22.3实际问题与二次函数讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

❊22.3 实际问题与二次函数 思维导图 题型精析 一．投掷问题 投掷问题 第一步：建系； 第二步：根据已知条件求出“抛物线”的解析式； 第三步：求解. 题型一 投掷问题 校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是，求该同学此次投掷实心球的成绩？例1 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题． 根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可． 【详解】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离， ∴令，则， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴该同学此次投掷实心球的成绩为． 从地面向上抛出的小球，小球的高度（单位）与运动时间（单位：）之间的关系是，则小球运动过程中，小球高于地面的时长为 ．变1 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由，可令h=25，则，求出后即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴令，则． ∴或． ∴小球高于地面的时长为 故答案为：． 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度．例2 （1）求抛物线的表达式． （2）若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)米 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据实际情况设出相应的函数解析式是解题的关键． （1）由题可知抛物线的顶点为，则，将点代入，即可求函数的解析式即可； （2）令，求出，则（米）； （3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为，将代入，求得，则函数解析式为，由此可得． 【详解】（1）解：∵箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为， ∴抛物线的顶点为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴； （2）解：令， 解得或（舍）， ∵四边形是矩形， ∴， ∴（米）， ∴人离壶的距离为米； （3）解：设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为， 当箭刚好由点处擦边投入壶中时，将代入， 得， 解得， ∴， ∴． 在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度与飞出的水平距离满足．变2 （1）这次传球的出手高度是______m，篮球飞行的最大高度是______m； （2）队员乙在篮球飞行方向上距甲处，他的最大摸高是，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ （3）球场界线在甲的传球方向前方处，如未能成功传球，篮球是否会出界？ 【答案】(1)，4 (2)他应该后退或前进才能接到球 (3)篮球会出界 【分析】本题考查二次函数的实际应用．熟练掌握二次函数的图形和性质是解题的关键． （1）令，求出的值，即为出手高度，根据解析式得到顶点坐标，即可得出结果； （2）令，求出值，进行判断，再令，求出的值，进行作答即可； （3）求出时，的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵，当时，， ∴这次传球的出手高度是； ∵的顶点坐标为：， ∴当篮球飞行的水平距离为时，达到最大高度，最大高度是； 故答案为：，4； （2）解：当时，， ∴他在原地不能接到球； 当时，， 解得：，， ∵，， ∴他应该后退或前进才能接到球； （3）解：当时，， 解得：，（舍去）； ∵， ∴篮球会出界． 二．拱桥问题 拱桥问题 第一步：建系； 第二步：根据已知条件求出“拱桥”的解析式； 第三步：求解. 题型二 拱桥问题 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加（    ）例1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据已知建立平面直角坐标系，则可确定顶点坐标为，点B的坐标为，再把解析式设为顶点式，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y经过中点O且经过C点，则通过画图可得知O为原点， 由题意得：抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和为的一半，即2米，抛物线顶点C坐标为， ∴点B的坐标为， ∴这个抛物线的解析式为， 把点B坐标代入到抛物线解析式得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 当水面下降2米， 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴水面宽度增加到米， ∴比原先的宽度增加了米， 故选：C． 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 米．变1 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解． 如图建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为，求出抛物线解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：如图，以水面所在直线为x轴，的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由题意得：C为抛物线顶点且坐标为， 可设抛物线解析式为 ， ∴ 即 ， ∴抛物线解析式为 ， 当水面宽度为米时，即当 ， ， ∴水面上升的高度为米， 故答案为：． 如图1，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下行分离的四车道高速公路长隧道．如图2是单向隧道的示意图，洞宽米，其中两侧分别设人行检修道米，左侧设侧向宽度米，右侧设侧向宽度米，行车道宽米．假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图2所示的平面直角坐标系，其中O为的中点，隧道的净高度米．（参考数据：）例2 （1）求该抛物线的解析式． （2）如果一货运汽车装载货物后的高度为4.6米，宽度为2.25米．隧道内两个行车道用实线隔开（实线的宽度忽略不计），不允许车辆随意变道．试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，走右侧车道 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式． （1）根据待定系数法求解即可； （2）分别求出，时，对应的函数值，即可判断． 【详解】（1）解：∵O为的中点，， ∴， ∴， 设抛物线解析式为， 则， ∴， ∴； （2）解：∵，，，，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴左侧车道不能通过， 当时，， ∴右侧车道能通过， ∴该货车应按右侧车道行驶能通过． 如图①是一条抛物线形状的拱桥，水面宽AB为6米，拱顶C离水面的距离为4米．变2 （1）建立恰当的坐标系，并求出抛物线的解析式； （2）一艘货船的截面如图②所示，它是由一个正方形MNEF和一个梯形KLGH组成的轴对称图形，货船的宽度KH为5米，货物高度MN为3米．若船弦离水面的安全距离为0.25米，请问货船能否安全通过桥洞？说明理由． 【答案】（1）见解析，y＝﹣x2+4；（2）不能通过，见解析 【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，可得二次函数的解析式； （2）假设点K点H刚刚与抛物线相交，求M点的纵坐标，如果点M到x轴的距离大于3.25就能通过否则就不能通过． 【详解】解：（1）以AB所在的直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系； 由题意可知：A（﹣3，0），C（0，4）； 设抛物线的关系式：y＝ax2+k， ． ∴k＝4，a＝﹣， ∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2+4． （2）货船是由一个正方形MNEF和一个梯形KLGH组成的轴对称图形，把它加入坐标轴中， 当点K、点H在抛物线上，此时H点（2.5，0.25），E（1.5，0.25），设F（1.5，m）， 把x＝1.5，y＝m代入得m＝3， ∵3＜3.25， ∴此船不能通过． 三．面积问题 面积问题 第一步：利用面积公式表示出图形的面积； 第二步：利用二次函数求最值的方法求出面积的最值. 题型三 面积问题 我校为进一步激发学生劳动热情，在校园开辟了蔬菜种植基地“空翠圃”：种植基地一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为 米)，另三面用长为米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入．例1 （1）若围成的菜地面积为平方米(中间篱笆忽略不计)，求此时边的长； （2）若每平方米可收获千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 【答案】(1)菜地的面积能达到时的长为． (2)该片菜地最多可收获千克的菜． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键． （1）设，则，依题意列方程计算即可． （2）设菜地的面积为，依题意构造二次函数计算即可． 【详解】（1）设，则，依题意，得： ， 即， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：菜地的面积能达到时的长为． （2）设菜地的面积为，依题意，得： ， ∴当时，y有最大值为． 即菜地的最大面积是． ∴（千克）， 答：该片菜地最多可收获千克的菜． 如图，学校有一面长8米的墙，生物兴趣小组打算用总长16米的篱笆在墙前面的空地上围成两个矩形分别饲养小兔和小鸡，矩形一边靠墙．变1 （1）要使小兔和小鸡活动区域总面积为21平方米，垂直于墙的边AB长为多少？ （2）若小鸡活动区域为正方形，设计方案使得小兔活动区域面积最大． 【答案】(1)3米 (2)见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程和二次函数在几何图形面积问题中的应用．解题关键在于根据几何图形的边长关系设未知数，利用面积公式建立方程或函数表达式，同时要注意结合实际条件（如墙长对边长的限制）来确定未知数的取值范围，进而求解问题． （1）本题通过设未知数来建立方程求解．设，由于篱笆总长为，且边有段（两个矩形），所以平行于墙的边长为．根据矩形面积公式长宽，总面积为平方米，得到方程．求解方程得到两个根， ．又因为墙长米，即，解这个不等式得到，所以舍去，确定． （2）同样先设，因为小鸡活动区域为正方形，所以 ，根据矩形面积公式得到小兔活动区域面积矩形 ，这是一个二次函数．对于二次函数（），当时，图象开口向下，在对称轴处取得最大值．这里，对称轴为 ，且由墙长限制，即，在这个范围内，随的增大而减小，所以当时，取得最大值 ，进而得出米，米时，小兔活动区域面积最大． 【详解】（1）解：设，根据题意得， 解得，， ∵，， ∴ 答：垂直于墙的边长为3米． （2）解：设，则，根据题意得， ， 当时，随的增大而减小 ∵，， ∴当时，最大 答：当米，米时，小兔活动区域面积最大． 随着劳动教育的开展，某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为），用长为的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端设计了两个宽的小门，便于同学们进入．设边的长为，矩形菜地的面积为．变2 （1）用含的代数式表示（不要求求的取值范围）； （2）若围成的菜地的面积为，求此时的值； （3）可以围成的菜地的面积最大是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，列代数式，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键． （1）根据篱笆长为，边的长为，可得，再根据矩形的面积公式求解即可； （2）令，则，即可求解； （3） 由，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：篱笆长为，边的长为， ， ； （2）当时，， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 围成的菜地的面积为，此时的值为； （3），， 当时，有最大值，最大值为． 四．营销问题 营销问题 1.利润计算公式：利润=______×______； 2.二次函数最值的两种计算方法：________法和________法. 题型四 营销问题 某商场销售一款篮球，每个篮球进价50元，经市场部调查发现：当篮球的销售单价为60元时，该款篮球的日均销售量为200个，当销售单价在60元到95元之间浮动时（含60元与95元），每个篮球的售价每增加1元，日均销售量减少5个，设该款篮球的销售单价增加元，请回答下列问题：例1 （1）写出该款篮球的日均销售量（个）与（元）之间的函数关系式：________； （2）问当为多少元时，该款篮球日均利润的（元）最大，最大日均利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当x为15元时，该款篮球日均利润的w（元）最大，最大日均利润为3125元． 【分析】本题主要考查了二次函数的事件应用，一元一次不等式得实际应用，列函数关系式： （1）根据当销售单价在60元到95元之间浮动时（含60元与95元），每个篮球的售价每增加1元，日均销售量减少5个列出对应的函数关系式即可； （2）根据利润（实际售价进价） 销售量累出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 由题意得，， 故答案为：； （2）解：由题意得， ， ∵ 当元时，存在最大值，最大值是3125， ∴当x为15元时，该款篮球日均利润的w（元）最大，最大日均利润为3125元． 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆：单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．变1 （1）若每辆轮椅降价x元，则每天可多售出______辆轮椅，则y与x的函数关系式为：________； （2）每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)； (2)当每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元 【分析】本题考查了二次函数的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据单价每降低10元，每天可多售出4辆可得第一空答案；根据总利润单个利润总数量可得第二空答案； （2）根据（1）所求结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵单价每降低10元，每天可多售出4辆， ∴若每辆轮椅降价x元，则每天可多售出辆轮椅； 根据题意，可得： 每辆轮椅的利润不低于180元， ， ， ∴； （2）解： ， ， 在时，随的增大而增大， 当时，每天的销售利润最大，最大利润为：（元）． 答：当每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为元． “五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元／间（为10的整数倍）．例2 （1）若房间定价为300元时，则可租出去______个房间．此时，利润为______元； （2）为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当为多少时，民宿利润最大？ （3）在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价的范围． 【答案】(1)38，10640； (2)见解析；当或360时有最大值元； (3)见解析；，且为10的整数倍. 【分析】（1）由题意，民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，进而可以租出去38个房间，进而求出利润； （2）设利润为元，则，由于 为10的整数倍及二次函数的性质可以判定得解； （3）由题意，令，则当或，又获利润不低于10360元，则，又该民宿空闲房间数不能超过20间，故，进而可以判定求解. 【详解】（1）解：由题意，∵民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲， ∴ ∴ ∴房间定价为300元时，则可租出去38个房间； ∴此时利润（元） 故答案为：38，10640； （2）由题意，设利润为元， ∴ ∵ ∴开口向下，对称轴为直线， 又∵ 为10的整数倍， ∴当或时，有最大值 （3）由题意，令 ∴或 又∵所获利润不低于10360元， ∴ ∵该民宿空闲房间数不能超过20间 ∴ 解得： ∴，且为10的整数倍. 某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品．经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．变2 （1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；并写出自变量的取值范围． （2）若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ （3）若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，求销售单价x的取值范围？ 【答案】(1) (2)当单价为50元时，取得最大利润为1560元 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识点，正确求得函数解析式和不等式是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2） 题意可得，设利润为W元，再求得，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）由（2）得利润，，解得，然后再结合二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设，由图可知，函数图象过点， 则，解得， 所以， 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是． （2）解：若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售，设利润为W元 因为， 所以利润， 其开口向下，对称轴为． 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元． （3）解：由（2）得利润， ，整理得， 即，解得，   开口向下， ， ． 课后强化 1.小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小强此次成绩为（ ） A．8米 B．9米 C．10米 D．12米 【答案】B 【分析】根据题意可知实心球落地时，即求的解即可． 【详解】解：当时，，即． 解得：（舍），． ∴小明此次成绩时9米． 故选：B． 2.掷实心球是高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分.该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】(1) (2)该女生在此项考试中能得满分，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． （1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵当水平距离为时，实心球行进至最高点处， ∴设， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：该女生在此项考试中能得满分，理由如下： ∵对于二次函数，当时，有 解得：， （舍去）， ∵， ∴该女生在此项考试中能得满分． 3.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面4.5m，当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为（ ） A．5m B．m C．10m D．m 【答案】C 【分析】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据NC的长度，得出函数的y坐标，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案． 【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得，M点坐标为，A点坐标为，B点坐标为， 设中间大抛物线的函数式为 代入三点的坐标可得： 解得： ∴函数式为 ∴令米， 代入解析式得，， ∴可得米． 故选：C． 4.天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 5.如图1，用一段长为45米的篱笆围成一个一边靠墙，并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为18米．设的长为米，矩形菜园的面积为平方米． （1）________平方米；（用含的代数式表示，结果需化简） （2）若分成的两个小矩形是正方形，求的值； （3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取得最大值？最大值为多少？ 【答案】(1) (2)162 (3)当时，取得最大值，最大值为180 【分析】本题主要考查列代数式，一元一次方程的应用以及二次函数的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得米，根据矩形的面积公式可得结论； （2）根据正方形的性质可列方程，求得的长，可得的值； （3）设菜园面积为S，得出S关于x的二次函数解析式，然后求二次函数的最大值即可求解． 【详解】（1）解：∵的长为米， ∴米， ∴（平方米）， 故答案为：； （2）解：由题意，得， 解得， （平方米）， 的值为162平方米； （3）解：． 墙长为18米，正前方有两个1米宽的门， . ， 抛物线开口向下， 当时，随着的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为． 6.某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率其中，销售一批成本为元的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． （1）请分别求出与，与的函数解析式； （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为元？ （3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)；； (2)销售单价定为元时，每天的销售利润为元； (3)销售单价定为元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润元 【分析】本题主要考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）依据题意，运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，根据每件的利润乘以销售量等于利润元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于元销售，可得符合题意的答案； （3）依据题意，根据每件的利润乘以销售量等于利润得出关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【详解】（1）解：设该商品每天的销售量与销售单价元之间的函数关系式为， 又图象过点、， ， ． 函数关系式为． 销售单价不低于成本价元，且不高于元销售， ． 每天的销售利润为，即． （2）由题意得：， 整理得：， 解得：，． 单价不低于成本价，且不高于元销售， 不符合题意，舍去． 销售单价定为元时，每天的销售利润为元． （3）由题意得： ， ，故当时，随的增大而增大，而， 当时，有最大值，此时，， 答：销售单价定为元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润元． 7.某公司推出一款产品，成本价元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价之间的几组对应值如下表： 销售单价（元/千克） 日销售量（千克） 注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价） （1）求关于的函数解析式（不要求写出的取值范围）； （2）当销售价格为多少元时，日销售利润最大，最大利润是多少元； （3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于元，请直接写出该产品销售单价的范围_______． 【答案】(1) (2)当销售价格元时，日销售利润最大，最大值是元 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的性质，能够理解题意列出合理的方程和不等式是解题的关键． （1）从表格中取点代入一次函数解析式即可求解； （2）建立与的函数关系式，利用二次函数性质求最大值即可． （3）先求捐赠后的利润为元时的销售单价，再利用二次函数的性质直接下结论即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 则解得：，， ， （2）因为， 所以当时，有最大值， 最大值为，   所以当销售价格元时，日销售利润最大，最大值是元； （3）因为， 整理得：，解得：， 所以，当时，捐赠后每天的剩余利润不低于1025元 故答案为：． 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 9 页 ❊22.3 实际问题与二次函数 思维导图 题型精析 一．投掷问题 投掷问题 第一步：建系； 第二步：根据已知条件求出“抛物线”的解析式； 第三步：求解. 题型一 投掷问题 例 1 校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似 看作是抛物线．如图建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的函数 关系是 21 2 5 12 3 3 y x x    ，求该同学此次投掷实心球的成绩？ 变 1 从地面向上抛出的小球，小球的高度 h（单位m）与运动时间 t（单位：s）之间的关系是 230 5h t t  ， 则小球运动过程中，小球高于地面 25m的时长为 ． 例 2 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一 定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏 启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为1m）．某同学将箭从  0,1.5A 第 2 页 共 9 页 处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线 2:L y ax bx c   的一部分，且当箭的最大高度为 2m时，距离投出点的水 平距离为1m．把壶近似看作矩形DEFG，已知壶口的宽度 0.2mGF  ，壶的高度 0.72mEF  ． （1）求抛物线 L的表达式． （2）若箭刚好由点G处擦边投入壶中，求人离壶的距离OE． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次 投入壶中，请直接写出OA的取值范围． 变 2 在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度 (m)y 与飞出的水平距离 (m)x 满足 21 8 20 9 9 9 y x x    ． （1）这次传球的出手高度是______m，篮球飞行的最大高度是______m； （2）队员乙在篮球飞行方向上距甲 6m处，他的最大摸高是3m，他在原地能接到球吗？如能接到，请计 算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ （3）球场界线在甲的传球方向前方 9m处，如未能成功传球，篮球是否会出界？ 二．拱桥问题 拱桥问题 第 3 页 共 9 页 第一步：建系； 第二步：根据已知条件求出“拱桥”的解析式； 第三步：求解. 题型二 拱桥问题 例 1 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽度增加（ ） A． (2 2 2)m B． (2 2 2)m C． (4 2 4)m D． (4 2 4)m 变 1 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为 2米时，水面宽度为 4米；则当水面的宽度为 2 3 米时，水位上升 米． 例 2 如图 1，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下行分离的 四车道高速公路长隧道．如图 2是单向隧道的示意图，洞宽 11.5AG  米，其中两侧分别设人行检修道 1AB FG  米，左侧设侧向宽度 0.75BC  米，右侧设侧向宽度 1.25EF  米，行车道宽 3.75CD DE  米．假 设隧道的轮廓为抛物线，建立如图 2所示的平面直角坐标系 xOy，其中 O为 AG的中点，隧道的净高度 5.5OH  米．（参考数据： 25.75 33 ） （1）求该抛物线的解析式． （2）如果一货运汽车装载货物后的高度为 4.6米，宽度为 2.25米．隧道内两个行车道用实线隔开（实线 的宽度忽略不计），不允许车辆随意变道．试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请 指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由． 第 4 页 共 9 页 变 2 如图①是一条抛物线形状的拱桥，水面宽 AB为 6米，拱顶 C离水面的距离为 4米． （1）建立恰当的坐标系，并求出抛物线的解析式； （2）一艘货船的截面如图②所示，它是由一个正方形 MNEF和一个梯形 KLGH组成的轴对称图形，货船 的宽度 KH为 5米，货物高度 MN为 3米．若船弦离水面的安全距离为 0.25米，请问货船能否安全通过桥 洞？说明理由． 三．面积问题 面积问题 第一步：利用面积公式表示出图形的面积； 第二步：利用二次函数求最值的方法求出面积的最值. 题型三 面积问题 例 1 我校为进一步激发学生劳动热情，在校园开辟了蔬菜种植基地“空翠圃”：种植基地一面利用学校 的墙(墙的最大可用长度为 27米)，另三面用长为 45米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地 的前端及中间篱笆上设计了三个宽 1米的小门，便于同学们进入． （1）若围成的菜地面积为180平方米(中间篱笆忽略不计)，求此时边 AB的长； （2）若每平方米可收获 4千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 第 5 页 共 9 页 变 1 如图，学校有一面长 8米的墙，生物兴趣小组打算用总长 16米的篱笆在墙前面的空地上围成两 个矩形分别饲养小兔和小鸡，矩形一边靠墙． （1）要使小兔和小鸡活动区域总面积为 21平方米，垂直于墙的边 AB长为多少？ （2）若小鸡活动区域为正方形，设计方案使得小兔活动区域面积最大． 变 2 随着劳动教育的开展，某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可 用长度为 28m），用长为40m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地 ABCD，在菜地的前端 BC设计了 两个宽1m的小门，便于同学们进入．设边 AB的长为 mx ，矩形菜地 ABCD的面积为S． （1）用含 x的代数式表示S（不要求求 x的取值范围）； （2）若围成的菜地的面积为 2120m ，求此时 x的值； （3）可以围成的菜地的面积最大是多少？ 四．营销问题 营销问题 1.利润计算公式：利润=______×______； 2.二次函数最值的两种计算方法：________法和________法. 第 6 页 共 9 页 题型四 营销问题 例 1 某商场销售一款篮球，每个篮球进价 50元，经市场部调查发现：当篮球的销售单价为 60元时， 该款篮球的日均销售量为 200个，当销售单价在 60元到 95元之间浮动时（含 60元与 95元），每个篮球 的售价每增加 1元，日均销售量减少 5个，设该款篮球的销售单价增加 x元，请回答下列问题： （1）写出该款篮球的日均销售量 y（个）与 x（元）之间的函数关系式：________； （2）问当 x为多少元时，该款篮球日均利润的w（元）最大，最大日均利润为多少元？ 变 1 每年 5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新 研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利 200元时，每天可售出 60辆：单价 每降低 10元，每天可多售出 4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于 180 元，设每辆轮椅降价 x元，每天的销售利润为 y元． （1）若每辆轮椅降价 x元，则每天可多售出______辆轮椅，则 y与 x的函数关系式为：________； （2）每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 例 2 “五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有 50个房间 供游客居住，当每个房间每天的定价为 180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加 10元时， 就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出 20元的各种费用，设房 间定价为 x元／间（ x为 10的整数倍）． （1）若房间定价为 300元时，则可租出去______个房间．此时，利润为______元； （2）为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高 为 30元每间，当 x为多少时，民宿利润最大？ （3）在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过 20间，所获利润不低于 10360元，直接写出房间定 价 x的范围． 第 7 页 共 9 页 变 2 某主播在直播平台上销售一款成本为每件 24元的商品．经调查发现，该商品每天的销售量 y（件） 与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量 y与销售单价 x之间的函数关系式；并写出自变量的取值范围． （2）若该主播按单价不低于成本价，且不高于 50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利 润是多少？ （3）若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于 1280元，求销售单价 x的取值范围？ 课后强化 1.小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系大致满足二次函数 21 8 3 3 3 y x x    ，则小强此次成绩为（ ） A．8米 B．9米 C．10米 D．12米 2.掷实心球是高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图 1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条 抛物线，行进高度 (m)y 与水平距离 (m)x 之间的函数关系如图 2所示，掷出时起点处高度为 5 m 3 ，当水平距 离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求 y关于 x的函数表达式； （2）根据高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距 离大于等于6.70m，此项考试得分为满分 10分.该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 第 8 页 共 9 页 3.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度为 20m，顶点距水面 6m，小孔顶点距水面 4.5m，当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为（ ） A．5m B．5 3m C．10m D．10 3m 4.天山胜利隧道预计于 2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率， 促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽 12米，高 8米， 按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于 0.5米，当两辆车在隧 道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔 2米（中心线宽度不计）．若宽 3米，高 3.5米的 两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 5.如图 1，用一段长为 45米的篱笆围成一个一边靠墙，并且中间有一道篱笆隔墙的矩形 ABCD菜园，墙长 为 18米．设 AB的长为 x米，矩形 ABCD菜园的面积为S平方米． （1） S ________平方米；（用含 x的代数式表示，结果需化简） （2）若分成的两个小矩形是正方形，求S的值； （3）如图 2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个 1米宽的门（无需篱笆），当 x 为何值时，S取得最大值？最大值为多少？ 6.某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接 第 9 页 共 9 页 面向消费者，提高农产品销售效率 .其中，销售一批成本为30元 /kg的农产品，按销售单价不低于成本价， 且不高于50元 /kg销售，经调查发现，该商品每天的销售量  y kg 与销售单价 x（元 /kg）之间的关系如图 所示，设每天的销售利润为w元． （1）请分别求出 y与 x，w与 x的函数解析式； （2）销售单价定为多少元 /kg时，每天的销售利润为800元？ （3）销售单价定为多少元 /kg时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 7.某公司推出一款产品，成本价10元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量 y（千克）与销售单价 x（元 /千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价之间的几组对应值如下表： 销售单价 x（元/千克） 14 18 22 日销售量 y（千克） 240 180 120 注：日销售利润 日销售量（销售单价 -成本单价） （1）求 y关于 x的函数解析式（不要求写出 x的取值范围）； （2）当销售价格 x为多少元时，日销售利润W最大，最大利润是多少元； （3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不 低于1025元，请直接写出该产品销售单价的范围_______． ❊22.3 实际问题与二次函数 思维导图 题型精析 一．投掷问题 投掷问题 第一步：建系； 第二步：根据已知条件求出“抛物线”的解析式； 第三步：求解. 题型一 投掷问题 校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是，求该同学此次投掷实心球的成绩？例1 从地面向上抛出的小球，小球的高度（单位）与运动时间（单位：）之间的关系是，则小球运动过程中，小球高于地面的时长为 ．变1 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度．例2 （1）求抛物线的表达式． （2）若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度与飞出的水平距离满足．变2 （1）这次传球的出手高度是______m，篮球飞行的最大高度是______m； （2）队员乙在篮球飞行方向上距甲处，他的最大摸高是，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ （3）球场界线在甲的传球方向前方处，如未能成功传球，篮球是否会出界？ 二．拱桥问题 拱桥问题 第一步：建系； 第二步：根据已知条件求出“拱桥”的解析式； 第三步：求解. 题型二 拱桥问题 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加（    ）例1 A． B． C． D． 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 米．变1 如图1，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下行分离的四车道高速公路长隧道．如图2是单向隧道的示意图，洞宽米，其中两侧分别设人行检修道米，左侧设侧向宽度米，右侧设侧向宽度米，行车道宽米．假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图2所示的平面直角坐标系，其中O为的中点，隧道的净高度米．（参考数据：）例2 （1）求该抛物线的解析式． （2）如果一货运汽车装载货物后的高度为4.6米，宽度为2.25米．隧道内两个行车道用实线隔开（实线的宽度忽略不计），不允许车辆随意变道．试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由． 如图①是一条抛物线形状的拱桥，水面宽AB为6米，拱顶C离水面的距离为4米．变2 （1）建立恰当的坐标系，并求出抛物线的解析式； （2）一艘货船的截面如图②所示，它是由一个正方形MNEF和一个梯形KLGH组成的轴对称图形，货船的宽度KH为5米，货物高度MN为3米．若船弦离水面的安全距离为0.25米，请问货船能否安全通过桥洞？说明理由． 三．面积问题 面积问题 第一步：利用面积公式表示出图形的面积； 第二步：利用二次函数求最值的方法求出面积的最值. 题型三 面积问题 我校为进一步激发学生劳动热情，在校园开辟了蔬菜种植基地“空翠圃”：种植基地一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为 米)，另三面用长为米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入．例1 （1）若围成的菜地面积为平方米(中间篱笆忽略不计)，求此时边的长； （2）若每平方米可收获千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 如图，学校有一面长8米的墙，生物兴趣小组打算用总长16米的篱笆在墙前面的空地上围成两个矩形分别饲养小兔和小鸡，矩形一边靠墙．变1 （1）要使小兔和小鸡活动区域总面积为21平方米，垂直于墙的边AB长为多少？ （2）若小鸡活动区域为正方形，设计方案使得小兔活动区域面积最大． 随着劳动教育的开展，某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为），用长为的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端设计了两个宽的小门，便于同学们进入．设边的长为，矩形菜地的面积为．变2 （1）用含的代数式表示（不要求求的取值范围）； （2）若围成的菜地的面积为，求此时的值； （3）可以围成的菜地的面积最大是多少？ 四．营销问题 营销问题 1.利润计算公式：利润=______×______； 2.二次函数最值的两种计算方法：________法和________法. 题型四 营销问题 某商场销售一款篮球，每个篮球进价50元，经市场部调查发现：当篮球的销售单价为60元时，该款篮球的日均销售量为200个，当销售单价在60元到95元之间浮动时（含60元与95元），每个篮球的售价每增加1元，日均销售量减少5个，设该款篮球的销售单价增加元，请回答下列问题：例1 （1）写出该款篮球的日均销售量（个）与（元）之间的函数关系式：________； （2）问当为多少元时，该款篮球日均利润的（元）最大，最大日均利润为多少元？ 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆：单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．变1 （1）若每辆轮椅降价x元，则每天可多售出______辆轮椅，则y与x的函数关系式为：________； （2）每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ “五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元／间（为10的整数倍）．例2 （1）若房间定价为300元时，则可租出去______个房间．此时，利润为______元； （2）为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当为多少时，民宿利润最大？ （3）在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价的范围． 某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品．经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．变2 （1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；并写出自变量的取值范围． （2）若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ （3）若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，求销售单价x的取值范围？ 课后强化 1.小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小强此次成绩为（ ） A．8米 B．9米 C．10米 D．12米 2.掷实心球是高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分.该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 3.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面4.5m，当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为（ ） A．5m B．m C．10m D．m 4.天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 5.如图1，用一段长为45米的篱笆围成一个一边靠墙，并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为18米．设的长为米，矩形菜园的面积为平方米． （1）________平方米；（用含的代数式表示，结果需化简） （2）若分成的两个小矩形是正方形，求的值； （3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取得最大值？最大值为多少？ 6.某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率其中，销售一批成本为元的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． （1）请分别求出与，与的函数解析式； （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为元？ （3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 7.某公司推出一款产品，成本价元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价之间的几组对应值如下表： 销售单价（元/千克） 日销售量（千克） 注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价） （1）求关于的函数解析式（不要求写出的取值范围）； （2）当销售价格为多少元时，日销售利润最大，最大利润是多少元； （3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于元，请直接写出该产品销售单价的范围_______． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$