1.4.1 第2课时空间中直线、平面的平行-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

。第一章空间向量与立体几何 第二课时 空间中直线、平面的平行 学业目标·定位 课标要求 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的 通过利用直线的方向向量和平面的法向量来判 平行关系 定或证明空间平行关系的处理，单独专程指条 2.能用向量方法判断或证明直线、平面问的平行关系。 必备知识 梳理 答案见P2501 ○情境探究 续表 观察图片，旗杆底部的平台和地面平行，旗杆所 位置 向量表示 图形表示 在的直线和护旗战士所在的直线平行.旗杆所 关系 在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向 设“是直线l的方向 向量有什么关系？ 线面 向量，n是平面a的法 由直线与直线的平行关系， 平行 向量，l过a,则l∥a台 可以得到直线的方向向量具 台 有什么关系？ 设西，西分别是不重 面面 合的平面a,3的法向 平行 量，则a∥台 n 卧科学思维 一、思考判断 1.判断正误.（请在括号中打“√/”或“×”） (1)两直线的方向向量垂直，则两直线垂 直.() 国知识梳理 (2)若一条直线的方向向量与平面的法向量 空间中直线、平面的平行 垂直，则该直线与平面垂直.() 位置 (3)若两平面垂直，则这两个平面的法向量所 向量表示 图形表示 关系 成的角一定是90°.() 设山，2分别是不重 (4)若直线1是平面a外的一条直线，直线m 合的直线4，l2的方 垂直于直线1在平面a内的投影，则1与m 线线 向向量，则∥12台 41 平行 垂直.() 2.(多选)下列命题中正确的有() A.若nm1,2分别是平面a,3的法向量，则 31 数学选择性必修第一册人教A版 n1∥n2台a∥B C.lCa B.若1，n2分别是平面a,3的法向量，则a∥ D.以上选项都不对 3Hn·n2=0 5.已知两个不同的平面a,3的法向量分别是 C.若n是平面a的法向量，且向量a与平面 n1=(1,2,2)和n2=(3,6,6),则平面a,B的 a共面，则a·n=0 位置关系是 D.若两个平面的法向量不垂直，则这两个平 二、思维探究 面一定不垂直 若直线I的方向向量m和平面α的法向量垂 3.若直线1,2的方向向量分别为”=(1,2， 直，则l是否与平面α平行？ 3,%=(-司-1，-》，则4，的位登关 系是( A垂直 B.重合 C.平行 D.平行或重合 4.已知直线1的方向向量a=(-1,2,1),平面 a的法向量b=(一2，一2,2)，则直线1与平 面a的位置关系是( Al∥a B.l⊥a 关键能力 ·探究 答案见P2501 探究一直线与直线平行的判断 中点。 求证：AE∥GC. 鲁知识深化 1.在平面a内取一个非零向量a,若存在实数 x,使得u=xa,且l中a,则l∥a. 2.在平面a内取两个不共线向量a,b,若存在 实数x,y,使得u=x十b,且l过a,则l∥a. 3.面面平行的向量表示：设1,2分别是平面 a,3的法向量，则a∥3=n1∥n2台3x∈R,使 得n1=n2. @典例精析 【典例1】如图，在底面为菱形的直四棱柱 ABCDA,B.CD中，∠BAD=号x,AM= AB=2,E,F,G分别是BB1,CC,DD1的 32 。第一章空间向量与立体几何 名师点拨 此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明 证明两直线平行的方法 这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线 法一：平行直线的传递性； 向量线性表示即可. 法二：基向量法，分别取两条直线的方向 ©典例精析 向量m,n,证明m∥n,即m=n. 【典例2】在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD 法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直 是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD, 线的方向向量用坐标表示，如m1=(x1,h, PD=DC,E是PC的中点.证明：PA∥平 1),m2=（x2,y2,22）,即证明m=m2,即x 面EDB. 一入x2且M二入y2且3=A22: [针对训练1]如图所示，在正方体ABCD A1BCD中，E,F分别为DD1和BB1的中 点.求证：四边形AECF是平行四边形 D 名师点拨罗 利用空间向量证明线面平行的3种方法 证明直线的方向向量 与平面内任意两个不 共面向量法上 共线的向量共面，即 可用平面内的一个基 底表示 证明直线的方向向量 与平面内某一向量共 方法 共线向量法线， 转化为线线平行 利用线面平行判定定 理得证 探究二直线与平面平行的判定 先求直线的方向向量 方法三 法向量法 然后求平面的法向量 证明直线的方向向量 自知识深化 与平面的法向量垂直 “向量法证明线面平行的三个思路 [针对训练2]已知正方体ABCD-A1B1CD1的 (1)设直线l的方向向量是a,平面a的法向量 棱长为2，E,F分别是BB1,DD1的中点.求证： 是u,要证明l∥a,只需证明a⊥u,即a·u=0. FC∥平面ADE. (2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线 与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平 面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平 面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线 向量即可。 (3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两 个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与 这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因 33 数学选择性必修第一册人教A版 探究三平面与平面平行的判定 [针对训练3]如图，长方体ABCD-A1B1C1D 中，AB=4,BC=3,CC=2,求证：平面A1CB∥ 自知识深化 平面ACD. 证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两 平面的法向量平行. (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共 线进行证明， @典例精析 【典例3】已知正方体ABCDA'B'CD',求证： 平面AB'D'∥平面BDC 微探究忽视直线与平面平行的条件致误 名师点拨 【典例4】已知A(1,0,0),B(0,1,1),C(1,1, 向量法证明面面平行的三种思路 0),D(1,2,0),E(0,0,1),则直线DE与平 (1)证明两个平面的法向量共线. 面ABC( (2)根据面面平行的判定定理，证明一个 A.直线DE与平面ABC平行 平面内有两个相交向量与另一个平面内的向 B.DEC平面ABC 量共线 C.直线DE与平面ABC相交 (3)证明一个平面的法向量也是另一个平 D.直线DE与平面ABC平行或DEC平面 面的法向量 ABC 随堂演练 达标 答案见P2521 1.已知直线1的方向向量s=(一1,1,1)，平面a C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) 的法向量为n=(2,x2十x,一x),若直线l∥ D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 平面a,则x的值为( 3.设不重合平面a,3的一个法向量分别为u A.-√2 B.0 (1,2,一2)，v=(-3,一6,6)，则a,B的位置 C.2 D.士2 关系为 2.(多选)若直线I的方向向量为a,平面α的法 4.已知直线L∥平面ABC,且1的一个方向向 向量为n,能使l∥a的是( 量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0), A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0) C(0,1,0),则实数m的值是 B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) 34【关键能力·探究】 探究一空属中点和直袋的向量表示 [典例精析」 [典例1]箐漏：(1》A(2)(0.0,1》(容溪不一) (0,1,1)(答案不难一) 解析：门)A0,3y,3》和B(一1.2，》，∴语= (一1,2-y一3).：直线1的一个考南向量为m=(2 -1,a),AB-m,-1=2,2一y=一k,e-3=3 解得一子一一是六一-0 (2),DD∥AA1,AA-(0,0,1D.重线DD的一 个方向向量为0,0,1)， C》AD,-(0,1.1D. :重线BC的一个方向向量为⊙，1，D [针对调蒸1】答案：(1AB2)A 解桥：(1》M,N在直我：上， =1,1,3》 就向量(1,1,3)，(2,2，)都是是观/的个方向 向量， (2)设B杰坐标为（红y,则风百=短(>0），中 (x-2,y+1,x一7)=a(8,9。一12).因为1=14，脚 6十1刀+14从=34，解样A=2.所以士=18，y■ 17,x-=17 探究二空风平面的向量表示与平面的法肉量 典例精析】 [典例2习解：'图边形A41岛H,ADD,A:A仪D 均为王才形，AA⊥B,AM⊥AD,AB⊥AD奥 AM1■AB=AD,误A为原点，分剩以A正，D,为 工轴，3物和￥釉建主如图空间真角坐帮系，曼AB AD-A41-1.y拜440.0,00.1.0.0.D(0.1,00 A0,0,1),B,(1,0,1).D0,1.1),6E为BD的中 AE合字 径面AD泥竹法南量n1一（山为，， x-(合是）-(0,1，-10 南⊥XEm上不D w语-0,2-2y一4=0， -2. 年经+中-家 0·花-0，年2上-4y-3让-0，解得 y=1 w-0,z-2y十a-0, y11-0, 所以n-(2,1,0). =-1, 又-(m-1,一2,2)，.m-2m一2-2-0， 3为=1，时n:-(-1,11 得牌一之 =1 第二课时空间中直线、不面的不行 灵平面A民CD岭浅舟量一为，》 【必备知识·桩理】 A-1,0,01,Aj=0,1,-1, [情境架究] 而nLA,高，m⊥AD 提示：平行平行 【句识腋理】 5外一4-0， mae3A∈R.使得u:=w:aLNM·n=0 =0, 1子A∈R,使得和1一源 令1，别为=1亡%=(0,11 [科辛题维] =1, -,L.(1/(2)×(3)/《40× [针对横练2】解：(1》图为y“香直于平 2.ACDB不三晚，CD正确，B中若a∥点，别 面C,品， 南，品- 所以m一(0,1，)是平看CB的一个淡向量. (2》君为AB=4,C=3,元=2，M是AB竹中 3D四为n-03,w-（一含--受》 A.稀以MC,A的业禁分别为(3,8,0)，(0.4,00.(3， 所以的=一2n:即方《姓 0,2 所以山∥成h每白重合 此C-(一3,2.0).-0，-2,2 4.Da-(-1,2.10.b-4-2,-2,20. 设n:一红y,=)是平面MCA:的读南量 则a+-2-4十2-0，放a⊥， 时m:⊥MCm⊥C 我直线年平后e的位里关系是l∥。或Ca 所以"·C--+-0. 5.答案：∥8 1m…--3十2a-0 解析：m1一(1,2,2D,:=《3,6,6 -子 用=名南m刷区 y 二提示：与a不一定平行，有两种情况：Ca或 卓士=3，则x=2,小-3 t/a. 于是m■(2,3,3)是年面CA的一个法南量 【关键能力·探究】 【随堂演裤·达标】 探究一直城与直城原行的判斯 1.BC [典例精析] 二A南题意挥直我1的一个方向向量瓦B一(2， [典例门证明：章C中点H,连牌A 4,6,又号通=1,2,3)，两以向量(1,2,5》是直线【竹 因为底岛ACD为菱形，∠AD-子 一个方向向量， 所以AH⊥AD同 3D题意易物(2，-3,10=-(-2,3，一13， 以A为原点，AH,AD,AA所在重瓶分利为x 4答案：(2,1,0)2 畅，3y轴，寒种，建主如图所币岭堂同重角坐静系 解析：径平面a的一个法向量为n-(,,,又 则A(0,0,2》.E5,-1-D,G0,2,1D,C5,1, -1,-2,-40,-(1,-2,0-(2,-4-3 02,F3,1,1) AB-(5,-1.1D,CC-w5,-1,-10, AB/GC. .A.E/GC [针对调练1】证正明：议减D为失标零成，分彩以 D成，记，可武为正文悬焦建立空周直角业标系 不与设正方体的收长为1.附A(1,0,0》,E0,0, ）-Co1,,1,,) M=（-102元=（-102）民 0,12)=(o1,2)月 正=元记- 证，a 又F年AE,F任C,AE∥C,C∥AF ∴国边彩ACF是平行国造形 探究二直线与平面平行的判定 [典例精桥] [典例2】正用：如周骨示，D是业标原克，电土空网 直角皇杆系 录PD=DC■：，接AC,BD于G,楼 猿题毫得D(0,0,0),A(u,0,01,P0,0,a》.a 0,E0.,〉 方漆一设平面DE的清向量为n=(x,y,》, -{0,号·是)(，号， 时有-0. 爱y+0-@, 。E函=0， +童-)-0 ◆1 y=-1 所以-1，一1,1. 又PA=(a0,一g.所以n,PH=a-a=0, W⊥FL 又PA度平面EDB,所议PA∥平面ED成 才法二：网为四边形A仪D是王方影，所以G是共 正为形的中心， 此AG的2禁为學号0小群以式-（登a一要） 又P队=《，，一舞，所以P风=g霜，达表明 PA/EG. 所CC平所EDB,且PA在平雨EDB.所以PAA 平面EDH, 方法三，氧静在实数1，使得A-1呢+ EA. f(a0.-m)-40,受，受)+n受-受 一m: 则0-2·量十受解一小 w-1. 一-4·号-r·登 所以P=一D止+E.又PA文◆面EDB,所以 PA平面EDB [针对割练)证明：如函所示，建是空网直角坐标 最Dxr,N有D0,0,00,A(2,0.0).G(0,2,21.2. 2,10,F0,0,1 下-0,2,1，Di-2,0,0,-o,2,t. 设m=(·为，)是平香ADE的清向重，利 上成，j·话-场-0， m上a论，则1·论-+-0 新保角0， 清三：月漆一得平面ABD'的一个油向量为恩：■ 1--2y (-1.1.-1). 令51=2，则所=一1，所议m=〔0，一1,2. 图为m1·D站-(-1,1，-1)·(1,1,0)=0，m+ 易为·周-—2十2-0，所以记⊥期， -(-1,1,-1D·(0,1,10-0 南为FC亡平面ADE,阶以FC∥平香ADE 所以，也是平面D的一个表肉重，黄或平面 凤究三平面与平面平行的判定 AD平香BD, 典例精析 [针对调陈3】证明：国为老才林UDA BCD [例3)正明：（法一）设正方体的陵卡为1，以D 所以DA,DC.DD两所0直，以D为原点，DA所在克线 为原点，建立图所零的空间直角标原： 为x畅DC所在直战分y物，D0所在是线为x陆度 空间直角坐标表： 别A1,0,0》,41,1,1,(0,0,10,B1,1,0),D (0,0,0》,C(0,1.1D, 由延为A(3,0,02,B8.4,0),C(0,4.0)A1(8,0, 以A=(0,1,1).D=(1,1,0) 2),B(3.4.2).C(0.4.20.D0,0.20 设平面ABD的读肉量为湘：=(，功，)，则 时AC=(-3,4.0),AB=(0,4,-2).C= :男矿十-0 (-3,4,0),A可=（-3,0,2. m1DB.m,·Dg-十n=0 夜平面ACB竹法南量为w-(2,y,), 令势=1，可得平西D的一个法肉量为1= 则…G-6. -r+4y=0 ◆于■4，得和回 (-1,1,-10 m.A3=0,y-2e-0, 设平面C的读肉量为，（为） (4,3,6). 等威， 後平面ACD的法向量为m=(x,√，x), a⊥D 义D明=0l,o9,=(o.1,, m,A可=0. -3z/+2e'=0, 公 m=(4,3,6). 国为n成m,所a平面ACBN平面ACD 令为-1，可得平面BDC的一个法向量为 微探究忽提直线与平置平行的条件致便 4-《-1,1-10. [奥例4门B因为A语=(-1,1,1)，=1.0： 别1n,所议用， -1),登平面AC的一个法向量为是=（红，y,1),副e 被平面ABD∥平面DC AB-0,m.心-0， (法二》电接一为=（一1,0,1）.以=（一1,0， 1D,-(0,1,1》,D°-(0,1,1，斯x- 1-1=0 Iva A-C.身AU∥C.AB∥DC -(-1.-210 需为AD了在平面B,AB过年面B,孩 所以l·n=(-1,-2,1)+(1,0,1)-0, 平面DC,DCC平面BDC,所以AD∥平面DC 所以殖⊥n,D泥∥平面ABC成D泥C平 A矿∥平面BDC 面ABC 又AD门AB=A. 周冷=(1.1，-1)，期以=2+AB. 青议平面ABD'及平面B, 所以A,B,C,Dm或表面， 中高D热平西ABC有，前以二平面A风达民 易错原因 纠错心将 木题悬得直线DE的方肉 当直气的方钩向 向整D述白早面ABC售连 量只平面的生向 易 向量垂直，进霄得到直线 量量直时，直项与 DE与平雨A平行的 平面岭位里关系 W误解答，实际上，当直战 有而种4一是直战 DE在平国AC内，k有 与平留平行：二是 证与平需A以的法肉量 直线在平道内，具 紧直，因北，秀线一步判康 体是零一种，应进 DE是香在平面ABC卡， 一岁考叠. 【随常演练·达标】 LD18平后，∴sm,即5·W-0, (-1,1.1D·《8.+x,-z)=0,m-2+2+ xT一0，x-士区 名AD若a,别a·-0而A中年-0，B中年 n=1十5=6C中a"=-1.D中a"想=-3+3=0 玉答案：平行 解折：=-31,2，-2)=-2w, fa//8 4答案：一3 解折：，平面A 六存在实数y,发=rA+yC风酒=(1,0， -10.C=(0.1.-1) (2m,1》=x(1,0,→1)+y(0.1.-1)=(x4y 2x4 m-y. w=一3 第三课时空间中直线、平面的重直 【必备知识·棱理】 [情镜探究 提示问题1：因为柱子与地而套直，所以住子和地 面的任意线垂直，那么在地面内存在一条直线！与m在 同一平面内，且都与柱子垂直，所以/从燥，由线面平行 的用断定理可推出校门上都的下边线与地围平行。 问题2：能任明刚的方向向量与泡隆的达向址看 直即可， 同题3，不一定，也可能在：内