21.3一元二次方程的判别式（题型专练）数学沪教版五四制2024八年级上册

21.3 一元二次方程的判别式 题型一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．关于x的方程 根的情况是 （　　） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程一定有两个实数根 D．方程可能没有实数根 2．下列关于的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．下列一元二次方程中，有实数根的是（   ） A． B． C． D． 4．下列方程中，没有实数根的方程是（  ） A． B． C． D． 5．下列关于的方程中，一定有实数根的是（   ） A． B． C． D． 6．下列关于的方程中，有两个实数根的是（   ） A． B． C． D．（为常数） 7．在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 8．关于的方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 9．在一元二次方程中，如果a．c异号，那么这个方程（   ） A．根的情况无法确定 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 题型二、根据一元二次方程根的情况求参数 10．如果关于的方程无实数根，那么满足的条件是（   ） A． B． C． D． 11．已知关于的方程没有实数根，那么在下列各数中，的取值只能是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 12．当 时，关于x的方程有两个相等的实数根． 13．若关于的方程有两个相等的实根，则的值为 ． 14．关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 15．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 16．已知关于方程有实数根，则的取值范围 ． 题型一、求二次项系数含字母的方程的参数取值范围 17．如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（  ） A． B． C． D．且 18．关于的一元二次方程的根的判别式的值为1，那么的值为 ． 19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 20．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 21．若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 22．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 23．方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 24．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 25．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 26．方程有两个实数根，则的取值范围 ． 27．若关于的方程有实数根，则最大的整数的取值为 ． 题型二、一元二次方程根的判别式综合 28．关于的方程，为实数． (1)此方程一定有实数根吗？为什么？ (2)当时，方程有两个相等的实数根，求这两个根． 29．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个不小于4的根，求实数的取值范围． 30．已知关于x的一元二次方程 (1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． (2)如果方程有实数根，求m的取值范围． 31．关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)试取一个的值代入方程，并求出此方程的两个实数根． 32．已知是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，且都是整数，求的最大值及这种情况下方程的解． 33．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求自然数m的值并解方程． 34．如果方程有且仅有一个实数满足，求的值． 35．已知的两边，是关于的方程的两个实数根，第三边的长度是，那么为何值时，是等腰三角形？ 36．已知关于的二次方程有两个相等的实数根，试求的值． 1．定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 2．阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题： 已知，求的值． 3．若方程与方程至少有一个相等的实数根，那么实数的值为 ． 4．若方程没有实数根，试判定方程的根的情况． 5．已知实数对满足，求的最大值． 试卷第1页，共3页 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.3 一元二次方程的判别式 题型一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．关于x的方程 根的情况是 （　　） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程一定有两个实数根 D．方程可能没有实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先把原方程化为一般式，再利用判别式求解即可． 【详解】解：原方程化为一般式得， ∴ ， ∴原方程一定有两个实数根， 故选：C． 2．下列关于的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟知判别式是解题关键．根据二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根．逐一计算各选项的判别式，判断其是否恒大于0． 【详解】A、方程，判别式，方程无实数根，故本选项不符合题意； B、方程，判别式，方程有两个相等实数根，故本选项不符合题意； C、方程，判别式．因，故，方程恒有两个不相等实数根，故本选项符合题意； D、方程，判别式．当时，，方程有两个相等实数根，不满足“一定不相等”，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．下列一元二次方程中，有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，其根的判别式．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A、对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； B、对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； C、对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； D、 对于方程，其判别式，该方程有两个不相等的实数根，符合题意． 故选：D． 4．下列方程中，没有实数根的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．一元二次方程中，没有实数根，即根的判别式． 【详解】解：A．，方程有两个相等的实数根，不符合题意； B．，方程没有实数根，符合题意； C．，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D．，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 故选：B． 5．下列关于的方程中，一定有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，一定有实数根，否则无实数根；分别计算出四个选项中方程的判别式，根据判别式的符号即可作出判断． 【详解】解：A、，故方程无实数根； B、，故方程有实数根； C、，故方程无实数根； D、，由于m的取值无法确定，故方程有或者无实数根取决于m的取值； 故选：B． 6．下列关于的方程中，有两个实数根的是（   ） A． B． C． D．（为常数） 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式及解一元一次方程，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴方程有两个实数根，故A符合题意； B、， 方程没有实数根，故B不符合题意； C、由，得， ∵， ∴方程没有实数根，故C不符合题意； D、， 当时，方程没有实数根，故D不符合题意； 故选：A． 7．在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．用根的判别式判断即可，若方程有两个不相等的实数根，则需． 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，本选项符合题意； B、， ∵， ∴方程无实数根，本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程无实数根，本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程实有两个相等的实数根，本选项不符合题意； 故选：A． 8．关于的方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先把方程化为一般式，再计算出判别式，根据判别式的符号即可判断方程根的情况． 【详解】解：方程可化为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 9．在一元二次方程中，如果a．c异号，那么这个方程（   ） A．根的情况无法确定 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程有两个相等实数根；当，方程没有实数根，由异号，得到，则，根据的意义即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵为一元二次方程， 而异号， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等实数根， 故选：C． 题型二、根据一元二次方程根的情况求参数 10．如果关于的方程无实数根，那么满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法求解一元二次方程，平方数的非负性；掌握平方数的非负性是解题的关键．根据任意实数的平方为非负数得到关于参数的不等式，求解即可． 【详解】解：， 当时，方程无解． ， 故选：C． 11．已知关于的方程没有实数根，那么在下列各数中，的取值只能是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式的应用，根据关于的方程没有实数根，得出，得，即可作答． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴， ∴， 观察4个选项，唯有2符合条件， 故选：A． 12．当 时，关于x的方程有两个相等的实数根． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，将根的判别式转化为方程是解题的关键．由于方程有两个相等的实数根，则方程为一元二次方程，令根的判别式，解方程即可． 【详解】解：原方程可变形为． ∵方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：5． 13．若关于的方程有两个相等的实根，则的值为 ． 【答案】4或/或4 【分析】本题考查了一元二次方程，，，为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．由方程有两个相等的实根，得，解的方程即可． 【详解】解：方程有两个相等的实根， ， 整理得：， 解得或． 故答案为：4或． 14．关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 要使有两个不相等的实数根，则必须，进而可以计算出的取值范围． 【详解】解：要使有两个不相等的实数根， 则， ， 故答案为：． 15．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴ ∴， 解得，， 故答案为：． 16．已知关于方程有实数根，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和二次根式有意义的条件，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，解得，再由二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，据此可得答案． 【详解】解：∵关于方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 又∵二次根式要有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 题型一、求二次项系数含字母的方程的参数取值范围 17．如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（  ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，分方程是一元一次方程， 一元二次方程两种情况求解作答即可． 【详解】解：当方程是一元一次方程，且有实数根时，， ∴， 解得，； 当方程是一元二次方程时，且有实数根时， ∴，， 解得，且； 综上所述，； 故选：A． 18．关于的一元二次方程的根的判别式的值为1，那么的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，利用二次项系数非零及根的判别式为1，找出的值是解题的关键．由二次项系数非零可得出，由根的判别式可得出关于的方程，解之即可得出的值． 【详解】解：方程为一元二次方程， 方程的根的判别式的值为1， ， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去），． 故答案为：2． 19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题还考查了一元二次方程的定义，容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且． 故答案为：且． 20．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据方程的根的判别式且，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 21．若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键． 分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程； 当时，方程是一元二次方程，分别求出的取值范围即可． 【详解】解：当且时，即时，原方程化为，这是一元一次方程，有实数根； 当时，原方程无实数根， 当且时，即时，原方程化为，此等式不成立，方程无解，但这种情况不属于一元二次方程的无实根情况； 当，即时，原方程是一元二次方程， 因为方程无实根，所以，即， 解得：； 综上，的取值范围是， 故答案为：． 22．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此根据判别式求出a的取值范围，再由二次项系数不为0即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 又∵二次项系数不为0， ∴， 综上所述，且． 23．方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个实数根，得到，结合一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，且， 解得：且； 故答案为：且． 24．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况和一元二次方程的概念确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 25．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，二次根式的意义，理解和掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程的定义、二次根式的意义以及根的判别式的意义得到，，且，然后求出不等式的公共部分即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且． 故答案为：且． 26．方程有两个实数根，则的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及定义，根据一元二次方程根的判别式及定义可得且，解之即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 27．若关于的方程有实数根，则最大的整数的取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式及一元一次方程的解，对学生的思维缜密性有一定要求，体现了分类讨论的数学思想．时为一元一次方程，有实根；时为一元二次方程，根据判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：当，即时，原方程为，方程有实根， 当，即时， 将变形为： ， 解得． 综上所述，的取值范围为， 最大的整数的取值为， 故答案为：． 题型二、一元二次方程根的判别式综合 28．关于的方程，为实数． (1)此方程一定有实数根吗？为什么？ (2)当时，方程有两个相等的实数根，求这两个根． 【答案】(1)此方程一定有实数根，理由见详解 (2) 【分析】（1）根据方程的，即可作答． （2）先把代入，得，结合方程有两个相等的实数根，求出，再运用因式分解法解方程，即可作答． 本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，利用因式分解的方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：此方程一定有实数根，理由如下： ∵， ∴ ∴此方程一定有实数根 （2）解：把代入， 得， ∵当时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个不小于4的根，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程： （1）根据题意只需要证明即可； （2）利用因式分解法求出方程的两个根为，再根据方程有一个不小于4的根列出不等式求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴无论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， 解得， ∵方程有一个不小于4的根， ∴， ∴． 30．已知关于x的一元二次方程 (1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． (2)如果方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式结合题意可得，求解即可； （2）由题意可得且，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得：且， ∴且 ∴且， ∴m的取值范围是：且． 31．关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)试取一个的值代入方程，并求出此方程的两个实数根． 【答案】(1) (2)；， 【分析】本题考查了根的判别式以及利用配方法解一元二次方程，熟练掌握判别式是解题的关键． （1）根据方程解的个数结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论； （2）取，由此得出关于x的一元二次方程，利用配方法解一元二次方程即可得出结论． 【详解】（1）∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， （2）解：当时，原方程为， ， ， ， ∴，． 32．已知是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，且都是整数，求的最大值及这种情况下方程的解． 【答案】(1) (2)k的最大值为86，此时方程的解为 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可得，然后进行求解即可； （2）由（1）及题意可得，则方程可变形为，然后可得为开方数，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：由（1）及题意可得：， 由可得：， ∵都是整数， ∴为开方数， ∴或41或46或53或62或73或86， ∴k的最大值为86， 此时方程为， 解得：． 33．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求自然数m的值并解方程． 【答案】，方程的解为， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义及根的判别式求出自然数m的值，进而解方程即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且． ∵m为自然数， ∴． 当时，方程为， 解得，． 34．如果方程有且仅有一个实数满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是将所给方程的左边化为乘积的形式．将所给方程化为，则或，要使方程有且仅有一个实数满足，则方程有两个相等的实数根，且方程无实数根或方程无实数根，且方程有两个相等的实数根，根据根的判别式列出不等式组即可求解． 【详解】解： 或， 方程有且仅有一个实数满足， 方程有两个相等的实数根，且方程无实数根或方程无实数根，且方程有两个相等的实数根， ，解得：， 或，无解， 综上，． 35．已知的两边，是关于的方程的两个实数根，第三边的长度是，那么为何值时，是等腰三角形？ 【答案】或 【分析】分两种情况：①当，是腰；②当为腰，分别求解即可． 【详解】解：①当a、b是腰时，则， ∵，是关于的方程的两个实数根， ∴， 解得：， ∴该方程为， 解得：， ∴， ∵， ∴不能组成三角形； ②当为腰时， ∴是其中一根， 设另外一根为， ∴，， 解得：，或，， ，，或，，能组成三角形， 综上所述，为或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的性质，三角形三边关系．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 36．已知关于的二次方程有两个相等的实数根，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据判别式得到、之间的关系式．根据题意可得，整理后得到，得到，即可求解． 【详解】解：关于的二次方程有两个相等的实数根， ， 即， ， ， ， ， ． 1．定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程及根的判别式，理解题中定义和方程的解的意义，得到关于a的方程是解答的关键．先求得方程的解，再根据题中定义和方程的解的意义得到关于a的方程，然后解方程求得a值，结合根的判别式与根的关系即可求解． 【详解】解：由方程得， 解得，， ∵两个一元二次方程和互为联根方程， ∴，是方程的两个根， 当时，则，即， ∵， ∴此方程无实数根，即不是方程的解； 当时，则，即， 解得，， ∵， ∴， 此时，方程为，解得，， 又方程的一个解为，满足题意， 故a的值为． 故答案为：． 2．阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题： 已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，设，于是原方程可变为，求出的值即可． 【详解】解：设，于是原方程可变为， ∴或， 解得，， 当时，整理得，，符合题意； 当时，整理得，，不符合题意； 综上所述，． 3．若方程与方程至少有一个相等的实数根，那么实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及根的判别式，解题的关键是掌握相关知识．设相等的实数根为，则，，两式相减得： ，得到或，再根据题意和根的判别式综合分析即可求解． 【详解】解：方程与方程至少有一个相等的实数根， 设相等的实数根为， 则，， 得：，即， 解得：或， 当时，方程为， 此时，方程无解； 当时，方程为， 解得：， 此时方程为， 解得：，符合题意， ， 故答案为：． 4．若方程没有实数根，试判定方程的根的情况． 【答案】方程有2个或1个实数根 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据方程没有实数根，求出，然后分两种情况：当且时，当时，讨论方程根的情况． 【详解】解：∵没有实数根， ∴， 解得：， 当且时，方程中， ， 又∵， ∴， ∴， ∴此时方程有两个不相等的实数根， 当时，方程可变为， ∵方程只有一个实数根， ∴当时，方程有1个实数根． 综上分析可知：方程有2个或1个实数根． 5．已知实数对满足，求的最大值． 【答案】的最大值． 【分析】本题考查了根的判别式，设，即，得到，根据即可求解，掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：设，即， ，即， 化简整理：， 则此方程必有实数根，即， ， ， ， ∴的最大值． 试卷第1页，共3页 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$