精品解析：河北省唐县第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

唐县第一中学2025--2026学年高二9月开学考数学试题 命题人：赵恒素 审题人：马瑞兰 一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数，，则对应的点的坐标是（ ） A. B. C D. 2. 已知向量，，且，则实数（ ） A. B. C. 5 D. 10 3. 已知向量满足，则在方向上投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，，，，则这块菜地的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 一个社会调查机构就某地居民月收入调查了10000人，并根据所得数据制作了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层随机抽样的方法抽出100人做进一步调查，则在段应抽出（ ） A. 25人 B. 50人 C. 100人 D. 125人 6. 一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船南偏东方向10海里处有一灯塔，继续行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（ ） A. 17海里 B. 16海里 C. 15海里 D. 14海里 7. 底面半径为，侧面展开图的扇形圆心角为的圆锥侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点满足，.若，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知则等于 A. B. C. D. 10. 已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为 A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 11. 10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件为（ ） A. 恰有1件次品 B. 至多有1件次品 C. 至少有1件次品 D. 都是正品 12. 已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值是9 13. 如图，正方体的棱长为 1，则下列四个命题正确的是（　　） A. 直线与平面 所成的角等于 B. 点到平面的距离为 C. 两条异面直线 和所成的角为 D. 二面角平面角的余弦值为 三、填空题（本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分） 14. 2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出4名医生，2名护士支援湖北，现从这6人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为___________． 15. 先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数图象的对称轴___________． 四、解答题（本题共3小题，共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 牯藏节是苗族的传统节日，西江苗寨为了丰富居民的业余生活，举办了关于牯藏节的知识竞赛，比赛共分为两轮.在第一轮比赛中，每一位选手均需要参加两关比赛，若在两关比赛均达标，则进入第二轮比赛.已知在第一轮比赛中，选手、第一关达标的概率分别为，；第二关达标的概率分别是，，、在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响. （1）分别求出、进入第二轮比赛的概率； （2）若、两人均参加第一轮比赛，求两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率. 17. 已知向量，函数． （1）求函数的周期及对称中心； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象．当时，恒成立，求实数的取值范围． 18. 记的内角的对边分别为，已知，为边上一点，． （1）求； （2）若平分，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐县第一中学2025--2026学年高二9月开学考数学试题 命题人：赵恒素 审题人：马瑞兰 一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数，，则对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算和复数的几何意义即可得到答案. 【详解】， 则其所对应的点的坐标为. 故选：C. 2. 已知向量，，且，则实数（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可求得，再根据向量平行的条件，即可求得的值. 【详解】由已知可得：， 因为，所以有，解之得：. 故选：C. 3. 已知向量满足，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可. 【详解】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 4. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，，，，则这块菜地的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在直观图中过点作，垂足为点，即可求出，再将直观图还原为原图，再计算可得； 【详解】解:在直观图中，过点作，垂足为点，则在中，，， .而四边形为矩形，， ， . 由此可还原原图形如图所示.在原图形中，，，， 且，， 这块菜地的面积为. 故选：C 5. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据制作了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层随机抽样的方法抽出100人做进一步调查，则在段应抽出（ ） A. 25人 B. 50人 C. 100人 D. 125人 【答案】A 【解析】 【分析】根据频率分布直方图结合分层抽样的定义求解即可 【详解】10000人中在段的有（人），利用分层随机抽样从10000人中抽取100人做进一步调查， 设在段应抽取人，则，解得. 故选：A 6. 一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船南偏东方向10海里处有一灯塔，继续行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（ ） A. 17海里 B. 16海里 C. 15海里 D. 14海里 【答案】D 【解析】 【分析】先阅读题意，再在中利用余弦定理求解即可. 【详解】解：记轮船行驶到某处的位置为，灯塔的位置为，20分钟后轮船的位置为， 如图所示.则， ，， 所以， 所以， 即20分钟后，轮船与灯塔的距离为14海里. 故选：D. 【点睛】本题考查了余弦定理，重点考查了解斜三角形，属中档题. 7. 底面半径为，侧面展开图的扇形圆心角为的圆锥侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图求圆锥的母线长，进而求侧面积. 【详解】因为圆锥的底面半径为，则侧面展开图的弧长为， 又因为侧面展开图圆心角为，可得圆锥母线长， 所以圆锥的侧面积. 故选：A. 8. 如图，在中，点满足，.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量加减法的几何表示和平面向量的基本定理可得. 【详解】， 故，，， 故选：A 9. 已知则等于 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和差的余弦公式以及二倍角公式得，进而得出答案． 【详解】由两角和差的余弦公式可得 所以 即 由二倍角公式得 又因为为锐角 所以 故选D 【点睛】本题考查两角和差余弦公式与二倍角公式，属于简单题． 10. 已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直三棱柱补成为长方体，求得长方体体对角线长，得到球的半径，利用球的体积公式，即可求解. 【详解】由题意，将直三棱柱补成为长方体，如图所示， 则该长方体的体对角线为， 设长方体的外接球的半径为，则，， 所以该长方体的外接球的体积， 故选C. 【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及球的体积的计算，其中解答中把直三棱柱补成一个长方体，求得球的半径是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 11. 10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件为（ ） A. 恰有1件次品 B. 至多有1件次品 C. 至少有1件次品 D. 都是正品 【答案】AD 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项判断即可. 【详解】10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件， 在A中，“恰有1件次品”与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件，故A正确； 在B中，“至多有1件次品”与事件“1件正品2件次品”是对立事件，故B错误； 在C中，“至少有1件次品”与事件“1件正品2件次品”能同时发生，不是互斥事件，故C错误； 在D中，“都是正品”与事件“1件正品2件次品”互斥不对立，故D正确. 故选：AD 12. 已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值是9 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平面向量的基本定理及共线的推论得，再应用基本不等式、二次函数性质判断各项正误. 【详解】 因为，则，又，，共线，所以，A正确； 由，则，则，当且仅当时取等号，B错误； 由，当时有最小值，C正确； 因为， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 13. 如图，正方体的棱长为 1，则下列四个命题正确的是（　　） A. 直线与平面 所成的角等于 B. 点到平面的距离为 C. 两条异面直线 和所成的角为 D. 二面角的平面角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面角的定义及求法即可判断A；由点到平面的距离的求法即可判断B；由异面直线所成角的定义及求法即可判断C；由平面角的定义及余弦定理即可判断D． 【详解】对于A，如图，取的中点，连接， 因为正方体，则， 因平面，平面，则， 又，平面，则平面， 所以是直线与平面所成的角，显然为，故A正确； 对于B，由A分析，可得点到平面的距离为之长，为，故B正确； 对于C，因，可得，故， 故异面直线和所成的角为或其补角， 因为为等边三角形，故异面直线和所成的角为，故C错误； 对于D，连接，因，点为的中点，则， 又，所以为二面角的平面角， 在边长为的等边三角形中，， 又，， 在中，由余弦定理，，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题（本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分） 14. 2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出4名医生，2名护士支援湖北，现从这6人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法，结合古典概率公式计算即得. 【详解】记这4名医生为,2名护士为, 从这6人中任选2人，有,共15种基本情况； 而恰有1名医生和1名护士被选中的方法数为种， 故由古典概型概率公式，可得恰有1名医生和1名护士被选中的概率为. 故答案为：. 15. 先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数图象的对称轴___________． 【答案】， 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简整理函数，然后根据函数的变换得到函数，令，求得函数的对称轴. 【详解】由题意可得：， 函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍， 纵坐标不变可得函数的图象， 函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象， 所以， 令，，解得：，， 故答案为：， 四、解答题（本题共3小题，共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 牯藏节是苗族的传统节日，西江苗寨为了丰富居民的业余生活，举办了关于牯藏节的知识竞赛，比赛共分为两轮.在第一轮比赛中，每一位选手均需要参加两关比赛，若在两关比赛均达标，则进入第二轮比赛.已知在第一轮比赛中，选手、第一关达标的概率分别为，；第二关达标的概率分别是，，、在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响. （1）分别求出、进入第二轮比赛的概率； （2）若、两人均参加第一轮比赛，求两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式可求出结果； （2）根据对立事件的概率公式可求出结果. 小问1详解】 由选手、第一关达标的概率分别为，；第二关达标的概率分别是，， 记“、进入第二轮比赛”分别为事件和事件， 则 ， 所以、进入第二轮比赛的概率分别为和. 【小问2详解】 记“两人中至少有一人进入第二轮比赛”为事件， 则. 所以两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率为. 17. 已知向量，函数． （1）求函数的周期及对称中心； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象．当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），对称中心为 （2）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）先利用倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期的计算公式以及对称中心的求法即可求解； （2）先求解析式，然后将恒成立问题，参变量分离后，转化为最值问题即可求解. 【小问1详解】 ． 所以， 令，． 所以对称中心为； 【小问2详解】 由（1）知，， 由题意，， 当时，，所以， 因为恒成立恒成立 所以． 所以， 所以的取值范围为. 18. 记的内角的对边分别为，已知，为边上一点，． （1）求； （2）若平分，求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式以及辅助公式化简等式，可得，从而可求出； （2）根据平分，可得，由面积相等得解，再利用余弦定理可求的值． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 则， 即， 因为，所以，所以，即． 又因为，所以． 【小问2详解】 因为平分，所以，即， 由面积相等得， 解得，所以． 由余弦定理得，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $