课时训练(7)空间中直线、平面的平行-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

设点E的空粉为(0，y,),副 f=0y=-1).Ck=(-1y1, kE在PD上，P5P6 学-写0 D-(0,2,0)是平面PAB的一个法向量 ,CE∥平香PAB.CE⊥Ad. (-1y-1,x)·(0,2,0)-2(y-10-0 点一L代入D得一 0,l,是)适PD的中本， 二在棱PD上存我流E,凡当E为PD中流时 CE年面PA以 课时训练（七》空间中直线，平面的平行 L.D因为金·M=一了+4一1=0，粉以e⊥.斯 1成▣我Cm 工A苦为一号一子，所试又直线6， 不重合，阶议1e平异 3,D选撞A.B.C都能推出Ia或C:不能 璃文一定是。 4.B=(-3.-1,3),0-(2,0,-2) 币-1,1，-10.--8C市.54心不共线 六酒币，且点C不在直我AB上，AB∥D,故 达且 5.B想据题意建土空间直角业标系如图： 月 正方体的枚长为2，则A62,2,2),A1(2,2,0)。 C0,0,2,2,0,20,M2,1,1),N1,1,20: MN=(-1,0,1. 又平面点CC的一个法为量为。■(0,1,0) ,MN·n=-1X0+0×1+1X0=0,M1n 又'MN过平面BBC,CMN∥平西BBCC 6.D对于A,与直线平行的任意心零肉量每是 直线的方南☆量，A不玉：对于B:与平面香直的直线 的方向向量海是平奇的法舟量，病句量方向不生一，则 w-(号0,3) 平雪的羊丝法向量包不唯一，B不正情：时于C,两平面 的法向量平行，即这两平香可以◆直于间一直找，期两 设平面ABD的法向量为n一(2，y,), 平西平什C正确，对于D,若两直我平行，则它打岭方 fn·D网-x十-0， 肉向受平行，与巴知两直线的疗向向量不学行子盾，即 n·形-r十y-0 两直线平行是替的，两直线不单行，D正纯 取-1，剩y-1=-1,所年面ABD的 3.A超对千A,易加a=一，将以4：A玉 个法向量为和一1,1，一1). 哺：对于B,8==法，所以，B三精：时于C,D,由 函m-(侵0，）+4，-1，-1D-0,所a 于口每不是线，所以不能判新4，CD不正确. 衣L总， 米答案：一3 又MN过平面A,D,所以MN∥平面ABD, 解析：I∥平香ABC存在实教J,使a= 1L证明：这请正方体的校长为1，以D为厚成建生 :A应+yAC 加周所示的空间直角坐标泰，则 x-10,-10.0-0,1,-1》 (2.m,10-x(1,0,-1)十y(0,1,-1D=(z,3 2-x 士—y),my。w=一3 答案：5 A(1,0.o),(1,1,1D,(0,0,1).B(1,1,0),D 解析：设平南AC的米向量为n(u,,),则 (0,0,00.C0.1,1D m+源=0， a十k-2-0,① 于是=0,1,1，D官=(1t0.D萌=1.1： m+BC-0,十+2-0，② 0.=(0.1.10 0十@得，2十动-0， 设平面ABD的清南量为一(·，)， ◆-8则-36-子m-(小，-4，-》 影m·矿-+-0， DE∥平面ABC.六E,m=0,∴3x十（一3》X m·8-n十当-0 《-20+6x(是)-0.r=5, ◆判一1，则=一1，a--1,得=(=11， -10. 1n定形：知圈，以D考悉点，04.DC,DD箭在直 设平面BDC的法南量为：一(，功，面)， 线分用力士轴，3格、：禁建立空间直角坐格意， D 则·劢-+为- m·-外十-位 个为-1，则一一1，一一1，T得=(1， =1). 所以期一用，所以用∥，故平面ABD∥平 侵被玉方体的校长为1， 而BDC 期D0,0.01,A1,01D.0.l,0).M0.1} 2B利为PA⊥平雨ABCD,AB,ADC平雨 AD骑以PALAB.PAAD. 又焦面AD是正才形.前以A日⊥AD,刚PA, 于是D所-(1,0,1，D形-《1,1.0， A出，AD两两垂直， 以满A为坐标原点丽D.的方向分利为 火：物的玉才肉连立空同直角坐标幕。 则01,1，，C2,2,0),0,1,2),F(1,0,20, 所Ef-(1,-1,0),BC-《81,-2. 录平香(EF的米舟量为m=(Jy: 球·牌x一y=0 D,m-z+y红-6 ◆x-2,得m-《2.2,3》, 设G0,0a》,=《-1.一1u,周为 OG8平面CEF,所心·m一0， 即-1×2-1×计知-0.解得- 故速品 3C或A为坐韩厚点，A市，D,币正方☆为x y:他，可建立如图所空同直角坐林系， tAD=ae>0),副A(0,0,0》,P(0,0,a),C(a, ,0,0号，号）F登0，受) 所x-(告，一受0）-0,0，，元-(a ,-,-(a,受-月 设平香F℃的法向量一，y,): F,用-登一受y=0 ◆x=1,得y=1 E·w-十号y-登-0 z=3.所以=(1,1.3 花-y得G是FP心的中点G(登·登登 不-ay释H,o0》: 所a0-(堂一营0一学} 国为GW平面EFC,斯x动·一一受一受 普登-0，解得一6 效选C 4A因为0MA所议(2，一4，》x(12,别 2- 1-2, -4w,解得w一2， 1-2a, =4, 所以1十以一2 酰感A 15D到为直线上有两AA233,B211D, 所以直属的一个方府向量为AB-一(1，一1。一) 又因为e,平面自的一个涂句量为期=（一3,2： 所以nA语.年题·语=（一3）×1+2×（一1）一 2m=0, 然好国=一哥 就选B 16苦%号 解根1如图.分利敢AM A山的中克M,N,通接 MN.MC.NC:. 以D为坐茶原点，4， DC,DD所在直拔今剂为g,y,z转，建主空同直角生 格泰， 时M(10,N(01Co11). 号l心jFro,1.号A(1a,c 所x的-（0，)E时-（是0，) -(-10）-(1 故M-E法，年MN∥ER又MN女平香AEF, 制为x物，y轴，建在空同直角坐（圆略）， EFC平6AEF, CE=x,DF=y,别易如Er,1.1》,B1,1,o),F(0,9, 以MN∥平面AEF,同理可得G平面 1-y).B队1.1,1).所xB,E=(士—1,0.1)，FB=《1,1. AEF,元NONC-N,MN,NCC平面MNC. y),图为BE⊥平ABF,斯以F第，B至=(1,1y) 所以平面MNC∥平面AEF z-1.0,1)=0,x十y=1 为P是侧面ADD,A内一点（含边暮）.P℃ 5.C建立xD为皇恭原A,DB,DC,DA所在 平香AEF, 凰线舟利为工他，y种，：种的空同直角建标系（医鸣） 所以点P动在线登MN上，即点P的轨峰为MN, 受等胖重角三角形A议C的斜边拟■2，到B(1,0,O) 稀以点P的缺选卡度为N=M府-号 C0.10),D(0,0,0y,A(0.0.1),5=1.0,-10 AC=(0.1.-1).DC=(0,1.0),HD=(-1,0,0),从而 收答载为吗 有丽，-0+0+1=1，故A辑流：酒.亮-0，故 17.解：以D为悉表，分别以DA,DC.DD为x B正确：励，C=0,故C亚州：汤加平面AC的一个 袖y仙x袖购建空料真角数标系（国略）：时m一《0,1 法肉童冷向量B亦=（一1,0,0），或平面AWC的法句量 )是面ADDA的-=个涂肉量， 为n=(x于2，别元语，题=1一=0，花，是=y一 且A(a,0o,C0a0),,a0D(0,0a) 0,◆y=1,刚x=1e=,tn=(1,1,1),d,n 一1.藏D经溪， 而M,N令利是AE,CD的中点， 6.ABC .0.0.AP-0...ABL 以M平0No.号》Mw-(-产a号) P.ADLAP,板A,B正境：发？B与砂不孕行， 所误m·M衣=D,即m⊥N,故M,N先平香 是学面ACD的法句是.教C正骑，：BD ADDA,射MN∥平面ADDA. D-那-23.4》.P-(-12.-1).04产不 误时训练八】空间中直线、平面的垂直 平行，城D替误 1.⊥a与平面e平什.uL,印w·- 7.苦案：- 0,,1×8+3X2+±X1=0,=m -9 解辆：脑为L,所娱ū⊥，背误一x十￥一1=0，得 王C建主空间是角坐标系。 r-ya-l 如国所命逢正方体的校装为2，国 8.答案：一 A(2.0.0),M0,0,1D.X1.1,00- 解析：南难$得耐·武-，业耐一配。 N2,1,2..0=(-1.0.-21 ∫3+m2+2m-0, 9--2,0,1).N0,扇-0 1+2+4=4+十2，■-1， m十一一 盒我NO,AM的住至关系是开 9答案：①① 面金直 王C建立如萄所京的空同 解折：对于D,“a-.-12.6-2.1-号） 直角坐称系.而题意如A《0,0, 0b-1X21X1+2×(-主）-0，a1b,六直线 :1,o.Mfo,1.3}Pa, 1与直，①正：时，=《0,1，一1)，(1 0,N(位小期顾- -1,-1),14”m=0×1+1×〔-1)+(-1)× (}-x31)丽-(-1.1， 〔一1)■0,0⊥，1g或Ce,战②得溪，时于④ 1-(0,1,3》,周-(10,2)，1与期不关我，= -1.P1丽…(-)×-D+生×1+1× 不或立，故①错误，对于④，点A(1,0,-1),B0,1, 0,C-1,2,0,,Ai=(-1,1,1),C=(-1,1,0) 一)-0-号故选C m+亦-0， 南量w=《们，型)是平面每的读向量， ABD为厘点，DA,DC-DD所在直线分 -1中一0， 附u十=1，故因王纳.掉上，弃命是 是①A. 证明：(1)议成D考全标 原A,DA,DC,DD所在直线分利 为上轴，y种，：袖建土如田所帝的 空同童角坐标系。 期A(1,0.01.M(0,1,1), 1,1,00,A1.2,2,41,0,2边 N扇=《-1.0,1D, 秀知平面AADD的一个条向量为m一0,1，， 渴为N成·m一-1×0+0×141×0-0， 新N顽Lm 黑为NM过平面AADD, 所NMM平面A,ADD: (2设平面A:品M的次向量为题=(+y] -(0,200,A-(-1,1.-D, n+瓜-0， m,A3=0, 取7=一1，可得w(一10,10 -+y-0 所以N及一题.戴NML年面ABM L.ACA-(2,42,C心-(2y2).若B 6且⊥U, 2干子=6：解件 2×2+4y+2x=0, 山=-3 友，所以1中y一1及-点故法AC y-1. 红答黑：停语-要）(-要.-晋《-2 4,0或(2.-4，-10 解折：揭通意得AB一〔-1.-1.2》，心=(1,0,2). 授n一（红，，，希向量n是与花共线的单位购量，则 青当号·可释=（停，-}n 2+y+=1, (得-，)若▣与个南AB在直，则 ·A亦-0，-xy+2年=0 可得 n+A-0,x+2e-0课时训练（七） 空间 A级基础巩固练 1.已知直线1的方向向量是a=(3,2,1),平面 a的法向量是u=(一1,2，一1)，则l与a的位 置关系是( A.l⊥a B.l∥a C.l与a相交但不垂直 D.l∥a或lCa 2.若不重合的直线l1,l2的方向向量分别为a (1,2,一2)，b=(一3，一6,6)，则( A.l4∥2 B.l1⊥l2 C.1,l2相交但不垂直 D.不能确定 3.已知a为直线1的方向向量，OA,OB为平面 α内两个共起点的向量，则下列关系中一定 能推出l∥a的是() A.a=OA B.a=kOB(k∈R) C.a=pO月+λOi(p,A∈R) D.以上均不一定 4.在空间直角坐标系中，A(1,2,3),B(一2， 一1,6)，C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与 CD的位置关系是( A.垂直 B.平行 C.异面 D.是同一条直线 5.如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中，M,N 分别为A1B,AC的中点，则MN与平面 BB1CC的位置关系是( A.相交 15 中直线、平面的平行 B.平行 C.垂直 D.不能确定 6.(多选)下列结论正确的有() A.直线的方向向量是唯一确定的 B.平面的单位法向量是唯一确定的 C.若两平面的法向量平行，则两平面平行 D.若两直线的方向向量不平行，则两直线不 平行 7.(多选)设a,b分别是不重合的直线l1,l2的 方向向量，则根据下列条件能判断∥2的 有( Aa=(21,0),b=(-2,-4,0) B.a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1) C.a=(5,0,2),b=(0,1,0) D.a=(-2,-1,1),b=(4,-2,-8) 8.已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量 为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0, 1,0),则实数m的值是 9.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,2),DE=(x,-3, 6),若DE∥平面ABC,则x= 10.在正方体ABCD-A1BCD1中，M,N分别 是CC1,CB:的中点.求证：MN∥平 面A1BD. 63 11.如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D',求证： 平面AB'D'∥平面BDC B级)综合提升练 12.《九章算术》是我国古代 的数学名著，书中将底面 为矩形，且有一条侧棱垂 直于底面的四棱锥称为 阳马.如图，在阳马 P-ABCD中，PA⊥平面 ABCD,底面ABCD是正方形，AC与BD 交于点O,E,F分别为PD,PB的中点，点 G满足AG=λA产(0<1<1)，PA=4,AB= 2,若OG∥平面CEF,则λ=() A R司 C. n号 13.《九章算术》是我国 古代数学名著，书 中将底面为矩形， 且有一条侧棱垂直 于底面的四棱锥称 为阳马.如图，在阳 马P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面 ABCD是正方形，PA=AB,E,F分别为 PD,PB的中点，Ai=λH产，C心=G,若 15 GH∥平面EFC,则λ=() A.3 B.4 C.5 D.6 14.设平面α的法向量为(2，一4，入)，平面β的法向 量为(1,4,2)，若a∥B,则入十=() A.2 B.3 C.-2D.-3 15.已知直线上有两点A(1,2,3),B(2,1,1), 平面a的一个法向量为n=(一3,2，m),若 l∥a,则m=( ) A.2 B.1 c-2 D.- 16.如图，在棱长为1的正方体ABCD A1BCD1中，点E,F分别是棱BC、CC 的中点，P是侧面ADD1A内一点（含边 界)，若PC∥平面AEF,点P的轨迹长度 为 D B D 17.如图，在长方体ABCDA B CD中，E,M,N 分别是BC,AE,CD的中点，AD=AA=a, AB=2a.求证：MN∥平面ADDA. 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