24.1—24.2 圆的有关性质 点和圆、直线和圆的位置关系【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年人教版九年级数学上册考点解惑

24.1—24.2 圆的有关性质 点和圆、直线和圆的位置关系 一、圆的有关性质 1 圆的定义 （1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 （2）圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 2 圆的性质 （1）旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心。 （2）轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴。 （3）垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论包括平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧；平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦；平行弦夹的弧相等。 （4）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （5）圆周角定理及推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论包括半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦为直径；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 二、点和圆的位置关系 1 点与圆的位置关系有：点在圆外、点在圆上、点在圆内三种。 2 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。 三、直线和圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。 2 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示：若设⊙O的半径是r，直线l与圆心O的距离为d，则有直线l和⊙O相交则d<r；直线l和⊙O相切则d=r；直线l和⊙O相离则d>r。 3 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 4 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 5 切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 6 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 巩固课内例1:四点共圆 1．小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含度，度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点，，，的说法，正确的是（    ） A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆 C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆 【答案】C 【分析】本题考查圆的定义，点和圆的位置关系，直角三角形斜边中线性质，熟练掌握这些定义和性质是解题的关键．甲图中，取中点，连接，，得出，得点、、是以点为圆心，为半径的圆上，再判断点在圆外即可；乙图中，取中点，连接，，得，即可判断． 【详解】解：如甲图中，取中点，连接，， ∵， ∴， ∴点、、是以点为圆心，为半径的圆上， 为直角三角形， ∴， ∴点在圆外， ∴甲图四点不共圆； 如乙图中，取中点，连接，， ∵， ∴， ∴点、、、是以点为圆心，为半径的圆上， ∴乙图四点共圆， 综上，甲图四点不共圆，乙图四点共圆， 故选：C． 2．如图在梯形中，，，，，高为，若，，，四点共圆，则这个圆的半径是 ． 【答案】25 【详解】取中点，作，交于， ∵， ∴等腰梯形， ∴， 又∵，，， ∴垂直平分，， ∴在上， ∵， ∴， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴外接圆的半径为． 3．如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．求证：A，，，四点共圆． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，四点共圆的条件，解决本题的关键是熟练掌握四点共圆的条件，根据等腰三角形的性质得出为中点，求出，证明，得出为等腰三角形，得出，求出，即可证明结论； 【详解】解：如图，连接， ， 为等腰三角形，， 又∵， ∴为中点， ∴垂直平分， ， ∴， ， 又， 为等腰三角形， ， ∴， ∴A，，，四点共圆． 巩固课内例2:垂径定理的应用 1．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接，先判断出圆心一定在直线上，再根据垂径定理可得，然后设圆形工件的半径为，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接， ∵是弦的垂直平分线， ∴圆心一点在直线上， 又∵是弦的垂直平分线，， ∴，， 设圆形工件的半径为，则， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴圆形工件的半径为， 故选：B． 2．如图，一个隧道的横截面是以为圆心的圆的一部分，路面，高，则此圆的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理；连接，设圆的半径为r，则，由垂径定理得，由，由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为r，则， ∵，且过圆心O， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， 故答案为：． 3．阅读材料，回答问题． 材料背景 遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示的图形，且测得水面宽度为，拱高（孤的中点到水面的距离）为． 问题解决 (1)确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径． (2)确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升，求此时水面的宽度． 【答案】(1)主桥拱所在圆的半径为 (2)此时水面的宽度为 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，熟练掌握以上两个应用是关键. （1）连接，设半径，在中，利用勾股定理列方程求解. （2）先求OG，再利用勾股定理求GF，最后利用垂径定理求EF. 【详解】（1）解：如图①，设主桥拱所在圆的圆心为O，连接． 是的中点，， 三点在一条直线上， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 故主桥拱所在圆的半径为． （2）解：如图②，记桥下水面上升所在水面为，交于点G，连接． 由题意，得 , ． 在中，由勾股定理， 得, ． 故此时水面的宽度为． 巩固课内例3:弧、弦、圆心角的关系 1．已知中，，则弦和的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查同圆中弧、弦之间关系，三角形三边之间关系，掌握同圆中弧、弦之间关系，三角形三边之间关系是解题关键．取中点为E，连接，根据题意结合同圆中弧、弦之间关系可得，再利用三角形三边关系即可解答． 【详解】解：取中点为E，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 2．如图，是的两条弦，于P，于Q． （1）如果，那么 ， ， ； （2）如果，那么 ， ， ； （3）如果，那么 ， ， ； （4）如果，那么 ， ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦、弦心距的关系，熟记圆心角、弧、弦、弦心距的关系是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系求解即可． 【详解】解：（1）∵，于P，于Q， ∴，，， 故答案为：，，，； （2）∵，于P，于Q， ∴，，， 故答案为：，，； （3）∵，于P，于Q， ∴，，， 故答案为：，，； （4）∵，于P，于Q， ∴，，， 故答案为：，，． 3．如图，已知，是的直径，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等弧所对的圆心角相等是解题关键． 根据对顶角的性质，得，通过等弧所对的圆心角相等，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 巩固课内例4:圆内接四边形对角互 1．如图，四边形是的内接四边形，为的直径，连结．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识．首先利用圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”求得的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，四边形内接于，若，则的度数为 ． 【答案】80 【分析】此题考查圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】∵四边形内接于， ∴． 故答案为：80． 3．已知四边形内接于为直径，过点作于点，连接． (1)如图①，若的度数为__________，的度数为__________； (2)如图②，连接，若是的切线，．求的半径． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据圆周角定理、圆的内接四边形的性质、邻补角互补求解即可； （2）如图：连接，由圆周角定理可得，根据圆的内接四边形的性质可得，再说明，根据直角三角形的性质可得，再证明是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形内接于为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴ 故答案为：，． （2）解：如图：连接， 是直径， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， 于点， ， ， 是的切线， ， ， 半径， 是等边三角形， 半径． 巩固课内例5:切线的证明 1．如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．结合等腰三角形三线合一的性质和平角的定义分析即可． 【详解】解：A、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； B、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； C、由，可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； D、不能判断出直线是切线，符合题意； 故选：D． 2．如图，是的弦，是过B点的直线，，当 时，是切线． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的判定定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，再根据切线的判定定理可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴当时，， ∴当时，是切线， 故答案为：． 3．如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是圆的切线的判定、等腰三角形性质、垂径定理的推论及勾股定理的应用， （1）连接，证明，，得出，根据是直径，D是的中点，得出，证明即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，D是的中点， ∴ ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． （2）设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 巩固课内例6:三角形内切圆的半径、周长和面积 1．如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线以及切线长定理，解决本题的关键是充分利用圆的切线的性质，及圆切线长定理． 根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得，，，，则，所以的周长，代入求出即可． 【详解】解：∵的周长为21，， ∴， 设与的三边的切点为，切于， ， ， ， 故选：B． 2．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 3．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设，则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2），，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 类型一、圆的有关概念 1．下列哪句话是错误的（    ） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．圆上各点到圆心的距离相等 D．长度相等的两段弧是等弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的相关概念，根据圆的定义、弦、弧及等弧定义判断即可． 【详解】解：A、直径是圆中最长的弦，正确，故本选项不符合题意； B、半圆是弧，正确，故本选项不符合题意； C、圆上各点到圆心的距离相等，正确，故本选项不符合题意； D、在同圆或等圆中，长度相等的两段弧是等弧，原说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 2．如图，点B，E在半圆O上，四边形，四边形均为矩形．若四边形中，，则的长为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、圆的性质，连接与．根据矩形的性质，由四边形是矩形，得，．根据勾股定理，由中，，，得．根据圆上到圆心的距离均相等，由，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、圆的性质是解决本题的关键． 【详解】解：如图，连接与． 四边形是矩形， ，． 在中，，， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∴． 故答案为：13． 3．如图，某小区修缮了一个圆环的花坛，其内圆半径为，外圆面积为． (1)求该圆环花坛的宽度； (2)求该圆环花坛的面积． 【答案】(1)圆环的宽度为 (2)圆环花坛的面积 【分析】本题考查二次根式的应用、圆的面积等知识点，明确圆的面积和半径的求法是解答本题的关键． （1）先求出外圆的半径，然后用外圆半径内圆半径，即可得到该圆环花坛的宽度； （2）先求出内圆的面价，然后用外圆面积内圆面积，即可得到该圆环花坛的面积． 【详解】（1）解：设外圆半径为， 根据题意得：，即：， ， ， 圆环的宽度为． 答：圆环的宽度为． （2）解： ． 答：圆环花坛的面积． 类型二、垂径定理求值 1．如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（   ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出的长度是解题的关键．由垂径定理可得的长度，再由勾股定理可得的长度，然后由即可得出答案． 【详解】解：∵于点E，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 2．如图，是的外接圆，圆心在这个三角形的高上，，，则的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂径定理求出,根据勾股定理求出,设的半径为，则，，再根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接, 是的外接圆，圆心在这个三角形的高上， ,, 在中，， 设的半径为，则，， 在中，, ， 解得， 故答案为：． 3．如图，已知是的直径，，弦于，，求弦的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 如图，连接．根据圆的概念以及已知条件可得；再在中利用勾股定理可得，然后根据垂径定理即可解答． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中利用勾股定理，得： ∵， ∴． 即弦的长是． 类型三、圆周角的定义 1．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交， 故图中的圆周角有和，共个， 故选：B． 2．直角三角形的三个顶点在上，则圆心O在 ． 【答案】斜边的中点 【分析】根据圆的定义知圆心O到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半即可． 【详解】解：∵由三角形斜边的中线等于斜边的一半， ∴圆心O斜边上的中点到各顶点的距离相等． 故答案为：斜边的中点． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解答本题的关键． 3．观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 【答案】特征见解析，(c)图中∠3、∠4、∠BAD是圆周角 【详解】解： (a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角； (b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角； (c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角． (d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角； (e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角. 【点睛】本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 类型四、点与圆的位置关系 1．的半径为，若点P到圆心的距离为，点P在（   ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题关键是掌握点与圆的位置关系． 根据点与圆的位置关系的意义，先找出点到圆心的距离与半径的关系，再作判断． 【详解】解：∵点P到圆心的距离为， 而O的半径为， ∴点P到圆心的距离等于圆的半径， ∴点P在圆上， 故选：B． 2．在中，，，垂足为D，，，如果以点C为圆心，2为半径作，那么点B在 ，点D在 ．（均选填“内”“上”或“外”） 【答案】 上 内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．先判断得出，然后根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：如图，中，，，， ∴是直角三角形，为斜边， ∴， ∵以点C为圆心，2为半径作，， ∴点D在内，点B在上． 故答案为：上，内． 3．如图，在中，，D是的中点，现在以D为圆心，以为半径作，求： (1)时，点A与的位置关系； (2)时，点A与的位置关系； (3) 时，点A与的位置关系． 【答案】(1)点A在内； (2)点A在外； (3)点A在上． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质求得的长，再根据勾股定理求出的长，比较即可得出答案； （2）根据等腰三角形的性质求得的长，再根据勾股定理求出的长，比较即可得出答案； （3）根据等腰三角形的性质求得的长，再根据勾股定理求出的长，比较即可得出答案； 【详解】（1）解：连接，如图： ∵在中，，点是的中点， ∴，， 在中，， ∵， ∴点在内； （2）解：∵在中，，，点是的中点， ∴，， 在中，， ∵， ∴点在外； （3）解：∵在中，，，点是的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴点在上． 类型五、直线与圆的位置关系 1．已知的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与相交，则r与d之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．利用圆心到直线的距离和半径之间的关系即可解决． 【详解】解：∵的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与相交， ∴． 故选：A 2．在平面直角坐标系中，点，以A为圆心，4为半径作圆，则与y轴的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．求出圆心到y轴的距离，再根据圆心到直线的距离与半径的大小关系得出答案． 【详解】解：如图，作轴于点C，作轴于点B， ∵点， ∴，， ∵的半径为4， ∴与y轴相交， 故答案为：相交． 3．如图，中，，以为圆心画圆． (1)当的半径为时，点与有怎样的位置关系； (2)当与直线相交时，求的半径． 【答案】(1)点在外，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系是解决问题的关键． （1）先根据勾股定理求出B到圆心C的距离，再根据点与圆的位置关系即可求出结论 （2）过作于，先根据三角形面积公式求出到的距离，再根据直线与圆的位置关系即可求出结论． 【详解】（1）解：点在外，理由如下： 在中，， ∴， ∵，即到圆心的距离大于的半径， ∴点在外； （2）解：作于， ∵， ∴， 当与直线相交时，． 类型一、圆周角定理 1．如图，A，B，C是上的三个点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，解题关键是熟练掌握圆周角定理．根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半解题即可． 【详解】∵， ∴． 故选：A． 2．如图，点是上一点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据同圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，根据圆内接四边形的对角互补，即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵，， ∴， 四边形是的内接四边形， ∴． 故答案为： ． 3．如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． （1）先根据，得出的长，进而得出的长，进而得出结论； （2）由，结合直角三角形可以求得结果； 【详解】（1）解：∵， ， 设， 又 ∵， ， ， 解得：， ∴的直径是 20 ． （2）解：， ， ， ∴， ， ． 类型二、同心圆 1．为了落实“双减”政策，一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课，如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为和，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径的长度为（    ） A．240 B． C．120 D． 【答案】B 【分析】设小圆的切线与小圆相切于点，与大圆交于，连接、，根据切线的性质定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：如图，设小圆的切线与小圆相切于点，与大圆交于、，连接、， ， ， 在中，，， ， ， 即该球在大圆内滑行的路径的长度为， 故选B． 【点睛】本题考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握切线的性质和垂径定理是解答的关键． 2．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点B，点C，当，时，大圆与小圆的面积之差为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平方差公式和圆的面积，连接，作于点E，根据垂径定理得，，再根据圆的面积公式，勾股定理和平方差公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，作于点E，则，，    ∴ ∴ 大圆与小圆的面积之差为： ． 故答案为：． 3．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即小圆的半径r为 类型三、平行弦问题 1．已知AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD的距离是（　　） A．1 B．7 C．1或7 D．无法确定 【答案】C 【分析】由于弦AB、CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可. 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①， 过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC， ∵AB∥CD， ∴OE⊥AB， ∵AB＝8，CD＝6， ∴AE＝4，CF＝3， ∵OA＝OC＝5， ∴由勾股定理得：EO＝＝3，OF＝＝4， ∴EF＝OF﹣OE＝1； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②， 过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC， EF＝OF+OE＝7， 所以AB与CD之间的距离是1或7． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧. 也考查了勾股定理及分类讨论的思想的应用. 2．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，即弦和在圆心的同侧或异侧，分别求出圆心到两条弦的距离，再计算两条平行弦的距离．本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理并分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接，． ，， ． ，，， ，． 在中，． 在中，． 当，在圆心的同侧时， ； 当，在圆心的异侧时， ． 故答案为：或． 3．如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 【答案】（1）7；（2）8 【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长； （2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长． 【详解】解：（1）连接AO和DO， ∵，且EF过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ， ∴； （2）如图，连接BO和DO， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ，解得，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解． 类型四、切线的性质 1．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、、， 与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，是的切线，A为切点，的延长线交于点B，连接若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求出 【详解】解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为： 3．如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，是解题的关键，连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 类型五、切线长定理 1．如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．16 D．24 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理得到，,再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵，分别切于A，B， ∴． 同理，可得， ∴的周长 ． 故选：D． 2．如图：、切于、，过点的切线交、于、，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了切线长定理．根据切线长定理，即可得到，，，从而求得三角形的周长． 【详解】解：、切于、，切于， ，，； 的周长． 故答案为：． 3．足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，为切点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，延长交射线于点，若，请补全图形，并求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解， 【分析】本题考查了切线的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在圆上任取一点D，分别作线段的垂直平分线，相交于点O，则O即为所求， （2）根据题意补全图形，连接，结合切线的性质，可得，，，则，由勾股定理得，设，则，在中，由勾股定理得出，代入数值求出的值即可作答． 【详解】（1）解：点O如图所示： （2）解：连接，如图所示 ∵是圆的切线，为切点． ∴，，， 则， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得出， 即， ∴， 解得， ∴． 类型一、最值问题 1．如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，先证明A，B，C，D四点共圆，得到为直径，取的中点即圆心O，得到当弦时，取到最小值，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，． ∴A，B，C，D四点共圆，为直径，取的中点即圆心O， 当弦时，取到最小值， ∵，直径． ∴半径， ∴． 在中，． ∴． 故选B． 2．如图，中，，，点D为上一点，将线段绕点P逆时针旋转得到，连接，过D作于E，连接 ，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据对角互补的四边形共圆，证得P，C，B，D四点共圆，点E在此圆上，即上，根据同弧所对的圆心角相等证得，从而得出，以为斜边作等腰直角三角形，延长交于点F，证四边形在上，连接，则E为与的交点（取得最小值），问题得解． 【详解】解：连接， 中，，， ， 线段绕点P逆时针旋转得到， ， ，即， ， ， ， ，即， 在四边形中，， ∴P，D，B，C四点共圆，如图为， 连接，则为的直径， ， ∴点E在上， 连接，则， ， 以为斜边作等腰直角三角形，如图所示，， ，即：， ， 延长交于点F，则， ，， 点在以点为圆心的圆上， 连接，则点E为与的交点（取得最小值）， 在中，， 的最小值＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定性质，构造辅助线是解题的关键． 3．如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边，的中点，，． (1)将绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值； (2)将绕顶点C逆时针旋转（如图2），求的长． 【答案】(1)最小值是1，最大值是3 (2) 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出，的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求解； （2）连接，，作交延长线于H，根据旋转的性质求，进而得出，进而可得，勾股定理解，，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，N是中点， ∴平分， ， ∵是等腰直角三角形， ∴是中点， ∴， ∴点M在以C为圆心，1为半径的圆上运动，连接交圆C于，延长交圆C于， ∴M、N距离的最小值是，M、N距离的最大值是； （2）解：连接，，作交延长线于H， ∵是等腰直角三角形，N是中点， ∴， 同理： ， ∵绕顶点C逆时针旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，圆的基本概念等知识，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 类型二、动圆问题 1．如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在射线上，且与点的距离为，如果以的速度沿由向的方向移动，点与直线相切时，的值为（    ） A．4 B．8 C．4或8 D．6或10 【答案】D 【分析】当P移动到位置时，设切点为，根据，得出，求得的值，同理，当P移动到位置时求得，即可求解． 【详解】解：如解图，当P移动到位置时，与直线相切， 设切点为，连接，则．因为， 所以，所以，此时的值为． 如解图，当P移动到位置时，与直线也相切， 同理，所以．此时的值为． 所以与直线相切时移动的秒数是6或10． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 2．如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，开始时，．如果以的速度向右运动，那么当的运动时间满足条件 时，与直线相交． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，分当点P在射线OA和点P在射线OB两种情况进行计算是解题的关键． 求得当位于点O的左边与CD相切时t的值和位于点O的右边与CD相切时t的值，两值之间即为相交． 【详解】解：当点P在射线时，与相切，如图，过P作于E， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒）； 当点P在射线时，与相切，如图，过P作与F， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒）． ∴当的运动时间满足条件时，与直线相交． 故答案为：． 3．如图1，在矩形中，，，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是 ；②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 【答案】(1)，相离 (2)； (3) 【分析】（1）过点作于，交于，根据矩形的性质，得出，，再根据圆周角定理和平行线的性质，得出的直径是，，再根据题意，得出当时，，，进而根据线段之间的数量关系，得出，，再根据勾股定理，得出的值，进而得出的半径，再根据中位线的性质得出的值，进而得出的值，即可判断与直线的位置关系； （2）①根据、运动的速度与、的比相等，得出圆心在对角线上，再根据图形和题意，得出和两点在时在点重合，当时，直径为对角线，根据中点的性质得出，再根据勾股定理解得的值，进而得出的长，即为圆心的运动路径长；②当与相切时，设切点为，连接并延长交于，再根据线段之间的数量关系和题意，得出，，再根据勾股定理解得的值，再根据圆的性质，得出，再根据中位线的性质，得出，根据线段之间的数量关系，列出关于的方程，求解即可得出答案； （3）过作，交的延长线于点，连接，证明，再根据全等三角形的性质得出，根据线段之间的数量关系得出，再根据勾股定理，列出方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴的直径是，， 当时，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴的半径为， ∵，是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴与直线的位置关系是相离． 故答案为：；相离； （2）解：①如图， ∵、运动的速度与、的比相等， ∴圆心在对角线上， 由图可知，和两点在时在点重合， 当时，直径为对角线，是的中点， ∴，由勾股定理，可得， ∴， ∴圆心的运动路径长是． 故答案为：； ②如图，当与相切时， 设切点为，连接并延长交于， 则，， 则，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴的值为； （3）解：如图，过作，交的延长线于点，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去），， ∴的值为． 【点睛】本题是四边形与圆的综合问题，主要考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理、中位线的性质、切线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 类型三、新定义问题 1．新定义：一动点到定直线的最小距离我们称为“亲密距离”．如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，直线的表达式为，平分，点B为中点，延长使，动点P在平面内运动，恒有，点P到直线OD的“亲密距离”为d，求d的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立两个解析式，求出点坐标，令，求出点坐标，作，角平分线的性质结合等积法求出的长，进而求出点坐标，勾股定理求出，的长，进而求出的长，圆周角定理，得到点在以为圆心，的长为半径的圆上，过点作，等积法求出的长，得到点在线段上时，点P到直线OD的距离最小，根据新定义，进行求解即可． 【详解】解：∵直线的表达式为，直线的表达式为， 联立，解得：， ∴， ∵，当时，， ∴， ∴， 作，则：， ∴， ∵平分， ∴点到的距离等于点到的距离，为的长， ∵， ∴，即：， ∴， ∵在直线上， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴点在以为圆心，的长为半径的圆上， ∴； 过点作，则：， ∴， ∴， ∵点在以为圆心，的长为半径的圆上， ∴当点在线段上时，点P到直线OD的距离最小， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆周角定理，正确的求出A、D点的坐标，确定点轨迹，掌握新定义，是解题的关键． 2．定义：点、点分别为两个图形、上任一点，如果线段的长度存在最小值时，就称该最小值为图形和的“近距离”；如果线段的长度存在最大值时，就称该最大值为图形和的“远距离”．已知和是平面直角坐标系中的两个图形，其中点，，，，半径为1．则和的“远距离”为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标，圆的性质，“近距离”与“远距离”的定义，解题的关键是理解题意，正确应用新定义解题．结合平面直角坐标系，画出相应的图形，根据“近距离”与“远距离”的定义，得出答案． 【详解】解：如图所示，连接并延长，交于点， ∵，，，， 根据勾股定理可得， ∴， 和的“远距离”为 故答案为：． 3．定义：如图1，点M关于点P的对称点为点T，点T关于原点O的对称点为点N，则称点N为点M关于点P的二次对称点． 【概念理解】 （1）点，点N为点M关于点P的二次对称点，则 ． （2）若点，，点B为点A关于点Q的二次对称点，则点B的坐标为 ．（用t的代数式表示） 【形成技能】 （3）点D为点C关于点的二次对称点，且、都与坐标轴平行．直接写出点C的坐标． 【灵活运用】 （4）如图2，点F为点E关于点的二次对称点，连接，当动点F在直线m上滑动时，点E也随之而滑动，已知直线m的解析式为，若在运动过程中，一定存在的情形．求b的取值范围． 【答案】（1）10；（2）；（3）或；（4） 【分析】（1）设，根据点N为点M关于点P的二次对称点，可得，故； （2）由关于的对称点，又关于原点的对称点，即得A关于点Q的二次对称点B的坐标为； （3）设，可得C关于点的二次对称点D坐标为；由、都与坐标轴平行，分四种情况：①若轴，轴，则；②若轴，轴，则；③若轴，轴，则；④若轴，轴，则，分别解方程组可得答案； （4）连接，设直线交x轴于G，交y轴于K，求出，，知，，，由点F为点E关于点的二次对称点，可得，，，而当时，为的垂直平分线，有，，故点F在以O圆心，5为半径的上运动，用面积法求出当与直线m相切时，，即可得b的取值范围． 【详解】解：（1）设， ∵点N为点M关于点P的二次对称点， ∴P为的中点， ∵， ∴， ∵N，T关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：10； （2）∵关于的对称点，又关于原点的对称点， ∴A关于点Q的二次对称点B的坐标为； 故答案为：； （3）设， ∵关于点的对称点，又关于原点的对称点， ∴C关于点的二次对称点D坐标为； 由、都与坐标轴平行，分四种情况： ①若轴，轴，则， 方程组无解，故这种情况不存在； ②若轴，轴，则， 解得， ∴； ③若轴，轴，则， 解得， ∴； ④若轴，轴，则， 方程组无解，故这种情况不存在； 综上所述，C的坐标为或； （4）连接，设直线交x轴于G，交y轴于K，如图： 在中，令得，令得， ∴，， ∴，，， ∵点F为点E关于点的二次对称点， ∴同（1）可得，，， ∴当时，为的垂直平分线， ∴，， ∴点F在以O圆心，5为半径的上运动， 当与直线m相切时，， 此时， ∴， 解得， ∵在运动过程中，一定存在的情形， ∴b的取值范围为． 【点睛】本题考查了点的坐标一轴对称，一次函数的综合，切线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1—24.2 圆的有关性质 点和圆、直线和圆的位置关系 一、圆的有关性质 1 圆的定义 （1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 （2）圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 2 圆的性质 （1）旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心。 （2）轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴。 （3）垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论包括平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧；平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦；平行弦夹的弧相等。 （4）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （5）圆周角定理及推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论包括半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦为直径；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 二、点和圆的位置关系 1 点与圆的位置关系有：点在圆外、点在圆上、点在圆内三种。 2 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。 三、直线和圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。 2 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示：若设⊙O的半径是r，直线l与圆心O的距离为d，则有直线l和⊙O相交则d<r；直线l和⊙O相切则d=r；直线l和⊙O相离则d>r。 3 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 4 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 5 切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 6 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 巩固课内例1:四点共圆 1．小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含度，度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点，，，的说法，正确的是（    ） A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆 C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆 2．如图在梯形中，，，，，高为，若，，，四点共圆，则这个圆的半径是 ． 3．如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．求证：A，，，四点共圆． 巩固课内例2:垂径定理的应用 1．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 2．如图，一个隧道的横截面是以为圆心的圆的一部分，路面，高，则此圆的半径长为 ． 3．阅读材料，回答问题． 材料背景 遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示的图形，且测得水面宽度为，拱高（孤的中点到水面的距离）为． 问题解决 (1)确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径． (2)确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升，求此时水面的宽度． 巩固课内例3:弧、弦、圆心角的关系 1．已知中，，则弦和的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 2．如图，是的两条弦，于P，于Q． （1）如果，那么 ， ， ； （2）如果，那么 ， ， ； （3）如果，那么 ， ， ； （4）如果，那么 ， ， ． 3．如图，已知，是的直径，，，求的度数． 巩固课内例4:圆内接四边形对角互 1．如图，四边形是的内接四边形，为的直径，连结．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形内接于，若，则的度数为 ． 3．已知四边形内接于为直径，过点作于点，连接． (1)如图①，若的度数为__________，的度数为__________； (2)如图②，连接，若是的切线，．求的半径． 巩固课内例5:切线的证明 1．如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的弦，是过B点的直线，，当 时，是切线． 3．如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，求的长． 巩固课内例6:三角形内切圆的半径、周长和面积 1．如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 2．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 3．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 类型一、圆的有关概念 1．下列哪句话是错误的（    ） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．圆上各点到圆心的距离相等 D．长度相等的两段弧是等弧 2．如图，点B，E在半圆O上，四边形，四边形均为矩形．若四边形中，，则的长为 ． 3．如图，某小区修缮了一个圆环的花坛，其内圆半径为，外圆面积为． (1)求该圆环花坛的宽度； (2)求该圆环花坛的面积． 类型二、垂径定理求值 1．如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（   ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 2．如图，是的外接圆，圆心在这个三角形的高上，，，则的半径长为 ． 3．如图，已知是的直径，，弦于，，求弦的长． 类型三、圆周角的定义 1．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．直角三角形的三个顶点在上，则圆心O在 ． 3．观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 类型四、点与圆的位置关系 1．的半径为，若点P到圆心的距离为，点P在（   ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定 2．在中，，，垂足为D，，，如果以点C为圆心，2为半径作，那么点B在 ，点D在 ．（均选填“内”“上”或“外”） 3．如图，在中，，D是的中点，现在以D为圆心，以为半径作，求： (1)时，点A与的位置关系； (2)时，点A与的位置关系； (3) 时，点A与的位置关系． 类型五、直线与圆的位置关系 1．已知的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与相交，则r与d之间的关系是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点，以A为圆心，4为半径作圆，则与y轴的位置关系是 ． 3．如图，中，，以为圆心画圆． (1)当的半径为时，点与有怎样的位置关系； (2)当与直线相交时，求的半径． 类型一、圆周角定理 1．如图，A，B，C是上的三个点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点是上一点，若，则 ． 3．如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 类型二、同心圆 1．为了落实“双减”政策，一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课，如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为和，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径的长度为（    ） A．240 B． C．120 D． 2．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点B，点C，当，时，大圆与小圆的面积之差为 ．    3．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 类型三、平行弦问题 1．已知AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD的距离是（　　） A．1 B．7 C．1或7 D．无法确定 2．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为 ． 3．如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 类型四、切线的性质 1．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 2．如图，是的切线，A为切点，的延长线交于点B，连接若，则的度数为 ． 3．如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．求证：． 类型五、切线长定理 1．如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．16 D．24 2．如图：、切于、，过点的切线交、于、，，则的周长为 ． 3．足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，为切点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，延长交射线于点，若，请补全图形，并求的长． 类型一、最值问题 1．如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 2．如图，中，，，点D为上一点，将线段绕点P逆时针旋转得到，连接，过D作于E，连接 ，则的最小值为 ． 3．如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边，的中点，，． (1)将绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值； (2)将绕顶点C逆时针旋转（如图2），求的长． 类型二、动圆问题 1．如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在射线上，且与点的距离为，如果以的速度沿由向的方向移动，点与直线相切时，的值为（    ） A．4 B．8 C．4或8 D．6或10 2．如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，开始时，．如果以的速度向右运动，那么当的运动时间满足条件 时，与直线相交． 3．如图1，在矩形中，，，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是 ；②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 类型三、新定义问题 1．新定义：一动点到定直线的最小距离我们称为“亲密距离”．如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，直线的表达式为，平分，点B为中点，延长使，动点P在平面内运动，恒有，点P到直线OD的“亲密距离”为d，求d的值是（    ） A． B． C． D． 2．定义：点、点分别为两个图形、上任一点，如果线段的长度存在最小值时，就称该最小值为图形和的“近距离”；如果线段的长度存在最大值时，就称该最大值为图形和的“远距离”．已知和是平面直角坐标系中的两个图形，其中点，，，，半径为1．则和的“远距离”为 ． 3．定义：如图1，点M关于点P的对称点为点T，点T关于原点O的对称点为点N，则称点N为点M关于点P的二次对称点． 【概念理解】 （1）点，点N为点M关于点P的二次对称点，则 ． （2）若点，，点B为点A关于点Q的二次对称点，则点B的坐标为 ．（用t的代数式表示） 【形成技能】 （3）点D为点C关于点的二次对称点，且、都与坐标轴平行．直接写出点C的坐标． 【灵活运用】 （4）如图2，点F为点E关于点的二次对称点，连接，当动点F在直线m上滑动时，点E也随之而滑动，已知直线m的解析式为，若在运动过程中，一定存在的情形．求b的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$