专题03 指数函数与对数函数（讲义）- 浙江省2026年单考单招一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：浙江省2026年单考单招一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及浙江历年单考单招真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是浙江省2026年单考单招一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第3个专题：指数函数与对数函数。本专题涵盖指数函数、对数函数等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 浙江省2026年单考单招 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 指数函数与对数函数（讲义） 知识点1：指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x； (3)系数：ax的系数是1. 知识点2：指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y=a−x与y=ax的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c<d<1<a<b. ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 速记口诀 指数增减要看清，抓住底数不放松； 反正底数大于0，不等于1已表明； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过(0，1)点． 知识点3 对数 1 一般地，若ab=N(a>0且a≠1)，则称b为以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a称为对数的底数，N称为真数． 2. 当a>0且a≠1， N >0时，指数式ab=N与对数式b=logaN有如下关系： 3.根据对数的定义，对数具有如下性质： （1） loga1=0，即1的对数是0； （2） logaa=1，即底的对数是1； （3） N >0，即零和负数没有对数． 4. 由于以10为底的对数运算相对简便，应用也比较普遍，通常把log10N称为常用对数，简记为lgN ． 5. 在科学研究和工程计算中，经常使用以无理数e(e=2.71828…)为底的对数logeN，并称这个对数为自然对数，简记为lnN ． 6. 对数运算有如下运算法则： （1） = （2）= （3） = （4） = 7.换底公式： = 8.对数恒等式： 知识点4 对数函数及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称. 1. （2025年浙江省单独考试招生文化考试）下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2．（24-25高三下·四川·对口/高职单招）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）若，，，则a，b，c之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）关于函数，下列结论错误的是（   ） A．的图像过点 B．的图像过点 C．在其定义域上为增函数 D．为偶函数 5．（24-25高三下·重庆·职教高考）设，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 1．（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 2．若函数存在反函数，且函数的图像过点，则函数的反函数的图像过点（   ） A． B． C． D． 3．函数的图像过定点（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（   ） A．2 B．3 C．7 D．10 6．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．化简的结果是 . 10．指数式写成对数式为 . 11．函数在上的最小值是 . 12．已知，，则、的大小关系为： ． 13．比较大小： ． 14．已知，求下列各式的值； (1)； (2)． 15．指出下列函数哪些是指数函数： (1)． (2)． (3)． (4)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：浙江省2026年单考单招一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及浙江历年单考单招真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是浙江省2026年单考单招一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第3个专题：指数函数与对数函数。本专题涵盖指数函数、对数函数等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 浙江省2026年单考单招 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 指数函数与对数函数（讲义） 知识点1：指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x； (3)系数：ax的系数是1. 知识点2：指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y=a−x与y=ax的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c<d<1<a<b. ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 速记口诀 指数增减要看清，抓住底数不放松； 反正底数大于0，不等于1已表明； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过(0，1)点． 知识点3 对数 1 一般地，若ab=N(a>0且a≠1)，则称b为以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a称为对数的底数，N称为真数． 2. 当a>0且a≠1， N >0时，指数式ab=N与对数式b=logaN有如下关系： 3.根据对数的定义，对数具有如下性质： （1） loga1=0，即1的对数是0； （2） logaa=1，即底的对数是1； （3） N >0，即零和负数没有对数． 4. 由于以10为底的对数运算相对简便，应用也比较普遍，通常把log10N称为常用对数，简记为lgN ． 5. 在科学研究和工程计算中，经常使用以无理数e(e=2.71828…)为底的对数logeN，并称这个对数为自然对数，简记为lnN ． 6. 对数运算有如下运算法则： （1） = （2）= （3） = （4） = 7.换底公式： = 8.对数恒等式： 知识点4 对数函数及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称. 1. （2025年浙江省单独考试招生文化考试）下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A项，参考指数函数，其在R上单调递减，又，所以，A项正确；B项，参考指数函数，其在R上单调递增，又，所以，B项错误；C项，参考对数函数，其在上单调递增，又，所以，C项错误；D项，参考对数函数，其在上单调递减，又，所以，D项错误. 2．（24-25高三下·四川·对口/高职单招）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合根式、对数式有意义需满足的条件，即可列式求解. 【详解】因为函数， 所以，解得， 即函数的定义域为. 故选：C. 3．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）若，，，则a，b，c之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数与对数函数、正弦函数的单调性即可得解. 【详解】因为，， 又，即， 所以. 故选：D. 4．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）关于函数，下列结论错误的是（   ） A．的图像过点 B．的图像过点 C．在其定义域上为增函数 D．为偶函数 【答案】D 【分析】根据题意，利用凑配法，先求得函数解析式，结合幂函数的图像和性质，即可判断求解. 【详解】因为函数， 所以， 所以，所以函数的图像过点，故选项A正确，不符合题意； 所以，所以函数的图像过点，故选项B正确，不符合题意； 所以幂函数在其定义域上为增函数，故选项C正确，不符合题意； 因为函数的定义域为，不关于原点对称， 故函数不是偶函数，故选项D错误，符合题意； 故选：D. 5．（24-25高三下·重庆·职教高考）设，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数式与对数式的互化，及换底公式，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 1．（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】由对数的运算性质以及指数幂的运算计算即可. 【详解】. 故选：A. 2．若函数存在反函数，且函数的图像过点，则函数的反函数的图像过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反函数的性质求解即可. 【详解】∵函数的图像过点， ∴其反函数的图像过点． 故选：D. 3．函数的图像过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数恒过定点求解. 【详解】∵，则， 令，， ∴函数的图像过定点． 故选：C. 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数的运算法则求解. 【详解】A选项，，选项A错误； B选项，，选项B错误； C选项，，选项C错误； D选项，，选项D正确. 故选：D. 5．（   ） A．2 B．3 C．7 D．10 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则求解. 【详解】． 故选：A. 6．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据真数大于零求定义域. 【详解】要使函数有意义，则，即， 用区间表示为． 故选：C. 7．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为，所以是减函数，所以； 因为，所以在单调递增，所以； 因为，在单调递减，所以， 所以， 故选：D 8．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性求解不等式即可； 【详解】不等式，因为是定义域上的增函数， 所以，即． 所以的取值范围是； 故选：D 9．化简的结果是 . 【答案】 【分析】由二次根式的化简方法即可求解. 【详解】. 故答案为：. 10．指数式写成对数式为 . 【答案】 【分析】根据指数与对数的互化求解即可； 【详解】指数式写成对数式为， 故答案为： 11．函数在上的最小值是 . 【答案】1 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】因为， 所以函数在上单调递减， 故在的最小值是. 故答案为：1 12．已知，，则、的大小关系为： ． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上是减函数，， 所以，即. 故答案为：. 13．比较大小： ． 【答案】 【分析】根据题意，结合对数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为在上是增函数，且， 所以． 故答案为：. 14．已知，求下列各式的值； (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)2 【分析】（1）根据完全平方和公式求解即可； （2）借助立方和公式求解即可； 【详解】（1）因为，所以，所以． （2）因为，所以． 15．指出下列函数哪些是指数函数： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)是指数函数. (2)不是指数函数． (3)不是指数函数． (4)不是指数函数． 【分析】利用指数函数的定义进行判断即可. 【详解】（1），其系数，底数以及指数都符合指数函数的特征，故为指数函数． （2），底数不是常数，故不是指数函数． （3），系数为，不是1，故不是指数函数. （4），底数，故不是指数函数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$