14.2全等三角形的判定二（基础练+提升练+拓展练+达标检测）大单元教学分层优化练 2025-2026学年人教版数学八年级上册

本文围绕人教版八年级数学“全等三角形的判定二”展开，涵盖角边角（ASA）、角角边（AAS）等判定方法及应用。承接全等三角形基础，为后续几何证明奠基。通过多样题型训练，培养学生抽象、推理、应用等核心素养，引导学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。 本设计亮点在于题型丰富且具层次性，结合实际应用案例。从学生层面，提升其解决问题能力；从教师角度，提供系统备课资源；课堂效果上，能有效突破教学难点，强化学生对判定方法的理解与运用。

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 14.2全等三角形的判定二（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 判定三角形全等的方法---角边角 （ASA） (1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. （2）书写格式:如图所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′ AB=A′B′ ∠B=∠B′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). 要点诠释： 夹边要求：必须是两角的公共边 题型1利用ASA全等证明线段相等 例1．如图，与相交于点，连接，，，求证： 【答案】证明：∵与相交于点， ∴， ∵，， ∴． 【解析】【解答】证明：∵与相交于点， ∴， ∵，， ∴． 【分析】根据ASA可得出。 【变式1-1】．如图，在中，，高，交于点H．若，，则　 　． 【答案】5 【解析】【解答】解：，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 【分析】先利用角的运算和等量代换可得，再利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换求出CH的长即可. 【变式1-2】．已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝BD，求证：ABD≌EBC． 【答案】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EBD＝∠2＋∠EBD， ∴∠ABD＝∠EBC， 在ABD和EBC中， ， ∴ABD≌EBC（ASA）． 【解析】【分析】首先根据等式性质可得∠ABD＝∠EBC，进一步根据ASA可即可证得ABD≌EBC． 【变式1-3】．如图，已知线段AC、BD相交于点E，连接AB、DC、BC，AE＝DE，∠A＝∠D．求证：△ABE≌△DCE； 【答案】证明：在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（ASA）． 【解析】【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案. 知识点2 判定三角形全等的方法---角角边 （AAS） （1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） （2）书写格式:如图所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′ ∠B=∠B′ AC=A′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). 由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 要点诠释： 当已知条件中涉及两角及非夹边时，优先使用AAS判定。例如，已知两角和其中一角的对边相等，可直接套用AAS定理 题型2 添加条件使能够运用ASA、AAS判定三角形全等 例2． 如图，AE=AC，∠1=∠2，若要用“ASA”证明△ABC≌△ADE，则还需要添加的条件是（ ) A．∠B=∠D B．∠1=∠D C．∠E=∠C D．∠2=∠C 【答案】C 【解析】【解答】解：∵ ∠1 =∠2， ∴ ∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC = ∠DAE， ∵ AE =AC， ∴ 要用“ASA”证明△ABC≌△ADE，则需要∠E=∠C 即可得到. 故答案为：C 【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案. 【变式2-1】． 如图，点C 是AE的中点，∠A=∠DCE，要使△ABC≌△CDE，则需要添加的条件可以是　 　.(写出一个即可，不添加辅助线) 【答案】∠B=∠D 【解析】【解答】解：∵点C 是AE的中点， ∴ AC = CE， 在 △ABC 和 △CDE 中， ， ∴ △ABC≌△CDE （AAS） 【分析】 要使△ABC≌△CDE， 根据不同的判定方法，需要添加的条件不同，比如可根据AAS添加∠B=∠D（答案不唯一）。 【变式2-2】．如图，已知，添加哪个条件可以证明的是（　　） A． B． C． D．以上都不可以 【答案】C 【解析】【解答】解：A.，，，不符合全等三角形的判定，故该选项错误； B.，，，不符合全等三角形的判定，故该选项错误； C.，，，符合全等三角形的判定，故该选项正确； 故答案为：C． 【分析】 根据全等三角形的判定定理对各个选项进行逐项分析即可。 【变式2-3】．如图，∠D=∠C=90°，请你再添加一个条件，使△ABD≌△ABC，你添加的条件是　 　 【答案】∠DAB =∠CAB(本题答案不唯一) 【解析】【解答】解：在△ABD和△ABC中 ∴△ABD≌△ABC（ASA） 故答案为：∠DAB =∠CAB(本题答案不唯一) 【分析】根据全等三角形的判定定理即可求出答案. 题型3 利用AAS全等证明线段相等 例3． 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF.求证：AD是BC的中垂线. 【答案】证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°. 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD， ∴AE=AF. 又∵BE=CF， ∴AE+BE=AF+CF， 即AB=AC. ∵AB=AC，∠BAD=∠CAD， ∴AD⊥BC，BD=CD， 即AD是BC的中垂线 【解析】【分析】根据角平分线的性质得到DE=DF，然后根据AAS得到△AED≌△AFD，即可得到AE=AF.然后根据三线合一解答即可. 【变式3-1】．如图，在中，，，直线过顶点，过分别作直线的垂线，垂足分别为． （1）求证：； （2）若，，直接写出的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）6 【解析】【解答】（2）解：由（1）可得，，且，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：6. 【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换可得； （2）先求出，再利用三角形的面积公式求解即可. （1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可得，，且，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【变式3-2】．如图，，． （1）求证：； （2）若，则__________°． 【答案】（1）证明：在和中， ， （2） 【解析】【解答】（2）解：，， ， 由（1）知， ， 故答案为：20． 【分析】（1）直接利用得到两三角形全等即可； （2）根据三角形内角和定理得到的度数，再根据全等三角形的对应角相等解答即可． （1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， 故答案为：20． 【变式3-3】．如图，已知△ABC 中，AB=AC，D 为AB 上一点，E为AC 延长线上一点，BD=CE，DE 交BC于点F.求证：DF=EF. 【答案】证明：过点D作DM//AC交BC于M，如图所示， ∴∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B=∠DMB， ∴BD=MD， ∵BD=CE ∴MD=CE 在△DMF和△ECF中 ∴△DMF≌△ECF（AAS） ∴DF=EF 【解析】【分析】利用平行可得∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E，利用等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB，从而证明∠B=∠DMB，证明△DMF≌△ECF，即可得出结论. 知识点3判定方法的选择 选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS 要点诠释： 如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 注意： 三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 题型4 全等三角形判定方法选择 例4． 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，OA=AB，且∠OAB=90°，点A(-1，3)，求点B的坐标. 【答案】解：过点A作CD//y轴，过点B作BC//x轴，与CD相交于点C，交y轴于点E， 在， (AAS) AD=BC，AC=OD 点A(-1，3) AD=BC=3，AC=OD=1 C(-1，4)，BE=BC-CE=1 点B的坐标是(2，4) 【解析】【分析】过点A作CD//y轴，过点B作BC//x轴，与CD相交于点C，交y轴于点E，证明(AAS)，可得AD=BC，AC=OD，AD=BC=3，AC=OD=1，BE=BC-CE=1，继而得到点B的坐标. 【变式4-1】．如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是　 　． 【答案】6 【解析】【解答】解：延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：6． 【分析】 延长交于点E，由角平分线的概念结合AP与BP的位置关系可证明，则有，再根据中线等分三角形的面积可得阴影部分面积等于原三角形ABC面积的一半． 【变式4-2】．如图，，点D在边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵和相交于点O，∴． 又∵在和中，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵，∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据全等三角形的判定即可判断； （2）由（1）可知：，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数． （1）证明：∵和相交于点O， ∴． 又∵在和中，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 【变式4-3】．如图，在中，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质． （1）根据题意可得：，再根据， 利用垂直的定义可得：，再根据AC=DE，利用全等三角形的判定定理可证明； （2）利用全等三角形的性质可得：，再根据，利用等量替换可证明结论． （1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 题型5 利用5SA、AAS全等的实际应用 例5． 如图，△ABC的面积为6cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连结PC，求△PBC的面积. 【答案】解：延长AP交BC于D BP平分∠ABC AP⊥BP于点P PB=PB AP=PD △ABC的面积为6cm2 cm2 【解析】【分析】延长AP交BC于D，证明，根据全等三角形性质可得AP=PD，得出 ，则。 【变式5-1】．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（　　）去最省事． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【解析】【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形， 所以，最省事的做法是带③去． 故答案为：C． 【分析】利用全等三角形的判定方法及应用分析求解即可. 【变式5-2】．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）． A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 【答案】D 【解析】【解答】解：∵∠BOD+∠COE=∠COE+∠OCE=90°， ∴∠BOD=∠OCE， 在△OBD与△COE中， ， ∴△OBD≌△COE， ∴CE=OD=1.8m，OE=BD=1.4m， ∴DE=OD-OE=0.4m， ∵B点距离地面1m， ∴AE=1+0.4=1.4m， ∴小丽距离地面的高度是1.4m . 故答案为：D. 【分析】利用AAS证出△OBD≌△COE，得出CE=OD=1.8m，OE=BD=1.4m，从而得出DE=0.4m，AE=1+0.4=1.4m，即可得出小丽距离地面的高度是1.4m . 【变式5-3】．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得． （1）求证：； （2）若，求的长度； 【答案】（1）证明：， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， 的长度是． 【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再利用“ASA”证出即可； （2）利用全等三角形的性质可得BC=EF，再利用线段的和差及等量代换可得，最后利用线段的和差求出FC的长即可. （1）证明：， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， 的长度是． 题型6 灵活选择方法判定三角形全等 例6．如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED.若AD=2，BC=3，则△ADE的面积为(　　). A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】A 【解析】【解答】解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F， ∵CD⊥DE， ∴∠CDE=90°， ∵∠EDF+∠FDC=90°，∠GDC+∠FDC=90° ∴∠EDF =∠GDC， ∴△DEF≌△DCG(AAS)， ∴EF=CG=BC-BG=BC-AD=3-2=1， ∴. 故答案为：A. 【分析】过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，证明△DEF≌△DCG，求出EF的长度，进而求出 △ADE 的面积即可. 【变式6-1】．如图，已知和．求证：． 【答案】证明： ， 即， 在和中， ， 【解析】【分析】根据易得，然后再根据ASA，易证，最后再根据全等三角形的性质即可证明。 【变式6-2】． 【探究与证明】 【新定义】顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”. （1）如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点.则　 　（填“>”、“<”或“=”）； （2）如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，连接、，试猜想线段、的大小关系，并证明你的结论； （3）如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，点、点均在外，连接、交于点，连接，求证：平分. 【答案】（1）= （2）解：猜想. 证明如下： ∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴. （3）解：过点作于，于，则， ∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分. 【解析】【解答】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 故答案为：＝. 【分析】（1）利用角的运算方法及等量代换可得∠BAD＝∠CAE； （2）先利用角的运算求出，再利用”SAS“证出，最后利用全等三角形的性质可得； （3）过点作于，于，先利用”SAS“证出，可得，再利用”AAS“证出，可得，最后结合，，即可证出平分. 【变式6-3】．在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC． （1）当点C在线段BD上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为　 　； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF＋CD； （2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 【答案】（1）①AE＝BF； ②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG， ∵∠EBD＝60°，BG＝BD， ∴△GBD是等边三角形． 同理，△ABC也是等边三角形． ∴AG＝CD， ∵DE＝DF，∴∠E＝∠F． 又∵∠DGB＝∠DBG＝60°， ∴∠DGE＝∠DBF＝120°， 在△DGE与△DBF中，， ∴△DGE≌△DBF（AAS）， ∴GE＝BF， ∴AE＝BF＋CD； （2）AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF 【解析】【解答】解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°， ∴∠EAD＝∠FBD＝120°， ∵DE＝DF， ∴∠E＝∠F， 在△AEC与△BCF中，， ∴△ADE≌△BDF（AAS）， ∴AE＝BF； 故答案为：AE＝BF； （2）如图3，在BE上截取BG＝BD，连接DG， 由（1）知，GE＝BF，AG＝CD， ∴AE＝EG﹣AG； ∴AE＝BF﹣CD， 如图4，在BE上截取BG＝BD，连接DG， 由（1）知，GE＝BF，AG＝CD， ∴AE＝AG﹣EG； ∴AE＝CD﹣BF， 故AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF． 【分析】 （1）①如图1，先由等边三角形的概念判定△ABC是等边三角形，则可得AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC，由邻补角的概念可得∠EAD＝∠FBD，再由等腰三角形的性质可证△ADE≌△BDF，最后再根据全等三角形的性质即可得到结论； ②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，则可得△GBD是等边三角形，同理，△ABC也是等边三角形，则可得AG＝CD，同（1）再证明△DGE≌△DBF，则可得GE＝BF，最后再等量代换即可； （2）如图3，在BE上截取BG＝BD，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，则有AE=BF-CD；如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，则有AE=CD-BF． 题型7综合应用全等三角形判定性质证明和计算 例7．如图，在四边形中，，E为中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）已知，．当为何值时，点E在的平分线上？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∵E为中点， ∴， 在△ADE和△FCE中， ∴， ∴； （2）解：当时，点E在的平分线上，理由如下： 连接，如图所示： 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分， 即AB=8时，点E在的平分线上． 【解析】【分析】（1）由平行线的性质推出，，由判定，推出； （2）由，推出，由等腰三角形的性质推出平分，即可得点E在的平分线上． （1）证明：∵， ∴，， ∵E为中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，点E在的平分线上，理由如下： 连接， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵）， ∴， ∴平分， ∴点E在的平分线上． 【变式7-1】．如图1，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D， （1）求证： △BCE≌△CAD； （2）猜想：AD，DE，BE的数量关系为 （不需证明）； （3）当CE绕点C旋转到图2位置时，猜想线段AD，DE，BE之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论. 【答案】（1）解：如图所示， ∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE ∴ ∴ 在△BCE和△CAD中 ∴△BCE≌△CAD（AAS） （2）证明：由（1）可知：△BCE≌△CAD， ∴AD=CE，BE=CD， ∴DE=CE-CD=AD-BE． 故答案为：DE= AD-BE （3）证明：如图所示， ∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE ∴ ∴ 在△BCE和△CAD中 ∴△BCE≌△CAD（AAS） ∴AD=CE，BE=CD， DE=CD-CE=BE-AD． 【解析】【分析】（1）利用一线三垂直全等模型证明即可； （2）由于△BCE≌△CAD，则AD=CE、CD=BE，则AD=CE=DE+CD=DE+BE； （3）同（1）先证明△BCE≌△CAD，则CE=AD、BE=CD，则DE=CE+CD=AD+BE． 【变式7-2】．如图，在的两边上截取，．连接，交于点，则下列结论正确的是　　 ①；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【解析】【解答】解：在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴，故②正确； ∴， 在和中， ， ∴，故③正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故④正确； 故选：． 【分析】根据三角形全等的判定定理（SAS，SSS，AAS）和全等三角形的性质对①②③④进行分析即可。 【变式7-3】．在中，，且，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：如图， ∵， ∴， ∵过点C作AD的垂线交AB于点E，即CE⊥AD， ∴∠CFD=90°， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点B作交的延长线于点G， ∴∠CBG=90°， ∵， ∴∠CBG+∠ACB=180°，∠CBG=∠ACB，∠ACF+∠DCF=90°， ∴， ∴， ∵， ∴∠CFD=90°， ∴， ∴∠ADC+∠DCF=∠ACF+∠DCF， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵AD是BC边上的中线， ∴， ∴， ∵，∠A=45°， ∴∠DBE=45°， ∵∠CBG=90°， ∴∠GBE=∠DBE=45°， 在和中， ， ∴， ∴， ∴. 【解析】【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余得，根据垂直的定义得∠CFD=90°，从而得，进行等量代换即可得证结论； （2）过点B作交的延长线于点G，易证，从而得，然后再证出，得，接下来证明，根据全等三角形对应边相等得，由线段中点的定义可得出，再证出∠GBE=∠DBE=45°，从而证明，根据全等三角形对应角相等得出，最后进行等量代换得证结论. （1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）过点B作交的延长线于点G． ∵，， ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴. 又∵，， ∴， ∴. ∵点D是的中点， ∴， ∴. ∵，， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴. 例8．如图，AC与BD相交于点O，且，． （1）求证：； （2）直线EF过点O，分别交AB，CD于点E，F，试判断OE与OF是否相等，并说明理由． 【答案】（1）证明：在与中，， ∵ ∴∴ （2）解：，理由如下： 由（1）可知：， ∴， 在于中， ∴∴ 【解析】【分析】(1)根据全等三角形的判定定理SAS证明，得到，由平行线的判定即可得到答案； （2）由全等三角形的性质得，然后根据全等三角形的判定定理ASA证明，由全等三角形的性质即可得到答案. 【变式8-1】．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC. （1）求证：BE=CF. （2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连结MC，交AD于点N，连结ME.求证：ME⊥BC. 【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠ACB=45°， ∵FC⊥BC， ∴∠BCF=90°， ∴∠ACF=90°-45°=45°， ∴∠B=∠ACF， ∵∠BAC=90°，FA⊥AE， ∴∠BAE+∠CAE=90°， ∠CAF+∠CAE=90°， ∴∠BAE=∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴BE=CF； （2）证明：如图，过点E作EH⊥AB于点H，则△BEH是等腰直角三角形， ∴HE=BH，∠BEH=45°， ∵AE平分∠BAD，AD⊥BC， ∴DE=HE， ∴DE=BH=HE， ∵BM=2DE， ∴HE=HM， ∴△HEM是等腰直角三角形， ∴∠MEH=45°， ∴∠BEM=45°+45°=90°， ∴ME⊥BC． 【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠ACB=45°，根据直角三角形两锐角互余得出∠ACF=45°，推得∠B=∠ACF，根据同角的余角相等得出∠BAE=∠CAF，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明； （2）过点E作EH⊥AB于H，根据有一个角是45°角的直角三角形是等腰直角三角形得出△BEH是等腰直角三角形，推得HE=BH，∠BEH=45°，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，推得DE=BH=HE，得出HE=HM，根据有两条边相等的直角扇形是等腰直角三角形得出△HEM是等腰直角三角形，推得∠MEH=45°，即可求解. 【变式8-2】．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BE，CF是两腰上的高线，点P，Q分别在BE，CF的延长线上，且BP=AC，CQ=AB.△APQ是等腰三角形吗?请说明理由. 【答案】解： △APQ 是等腰三角形， 理由如下：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵CE，BF是两腰上的高线， ∴∠BEC=∠BFC=90°， 在△BEC和△BFC中， ， ∴△BEC≌△BFC， ∴∠BCE=∠BCF， ∵∠ABC=∠ACB， ∴∠ABP=∠ACQ， 在△ABP和△AQC中， ， ∴△ABP≌△AQC， ∴AQ=AP， ∴△APQ为等腰三角形 【解析】【分析】根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明△BEC≌△BFC，根据全等三角形的对应角相等得出∠BCE=∠BCF，推得∠ABP=∠ACQ，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△ABP≌△AQC，根据全等三角形的对应边相等得出AQ=AP，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形即可证明 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就画出一个与原三角形形状大小完全一样（即全等）的三角形，这两个三角形全等的依据为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵直角三角形没被挡住的是两角和夹边，∴画出一个与原三角形全等的三角形，这两个三角形全等的依据为ASA. 故答案选：C． 【分析】两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，由此即可判断. 2．如图，与相交于点，不添加辅助线，能直接判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：在和中， ∴ 故答案为：C． 【分析】根据AAS证明全等即可． 3．如图，点A在上，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：令、交于点， 则 ，， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 故选：B． 【分析】令、交于点，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案. 4．如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， ∴，． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，． ∵点的坐标为，点的坐标是， ∴，，， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：C. 【分析】先求出，再利用AAS证明，最后根据全等三角形的性质和点的坐标计算求解即可。 5．如图，是等边三角形，，与的角平分线交于点，过点作，交于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=1，∠ABC=∠ACB=60°， ∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于点O， ∴∠OBC=∠OBD=∠OCB=∠OCE=30°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD=AE， ∵AB=AC， ∴BD=CE， ∵∠DOB=∠OBC=30°， ∴∠DBO=∠DOB=30°， ∴BD=OD， 同法可证EO=EC， ∴DE=AD=2BD， ∴3DB=1， ∴， 故选：B 【分析】证明△ADE是等边三角形，DE=2BD，推出AD=2BD，再根据AB=BC=1可得结论. 6．风筝为中国人发明，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAE＝∠DAC，那么AC与AE相等．小飞直接证明△ABC≌△ADE，他的证明依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】C 【解析】【解答】解：∵∠BAE=∠DAC， ∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC， ∴∠BAC=∠DAE， ∵AB=AD，∠B=∠D， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， ∴AC=AE， 故答案为：C． 【分析】先利用角的运算和等量代换可得∠BAC=∠DAE，再利用“ASA”证出△ABC≌△ADE，最后利用全等三角形的性质可得AC=AE. 7．如图，已知AB=DE，∠B=∠DEF，下列条件中不能判定△ABC≌△DEF的是(　　) A．∠A=∠D B．AC//DF C．BE=CF D．AC=DF 【答案】D 【解析】【解答】解：A：添加 ∠A=∠D ，满足ASA，可以判定 △ABC≌△DEF ，所以A不符合题意； B：根据 AC//DF ，可得出∠ACB=∠F，满足AAS，可以判定 △ABC≌△DEF ，所以B不符合题意； C：根据 BE=CF ，可得出BC=EF，满足SAS，可以判定 △ABC≌△DEF ，所以C不符合题意； D： AC=DF ，可得出SSA，不能判定 △ABC≌△DEF ，所以D符合题意。 故答案为：D. 【分析】根据三角形全等的判定，分别进行判断，即可得出答案。 8．如图，等边的边长为3，点P是边上的一个动点，过点P作于点D，延长至点Q，使得，连接交于点E，则之长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】【解答】解：过点P作PF∥BC交AB于点F，则∠EPF＝∠Q，如图所示： ∵△ABC是边长为3的等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，AB＝3， ∴∠AFP＝∠ABC＝60°，∠APF＝∠C＝60°， ∴∠A＝∠AFP＝∠APF， ∴△AFP是等边三角形， ∴FP＝AP， ∵BQ＝AP， ∴FP＝BQ， 在△FEP和△BEQ中， ∴△FEP≌△BEQ（AAS）， ∴FE＝BE=BF， ∵PD⊥AB于点D， ∴FD＝AD=AF， ∴DE＝FD＋FE＝（AF＋BF）=AB=， 故答案为：B． 【分析】过点P作PF∥BC交AB于点F，则∠EPF＝∠Q，先利用“AAS”证出△FEP≌△BEQ，可得FE＝BE=BF，再结合FD＝AD=AF，可得DE＝FD＋FE＝（AF＋BF）=AB=. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，，，图中两个三角形是否全等？　 　（填“是”或“否”），如果全等，请写出与边相等的对应边　 　． 【答案】是；CB 【解析】【解答】解：，， ，， 在和中， ， ． ， 综上可知，图中两个三角形全等，与边相等的对应边为． 故答案为：是； 【分析】根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得，， ，易证，据此即可求解。 10．已知如图：，且，于，于，，．连接，．则图中阴影部分的面积为　 　． 【答案】5 【解析】【解答】解：，，， ∴∠ABC=∠CDE=90°，∠BAC=90°-∠ACB=∠DCE，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴DE=BC=2，AB=CD=3，∴图中阴影部分的面积为=5， 故答案为：5. 【分析】先证明△ABC≌△CDE，利用梯形面积与直角三角形的面积差计算即可. 11．如图，在△ABC中，已知AB=AC，点D 在AB上，点E在AC的延长线上，∠BDC=∠E=45°，BD= 4，CE=2，则△BDC 的面积是　 　. 【答案】6 【解析】【解答】解：如图，过C点作CF⊥CD，交AB的延长线于点F， ∴∠DCF = 90°， ∵∠BDC=45°， ∴∠F= 90°- ∠BDC = 45°， ∴ODCF是等腰直角三角形， ∵∠E=45°， ∴∠F=∠E=45°， ∵AB=AC， ∴∠ACB =∠ABC， ∵∠ACB+∠BCE=180°，∠ABC+∠CBF=180°， ∴∠BCE=∠CBF， ∵BC=CB， ∴△ECB≌△FBC(AAS)， ∴CE=BF=2， ∵BD=4， ∴DF=BD+BF=6， 过点G作CG⊥DB于G， ∵△DCF 是等腰直角三角形， ∴DG=CG，∠DCG=∠FCG=45°， ∴∠DCG=∠CDG，∠FCG=∠CFG， ∴CG = DG=GF= 3， ∴S△BDC=BDxCG = 6. 故答案为：6 . 【分析】本题求三角形的面积，采用公式法，其中一直△BDC的一条边长BD=4，所以考虑以此边作为底，接下来只需求得此边上的高即可求解. 12．如图，在中，平分，且于点，，若的面积为18，则的面积是　 　． 【答案】3 【解析】【解答】解：如图，延长交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ∵， ∴， ∵的面积为18， ∴， ， 故答案为：3． 【分析】延长交于点，利用证明，根据全等三角形的性质得到，，求得，据此求解即可． 13．如图，在中，是边上的中线，过点C作，交的延长线于点D，过点B作，交于点F，若，的面积为a，则的面积为　 　．（用含a的代数式表示） 【答案】 【解析】【解答】解：∵是边上的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【分析】 根据中线的定义可得，然后利用AAS判定，可得，进一步可由三角形面积公式可推出． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，已知：在和中，点A、E、F、C在同一直线上，，，.求证：. 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵在和中 ∴ ∴． 【解析】【分析】先利用平行线的性质可得，再利用线段的和差及等量代换可得，再利用“AAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得． 15．已知：如图，与相交于点，，，求证：． 【答案】证明：，， ， 在和中， ， ． 【解析】【分析】由等式的性质推出∠ABC=∠DCB，从而由ASA判断出△ABC≌△DCB，由全等三角形的对应边相等得AB=DC. 16．如图，小明同学拿着老师的等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，，，每个小长方体教具高度均为． （1）求证：． （2）求的长． 【答案】（1）证明：∵， ， ， 在与中， ， ∴. （2）解：∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 【解析】【分析】（1）先求出，再利用全等三角形的判定方法证明求解即可； （2）根据全等三角形的性质求出，，再求出CE和CD的值，最后计算求解即可。 （1）证明：∵， ， ， 在与中， ， ∴， （2）解：∵ ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 17．如图，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，AE∥DF，EC∥BF． （1）求证：AE＝DF； （2）若AD＝8，BC＝2，求AC的长． 【答案】（1）证明：∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， ∴AC＝BD， ∵AE∥DF， ∴∠A＝∠D， ∵EC∥BF， ∴∠ECA＝∠FBD， 在△ACE与△DBF中， ， ∴△ACE≌△DBF（ASA）， ∴AE＝DF （2）解：由（1）得△ACE≌△DBF， ∴AC＝DB， 又∵AD＝AC+DB﹣BC，AD＝8，BC＝2， ∴2AC﹣2＝8， ∴AC＝5． 【解析】【分析】(1)要证 AE＝DF ，可证 △ACE≌△DBF ；由 AB＝CD 可得 AC＝BD ，由 AE//DF，EC//BF ，根据两直线平行，内错角相等可得， ∠A＝∠D ， ∠ECA＝∠FBD ，得证△ACE≌△DBF，故AE＝DF. (2)由（1）可知 △ACE≌△DBF，故AC＝DB ， AD＝AC+DB﹣BC， 即8=2AC-2，可得AC=5. 18．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.AE是过点A的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E. （1）若点B，C在AE的同侧，如图1. ①求证：△ABD≌△CAE. ②BD+CE=DE成立吗?为什么? （2）若B，C在AE的异侧，如图2，其他条件不变，则BD，DE与CE有怎样的数量关系?直接写出结果 【答案】（1）解：①由∠D=∠E=90°，∠BAC=90°， 可得∠BAD=∠ACE. 又AB=AC， ∴△ABD≌△CAE. ②BD+CE=DE成立. 理由如下：由△ABD≌△CAE， 得AD=CE，BD=AE， ∴DE=AD+AE=BD+CE， 即BD+CE=DE. （2）解：；理由如下： ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ∴（AAS）， ，， ， ． 【解析】【分析】本题考全等三角形的判定方法的理解及运用． （1）根据∠D=∠E=90°，∠BAC=90°，利用角的运算可得：∠BAD=∠ACE，再根据AB=AC，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，再根据，利用线段的运算和等量替换可推出：； （2）先利用垂直的定义可得：，利用角的运算可得，再根据，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，再根据，利用等量替换可推出：． 19．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观察者从点向东走到点，此时恰好测得 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树，标杆，人在同一直线上 测量示意图 （1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段__________的长度． （2）第二小组测得米，请你帮他们求出河宽． （3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】（1） （2）解：，， ， ， （米）， 河宽为米 （3）解：可行，理由如下： 由题意可知：， 在和中， ， ， ， 只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行， 答：第三小组的方案可行 【解析】【解答】（1）解：，， ， ， ， 要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； 【分析】（1）由直角三角形的两个锐角互余可得，则可得，根据等角对等边得可求解； （2）由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求得∠CAB的度数，然后由等角对等边得AB=BC可求解； （3）由题意可知，结合已知，用角边角可证得，根据全等三角形的对应边相等可求解． （1）解：，， ， ， ， 要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； （2）解：，， ， ， （米）， 河宽为米； （3）解：可行，证明如下： 由题意可知：， 在和中， ， ， ， 只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行， 答：第三小组的方案可行． 20．如图1，于点于点B，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． （1）如图1，若，求AC，BQ，AB之间的数量关系； （2）如图2，""改为"(为锐角)".若，，判断(1)中的数量关系是否会改变?并说明理由. 【答案】（1）解：∵CA⊥AB，DB⊥AB， ∴. ， 又 即AC，BQ，AB之间的数量关系为 （2）解：不会改变 理由： 又， ， 即（1）中的数量关系不会改变 【解析】【分析】（1）根据已知条件，可以推断出，根据三角形内角和定理，可以确定出∠ACP，根据平角的定义，可以推断出∠BPQ，即可推断出∠ACP=∠BPQ，根据全等三角形的判定和性质，可以推断出 AC，BQ，AB之间的数量关系. （2）根据（1）的推断，即可证明 AC，BQ，AB之间的数量关系 . B 抓核心 二大题型提升练 C 抓拓展 能力强化拓展练 A 夯基础 五大题型提分练 达标检测 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 14.2全等三角形的判定二（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 判定三角形全等的方法---角边角 （ASA） (1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. （2）书写格式:如图所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′ AB=A′B′ ∠B=∠B′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). 要点诠释： 夹边要求：必须是两角的公共边 题型1利用ASA全等证明线段相等 例1．如图，与相交于点，连接，，，求证： 【变式1-1】．如图，在中，，高，交于点H．若，，则　 　． 【变式1-2】．已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝BD，求证：ABD≌EBC． 【变式1-3】．如图，已知线段AC、BD相交于点E，连接AB、DC、BC，AE＝DE，∠A＝∠D．求证：△ABE≌△DCE； 知识点2 判定三角形全等的方法---角角边 （AAS） （1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） （2）书写格式:如图所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′ ∠B=∠B′ AC=A′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). 由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 要点诠释： 当已知条件中涉及两角及非夹边时，优先使用AAS判定。例如，已知两角和其中一角的对边相等，可直接套用AAS定理 题型2 添加条件使能够运用ASA、AAS判定三角形全等 例2． 如图，AE=AC，∠1=∠2，若要用“ASA”证明△ABC≌△ADE，则还需要添加的条件是（ ) A．∠B=∠D B．∠1=∠D C．∠E=∠C D．∠2=∠C 【变式2-1】． 如图，点C 是AE的中点，∠A=∠DCE，要使△ABC≌△CDE，则需要添加的条件可以是　 　.(写出一个即可，不添加辅助线) 【变式2-2】．如图，已知，添加哪个条件可以证明的是（　　） A． B． C． D．以上都不可以 【变式2-3】．如图，∠D=∠C=90°，请你再添加一个条件，使△ABD≌△ABC，你添加的条件是　 　 题型3 利用AAS全等证明线段相等 例3． 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF.求证：AD是BC的中垂线. 【变式3-1】．如图，在中，，，直线过顶点，过分别作直线的垂线，垂足分别为． （1）求证：； （2）若，，直接写出的面积．【变式3-2】．如图，，． （1）求证：； （2）若，则__________°． 【变式3-3】．如图，已知△ABC 中，AB=AC，D 为AB 上一点，E为AC 延长线上一点，BD=CE，DE 交BC于点F.求证：DF=EF. 知识点3判定方法的选择 选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS 要点诠释： 如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 注意： 三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 题型4 全等三角形判定方法选择 例4． 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，OA=AB，且∠OAB=90°，点A(-1，3)，求点B的坐标. 【变式4-1】．如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是　 　． 【变式4-2】．如图，，点D在边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式4-3】．如图，在中，． （1）求证：． （2）求证：． 题型5 利用5SA、AAS全等的实际应用 例5． 如图，△ABC的面积为6cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连结PC，求△PBC的面积. 【变式5-1】．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（　　）去最省事． A．① B．② C．③ D．①③ 【变式5-2】．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）． A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 【变式5-3】．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得． （1）求证：； （2）若，求的长度； 题型6 灵活选择方法判定三角形全等 例6．如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED.若AD=2，BC=3，则△ADE的面积为(　　). A．1 B．1.5 C．2 D．3 【变式6-1】．如图，已知和．求证：． 【变式6-2】． 【探究与证明】 【新定义】顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”. （1）如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点.则　 　（填“>”、“<”或“=”）； （2）如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，连接、，试猜想线段、的大小关系，并证明你的结论； （3）如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，点、点均在外，连接、交于点，连接，求证：平分. 【变式6-3】．在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC． （1）当点C在线段BD上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为　 　； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF＋CD； （2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 题型7综合应用全等三角形判定性质证明和计算 例7．如图，在四边形中，，E为中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）已知，．当为何值时，点E在的平分线上？请说明理由． 【变式7-1】．如图1，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D， （1）求证： △BCE≌△CAD； （2）猜想：AD，DE，BE的数量关系为 （不需证明）； （3）当CE绕点C旋转到图2位置时，猜想线段AD，DE，BE之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论. ． 【变式7-2】．如图，在的两边上截取，．连接，交于点，则下列结论正确的是　　 ①；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【变式7-3】．在中，，且，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结．求证： （1）； （2）． 例8．如图，AC与BD相交于点O，且，． （1）求证：； （2）直线EF过点O，分别交AB，CD于点E，F，试判断OE与OF是否相等，并说明理由． 【变式8-1】．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC. （1）求证：BE=CF. （2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连结MC，交AD于点N，连结ME.求证：ME⊥BC. 【变式8-2】．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BE，CF是两腰上的高线，点P，Q分别在BE，CF的延长线上，且BP=AC，CQ=AB.△APQ是等腰三角形吗?请说明理由. 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就画出一个与原三角形形状大小完全一样（即全等）的三角形，这两个三角形全等的依据为（　　） A． B． C． D． 2．如图，与相交于点，不添加辅助线，能直接判定的依据是（　　） A． B． C． D． 3．如图，点A在上，，，则等于（ ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．如图，是等边三角形，，与的角平分线交于点，过点作，交于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．风筝为中国人发明，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAE＝∠DAC，那么AC与AE相等．小飞直接证明△ABC≌△ADE，他的证明依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 7．如图，已知AB=DE，∠B=∠DEF，下列条件中不能判定△ABC≌△DEF的是(　　) A．∠A=∠D B．AC//DF C．BE=CF D．AC=DF 8．如图，等边的边长为3，点P是边上的一个动点，过点P作于点D，延长至点Q，使得，连接交于点E，则之长为（　　） A．1 B． C．2 D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，，，图中两个三角形是否全等？　 　（填“是”或“否”），如果全等，请写出与边相等的对应边　 　． 10．已知如图：，且，于，于，，．连接，．则图中阴影部分的面积为　 　． 11．如图，在△ABC中，已知AB=AC，点D 在AB上，点E在AC的延长线上，∠BDC=∠E=45°，BD= 4，CE=2，则△BDC 的面积是　 　. 12．如图，在中，平分，且于点，，若的面积为18，则的面积是　 　． 13．如图，在中，是边上的中线，过点C作，交的延长线于点D，过点B作，交于点F，若，的面积为a，则的面积为　 　．（用含a的代数式表示） 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，已知：在和中，点A、E、F、C在同一直线上，，，.求证：. 15．已知：如图，与相交于点，，，求证：． 16．如图，小明同学拿着老师的等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，，，每个小长方体教具高度均为． （1）求证：． （2）求的长． 17．如图，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，AE∥DF，EC∥BF． （1）求证：AE＝DF； （2）若AD＝8，BC＝2，求AC的长． 18．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.AE是过点A的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E. （1）若点B，C在AE的同侧，如图1. ①求证：△ABD≌△CAE. ②BD+CE=DE成立吗?为什么? （2）若B，C在AE的异侧，如图2，其他条件不变，则BD，DE与CE有怎样的数量关系?直接写出结果 19．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观察者从点向东走到点，此时恰好测得 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树，标杆，人在同一直线上 测量示意图 （1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段__________的长度． （2）第二小组测得米，请你帮他们求出河宽． （3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 20．如图1，于点于点B，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． （1）如图1，若，求AC，BQ，AB之间的数量关系； （2）如图2，""改为"(为锐角)".若，，判断(1)中的数量关系是否会改变?并说明理由. B 抓核心 二大题型提升练 C 抓拓展 能力强化拓展练 达标检测 A 夯基础 五大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $$