7.1 随机现象与随机事件-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(北师大版)

第七章 概率 §1随机现象与随机事件 1.1随机现象1.2样本空间 1.3随机事件1.4随机事件的运算 1.了解随机现象、样本点和样本空间的概念 2.理解随机事件的概念，在实际问题中，能正确地求出事件包含的样本点的个数，并会写出相应的 学习目标 样本空间。 3.理解事件的关系与运算，并会简单应用. 4.理解互斥事件与对立事件的概念及二者之间的关系 基础落实·必备知识一遍过 知识点1现象的相关概念 自主诊断 1.确定性现象：在一定条件下必然出现的现 1.判断正误.（正确的画√，错误的画×） 象，称为确定性现象， (1)确定性现象是必然发生的现象， 2.随机现象：在一定条件下，进行试验或观 (2)随机现象是在试验之前能预测出会出现哪一个 察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法 结果的现象。 ( 预言会出现哪一种结果的现象，称为随机现象 2.以下现象是随机现象的是( 名师点睛 A.过了冬天就是春天 B.物体只在重力作用下自由下落 随机现象的两个特点 C.不共线的三点确定一个平面 (1)结果至少有两种； D.下一届奥运会中国获得30枚金牌 (2)事先并不知道会出现哪一种结果。 知识点2样本空间 点的个数是有限的，那么称样本空间2为有限 1.试验：在概率与统计中，把观察随机现象 样本空间。 或为了某种目的而进行的实验统称为试验，一般 思考辨析 用E表示，把观察结果或实验结果称为试验 对于同一试验E的样本点与样本空间是什么 结果 关系？ 2.样本空间：一般地，将试验E的所有可能 结果组成的集合称为试验E的样本空间，记 作2. 3.样本点：样本空间2的元素，即试验E的 每种可能结果，称为试验E的样本点，记作ω： 4.有限样本空间：如果样本空间2的样本 192 §1随机现象与随机事件 自主诊断 1.判断正误.（正确的画√，错误的画×） (1)如果试验E的样本空间中只含有一个样本点， 则它是有限样本空间。 () 3.(人教A版教材例题)抛掷两枚硬币，观察它们落 (2)样本空间2是其自身的子集，因此2是一个 地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间. 事件 () (3)空集不含任何样本点，因此空巢不是一个事件 () 2.(人教A版教材例题)抛掷一枚硬币，观察它落地 时哪一面朝上，写出试验的样本空间. 知识点3随机事件 (3)方程x8+2x十3=0有两个不相等的实根. 1.随机事件：一般地，把试验E的样本空 (4)函数y=logx(a>0且a≠1)在定义域上为增 间2的子集称为E的随机事件，简称事件.常用 函数 A,B,C等表示 2.(人教A版教材例题)如 2.必然事件：样本空间2是其自身的子集， 图，一个电路中有A,B, 因此2也是一个事件：又因为它包含所有的样 C三个电器元件，每个元 本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，2都必 件可能正常，也可能失 然发生，因此称2为必然事件。 效.把这个电路是否为通路看作一个随机现象，观 3.不可能事件：空集心也是2的一个子集， 察这个电路中各元件是否正常 可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点， (1)写出试验的样本空间； 它在每次试验中都不会发生，故称心为不可能 (2)用集合表示下列事件： 事件 M=“恰好两个元件正常”： N=“电路是通路”； 名师点睛 T=“电路是断路” 应注意事件的结果是相对于条件而言的，所以必须 明确何为事件发生的条件，何为此条件下产生的结果. 44444 思考辨析 事件的分类是确定的吗？ 自主诊断 1.判断下列事件是否为随机事件，是的画√，不是的 画× (1)“瑞雪兆丰年” ( (2)长度为2,3,4的三条线段可以构成一直角三 角形。 193 数学「第七章概率 知识点4随机事件的运算 (3)A∩B或AB表示事件A与事件B同时 发生 1.交事件与并事件 思考辨析 名称 定义 表示法 图示 般地，由事件 “事件A与B至少有一个发生”的含义是什么？ 交事件 A与事件B都 (或积 发生所构成的事 A∩B A B 件，称为事件A 事件) (或AB) 与事件B的交 事件（或积事件） 一般地，由事件 A和事件B至 自主诊断 少有一个发生 1判断正误.（正确的画、√/，错误的画×） (即A发生或 (1)事件A∩B是由事件A与事件B所有的样本 并事件 B发生，或A, AUB 点构成的集合 () (或和 B都发生)所构（或A+B) 事件) (2)若事件A与B是互斥事件，则事件A与B同 成的事件，称为 时发生这一事件是不可能事件 () 事件A与事件 (3)对立事件一定是互斥事件， () B的并事件（或 (4)互斥事件一定是对立事件. () 和事件) 2.同时抛掷两枚硬币，向上都是正面为事件M,向上 2.互斥事件与对立事件 至少有一枚是正面为事件N,则有( ) A.M∈N B.MON 一般地，不能同时发生的两个事件A 定义 C.M=N D.M∩N=g 与B(A∩B=②)称为互斥事件 3.(人教A版教材例题)一个袋子中有大小和质地相 符号A∩B=必（或AB=) 同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2 互斥 个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随 事件 图示 机摸出2个球.设事件R,=“第一次摸到红球”， R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”， 注意 例如，在掷骰子试验中，记C,={出现1 G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”， 事项 点}，C2={出现2点)，则C1与C2互斥 N=“两个球颜色不同” 若A∩B=d,且AUB=2,则称事 定义 (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上 件A与事件B互为对立事件 述各事件： 对立 (2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么 图示 B 事件 关系？ 注意 (3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关 A的对立事件一般记作A 事项 系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有 什么关系？ 名师点睛 事件运算的性质 (1)AUB=BUA. (2)并事件包含三种情况：①事件A发生，事件 B不发生：②事件A不发生，事件B发生：③事件 A,B都发生.即AUB表示事件A,B至少有一个 发生 194 §1随机现象与随机事件 式重难探究·能力素养速提升 探究点一样本点与样本空间 【例1】同时掷3枚硬币，观察落地后这3枚 1变式探究同时掷3枚硬币，观察落地后这 硬币出现正面还是反面。 3枚硬币出现正面还是反面，写出这个试验中“恰 (1)写出这个试验的样本空间. 有一枚正面向上”这一事件包含的样本点。 (2)求这个试验的样本点的总数 (3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几 个样本点？ [课堂笔记] 规律方法确定样本空间的方法 (1)必须明确事件发生的条件： (2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案，特 别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要 做到既不重复也不遗漏， 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444 探究点二\ 随机事件的概念及分类 【例2】以下的随机事件中不是必然事件的 规律方法1.要判断一个事件是必然事件、随 是( 机事件、还是不可能事件，要从定义出发 A.标准大气压下，水加热到100℃，必会 2.必然事件和不可能事件不具有随机性，但为了 沸腾 统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的 B.长和宽分别为a,b的矩形，其面积为aXb 特殊情形，具有随机性的和不具有随机性的事件都可 C.走到十字路口，遇到红灯 以理论上认为是随机事件. D.三角形内角和为180° 1变式训练11从6个篮球、2个排球中任选 [课堂笔记] 444444444444444444444444+4444444444444 3个球，则下列事件中，不可能事件是() A.3个都是篮球 B.至少有1个是排球 C.3个都是排球 D.至少有1个是篮球 195· 数学「第七章概率 探究点三互斥事件与对立事件的判定 【例3】某小组有3名男生和2名女生，从中 规律方法互斥事件和对立事件的判定方法 任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件 利用基本概念，要判断两个事件是不是互斥事 是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立 件，只需要找出各个事件所包含的所有样本，点，看它 事件. 们能不能同时发生，在互斥的前提下，看两个事件中 (1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”； 是否必有一个发生，可判断是否为对立事件.注意辨 (2)“至少有1名男生”与“全是男生”； 析“至少”“至多”等关键词语的含义，明晰它们对事件 (3)“至少有1名男生”与“全是女生”； 结果的影响。 (4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生” 1变式训练21(1)把红、黑、蓝、白4张纸牌随 [课堂笔记] 机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件 “甲分得红牌”与事件乙分得红牌”是() A.对立事件 B.不可能事件 C互斥但不对立事件D.以上答案都不对 ★(2)从一批产品中取出3件产品，设A= {3件产品全不是次品}，B={3件产品全是次 品}，C={3件产品不全是次品)，则下列结论正确 的是 (填序号) ①事件A与事件B互斥：②事件B与事件C 互斥；③事件A与事件C互斥；④事件A与事件 B对立；⑤事件B与事件C对立. 探究点四 事件的运算 角度1事件间的运算 【例4】（多选题）(2025四川巴中期末)某人 连续投篮三次，每次投一球，记事件A为“三次都 投中”，事件B为“三次都没投中”，事件C为“恰 有两次投中”，事件D为“至少有两次投中”，则 A.ACD B.B∩D≠☑ C.AUC=D D.BD=B [课堂笔记] 盘规律方法事件间的运算方法 (1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的 试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行 事件间的运算 (2)利用Venn图.侍助集合间运算的思想，分析 同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果 在图中列出，进行运算 196 §1随机现象与随机事件 1变式训练3盒子里有6个红球、4个白球， 现从中任取3个球，设事件A={3个球中有1个红 球2个白球}，事件B={3个球中有2个红球1个 白球}，事件C={3个球中至少有1个红球}，事件 D={3个球中既有红球又有白球). 粒规律方法事件运算应注意的两个问题 (1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义， (1)事件D与A,B是什么样的运算关系？ 二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部 (2)事件C与A的交事件是什么事件？ 结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果 进行分析 (2)在一些比较复杂的判断事件之间互斥关系的 题目中，要严格按照定义来推理. |变式训练4设A,B,C为三个事件，下列 表述不正确的是() A.ABC表示事件A不发生且事件B和事件 C同时发生 B.A十B+C表示事件A,B,C中至少有一 个没发生 C.A十B表示事件A,B至少有一个发生 D.ABC+ABC+ABC表示事件A,B,C 恰有一个发生 角度2事件运算的综合问题 【例5】抛掷编号为1,2的两枚骰子，记“1号 本节要点归纳 骰子出现2点”为事件A,“2号骰子出现3点”为 1.知识清单： 事件B,分别判断下列两对事件是否为互斥事件： (1)随机事件、必然事件、不可能事件的概念； (1)事件A与事件AB; (2)实际问题中样本空间及样本点的求法； (2)事件B与事件AB. (3)随机事件的含义，随机事件的样本空间的 [课堂笔记] 表示： (4)交事件与并事件： (5)互斥事件与对立事件. 2.方法归纳：列举法、Venn图法， 3.常见误区：因未按照一定的顺序列举样本 点，导致样本点重复或遗漏；未弄清事件之间的关 系，导致互斥、对立事件判断错误 了学以致用·随堂检测促达标 L.下列现象：①当x是实数时，x一|x|=2; ④体育彩票某期的特等奖号码， ②某班一次数学测试，及格率低于75%； 其中是随机现象的是() ③从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸 A.①②③ B.①③④ 团中任取一个，取出的纸团是偶数： C.②③④ D.①②④ 197 数学「第七章概率 2.从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任 C.互斥但不对立事件D.对立事件 意抽取3件，则必然事件是() 4.为了丰富学生的课外生活，某校要组建数学、计 A.3件都是正品 B.至少有1件次品 算机、航空模型3个兴趣小组，小明要选报其中 C.3件都是次品 D.至少有1件正品 的2个，则包含的样本点共有 个 3.已知事件M“3粒种子全部发芽”，事件N“3粒 5.打靶三次，事件A,表示“击中i次”，i=0,1,2, 种子都不发芽”，那么事件M和N是() 3,则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、 A.不可能事件 B.不是互斥事件 并运算应表示为 §2 古典概型 2.1古典概型的概率计算公式2.2 古典概型的应用 第1课时 古典概型的概率计算公式及其应用 1.理解古典概型的定义及两个基本特征 学习目标 2.掌握古典概型的概率计算公式，会求古典概型事件的概率. 3.会根据实际问题建立概率模型，并能利用古典概型的概率计算公式进行计算 式基础落实·必备知识一遍过 知识点1古典概型 下列三类试验不是古典模型： 当A为必然事停时，P(A)=1:当A (1)样本点个数有限，但非等可能； 一·为不可能蒂件时，P(A)=0 (2)样本点个数无限，但等可能； (3)样本点个数无限，也非等可能. L.对于随机事件A,通常用一个数P(A) (0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性大 思考辨析 小，这个数就称为随机事件A的概率. 1.若一次试验的结果所包含的样本点的个数是 2.一般地，若试验E具有如下特征：(1)有 有限个，则该试验是古典概型吗？ 限性：试验E的样本空间2的样本点总数有限， 即样本空间2为有限样本空间；(2)等可能性： 每次试验中，样本空间2的各个样本点出现的 可能性相等 2.掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的 则称这样的试验模型为古典概率概型，简称 概率，这个概率模型还是古典概型吗？ 古典概型 名师点睛 古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具 有古典概型的两个特点：有限性和等可能性，并不是 所有的试验都是古典概型. 198【例4一1】9.7将12个班级的得分按照从小到大捧序为 9,9.2,9.2,9.4,9.4,9.6,9.6,9.6,9.6,9.8,10,10 因为12×75%=9，可得75%分位数是9.69.8=9.7. 2 【例↓一2】解将这50个样本数据按从小到大排序，可得： 12.3413.4514.0014.6514.7814.8915.4515.54 16.1116.3416.4516.7817.1417.1617.3217.43 17.4517.5217.5517.8617.8817.9618.0218.12 18.2218.2918.4218.5118.5118.5518.7818.78 18.9419.2119.3519.3519.5819.5819.5819.91 19.9820.2420.4520.5521.3421.6622.4523.00 24.5625.14 65%的职工能够完成销售指标，那么35%的职工不能完成 销售指标 由50×(1一65%)=17.5可知这组数据的35%分位数为 第18项数为17.52.故为使65%的职工能够完成销售指标，该 保险公司可将月销售额定为17.52千元. 【变式训练4】(1)C(2)69(1)由领率分布直方图可得， 0.05+0.15十m十m十0.11十0.04=1，即m十n=0.65.① 因为时间数据的70%分位数为3.5， 所以0.05+0.15十m十(3.5-3)m=0.7,即m十0.5n=0.5.② 由①②可得，m=0.35,n=0.3. (2)17×0.75=12.75,数据从小到大第13个数是69，所以 75%分位数为69. 【易错易混·衔接高考】 1.B由题意，该组样本数据的平均数约为(3×0.02十7× 0.08+11×0.09+15×0.02+19×0.04)×4=2.67×4=10.68. 2.C由6+12+18=36<50,6+12+18+30=66>50，得 中位数在[1050,1100)范围内，故A错误：亩产量低于1100kg 66 的稻国生产数为6+12+18+30=66,100=66%<80%，故B 错误：亩产量最大值在[1150,1200)范围内，最小值在[900， 950)范围内，数极差在(1150一950,1200一900)范围内，即 200kg至300kg之间，故C正确：取各区间中点估算平均值： 925×7总+975×品+1025×品+1075×0+1125× 德+175×品=1067，大子10，故D错误，故选C 3.AD由10×(2a+3a十7a+6a十2a)=1,可得a= 0.005,故A正确，前三个矩形的面积和为10×(2a+3a十 7a)=0.6,所以这40名学生的竟赛成绩的60%分位数为80，故 B错误：由成绩的频率分布直方图药知，这40名学生的竞赛成 绩的众数为75，故C错误：总体中成绩落在[60,70)内的学生人 数为3a×10×1500=225,故D正确. 4.BD对于选项A,如1,2,2,2,2,5的平均数不等于2,2， 2,2的平均数，故A错误：对于选项B,不妨设x≤x,≤x: x5x2x4,x的中位数为22，x1x2,…,x6的中位数 为十，故B正确：对子选项C,周为工是最小值，工。是最 2 大值，所以x1,江2，…，x6的数据波动更大，故C错误：对于选项 D,不妨设xg≤x:x,≤x5,则x1≤xx1x1xg≤x6,所 以x一x2≤x6一x1,故D正确.故选BD 5.16.5设成绩的70%分位数为x,因为 1中3+0写05诗平3-0的，所以[16 1+3+7 6 17),则0.55+(x-16)×1+3+7+6+3=0.70,所以x= 16.5,则成绩的70%分位数的为16.5. 6.解(1)”z=x,一y,1=9,21=6,之1=8，z4=一8， zg=15,z6=11,z=19,zg=18,zg=20,z10=12, 则-品×(9+6+8-8+15+1+19+18+20+12) 1,2=0×[9-n2+(6-+(8-1+(-8-11+ (15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+ 12-1]-0×4+25+9+361+16+0+64+49+81+ 1)=61. (2):21 =261<1,即2√i0 ∴.可判断甲工艺处理后的橡胶产品的仲缩率有显著提高. 第七章概率 §1随机现象与随机事件 1.1随机现象1.2样本空间 1.3随机事件1.4随机事件的运算 ©基础落实·必备知识一遍过 知识点1 【自主诊断】 1.(1)/(2)× 2.DA,B,C均是确定性现象，D是随机现象 知识点2 【思考辨析】 提示样本空间是集合，样本点是样本空间里的元素， 【自主诊断】 1.(1)/(2)/(3)× 2.解因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果， 所以试脸的样本空间可以表示为？=（正面朝上，反面朝上}. 0 如果用h表示“正面朝上”，表示“反而朝上”，则释本空 间n=(h,t. 3.解掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示， 第二枚硬币可能的基太结果用y表示，那么试验的样本点可用 (x,y)表示， 于是，诚验的样本空间={（正而，正而），（正面，反面）， (反面，正面)，（反面，反而）} 知识点3 【思考辨析】 提示事件的分类是相对于条件来讲的，在条件变化时，必 然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化 【自主诊断】 1.(1)/(2)×(3)×(4)/ 2.解(1)分别用x1xg和工表示元件A,B和C的可能状 态，则这个电路的工作状态可用(x1x,江)表示。 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状 态，则样本空间2={(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1， 1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)} (2)“恰好两个元件正常”等价于(x1,工2，x)∈Q,且x1, xx1中拾有两个为1，所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1, 1)以.“电路是通路”等价于(x1xx1)∈2，x1=1,且x4x中 至少有一个是1，所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}.同理， “电路是所路”等价于(x1,x,xg)∈0，x1=0,或x1=1,x2= x3=0.所以T=(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0), 知识点4 【思考辨析】 提示①事件A发生事件B不发生；②事件A不发生事件 B发生：③事件A和事件B同时发生 【自主诊断】 1.(1)×(2)/(3)/(4)X 2A事件N包含两种结果，向上面都是正面或向上面是 一正一反，则当M发生时，事件N一定发生，则有M二N,故 选A 3.解(1)所有的试脸结果如 ①②①③ ①④ 图所示.用数组(x1x)表示可能@①②0②④ 的结果，x1是第一次摸到的球的 ③①③② ③④ 标号，x2是第二次摸到的球的标 号，则试验的样本空问n={(1, ④①④②④③ 2),1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4, 1),(4,2),(4,3). 事件R1=“第一次摸到红球”，即x1=1或2， 于是R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}: 事件R2=“第二次摸到红球”，即x:=1或2， 4。 于是R:={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}. 同理，有R={(1,2),(2,1)},G={(3,4),(4,3)},M {(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)},N={(1,3),(1,4),(2,3),(2, 4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)} (2)因为R二R:,所以事件R1包含事件R:因为R∩G= ②，所以事件R与事件G互斥：因为MUN=n,M∩N=⑦， 所以事件M与事件N互为对立事件 (3)固为RUG=M,所以事件M是事件R与事件G的并事 件：因为R1∩R,=R,所以事件R是事件R1与事件R:的交事件， 。重难探究·能力素养速提升 探究点一样本点与样本空间 【例1】解(1)试验的样本空间口={（正，正，正），（正，正， 反)，（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反， 反，正)，（反，反，反）} (2)样本，点的慈数是8. (3)“格有两枚正面向上”包含以下3个样本点：（正，正， 反)，（正，反，正），（反，正，正） 【变式探究】解“恰有一枚正面向上”这一事件包含3个样 本，点，分别是：（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）. 探究点二随机事件的概念及分类 【例2】C在A中，标准大气压下，水加热到100℃，必会 沸腾是必然事件，故A不符合题意：在B中，长和宽分别为a,b 的矩形，其面积为aXb是必然事件，故B不符合题意：在C中， 走到十字路口，遇到红灯是随机事件但不是必然事件，故C符 合题意：在D中，三角形内角和为180是必然事件，故D不符合 题意。 【变式训练1】C根据题意，从6个篮球，2个搀球中任选3 个球，四个选项都是随机事件，进一步C是不可能事件，D是必 然事件。 探究点三互斥事件与对立事件的判定 【例3】解从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种 结果：2名男生、2名女生、1男1女 (1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同 时发生，它们是互斥事件：但是当选取的结果是2名女生时，该 两事件都不发生，所以它们不是对立事件， (2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与 事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件 (3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它 们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件 (4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果， 当选出的是1男1女时，“至少有1名男生”与“至少有1名 生”同时发生，所以它们不是互斥事件 【变式训练2】(1)C(2)①②⑤(1)“甲分得红牌”与“乙 分得红牌”不会同时发生，但分得红牌的还可能是丙或丁，所以 不是对立事件，故选C (2)A={3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品， B=(3件产品全是次品}，C={3件产品不全是次品》包括1件 次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个样本点，由 此知，事件A与事件B是互斥事件，但不是对立事件：事件A 与事件C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件：事件B 与事件C是互斥事件，也是对立事件所以正确结论的序号为 ①②⑤. 探究点四事件的运算 【例4】ACD对于A,事件D为“至少有两次投中”，包含 恰有两次投中和三次都投中，故A正确： 对于B,“三次都没投中”与“至少有两次投中”互斥，故B错误： 对于C,“三次都授中”与“拾有两次授中”的和事件为“至少 有两次投中”，故C正确： 对于D,事件D为“至多有一次投中”，与“三次都没投中” 的交事件为“三次都没投中”，故D正确。 故选ACD. 【变式训练3】解(1)对于事件D,可能的结果为1个红球2 个白球或2个红球1个白球，故D=AUB, (2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球或2个红 球1个白球或3个均为红球，故C∩A=A. 【例5】解由题意得，事件A■(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2， 5),(2,6)},事件B={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3): (1)事件AB=((2,3)},所以A∩(AB)={(2,3)}≠0，所 以事件A与事件AB不是互斥事件 (2)事件B={(1,1),(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1) (2,2),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,4),(5,5), (5,6),(6,1),(6,2),(6,4),(6,5),(6,6),所以事件AB (2,1),(2,2),(2,4),(2,5),(2,6)}, 所以B∩AB=心，所以事件B与事件AB是互斥事件. 【变式训练4】BABC表示事件A不发生且事件B和事 件C同时发生，A正确：A十B十C表示事件A,B,C至少一个 发生，别A十B十C表示事件A,B,C都没有发生，B错误：A十 B表示事件A,B至少有一个发生，C正确：ABC表示事件A, B不发生且事件C发生，ABC表示事件A,C不发生且事件B 发生，ABC表示事件B,C不发生且事件A发生，则ABC十 ABC十ABC表示事件A,B,C恰有一个发生，D正确. ©学以致用·随堂检测促达标 1.C由随机现象的定义知②③④正确. 2.D从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意轴取 3件，对于A,3件都是正品不是必然事件，A错谋：对于B,至少 4 有1件次品不是必然事件，B错误：对于C,3件都是次品是不可能 事件，C错误：对于D,至少有1件正品是必然事件，D正确.故选D 3.C事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生， 故事件M和事件N互斥，而事件M“3粒种子全部发芽”的对 立事件为“3粒种子不都发芽”，有可能1个不发芽，也有可能2 个不发芽，也有可能3个不发芽，故事件M和事件N不对立， 故事件M和事件N互斥但不对立，故选C, 4.3由题意可得，包含的样本点有“数学与计算机”“数学 与航空模型”“计算机与航空模型”，共3个。 5.A1UA2UAz(或A1十A:十A3)周为A。A1,A2,A 彼此互斥，“至少有一次击中”是击中一次A1,击中二次A2和 击中三次A:这三个事件的并事件，应表示为A,UA:UA:(或 A1十A2十A). §2古典概型 2.1古典概型的概率计算公式 2.2古典概型的应用 第1课时古典概型的概率计算公式及其应用 ©基础落实·必备知识一遍过 知识点1 【思考辨析】 1.提示不一定是，还要看每个样本，点发生的可能性是否相 同，若相同才是，否则不是 2.提示不是因为数子不均匀，所以每个样本，点出现的可 能性不相等 【自主诊断】 1.(1)/(2)×(3)× 2.解(1)抛掷一枚粒子有6种等可能的钻果，I号藏子的 每一个结果都可与Ⅱ号毅子的任意一个结果配对，组成掷两枚 骰子试验的一个结果，用数字加表示I号骰子出现的点数是 m,数字n表示Ⅱ号餐子出现的，点数是n,则数组(m,n)表示这 个试险的一个样本点.周此该试验的样本空间？={(m,n)m, n∈{1,2,3,4,5,6)》，其中共有36个样本，点.由于数子的质地均 匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型 (2)因为A=((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},所以n(A)=4, 从而P(A)=nA)=4_1 n(2)3691 因为B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},所以 n(B)=6,从而P(B)=nB_6=1, n(2)3667 因为C=《(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5, 1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}, 02