因此的斜率是上式中方程的两根，即， 又因为，所以. 所以的斜率之积为定值，且定值为2. （ii）不妨设直线的斜率为，直线的斜率为， 联立，得. 因为， 所以， 则，同理可得， 所以， 因为，所以，所以，得， 又因为，，得或（舍去）， 所以存在定点，使得关于点对称. 类型二、圆锥曲线中的探究性问题 存在性问题的解题步骤 探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，一般步骤为： （1）假设满足条件的元素(常数、点、直线或曲线)存在；引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)； （2）解此方程(组)或不等式(组)； （3）若方程(组)有实数解，则元素(常数、点、直线或曲线)存在，否则不存在. 2.解决存在性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在. （1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论. （2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件. （3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径. 例2、已知椭圆的左、右焦点分别为，为该椭圆的上顶点，线段的延长线交椭圆于点，线段的延长线交椭圆于点，且满足． (1)求椭圆的离心率； (2)过点作垂直于轴，垂足为，过点作垂直于轴，垂足为． ①若，求椭圆的方程； ②试探究的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②直角三角形，理由见解析 【分析】（1）设，由题意可推出，进而可表示出相关线段长，结合解三角形可得到，即可求得答案； （2）①表示出直线的方程，联立椭圆方程，可表示出A点坐标，同理可得B点坐标，结合，即可求得参数的值，可求解答案；②利用数量积的坐标表示，计算的值，即可求解. 【详解】（1）设，由题意知，则， 再根据椭圆的定义可知：，故 从而，连接，则为等腰三角形， 根据等腰三角形三线合一性质，知， 在等腰三角形中，， 则， 即，而， 故有，即，所以． （2）①由（1）得，又，所以，从而椭圆，又直线的方程为， 联立方程，消去得，故或， 即可知，从而可得． 又，故，所以直线的方程为． 联立，消去可得． 根据韦达定理，，得，从而． 所以，则， 所以，从而椭圆的方程为． ②由（2）知，又因为，且， 所以 ， 则， 故，从而是直角三角形． 变式2-1．已知抛物线，过点的动直线交抛物线于两点，过分别作切线，过点作直线轴，交抛物线于两点，交切线于两点，试探索是否成立. 【答案】是,理由见解析 【分析】设，设，得， 由，得，代入，，计算即可. 【详解】如图22，设， 则过点的切线方程分别为，． 设，由得， 所以，. 因为直线轴，所以，所以， 则，． 则 ． 即成立. 【点睛】过抛物线上一点的切线方程为. 变式2-2．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点，且的最大值为6． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点． ①若P，Q中点的横坐标为，求m的值： ②已知点，直线，与直线分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在，. 【分析】（1）由离心率及椭圆的定义，基本不等式求椭圆参数，即可得方程； （2）①设，，联立直线与椭圆，应用中点公式及中点在直线上得到关于的方程，求参数值； ②设直线的方程为，分别求出的纵坐标，结合韦达公式得，确定的中点坐标，再由平行四边形的性质求坐标，即可得结论. 【详解】（1）因为离心率为，所以，由椭圆的定义知， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 故，所以，所以，故椭圆C的方程为. （2）①设，， 由，得， 由，得，，， 设中点坐标为，则， 因为在直线上，所以，即 所以，解得； ②存在点使得四边形为平行四边形， 因为在椭圆上，所以易知，， 设直线的方程为， 令，得，同理， 又由①知， 所以 所以线段的中点坐标为， 连接，则线段的中点坐标也为， 由于，可得，所以点H的坐标为. 变式2-3．二次函数的图象是抛物线， 现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线， 举例如下: 二次函数的图象可以由的图象沿向量平移得到; 抛物线，即的焦点坐标为，准线方程为 ; 故二次函数的焦点坐标为，准线方程为 . (1)求二次函数的焦点坐标和准线方程； (2)求二次函数的焦点坐标和准线方程； (3)设过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点. 是否存在定点，使得三点共线? 若存在，请求出定点的坐标; 若不存在，请说明理由. 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为． (2)焦点坐标为，准线方程为． (3)存在， 【分析】（1）根据函数平移得出焦点的坐标和准线方程； （2）首先配成顶点式，再根据向量平移得到焦点坐标与准线方程； （3）先考虑过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作x轴的垂线交抛物线于点，讨论是否存在定点，使得三点共线；设设，表示出直线的方程，即可求出，从而求出的坐标，表示出直线的方程，求出定点坐标，即可得解. 【详解】（1）二次函数， 它的图象可以由抛物线沿向量平移得到； 抛物线即的焦点坐标为，准线方程为； 所以二次函数的焦点坐标为，准线方程为． （2）二次函数， 它的图象可以由抛物线沿向量平移得到； 抛物线即的焦点坐标为，准线方程为； 所以二次函数的焦点坐标为， 准线方程为； 即二次函数的焦点坐标为，准线方程为． （3）由（1）知抛物线可以由抛物线沿向量平移得到； 先考虑如下问题：过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作x轴的垂线交抛物线于点，讨论是否存在定点，使得三点共线； 设，又，则直线的方程为：，化简得：， 与直线联立得：，代入得：，即， 则直线的方程：， 化简得； 当时，恒成立，所以直线恒过定点，即存在定点，使得三点共线； 故存在定点，使得三点共线． 压轴专练 1．关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为”.已知离心率都为的椭圆，的对称中心都是原点.焦点都在轴上，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍，椭圆的长轴长为4. (1)分别求椭圆，的标准方程； (2)已知点是椭圆上的任意一点，过点分别作椭圆的两条切线.切点分别为，，直线，分别与椭圆相交于异于点的，两点. （i）证明：线段是的中位线： （ii）证明：直线经过原点. 【答案】(1)：，：. (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的长轴长，短轴长和离心率即可求得椭圆方程； （2）设点坐标，并由椭圆方程得到参数的关系式， （i）由题意写出直线的方程，联立椭圆方程整理得到一元二次方程，由韦达定理得到三个点的横坐标的关系，再由中点坐标关系即可得证； （ii）根据题意写出直线和的方程，代入点坐标，得到直线方程，联立椭圆方程和直线方程，整理得到一元二次方程，结合点在椭圆上化简方程，由韦达定理写出关系式，得到线段的中点坐标，由平行四边形中平行关系，证明三点共线即可得证. 【详解】（1）设椭圆的方程为，焦距为， 椭圆的方程为，焦距为， 由椭圆的长轴长为4，离心率都为，可得，，， 又由椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍，可得，，， 故椭圆的标准方程为，椭圆的标准方程为. （2）设，，，，，有，，. （i）证明：直线的方程为， 联立方程，消去有， 代入，上述方程可化为， 又由一元二次方程根与系数的关系，有，可得， 由中点坐标公式可知是线段的中点，同理可得是线段的中点， 故线段是的中位线. （ii）证明：由直线的方程为，直线的方程为， 又由点在直线和上，有，可得点，都在直线上， 可得直线的方程为， 联立方程，消去有， 代入，上述方程可化为， 又由一元二次方程根与系数的关系，有，可得， 又由， 当时，，，线段的中点为，即， 当时，有，可得，可得线段的中点为， 又由线段的中点为，可得四边形为平行四边形， 记平行四边形的对角线的交点为， 又由，，，可得，， 又由，，三点共线，故，，三点共线， 故直线经过原点. 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，求直线l的方程； (3)设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)椭圆C的标准方程为； (2)直线l的方程为； (3)点N不在定直线上 【分析】（1）根据椭圆的性质确定a、c的值，即可求出椭圆方程. （2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，设，，结合韦达定理和共线向量坐标关系求解. （3）首先利用点差法求得直线的方程，然后分别取个不同的值，求解相应个点坐标，由向量不共线即可说明点N不在某条定直线上. 【详解】（1）根据椭圆的性质，椭圆，离心率（c为半焦距）， 且椭圆上一点到左焦点距离的最大值为． 由离心率，可得， 因为椭圆上一点M到的距离的最大值为3，即， 将代入，可得，解得，那么， 根据，可得． 所以椭圆C的标准方程为． （2）设，，，因为直线l过， 当直线l斜率不存在时，与方向相反，不满足， 所以直线l斜率存在，设直线l的方程为． 联立直线与椭圆方程，消去y可得： ， 由韦达定理得，． 因为，所以， 即，也就是． 将代入，可得，即，． 再代入，可得， 解得， 所以直线l的方程为． （3）由（2）知直线AB过，由题意其斜率存在， 设直线AB方程，令，得，所以． 由过点，且，则是PQ中点； 当时，直线即为轴，与轴交于原点即，与椭圆交于长轴两点， 此时不妨取， 则过原点的直线与椭圆交于两点，恒有， 由对称性可知，即两直线无交点，不符合题意， 故， 结合椭圆对称性可知，设，， 则，． 由，两式相减得： 将，代入上式，可得， 因为，所以，即PQ垂直于y轴，直线方程为． 联立，可得，，， 不妨设，,其中， 由（2）知，设，，不妨设， 由，． 故当时，则，又由， 可解得， 则，且， 此时交点； 故当时，则，又由， 可解得， ， 且， 此时交点； 当时，，则，， ，， 此时交点； ，， 因为， 所以不共线，故动点不在定直线上； 同理由对称性可知，当时，也不在定直线上， 综上可得，动点不在定直线上. 3．已知抛物线，过点的动直线交抛物线于两点，过分别作切线，点是抛物线上动点，轴，交于点是抛物线在点处的切线，若过点且，交于点，交抛物线于点，试探索是否成立． 【答案】成立，具体见解析. 【分析】首先设， 联立方程组应用韦达定理，得到点坐标，计算,发现中点又与中点重合，所以结论成立. 【详解】设， 由得． 从而． 因为轴，所以， 故． 由得． 中点，故由 得，故． 同理． ． 所以． 中点又与中点重合． 从而有。 4．（1）已知动点在椭圆上，为椭圆的左、右焦点，点为的内心，试求点的轨迹方程； （2）已知动点在双曲线上，为双曲线的左、右焦点，圆是的内切圆，探究圆是否过定点，并证明． 【答案】（1）；（2）是，证明见解析； 【分析】（1）设，结合角平分线的性质及椭圆的第一、第二定义得、，利用比例关系得，再由点在椭圆上代入求轨迹； （2）设圆与轴的切点为，讨论的位置，结合双曲线的定义及圆切线的性质得，判断证明. 【详解】（1）如图，连接并延长，交轴于， 设，因为是平分线， 则离心率，又， 所以，所以， 因为也是角平分线， 所以， 因为， 所以， 因为点在椭圆上，所以， 所以轨迹方程为； （2）如图，设圆与轴的切点为， 当点在右边支上时，， 所以圆必过点， 同理，当点在左支上时，圆必过点. 5．已知、分别是椭圆的左、右顶点，的离心率为，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知是线段上一点（异于、），过点的直线与椭圆交于、两点（异于、），直线、分别交直线于、两点. （i）若的中点为，求的方程； （ii）是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，或 【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）（i）设、，则，，利用点差法可求得直线的方程； （ii）设，由题可知直线的斜率不为，可设直线，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，可求出点、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可化简得出的表达式，根据为定值可求出的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）由题可知，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）设、，， 若的中点为，则，. 又，两式相减可得， 即， 所以，所以，故的斜率为. 因为点在上，所以的方程为，即； （ii）设，由题可知直线的斜率不为，可设直线， 由得， 即， 则，得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，, 令可得，即点， 同理可得点，， 则，， 所以 ， 当，即时，， 当，即（舍去）时，， 故当或时，为定值. 6．如图，椭圆：，为其右焦点，过点的动直线与椭圆相交于，两点.    (1)若直线经过焦点，求此时线段的长度； (2)若焦点不在直线上，求周长的最大值及相应直线的方程； (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)3； (2)最大值为8，直线：； (3)存在，. 【分析】（1）求出点的坐标及直线的方程，与椭圆方程联立求出弦长. （2）令椭圆左焦点为，利用线段和差大小关系及椭圆定义推理求解. （3）由特殊位置确定点的位置及坐标，再就一般情况推理求解. 【详解】（1）依题意，，直线的斜率为，方程为， 由消去得，解得， 所以线段的长. （2）设椭圆的左焦点为，则， 于是，当且仅当直线过左焦点取等号， 所以周长的最大值为8，此时直线方程为. （3）存在点满足题意， 假设存在满足题意的定点，当直线平行于轴时，则，，两点关于轴对称， 则点在轴上，不妨设， 当直线垂直于轴时，，，， 解得或（舍去，否则点就是点），即点的坐标为； 对于一般的直线：，也满足题意. 因为，由角平分线定理知，轴为的角平分线，则只需. 设，，则，， 则，消去可得，， 则，， 于是，， 两式相加得，， 即从而，假设成立. 即存在与点不同的定点，使得恒成立.    7．已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，右焦点为，点是双曲线上异于，的一点，且直线，的斜率之积为． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若垂直于轴，且，直线与双曲线相切，直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明为定值，并求此定值；（注：过双曲线上一点且与双曲线相切的直线方程为） (3)在（2）的条件下，已知直线与双曲线交于点，（异于点），若以为直径的圆经过点，且于点，证明：存在定点，使得为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析，； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用斜率坐标公式，结合双曲线方程求出，进而求出渐近线方程. （2）结合（1）的结论求出双曲线方程，设出切点坐标，写出切线方程，求出点坐标即可求解. （3）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求得，再讨论直线斜率不存在的情况，确定直线所过定点即可推理得证. 【详解】（1）依题意，，设点，则，即， 直线，的斜率之积为，得，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）设，由轴，得，则， 解得，双曲线：， 设直线与双曲线相切的切点为，， 直线方程为，则点，点， ， 而，所以，即为定值. （3）当直线斜率存在时，设其方程为：，，而， 由消去y并整理得， 有，，即且， ，， ，由以为直径的圆经过点，得， 则，， 于是，化简得， 即，而直线不过点，即，因此， 直线：过定点， 当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设直线的方程为：， 由解得或，则点的横坐标均为， 即直线过定点，因此直线过定点， 由于，得点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径， 所以存在定点，使为定值. 8．抛物线C：上的点到抛物线C的焦点F的距离为2，A､B（不与O重合）是抛物线C上两个动点，且. (1)求抛物线C的标准方程； (2)x轴上是否存在点P使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 【分析】（1）由焦半径公式求出，求出抛物线方程； （2）设出直线方程，与抛物线方程联立得到点坐标，同理得到点坐标，利用得到，求出，求出定点坐标. 【详解】（1）由抛物线的定义得，解得， 则抛物线的标准方程为. （2）依题意知直线与直线的斜率存在，设直线方程为， 由得直线方程为：， 由，解得， 由，解得 由得，假定在轴上存在点使得，设点， 则由（1）得直线斜率，直线斜率， 由得，则有，即， 整理得， 显然当时，对任意不为0的实数，恒成立， 即当时，恒成立，恒成立， 所以轴上存在点使得. 【点睛】处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 9．已知抛物线：的焦点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点A，B，直线AB与x轴相交于N，试探究x轴上是否存在异于N的定点M满足恒成立.若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】(1)根据题意求出双曲线的渐近线方程和抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式计算即可求解； (2)设：，，，，联立抛物线方程，利用韦达定理和平面垂直向量的坐标表示求出. 由可知轴为的角平分线，进而，则，化简计算即可. 【详解】（1）双曲线的一条渐近线为， 又抛物线：的焦点的坐标为， 由题可得：， 解得，故抛物线方程为：. （2）易知直线的斜率不为0， 故设：，，， 联立：， 故，，， 因为，则， 解得或（舍），故， 因为，都在轴上，要使得，则轴为的角平分线， 若，则AM垂直于x轴，x轴平分，垂直于轴， 得直线的方程为，此时，而M，N相异，故，同理， 故与的斜率互为相反数， 即， 为定值， 故当时，有恒成立. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05圆锥曲线中的证明与探究性问题 目录 类型一、圆锥曲线中的证明问题 类型二、圆锥曲线中的探究性问题 压轴专练 类型一、圆锥曲线中的证明问题 1.圆锥曲线中的证明问题，主要有两类： （1）证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等； （2）证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等). 2.解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明 3、常涉及：①向量法证明垂直②斜率，夹角公式等 例1已知双曲线C：（，）的一个焦点为，点在C上. (1)求C的方程； (2)已知点，，B为线段PQ上一点，且直线AB交C于D，E两点，证明：. 变式1-1．已知为椭圆上一点，过动点作的两条切线，切点分别为，点在直线上，且（为坐标原点）． (1)求的方程； (2)证明点在定圆上，并求该圆的方程； (3)若点都在第一象限，直线交于两点，记的面积为，证明：． 变式1-2．已知椭圆：（）的右焦点为，且点到长轴两个端点的距离分别为和，为坐标原点. (1)求的方程. (2)过点且不与轴重合的直线与交于两点. （ⅰ）若的面积为，求的方程； （ⅱ）若线段的中点为，在点处分别作的切线，两切线相交于点，求证：，，三点共线. 变式1-3．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求的标准方程. (2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线，（斜率都存在），与交于另一点，与交于另一点，证明： （i），的斜率之积为定值； （ii）存在定点，使得关于点对称. 类型二、圆锥曲线中的探究性问题 存在性问题的解题步骤 探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，一般步骤为： （1）假设满足条件的元素(常数、点、直线或曲线)存在；引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)； （2）解此方程(组)或不等式(组)； （3）若方程(组)有实数解，则元素(常数、点、直线或曲线)存在，否则不存在. 2.解决存在性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在. （1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论. （2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件. （3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径. 例2、已知椭圆的左、右焦点分别为，为该椭圆的上顶点，线段的延长线交椭圆于点，线段的延长线交椭圆于点，且满足． (1)求椭圆的离心率； (2)过点作垂直于轴，垂足为，过点作垂直于轴，垂足为． ①若，求椭圆的方程； ②试探究的形状，并说明理由． 变式2-1．已知抛物线，过点的动直线交抛物线于两点，过分别作切线，过点作直线轴，交抛物线于两点，交切线于两点，试探索是否成立. 变式2-2．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点，且的最大值为6． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点． ①若P，Q中点的横坐标为，求m的值： ②已知点，直线，与直线分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 变式2-3．二次函数的图象是抛物线， 现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线， 举例如下: 二次函数的图象可以由的图象沿向量平移得到; 抛物线，即的焦点坐标为，准线方程为 ; 故二次函数的焦点坐标为，准线方程为 . (1)求二次函数的焦点坐标和准线方程； (2)求二次函数的焦点坐标和准线方程； (3)设过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点. 是否存在定点，使得三点共线? 若存在，请求出定点的坐标; 若不存在，请说明理由. 压轴专练 1．关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为”.已知离心率都为的椭圆，的对称中心都是原点.焦点都在轴上，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍，椭圆的长轴长为4. (1)分别求椭圆，的标准方程； (2)已知点是椭圆上的任意一点，过点分别作椭圆的两条切线.切点分别为，，直线，分别与椭圆相交于异于点的，两点. （i）证明：线段是的中位线： （ii）证明：直线经过原点. 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，求直线l的方程； (3)设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由． 3．已知抛物线，过点的动直线交抛物线于两点，过分别作切线，点是抛物线上动点，轴，交于点是抛物线在点处的切线，若过点且，交于点，交抛物线于点，试探索是否成立． 4．（1）已知动点在椭圆上，为椭圆的左、右焦点，点为的内心，试求点的轨迹方程； （2）已知动点在双曲线上，为双曲线的左、右焦点，圆是的内切圆，探究圆是否过定点，并证明． 5．已知、分别是椭圆的左、右顶点，的离心率为，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知是线段上一点（异于、），过点的直线与椭圆交于、两点（异于、），直线、分别交直线于、两点. （i）若的中点为，求的方程； （ii）是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 6．如图，椭圆：，为其右焦点，过点的动直线与椭圆相交于，两点.    (1)若直线经过焦点，求此时线段的长度； (2)若焦点不在直线上，求周长的最大值及相应直线的方程； (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 7．已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，右焦点为，点是双曲线上异于，的一点，且直线，的斜率之积为． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若垂直于轴，且，直线与双曲线相切，直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明为定值，并求此定值；（注：过双曲线上一点且与双曲线相切的直线方程为） (3)在（2）的条件下，已知直线与双曲线交于点，（异于点），若以为直径的圆经过点，且于点，证明：存在定点，使得为定值． 8．抛物线C：上的点到抛物线C的焦点F的距离为2，A､B（不与O重合）是抛物线C上两个动点，且. (1)求抛物线C的标准方程； (2)x轴上是否存在点P使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由. 9．已知抛物线：的焦点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点A，B，直线AB与x轴相交于N，试探究x轴上是否存在异于N的定点M满足恒成立.若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$