专题03 解直角三角形的相关应用（专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题03 解直角三角形的相关应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、解直角三角形的相关计算 1 题型二、解非直角三角形 2 题型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 4 题型四、利用解直角三角形解决仰角、俯角问题（常考点） 5 题型五、利用解直角三角形解决方位问题 7 题型六、利用解直角三角形解决坡度坡比问题 8 题型七、解直角三角形与其它问题（难点） 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、解直角三角形的相关计算 1．已知在中，，，，那么的长等于（   ） A． B． C． D． 2．在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，如图为直角三角形，那么的长是（   ） A．1 B．3 C． D．2或 3．在四边形中，，，，，，则四边形周长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，中，，点D在上，．若，，则的长度为 ． 5．如图，已知在中，，垂足为点，，，，点是边的中点，连接交于点． (1)若，，则________．（用，表示） (2)求的余切值． 6．如图，在中，，，，点D是延长线上一点，连接，与面积比是． (1)求的长； (2)求的正切值． 题型二、解非直角三角形 7．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 9．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为(　　) A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 10．如图，在△中，，,.则边的长为 . 11．已知：如图，在中，，，．求： （1）的面积； （2）的余弦值． 12．如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上． （1）MN是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据：≈1.732） （2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？ 题型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 13．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 14．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 15．如图，在四边形中，，，，，，求的长. 16．图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，） 题型四、利用解直角三角形解决仰角、俯角问题（常考点） 17．如图，在点A处测得某建筑物顶端B的仰角为，并测得点A至建筑物底部点C的水平距离为b，则建筑物的高度为（    ） A． B． C． D． 18．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（    ） A． B．40 C． D． 19．如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行，某次拍摄中，当运动员在点位置时，无人机在他的仰角为的斜上方处，当运动员到达地面点时，无人机恰好到达运动员正上方的处，已知的坡度为且长为300米，无人机飞行距离为60米，则无人机离地面高度的长是 米．（参考数据：） 20．如图，斜坡的坡度为，坡顶B到水平地面（）的距离为3米，在B处、C处分别测得顶部点E的仰角为和，点A、C、D在一直线上，求的高度（精确到1米）．（参考数据：，，，，，） 21．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图1是政府给贫困户新建的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高（结果精确到1m）． 题型五、利用解直角三角形解决方位问题 22．渔船在A处看到灯塔C在北偏东方向上，渔船由A处向正东方向航行了海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（    ） A． 海里 B． 海里 C．12海里 D． 海里 23．如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（   ）海里． A． B． C． D． 24．如图，点A位于点的北偏西方向，点位于点的东北方向，线段为一条东西向的公路的一部分，如果点到公路的距离是米，那么公路的长为 ． 25．“国庆黄金周”期间，某公园游客络绎不绝，现有一艘游船载着游客在公园湖中游览．当游船行驶至A处时，船上游客发现岸上沧浪亭P和清风亭Q都在东北方向；当游船向正东方向行驶600米到达B处时，游客发现清风亭Q在北偏西方向；当游船继续向正东方向行驶400米到达C处时，游客发现沧浪亭P在北偏西方向． (1)求A处到沧浪亭P的距离； (2)求沧浪亭P与清风亭Q之间的距离．注：计算结果请保留根号． 26．如图，A点、B点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正东方向的处有一海岸瞭望塔C，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向．（注：，结果精确到） (1)试求出小岛码头A点到海岸线的距离； (2)有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离； 题型六、利用解直角三角形解决坡度坡比问题 27．如果斜坡的坡比为，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 28．如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为2米，平台的长为1米，用7米长的地毯从点到点正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是（    ） A． B． C． D． 29．中考新考法：真实问题情境·实物，如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄滚轮连杆，且，连杆与底坐的夹角为，则该椭圆机的机身高度（点到地面的距离）为（   ） A． B． C． D． 30．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．（参考数据：，，） 31．定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 题型七、解直角三角形与其它问题（难点） 32．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（    ）（参考数据：，，） AI A． B． C． D． 33．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）．如图2，利用土圭之法记录了两个时刻长为6尺的标杆的影长，发现第一时刻光线与标杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻标杆的影长 尺． 34．图-1是一款可旋转的太阳能路灯，太阳能光伏板面向太阳，且随太阳的升起到落下方向旋转，图-2是其侧面示意图，线段表示路灯的灯支架，为路灯灯杆．线段为太阳能光伏板，可绕点旋转，．（图中所有点均在同一平面）（参考数据：，．结果精确到） (1)当三点共线时，，求的长度； (2)若某一时刻太阳光线与地面的夹角为时，恰好太阳能光伏板与所成夹角，求太阳能光伏板落在地面上的影子的长． 35．图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图． 信息1：经过测量得到：，，，．（底座的高度忽略不计） 信息为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足在的延长线上，当视线与展板垂直时，称点为“最佳观察点”． 任务（1）：求展板最低点到地面的距离； 任务（2）：如果，当点为“最佳观测点”时，求点到的距离．（参考数据：） 1．如图，是等腰直角三角形，，点D在的延长线上，，连接，则（　　） A． B．2 C． D． 2．如图，东西方向上有A，C两点，点B在点A的北偏东方向上，在点C的北偏西方向上，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，，，，则的值是（ ） A． B． C．或 D．或 4．如图，在中，和都是锐角，若，，则（    ）    A． B． C． D． 5．碧津公园坐落在江北机场旁，它是一个风景秀丽、优美如画的公园．园中的碧津塔是一座八角塔，每个角挂有一个风铃，被评为重庆市公园最美景点．重庆一中某数学兴趣小组，想测量碧津塔的高度，他们在点C处测得碧津塔顶部A处的仰角为45°，再沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D，此时测得碧津塔顶部A的仰角为37°，碧津塔AB所在平台高度EF为0.8米．A、B、C、D、E、F在同一平面内，则碧津塔AB的高约为（ ）米（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） A．20.8 B．21.6 C．23.2 D．24 6．数学实践小组测量某路段上一处标识脱落的车辆限高杆的高度，如图，他们先用测角仪在处测得点的仰角，然后在处测得点的仰角，已知点，，在同一条直线上，测角仪离地面高度，，则高（    ） A． B． C． D． 7．拦水坝的横截面为梯形，其中斜面的坡比为，若自向走了米，那么升高的高度为 米． 8．如图：两张宽度都为的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为α（见图中的标注），则重叠（阴影）部分的面积表示为 ． 9．在直角中，，如果的中线上有个点，使，那么 ． 10．如图，小明在距离地面33米的处测得处的俯角为，处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是 米． 11．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔25海里的A处，它沿正北方向航行到达位于灯塔正东方向上的B处，那么此时轮船与灯塔P的距离为 海里． 12．已知：如图，在中，，，，是边上的中线．    (1)求的面积； (2)求的余切值． 13．如图，在中，，，，点在边上，且，，垂足为，联结． (1)求线段的长； (2)求的正切值． 14．如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时公路上由西向东匀速行驶，依次经过点．是一个观测点，米，，，测得该车从点点行驶到点所用时间为1秒．    (1)求两点间的距离； (2)试说明该车是否超过限速． 15．如图，小明一家从家所在地自驾前往古镇游玩，古镇在小明家的正北方向千米处，由于道路清障，小明一家先从沿西北方向行驶至地，再从地沿北偏东方向行驶至古镇，求小明一家从地到地实际行驶的路程是多少千米？（结果精确到千米） （参考数据：，，，） 16．如图，在路边安装路灯，灯柱高10m，与灯杆的夹角为．路灯采用锥形灯罩，照射范围长为，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为，．求：    (1)路灯A离地面的高度（即点A到地面的距离）； (2)灯杆的长度．（参考数据：，） 17．舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米． (1)舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ； (2)求桩与桩的距离的长．（结果精确到米） 18．图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，垂直于水平桌面，垂足为点，点处有一个摄像头．经测量，厘米，厘米，． (1)求摄像头到桌面的距离； (2)如果摄像头可拍摄的视角，且，求桌面上可拍摄区域的宽度（的长）． （参考数据：，．） 19．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为，且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． (1)求改造前坡顶与地面的距离的长． (2)为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到1米） （参考数据：，，，． 20．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，设备说明书中的部分内容如下所示． 设备名称 红外线体温检测仪 测温区域示意图 设备需安装在垂直于水平面的墙面上． ①水平面； ②竖直墙面； ③设备安装位置； ④的长是设备安装高度； ⑤的长是测温区域的宽度． 技术参数 设备测温过程中释放的红外线是直线传播，它与水平面的夹角称为探测角． 探测最小角： 探测最大角： (1)如果该设备的安装高度为时，请求出图中线段的长度；（结果精确到） (2)如果学校要求测温区域的宽度为时，请求出该设备的安装高度．（结果精确到） （参考数据：，，，，， 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 解直角三角形的相关应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、解直角三角形的相关计算 1 题型二、解非直角三角形 7 题型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 10 题型四、利用解直角三角形解决仰角、俯角问题（常考点） 13 题型五、利用解直角三角形解决方位问题 17 题型六、利用解直角三角形解决坡度坡比问题 21 题型七、解直角三角形与其它问题（难点） 25 B综合攻坚・能力跃升 题型一、解直角三角形的相关计算 1．已知在中，，，，那么的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵在中，，，， ∴根据正弦函数的定义，， ∴，故A正确． 故选：A． 2．在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，如图为直角三角形，那么的长是（   ） A．1 B．3 C． D．2或 【答案】D 【解析】解：①如图1，当时． 在中，，， ， 是的中点， ， ，， ， 又， ， ，即， 解得：， 设，则， ， ， ， ， 解得． ； ②如图2中，当时，连接，作交的延长线于． ，， ， ， 将沿直线翻折， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， ． 综上，的长为2或． 故选：D． 3．在四边形中，，，，，，则四边形周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：过点A、点D分别作的垂线，垂足分别为点E、点F， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形周长， 故选：A． 4．如图，中，，点D在上，．若，，则的长度为 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 5．如图，已知在中，，垂足为点，，，，点是边的中点，连接交于点． (1)若，，则________．（用，表示） (2)求的余切值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， 过点E作于点，则， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴由勾股定理得：， ∵为中点， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在中，，，，点D是延长线上一点，连接，与面积比是． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：如图，作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：如图：作于， 由（1）可得，， ∴， ∵与面积比是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 题型二、解非直角三角形 7．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 8．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【解析】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 9．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为(　　) A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【解析】在P点做一条直线垂直于直线AB且交于点O，由锐角三角函数知，AO=PO，BO=PO，又AB=m=AO-BO= PO- PO= . 所以答案选A. 10．如图，在△中，，,.则边的长为 . 【答案】 【解析】过A作AD⊥BC于D点， ∵，AC=2 ∴CD= 在Rt△ACD中由勾股定理得：AD= 又∵∠B=30° ∴AB=2AD=. 11．已知：如图，在中，，，．求： （1）的面积； （2）的余弦值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】分（1）作AH⊥BC，垂足为点H． 在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=60°，AB=6， ∴BH=3，AH=3， ∴S△ABC=×8×3=12， （2）∵BC=8，BH=3， ∴CH=5． 在Rt△ACH中，∵AH=3，CH=5， ∴AC=2． ∴cosC=． 12．如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上． （1）MN是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据：≈1.732） （2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？ 【答案】（1）不会穿过森林保护区.理由见解析；（2）原计划完成这项工程需要25天. 【解析】试题分析：（1）要求MN是否穿过原始森林保护区，也就是求C到MN的距离．要构造直角三角形，再解直角三角形； （2）根据题意列方程求解． 试题解析：（1）如图，过C作CH⊥AB于H， 设CH=x，由已知有∠EAC=45°, ∠FBC=60° 则∠CAH=45°, ∠CBA=30°，在RT△ACH中，AH=CH=x，在RT△HBC中， tan∠HBC= ∴HB===x， ∵AH+HB=AB ∴x+x=600解得x≈220（米）>200（米）．∴MN不会穿过森林保护区． （2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要y-5 根据题意得：=(1+25％)×，解得：y=25知：y=25的根． 答：原计划完成这项工程需要25天． 题型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 13．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【解析】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 14．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 【答案】220 【解析】解：如图： 过点作的垂线，垂足为点． ， 设，， ， 可设，， ， ， ， 由，得， 则 故． 故答案是：220 15．如图，在四边形中，，，，，，求的长. 【答案】 【解析】如图，过A作AE∥BC交CD于E，过B作BF⊥AE于F，作CG⊥AE于G， 则∠1=45°，∠2=60°， 则Rt△ABF为等腰直角三角形，BCGF为矩形， 又因为，， 所以BF=AF=AB=， 所以CG=BF=， 所以CE= CG=2，EG=CG=1 所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6 DE=CD-EC=6-2=4 过D作DM⊥AE延长线于M ∠MED=180°-∠AED=180°-∠BCD=180°-120°=60° 所以EM=DE=2，DM=DE=2 在Rt△AMD中，AD=. 故答案为：. 16．图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，） 【答案】托板顶点A到底座CD所在平面的距离为248mm． 【解析】解：如图所示：过点B作，，交CD于点G，过点A作，交BE于点F， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 答：托板顶点A到底座CD所在平面的距离为． 题型四、利用解直角三角形解决仰角、俯角问题（常考点） 17．如图，在点A处测得某建筑物顶端B的仰角为，并测得点A至建筑物底部点C的水平距离为b，则建筑物的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，在中,， ， ， 故选: D. 18．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（    ） A． B．40 C． D． 【答案】D 【解析】解：由题意，在中，， 在中，， ∴； 故选D． 19．如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行，某次拍摄中，当运动员在点位置时，无人机在他的仰角为的斜上方处，当运动员到达地面点时，无人机恰好到达运动员正上方的处，已知的坡度为且长为300米，无人机飞行距离为60米，则无人机离地面高度的长是 米．（参考数据：） 【答案】345 【解析】解：过A点作地面的垂线，交地面于点E，过点C作于点G， ∵的坡度为， ∴， 设米，则米， 由勾股定理可得米， ∴， 解得， ∴米，米， ∵四边形是矩形， ∴米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴（米）． ∴无人机离地面的高度的长约为345米． 故答案为：345． 20．如图，斜坡的坡度为，坡顶B到水平地面（）的距离为3米，在B处、C处分别测得顶部点E的仰角为和，点A、C、D在一直线上，求的高度（精确到1米）．（参考数据：，，，，，） 【答案】高度是18米 【解析】解：过点作，垂足为，如下图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 设米， 在中，， ∴，代入， ∴米， ∵斜坡的坡度为，坡顶到水平地面的距离米， ∴，代入， ∴， 且米， 在中，， ∴，代入数据：， ∴米， ∵ ∴， 解得， ∴米， ∴(米)， ∴的高度是18米． 21．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图1是政府给贫困户新建的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高（结果精确到1m）． 【答案】(1)屋顶到横梁的距离约为4.2 m (2)房屋的高约为15 m 【解析】（1）解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ，， 在中，， ，， （米）； 答：屋顶到横梁的距离约为4.2米； （2）过点作于点，如图． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， 解得：， （米）， 答：房屋的高约为15米． 题型五、利用解直角三角形解决方位问题 22．渔船在A处看到灯塔C在北偏东方向上，渔船由A处向正东方向航行了海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（    ） A． 海里 B． 海里 C．12海里 D． 海里 【答案】D 【解析】如图，由题意得：， ∵在直角三角形中，， 海里， (海里). 故选：D. 23．如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（   ）海里． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可得，， ， （海里）， 此时货轮与灯塔的距离海里， 故选：C． 24．如图，点A位于点的北偏西方向，点位于点的东北方向，线段为一条东西向的公路的一部分，如果点到公路的距离是米，那么公路的长为 ． 【答案】米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，从实际问题中抽象出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解是解题的关键． 如图：过点C作于点D，由题意得，，在和中解直角三角形即可解答． 【解析】解：如图：过点C作于点D， 由题意得：米，， 在中，米， 在中，米， ∴，即公路的长为米． 故答案为：米． 25．“国庆黄金周”期间，某公园游客络绎不绝，现有一艘游船载着游客在公园湖中游览．当游船行驶至A处时，船上游客发现岸上沧浪亭P和清风亭Q都在东北方向；当游船向正东方向行驶600米到达B处时，游客发现清风亭Q在北偏西方向；当游船继续向正东方向行驶400米到达C处时，游客发现沧浪亭P在北偏西方向． (1)求A处到沧浪亭P的距离； (2)求沧浪亭P与清风亭Q之间的距离．注：计算结果请保留根号． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：（1）依题意有． 过点作于点M．设，则 在中，∵， ∴， ∴， ∴ 在中，∵ ∴， ∴， 又， ， ∴ ∴A处到沧浪亭P的距离为； （2）解：过点作于点， 在中，． ． 在中，． ． ． ． ∴沧浪亭P与清风亭Q之间的距离为． 26．如图，A点、B点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正东方向的处有一海岸瞭望塔C，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向．（注：，结果精确到） (1)试求出小岛码头A点到海岸线的距离； (2)有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离； 【答案】(1)小岛码头点到海岸线的距离约为 (2)点到点的距离约为 【解析】（1）解：过A作于M， 由题意得：，，， ∴，， ∴， 解得：， 经经验，是原方程的解，且符合题意， 答：小岛码头点到海岸线的距离约为； （2）解：如图所示，过C作于N， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：点到点的距离约为． 题型六、利用解直角三角形解决坡度坡比问题 27．如果斜坡的坡比为，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设斜坡的坡角为，依题意， ∴斜坡的坡角等于 故选：A． 28．如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为2米，平台的长为1米，用7米长的地毯从点到点正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，过点作于，则四边形为矩形， 米， 由题意得： (米)， ∴斜坡的坡比是： 故选： B． 29．中考新考法：真实问题情境·实物，如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄滚轮连杆，且，连杆与底坐的夹角为，则该椭圆机的机身高度（点到地面的距离）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，作垂足分别为点E和点H，作于点F， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴ ， ∵， ∴，， ∴, ∴， 故选：D 30．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】解：在中，， ∴米． ∴这名滑雪运动员的高度下降了米； 故答案为： 31．定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 【答案】(1)的长是10米 (2)不同意，理由见解析 【解析】（1）解：如图，连接，    由题意得，，，， 设，则，， ∵点恰好是屏幕的最佳视野点， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴（米）， ∴（米）， ∴的长是10米； （2）解：不同意．理由如下： 作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点，    由题意，可得：，， ∵自动扶梯的坡度是， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点不是自动扶梯上的最佳视野点． 题型七、解直角三角形与其它问题（难点） 32．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（   ）（参考数据：，，） AI A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：，，， ， 在中， ，， ． 故选：． 33．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）．如图2，利用土圭之法记录了两个时刻长为6尺的标杆的影长，发现第一时刻光线与标杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻标杆的影长 尺． 【答案】 【解析】解：根据题意得：尺，尺，， ∴， ∵， ∴， ∴尺． 即第二时刻标杆的影长15尺． 故答案为：15 34．图-1是一款可旋转的太阳能路灯，太阳能光伏板面向太阳，且随太阳的升起到落下方向旋转，图-2是其侧面示意图，线段表示路灯的灯支架，为路灯灯杆．线段为太阳能光伏板，可绕点旋转，．（图中所有点均在同一平面）（参考数据：，．结果精确到） (1)当三点共线时，，求的长度； (2)若某一时刻太阳光线与地面的夹角为时，恰好太阳能光伏板与所成夹角，求太阳能光伏板落在地面上的影子的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，作出辅助线构造直角三角形． （1）连接，过点作于点，先解，求得，进而解，求得，进而根据，即可求解； （2）连接，过点作于点，设交于点，证明四边形是平行四边形，则，解，即可求解． 【解析】（1）解：如图，连接，过点作于点， 在中， ∴， 当三点共线时，在中， ∴ ∴ （2）解：如图， 连接，过点作于点，设交于点， ∵， ∴ 又， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ 在中， 答：太阳能光伏板落在地面上的影子的长为． 35．图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图． 信息1：经过测量得到：，，，．（底座的高度忽略不计） 信息为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足在的延长线上，当视线与展板垂直时，称点为“最佳观察点”． 任务（1）：求展板最低点到地面的距离； 任务（2）：如果，当点为“最佳观测点”时，求点到的距离．（参考数据：） 【答案】任务1：展板最低点到地面的距离为；任务2：当点为“最佳观测点”时，求点到的距离为 【解析】解：（1）如图2，过作于，过点作于，作于， 在中，，， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ， 答：展板最低点到地面的距离为； （2）如图，过点作于点，作于点， 由（1）知，， ， ，， ， ， ， 设， ， ，，， ， 在中，， ， ， 答：当点为“最佳观测点”时，求点到的距离为． 1．如图，是等腰直角三角形，，点D在的延长线上，，连接，则（　　） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，东西方向上有A，C两点，点B在点A的北偏东方向上，在点C的北偏西方向上，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、根据图象得， ∴，选项错误，不符合题意； B、根据图象得， ∴，选项正确，符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：B 3．如图，在菱形中，，，，则的值是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】解：， ， ， 设，， ，， ， 故选：． 4．如图，在中，和都是锐角，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，过A作，垂足为D， ∵，， ∴，， ∴， 故选C．    5．碧津公园坐落在江北机场旁，它是一个风景秀丽、优美如画的公园．园中的碧津塔是一座八角塔，每个角挂有一个风铃，被评为重庆市公园最美景点．重庆一中某数学兴趣小组，想测量碧津塔的高度，他们在点C处测得碧津塔顶部A处的仰角为45°，再沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D，此时测得碧津塔顶部A的仰角为37°，碧津塔AB所在平台高度EF为0.8米．A、B、C、D、E、F在同一平面内，则碧津塔AB的高约为（ ）米（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） A．20.8 B．21.6 C．23.2 D．24 【答案】B 【解析】解：根据题意可知： ∠ABC＝90°，∠ACB＝45°， ∴AB＝BC， ∵DN：NC＝i＝1：2.4，CD＝5.2， ∴DN＝2，CN＝4.8， 设DG⊥AB，垂足为G， 如图， ∴在Rt△ADG中，∠ADG＝37°， ∵AG＝AB﹣GB＝AB﹣DN＝AB﹣2， 又DG＝BN＝CN＋BC＝4.8＋AB， ∴tan∠ADG＝， ∴×（4.8＋AB）＝AB﹣2， 解得AB＝22.4， ∵AB所在平台高度EF为0.8米， ∴22.4﹣0.8＝21.6（米）． 故选：B． 6．数学实践小组测量某路段上一处标识脱落的车辆限高杆的高度，如图，他们先用测角仪在处测得点的仰角，然后在处测得点的仰角，已知点，，在同一条直线上，测角仪离地面高度，，则高（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：延长，交于点， 由题意得，米，米， 设米， 则米， 在中，， ， 米， 在中，， 解得， （米． 故选：A． 7．拦水坝的横截面为梯形，其中斜面的坡比为，若自向走了米，那么升高的高度为 米． 【答案】10 【解析】解：假设升高的高度为，根据斜面的坡比为得，水平距离为， 由勾股定理得， ， 解得（负值已舍去）， 所以，升高的高度为， 故答案为：10． 8．如图：两张宽度都为的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为α（见图中的标注），则重叠（阴影）部分的面积表示为 ． 【答案】 【解析】如图，过点作于点E． 由题意可知四边形为菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．在直角中，，如果的中线上有个点，使，那么 ． 【答案】 【解析】解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴ ∴ ∵是的中线， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 10．如图，小明在距离地面33米的处测得处的俯角为，处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是 米． 【答案】 【解析】解：由题意，得：，， ∴在中，， ∵斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：. 11．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔25海里的A处，它沿正北方向航行到达位于灯塔正东方向上的B处，那么此时轮船与灯塔P的距离为 海里． 【答案】 【解析】解：∵轮船位于灯塔P的南偏东方向， ∴， 在中，（海里）； 即此时轮船与灯塔P的距离为海里． 故答案为：． 12．已知：如图，在中，，，，是边上的中线．    (1)求的面积； (2)求的余切值． 【答案】(1)42 (2) 【解析】（1）解：过点C作，点H为垂足， 在中，，    是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， 解得， ， ； （2）解：过点D作，点M为垂足，   ， ， ， D为中点， ， 由（1）知：， ， ， 在中，， ． 13．如图，在中，，，，点在边上，且，，垂足为，联结． (1)求线段的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴ ∴ 在中，， ∴， （2）∵，， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 又∵， ∴ 14．如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时公路上由西向东匀速行驶，依次经过点．是一个观测点，米，，，测得该车从点点行驶到点所用时间为1秒．    (1)求两点间的距离； (2)试说明该车是否超过限速． 【答案】(1)20米 (2)该车没有超过限速，理由见解析 【解析】（1）∵米， ∴，即 ∴米， ∵ ∴ ∴米， ∴米； （2）∵米千米，该车从点点行驶到点所用时间为1秒小时 ∴该车的速度为千米/小时， ∵ ∴该车没有超过限速． 15．如图，小明一家从家所在地自驾前往古镇游玩，古镇在小明家的正北方向千米处，由于道路清障，小明一家先从沿西北方向行驶至地，再从地沿北偏东方向行驶至古镇，求小明一家从地到地实际行驶的路程是多少千米？（结果精确到千米） （参考数据：，，，） 【答案】从地到地实际行驶的路程是千米 【解析】解：如图所示，过点作于点， ∵点在点的西北方向， ∴， ∴，， ∵点在点的北偏东方向， ∴， ∵， 设，则,， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴（千米） 答：从地到地实际行驶的路程是千米． 16．如图，在路边安装路灯，灯柱高10m，与灯杆的夹角为．路灯采用锥形灯罩，照射范围长为，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为，．求：    (1)路灯A离地面的高度（即点A到地面的距离）； (2)灯杆的长度．（参考数据：，） 【答案】(1)路灯A离地面的高度为 (2)灯杆的长度为 【解析】（1）解：过点作，则：，    设，则：， 在中，，则：， 在中，，则：， ∴，解得：， ∴； 答：路灯A离地面的高度为； （2）过点作，    ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 答：灯杆的长度为． 17．舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米． (1)舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ； (2)求桩与桩的距离的长．（结果精确到米） 【答案】(1) (2)米 【解析】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作，分别交于点， ∵，，， ∴， ∴四边形、、都是矩形， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ ， 解得， （米）， 答：桩与桩的距离的长约为米． 18．图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，垂直于水平桌面，垂足为点，点处有一个摄像头．经测量，厘米，厘米，． (1)求摄像头到桌面的距离； (2)如果摄像头可拍摄的视角，且，求桌面上可拍摄区域的宽度（的长）． （参考数据：，．） 【答案】(1)摄像头到桌面的距离是 (2)桌面上可拍摄区域的宽度为 【解析】（1）解：过点作，过点作，垂足分别为点、， ，， ， ，， ， ， ． 答：摄像头到桌面的距离是． （2）解：过点作，垂足为， ，， 设，，则，，， ，， ， ， 解得：， ， 答：桌面上可拍摄区域的宽度为． 19．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为，且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． (1)求改造前坡顶与地面的距离的长． (2)为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到1米） （参考数据：，，，． 【答案】(1)24米 (2)8米 【解析】（1）解： 斜坡的坡比为， ， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 则，， 答：改造前坡顶与地面的距离的长为24米； （2）解：作于， 则， ， ， 答：至少是8米． 20．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，设备说明书中的部分内容如下所示． 设备名称 红外线体温检测仪 测温区域示意图 设备需安装在垂直于水平面的墙面上． ①水平面； ②竖直墙面； ③设备安装位置； ④的长是设备安装高度； ⑤的长是测温区域的宽度． 技术参数 设备测温过程中释放的红外线是直线传播，它与水平面的夹角称为探测角． 探测最小角： 探测最大角： (1)如果该设备的安装高度为时，请求出图中线段的长度；（结果精确到） (2)如果学校要求测温区域的宽度为时，请求出该设备的安装高度．（结果精确到） （参考数据：，，，，， 【答案】(1)3.3米 (2)2.3米 【解析】（1）解：在中，，， 则， 答：线段的长度约为； （2）解：设的长为， 在中，， 则 在中，， 则                                                                   由题意得：， 解得：， 答：该设备的安装高度约为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$