5.1 方程解的存在性及方程的近似解(课时训练)-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(北师大版)

y=(号)八.易知①8③正确 8.解(1)根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应 选择的函数模型是y=a·b(a>0,b>0且b≠1)， a·6°=1500， 由题意得 a·6'=2250, a=1500, 解得 = 所以y=1500,(2) (2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r,依题意 得，50000(1-r》5-50000(1-10%),解得1-，-0.9. 设从2020年年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为 y辆， 则有y=500001-ry=50000(0.9), 设从2020年年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过 传就能源汽奉， 则有150·（受）广>5000(0.g),化简得3· (2)>1oo(a.g) 所以g3+xg3-1g2)>2+号(2g3-1), 2-g3 —≈8.09， z之+2g3-82 故从2020年年底起经过9年后， 即2029年年底该地区的新能潭汽车的数量将超过传统能 源汽车 9.解(1)以身高为横坐标，休重为纵坐标，画出散，点图. y 0 根据点的分布特征，可考虑以y=口·b作为刻画这个地 区未成年男性的体重与身高关系的函数模型，取其中的两组数 据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y■a·b,得 f7.9=a·b", 用计算器算得a2,b=1.02 47.25=a·610 这样，我们就得到一个函数模型y=2×1.02 将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图 原，可以发现，这个函数模型与已知数据的椒合程度较好，这说 明它能校好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系。 (2)将x=175代入y=2×1.02得y=2×1.025,由计算 4 器算得y63.98.由于78÷63.981.22>1.2，所以这个男生 偏胖 第五章函数应用 §1方程解的存在性及方程的近似解 1.1利用函数性质判定方程解的存在性 1.A 2.B由f(x)=4一2一2=(2一2)(2+1)=0得2= 2,解得x=1. 3ABD由于y=（号）广在(0，+∞)上单调递减y 1ogx在(0，十o)上单调适增，可得f(x)-(号）广-1ogx在 定义城(0，十oo)上是减函数，当0<a<b<c时，f(a)>f(b)> f(c),又因为f(a)·f(b)·f(c)<0,f(d)=0,所以①当 f(a),f(b),f(c)都为负值时，则a,b,c都大于d,②当f(a)> 0f(b)>0,f(c)<0时，则a,b都小于d,c大于d.笨合①②可 得d>c不可能成立. 4.C由列表可知f(-1)=g(-1)十1-3=0.37-2= -1,63,f(0)=g(0)-0-3=1-3=-2,f(1)=-1.28, f(2)=2.39,f(3)=1439,:f(1)·f(2)<0,.函数f(x)的 一个零点所在的区间为(1,2. 5.C当0r<2时f)-,光时f儿)*调适增. 当x>2时，)=（合）”+1，此时fx)单调运减， 又函数f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于y轴对 称，作出函数f(x)的图象如下 y y=m =) 0 国为函数y=∫(x)一m有且仅有4个零点，所以函数y= f)与y=m的图象有4个交点，根据图象可知1<m<号，即 实数m的取位花围是(1，哥），故选C 61因为e)-h2)》上-hx士+h2定义线为 (0,十∞)，且y=hx与y=-上二均在(0，十∞)上单调递增， x 所以f(x)在(0，十c∞)上单调递增， 又f-n2-1<0,f2)=h4->h。-2-1- 合-日所以08<0，所以e)在0,2)上春在度-本 点，所以k=1. 7.3当x<0时，由f(x)=0,得x=一4，当x≥0时，由 f(x)=0,得x=4或x=0 故函数共有3个零点 8.C:a,B是函数f(x)的两个零点， .f(a)=f(p)=0. 又f(a)=f(b)=一2<0，结合二次函数的图象（如图所 示)可知a,b必在a,B之间.故选C 9.B令f(x)=e一x-2,在定义城R上为连铁函数， 又f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0, 所以方程e一x一2=0的一个实根必在(1,2)， 所以k=2 故选B xo≥1， 10.-1(0,1)由方程f(x0)=-1得 xo<1, x=-1, 解得x。=一1，关于工的方程f(x)=k有两个不同零点等 价于y=f(x)的图象与y=有两个不同的交点，观察图象可 知，当0<k<1时，符合题意. 11.解由f(x十1)=f(x-1),别f(x)=f(x-2),枚函 数f(x)为周期为2的周期函数 :函数g(x)=f(x)一ax哈有8个零点， .f(x)一ax|=0在（一∞，0）上有四个解， 即f(x)的图象与直线y=alx在（一∞，0）上有4个公 共点 又当x∈[-1,0]时，f(x)=-x2+1, .当直线y=一ax与y=一(x十4)2十1相初时，即可在 (一∞，0)上有4个公共点， ,x2+(8-a)x+15=0. .△=(8-a)2-60=0. .a>0,∴.a=8-2√15. 1.2利用二分法求方程的近似解 L.B因为函数f(x)=x一2十lgx为增函数且在区间(1， 3)内逢续，又f(受)<0，f2)>0,所以方程x-2+g=0的 近似解所在的区间为（受，2）.故选B 2.ACDf(x)=x2-4x十4=(x-2)2,f(2)=0,当x<2 时，f(x)>0,当x>2时，f(x)>0,在零点两侧函数值同号，不 能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号 故选ACD. 3C易知方程x2一4x十m=0有实数根，且△=16 4m=0,知m=4. 4AB由表格函数值在0的左右两侧，最接近的值，即 f(2.5)年-0.084，∫(2.5625)≈0.066可知方程lnx+ 2x一6=0的近似根在(2.5,2.5625)内，因此选项A中2.52符 合，选项B中2.56也符合，故选AB 5.2.875由二分法的求解过程知，下一个f(m)为 f(3+号7)=f2.875),所以m=2.875. 2 6.1记f(x)=e一x一2，则该函数的零点就是方程 c一x一2=0的实数根， 由题表可知f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0, f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(3)=20.09-5>0. 由零点存在性定理可得f(1)·f(2)<0, 故函数的零点所在的区问为(1,2).所以k=1. 1,6第1次取中点起坪点数减半为=32，第2次取中 点北坪点款减丰为号-16，第3次取中点把坪点款减丰为号 8,第4次取中点把坪点最减半为-4，第5次取中点把坪点 数减率为登-2，第6次取中高起坪点数减半为号=1，所以至 多需要检洲的次数是6. 8.解：f1)-1-3=-2<0,f(2)-2-3-5>0,因此可取 区间[1,2作为计算的初始区间，用二分法遂次计算，见下表： 次数左端点 左端点函数值 右端点右端点函数值区间长度 -2 2 1 2 1 -2 1.5 0.375 0.5 1.25 -1.0469 1.5 0.375 0.25 4 1.375 -0.4004 1.5 0.375 0.125 51.4375 -0.0295 1.5 0.375 0.0625 从表中可知1.5-1.4375引=0.0625<0.1， .函数y=x3一3精确度为0.1的零，点，可取1.44 9.ABD由二分法的步骤可知①零点在(0,4)内，则有 f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中点2：②零点在 (0,2)内，则有f(0)·f(2)0,则f(0)>0,f(2)<0,取中点1：③零 点在(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0,f2)<0,取中点 :④零点在(1，)内，则有f0)·f()<0,则f1>0, (2)<0,则取中点吾：回家点在(，三）内，则有 ()·f(2)<0,则f()>0,(2)<0,所以与fo) 符号不同的是f4,f(2,(),故选ABD, 10.17fx)=士-nx在(0，十∞)内为减函数， 又fa)=1>0,f2)=2-h2<0, .f(x)的零，点x。∈(1,2)，故n=1. 设至少需等分m次，则（分）广厂<0,01且m∈N, 解得m≥7，故至少需等分7次 1Ⅱ解原方程可化为3一中市十1=0， 即3= +11 1 令g《x)=3产，h(x)-中有1一1，在同-平面直角坐标系 中，分别高出品教g)=3与h()有一1的商图， g h(x) g(x)与h(x)图象的交点的横坐标位于区间（一1,0），且只 有一个交点，.原方程只有一个解工=x0.令f(红x)=3十 x+13-x+市+1，“f(0)-1-1+1-1>0,f(-0.5) 2-2+1=13 <0,∴x6∈（一0.5,0）.用二分法逐次计算， 列表如下： 次数左端点 左端点函数值右端点右端点函数值区间长度 1 -0.5 -0.4226 0 1.0000 0.5 2 -0.5 -0.4226 -0.25 0.4265 0.25 3 -0.5 -0.4226 -0.375 0.0623 0.125 4 -0.4375 -0.1594 -0.375 0.0623 0.0625 45 1-0.4375-(-0.375)1=0.0625<0.1, ,∴.原方程的近似解可取为一0.4375. 12.解(1)令f(x)=2+2x-5.因为函数f(x)=2+ 2x一5在R上是增函数，所以函数f(x)=2+2x一5至多有一 个零点.因为f(1)=2+2×1-5=-1<0,f(2)=2+2× 2一5=30，所以函数f(x)■2+2x-5的零点在(1,2)内. (2)用二分法逐次计算，列表如下： 次数左端点 左端点函数值右端点右端点函数值区间长度 1 1 -1.0000 3.0000 2 2 1 -1.0000 1.5 0.8284 0.5 3 1.25 -0.1216 1.5 0.8284 0.25 4 1.25 -0.1216 1.375 0.3437 0.125 5 1.25 -0.1216 1.3125 0.1087 0.0625 图为11.375-1.251=0.125>0.1，且|1.3125-1.25= 0.0625<0.1, 所以函数的零点近似值可取1.3125， 即方程2十2x■5的近似解为1,3125. 13.解(1)设2024年每台A种型号电脑的生产成本为 p元，根据题意，得(1+50%)p=5000×(1十20%)×80%， 解得力=3200. 故2024年每台A种型号电脑的生产成本为3200元. (2)设2020一2024年间平均每年生产成本降低的百分率为 x(0<x<1),根据题意，得5000(1一x)1=3200. 令f(x)=5000(1-x)-3200,求出x与f(x)的对应值 (精确到个位)如下表： 次数 左端点 左端点函数值右端点右端点函数值 区间长度 1 0 1800 -3200 2 0 1800 0.5 -2887.5 0.5 0 1800 0.25 -1617.9688 0.25 4 0 1800 0.125 -269.0918 0.125 5 0.0625 662.3810 0.125 -269.0918 0.0625 6 0.09375 172.5786 0.125 -269.0918 0.03125 7 0.09375 172.57860.109375 -54.06660.015625 80.1015625 57.77800.109375 -54.06660.007813 所以原方程的近似解可取0.1025. 故平均每年生产成本降低的百分率约为10.25%. 14.解(1)盛数f(x)在区间[0，+∞)内是增函数. 理由如下：令0≤x1<x,由于∫(x1)一(x2)= 石-E=<0,即f0x1)<f(z),故函数 √x+√xa f(x)在区间[0，十∞)内是增函数 (2)g(x)=√E十logx-2是增函数. ,g(1)=1十log21-2=-1<0,g(3)=√3十log3-2>0, g(2)=2+log22-2=2-1>0, ,蓝数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点. g(1.5)=√/1.5+10g1.5-2≈1.225+0.585-2 -0.19<0,g(1.75)=√/1.75+1og1.75-2≈1.323+ 0.807-2=0.13>0, ,.西数的零点在(1.5,1.75)内. 1.75-1.5=0.25<0.3, .g(x)零点的近似值为1.6.（函数g(x)的零，点近似值取 区间[1.5,1.75]中的任意-个数都可以) §2实际问题中的函数模型 2.1实际问题的函数刻画 2.2用函数模型解决实际问题 =15，故 1D由题意知，组装第A件产品所需时间为 组装第4件产品所需时间为号=30，解得c=60.将c=60代入 后=15，得A=16 2.C设矩形的长为x,宽为y, 则以工为底的三角形和该锐角三角形相似，可得无 02y-0- 则矩形面积S=xy=x(30-x)=一(x一15)2+225，当矩 形长x=15时，面积S最大，为225. 故选C 3,C设经过n次过滤，产品达到市场要求， 则品×()广≤0（号）广≤动 由lg号<-g20, 身a2-3-+.得号*24 49由题意知，将(3，号)(5，号).(0，)入y log-(3+m)+=3 m=一1 1og(x十m)+b得1og.(5十m)+b= 1 10 1b=3 1og(9+m)+b= 3 画数模型为y=16gc一D十号 六当x=3时y-号 4 故当线上的粉姓量为33万人时，线下销售健身卡的利润大 约为万元 5解由题意知40-24=(88-20)·（侵）产。 即}(》，解得=10 故T-24=(8-20·()高 当T=35时，代入上式，得35-24=(88-24).（侵）， (合)产品 两边取对数，解得1≈25.3. 因此，的需要25.3min,可降温到35℃ 6B可设A,B的成本价分别为x元、y元，则(1十 20%)2×x=23.04,(1-20%)2×y=23.04,所以x=16,y= 36.成本价为x十y=52(元)，实际销售额为2×23.04= 46.08(元)，显然亏损额为52一46.08=5.92（元）.故选B 7.BD对于选项A,圈O的“太极函数”不止一个，故进项 A错误：对于选项B,由于函数f(x)= E-x(x≥0)，当 -x2-x(x<0), x≥0时，f(-x)=-x2+x=一f(x):当x<0时，f(-x)= x+x=-f(x),故f（x)= |x2-x(x≥0)， 为奇西数，所以 -x2-x(x<0) |x2-x(x≥0)， 根据对称性可知面数f(x)= 为周O的一个 -x2-x(x<0) “太极函数”，故选项B正确：对于选项C,函数g(x)=x-3x 的定义战为R,g(一x)=一x3十3红=一g(x),也是奇函数，故 函数g(x)=x3一3江是國O的“太极函数”，故选项C错误；对 于选项D,函数h(x》=ln(√x十1十x)的定义城为R, A-x)=hd2币-）=南+ 1)=-n(F+i+ x)=一h(z),也是奇函数，故函数h(x)=n(√+1十x)是 圈O的“太极函数”，故选项D正璃，故选BD &1由题意得是·09r<号：因为k>0,所以09r< 号，两边取常用对款得lg09<g子，因为收0,9<0， 1 g3-g3g3=0.477 所以x>g09g9号1-2ig3—0.954≈1037， 即至少通过这样的玻璃11块 9.降低成本，票价不变增加票价由题图①知，点A表 示无人乘车时，收支差额为一20元，即运行成本为20元：点B 表示10人乘车，收支平衡，收支差额为0.线段AB上的，点表示班级 姓名 第五章 05 §1方程解的存在性及方程的近似解 1.1利用函数性质判定方程解的存在性 A级|必备知识基础练 6.(探究，点四)(2025江苏盐城月考)函数f(x)= 1.(探究，点二)下列图象表示的函数中没有零 1n(2x)-的零点在区间(k,k十1D内，则正 点的是( 整数k= 不h x(x+4),x<0, 7.(探究点二)已知函数f(x)= x(x-4),x0, 则该函数零点的个数为 2.(探究点一)函数f(x)=4一2一2的零点 B级|关键能力提升练| 是( 8.已知函数f(x)=(x一a)(x一b)-2,并且 A.(1,0)B.1 c D.-1 a,B是函数f(x)的两个零点，则实数a,b, 3.(探究点三)（多选题）已知函数f(x) a,3的大小关系可能是() (号)-lgx,0<a<b<c,f(a)·fb)· A.a<a<b<B B.a<a<B<b C.a<a<b<B D.a<a<B<b f(c)<0,实数d是函数f(x)的一个零点，给 9.方程e一x一2=0的一个实根所在的区间 出下列四个判断，其中可能成立的是( 为(k一1，k)(k∈N),则k的值为() A.0<d<a B.c>d>b A.1 B.2 C.3 D.4 C.d>c D.a<d<c 1 4.(探究点四)已知函数f(x)与g(x)满足的关 10.已知函数f(x)= 若f(xo)=-1, 系为f(x)一g(x)=一x一3，根据所给数表， x3,x<1, 判断f(x)的一个零点所在的区间为( ) 则xo= ,若关于x的方程 x-10123 f(x)=有两个不同零点，则实数k的取 g(x)0.3712.727.3920.39 值范围为 A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3) C级|学科素养创新练 5.(探究点三)(2025安徽安庆阶段测试)已知 函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0 11.若定义在R上的偶函数f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),且当x∈[-1,0]时， 16x,0r≤2， 5 f(x)=一x2十1，如果函数g(x)= 时，f(x) 若函数y= （号》产+1x>2. f(x)一ax恰有8个零点，求实数a的值 f(x)一m有且仅有4个零点，则实数m的 取值范围是( A[o,) B(o.) c(1,) D.(-∞， 279 班级 姓名 第五章 05 §1方程解的存在性及方程的近似解 1.2利用二分法求方程的近似解 A级|必备知识基础练 下一个求f(m),则m= 1.(探究点一)(2025上海长宁高一期末)设 6.(探究点一)根据表格中的数据，可以判定方 f(x)=x一2十lgx,现用二分法求方程 程e一x一2=0的一个实数根所在的区间 x一2十lgx=0在区间(1,3)内的近似解，计 为(k,k十1)(k∈N),则k的值为 -1 0 2 3 算得f1)<0,f()<0,f(2)>0,f(3)> e 0.37 1 2.72 7.39 20.09 0,则近似解所在的区间为( x十2 1 2 A(1,) &(停， 7.(探究点三)一块电路板的线路AB之间有 64个串联的焊接点（不含端点A,B),如果 C.(2,3) D.不能确定 线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想 2.(探究，点一)（多选题）下列函数中，能用二分 检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测 法求函数零点的有() 次 A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x2-4x+4 8.(探究点二)用二分法求函数y=x3一3的一 C.f(x)=logux D.f(x)=e-2 个正零点（精确度0.1）. 3.(探究，点一)若函数f(x)=x2一4x十m存在 零点，且不能用二分法求该函数的零点，则 m的取值范围是( ) A.(4,+∞) B.(-c∞，4) C.{4} D.[4,十o∞) 4.(探究点二)（多选题）某同学求函数f(x)= lnx十2x一6的零点时，用计算器算得部分 函数值，如表所示： f(2)≈-1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈-0.084 f(2.75)≈0.512f(2.625)≈0.215f(2.5625)≈0.066 则方程lnx十2x一6=0的近似解（精确度 0.1)可取为() A.2.52B.2.56C.2.66D.2.75 5.(探究点二)(2025上海徐汇高一期末)用二 分法求函数y=f(x)在区间(2,3)上的零点 的近似值，由计算得f(2)=一2，f(3) 0.625,f(2.5)=-0.984,f(2.75)=-0.26. -280 B级【关键能力提升练 12.已知方程2+2x=5. 9.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的，且 (1)判断该方程解的个数以及所在区间： 函数f(x)的唯一零点同在(0,4)，(0,2)， (2)用二分法求出方程的近似解（精确度0.1）. 参考数值： (1,2》.(月，)内，则与了0)符号不同的是 x1.18751.1251.251.31251.3751.5 ( ) 22.2782.1812.3782.4842.5942.83 A.f(4)B.f(2) C.f(1) D.f() 10.已知f)=-hx,在区间6，m十1n∈ Z)内有一个零点xo,则n= .若 用二分法求x。的近似值（精确度0.01），则 至少需要将区间等分 次. L求方程3+千一0的近似解（精确度Q1》. 281 13.某公司生产A种型号的电脑，2020年平均 C级|学科素养创新练 每台电脑的生产成本为5000元，并按纯利 14.已知函数f(x)=√ 润为20%定出厂价.2021年开始，公司更新 (1)判断函数f(x)在区间[0，+∞)内的单 设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使 调性，并用定义证明。 生产成本逐年降低，2024年平均每台A种 (2)函数g(x)=f(x)十log2x一2在区间 型号的电脑出厂价仅是2020年的80%，实 (1,3)内是否有零点？若有零点，用“二 现了纯利润50%. 分法”求零点的近似值（精确度0.3）；若 (1)求2024年每台A种型号电脑的生产 没有零点，请说明理由。 成本： (参考数据：√1.25≈1118,1.5≈1.225， (2)以2020年的生产成本为基数，用二分法 求2020~2024年间平均每年生产成本 √1.75≈1.323,10g21.25≈0.32，log1.5≈ 降低的百分率（精确度0.01）. 0.585,log21.75≈0.807) 282—