1.5全称量词与存在量词讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第 1 页 共 8 页 ❊1.5 全称量词与存在量词 思维导图 题型精析 一．全称量词 含义 符号表示 全称量词 “所有的”“任意一个”“全部”在逻辑中通常叫做全称量词.  全称命题 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. )(xpMx ， 二．存在量词 含义 符号表示 存在量词 “存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词.  特称命题 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. )( 00 xpMx ， 第 2 页 共 8 页 题型一 全称、特称命题的判断 例 1 下列命题是全称量词命题的是（ ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数 x满足 5x  例 2 下列命题中，是存在量词命题的是（ ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是 45的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于 0 D．至少有一个正整数是偶数 变 1 下列语句不是存在量词命题的是（ ） A．至少有一个 x，使 2 1 0x x   成立 B．有的无理数的平方不是有理数 C．存在 xR ，3 2x  是偶数 D．梯形有两边平行 变 2 （多选）下列命题中是全称量词命题的是（ ） A．任意一个自然数都是正整数 B．有的菱形是正方形 C．梯形有两边平行 D． Rx  ， 2 1 0x   题型二 全称、特称命题的真假 例 1 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A． 2, 2 1 0x x x    R B． , 2 1x x  N 为奇数 C．所有菱形的四条边都相等 D． π是无理数 例 2 下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有（ ） A． x R， 2 2 1 0x x   B．有的矩形不是平行四边形 C． x R ， 2 2 2 0x x   D． x R， 3 3 0x   变 1 下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（ ） A．梯形是四边形 B． Rx  ， 3 1 0x   C． Rx  ， 1 1x   D．存在一个实数 x，使 2 2 3 0x x   变 2 下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ） A．所有正方形都是菱形 B． x R ，使 2 2 2 0x x   C．至少有一个实数 x，使 3 1 0x   D． x R，使 2 1 0 4 x x   第 3 页 共 8 页 题型三 将命题改写为全、特称命题 例 1 用量词符号“ ”“ ”表示下列命题： （1）有理数都能写成分数形式； （2）方程 2 2 8 0x x   有实数解； （3）有一个实数乘以任意一个实数都等于 0． 变 1 用量词符号“ ”“ ”表示下列命题： （1）存在一个多边形，其内角和是360； （2）任何一个实数乘以 1 后，都等于这个实数的相反数； （3）存在实数 x， 3x x . 变 2 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． （1）任意两个等边三角形都相似； （2）存在一个实数，它的绝对值不是正数； （3）对任意实数 1x ， 2x ，若 1 2x x ，都有 2 2 1 2x x ； （4）存在一个实数 x，使得 2 2 3 0x x   ． 三．全称、特称命题的否定 命题 命题的否定 全称命题 )(xpMx ， )( 00 xpMx  ， 特称命题 )( 00 xpMx ， )(xpMx  ， 题型四 全称、特称命题的否定 例 1 已知命题 p： 2x  ， 2 1 0x   ，则 p 是（ ） A． 2x  ， 2 1 0x   B． 2x  ， 2 1 0x   C． 2x  ， 2 1 0x   D． 2x  ， 2 1 0x   第 4 页 共 8 页 例 2 命题“ 2R 2 2 0x x x    , ”的否定是（ ） A． 2R 2 2 0x x x    , B． 2R 2 2 0x x x    , C． 2R 2 2 0x x x    , D． 2R 2 2 0x x x    , 变 1 已知命题 0: 1p x  ，使 20 1 0x  ∣ ∣ ，其否定命题 p 为（ ） A． 0: 1p x   ，使 20 1 0x  ∣ ∣ B． : 1p x   ，使 2 1 0x  ∣ ∣ C． : 1p x   ，使 2 1 0x  ∣ ∣ D． 0: 1p x   ，使 20 1 0x  ∣ ∣ 变 2 若命题 2: R, 3 2 0p x x x     ，则 p 是 . 四．根据全称、特称命题求参数 问题 方法 全称命题 恒成立问题 1.若 yaDx  ， ，则 minya  ； 2.若 yaDx  ， ，则 maxya  . 特称命题 能成立问题 1.若 yaDx  ， ，则 maxya  ； 2.若 yaDx  ， ，则 minya  . 五．求最值的方法 类型 方法 一次函数的最值问题 根据一次函数的增减性求最值. 二次函数的最值问题 利用配方法或者对称轴法求最值. 二次函数在区间内的最值问题 先参变分离，再求函数的最值.（一般是利用基本不等式求最值） 其他最值问题 先参变分离，再求函数的最值.（一般是利用基本不等式求最值） 六．二次函数的恒成立问题 类型 方法 二次函数在 R上的恒成立问题 1.若二次函数在 R上恒大于 0，则      0 0a ； 2.若二次函数在 R上恒小于 0，则      0 0a . 二次函数在区间内的恒成立问题 参变分离法. 题型五 根据全称、特称命题求参数 第 5 页 共 8 页 例 1 若命题“  31  xxx ， 0222  xaxax ”是真命题，则 a不能等于（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 例 2 已知命题“ x R，使 2 12 ( 1) 0 2 x a x    ”是假命题，则实数 a的取值范围是（ ） A． 1a   B． 1 3a   C． 3a   D． 3 1a   变 1 若命题“ 20 0 0R, 2 2 0x x mx m      ”为真命题，则 m的取值范围是_______. 变 2 若命题“    2 2, 1 2 1 1 0x k x k x      R ”是假命题，则 k的值可以为（ ） A． 1 B．1 C．2 D．3 变 3 已知命题“ 20 0 0{ | 1 1}, 3 0x x x x x a         ”为真命题，则实数 a的取值范围是（ ） A． | 2a a   B． | 4a a  C． 2a a   D． 4a a  例 3 已知 p：关于 x的方程 022 22  aaaxx 有实数根， 31  mamq： ． （1）若命题 p 是真命题，求实数 a的取值范围； （2）若 p是 q的必要不充分条件，求实数 m的取值范围． 变 4 已知命题   21: 1 , 0 2 p x x x a x     ，命题 2: R, 16 0.q x x ax     （1）若两个命题都是真命题，求实数 a的取值范围； （2）若两个命题只有一个为真命题，求实数 a的取值范围． 变 5 已知 aR ，  : 1 2p x x x    ， a x ； :q x R ，使得 2 2 ( 1) 0x x a    . （1）若 p是真命题，求 a的最大值； （2）若 p，q一个为真命题，一个为假命题，求 a的取值范围. 第 6 页 共 8 页 七．全称、特称命题与集合的关系 结论 BxAx  ， A集合是 B集合的子集，即 BA . BxAx  ， A集合与 B集合的有交集，即 BA .（“正难则反”） 题型六 全、特称命题与集合的关系 例 1 已知集合  2 7A x x  ∣ ，  3 4 2 1B x m x m     ∣ ，且 B  ． （1）若 : ,p x A x B   是真命题，求实数m的取值范围； （2）若 : ,q x B x A   是真命题，求实数m的取值范围． 变 1 已知集合  2 3 10 0A x x x   ∣ ，非空集合  1 2 1B x m x m    ∣ （1）若“命题 : ,p x B x A   ”是真命题，求m的取值范围； （2）若“命题 : ,q x A x B   ”是真命题，求m的取值范围. 变 2 设全集 RU  ，集合  | 3 2 1A x a x a     ，  |1 5B x x   ，其中 Ra ． （1）若“ x A ”是“ x B ”的必要而不充分条件，求实数 a的取值范围； （2）若命题“ x A  ，使得 BCx R ”是真命题，求实数 a的取值范围． 课后强化 1.（多选）下列命题中，是全称量词命题的是（ ） A．至少有一个 x，使 2 2 1 0x x   成立 B．对任意的 x，都有 2 2 1 0x x   成立 C．对任意的 x，都有 2 2 1 0x x   不成立 D．存在 x，使 2 2 1 0x x   成立 第 7 页 共 8 页 2.下列命题与“ x R， 2 1 1x   ”的表述意义一致的是（ ） A．有且只有一个实数 x，使得 2 1 1x   成立 B．有些实数 x，使得 2 1 1x   成立 C．不存在实数 x，使得 2 1 1x   成立 D．有无数个实数 x，使得 2 1 1x   成立 3.用数学符号“ ”“ ”表示下列命题，并判断命题的真假性． （1）当 0x  时， 2 2 2 0x x   ； （2）自然数不都是正整数； （3）至少存在一个实数 x，使得 2 0x  . 4.已知命题 2: 1, 1 0p x x    ，则 p 是（ ） A． 21, 1 0x x    B． 21, 1 0x x    C． 21, 1 0x x    D． 21, 1 0x x    5.已知命题 p： 0x  ， 2 3 2 0x x   则（ ） A． p是真命题， 2: 0, 3 2 0p x x x      B． p是真命题， 2: 0, 3 2 0p x x x      C． p是假命题， 2: 0, 3 2 0p x x x      D． p是假命题， 2: 0, 3 2 0p x x x      6.“ x R，使 2 4 3 0ax x   ”的一个充分不必要条件是（ ） A． 0a  B． 4 3 a   C． 1a  D． 4 3 a   或 0a  7.命题“  21  xxx ， 21 3 0 2 2 x x a    ”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A． 0a  B． 1a  C． 2a  D． 3a  8.（多选）已知命题 :p x R ，使得 2 32 0 8 kx x   .则命题 p为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． 1k   B． 1k  C． 1 3 k  D． 0k  9.已知命题 2: R, 2 0p x x x     为假命题，则实数λ的取值范围是_______. 10.已知命题 2: 1 2, 0p x x a     ，命题 2 2: , 2 2 0q x x ax a a     R . （1）若命题 p 为真命题，求实数 a的取值范围； （2）若命题 p和 q 均为真命题，求实数 a的取值范围. 11.命题 p： Rx  ，使得 2 2 0x x a   ；命题 q： Rx  ，函数 axaxy 4 122  至少与 x轴有一个交点. （1）若 p为真命题，求 a的取值范围； （2）若 p， q有且只有一个真命题，求实数 a的取值范围. 第 8 页 共 8 页 12.已知集合  |1 7A x x   ，  | 3 1 1B x m x m      ，且 B   . （1）若命题 :p x A  ， x B 是真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题 :q x B  ， x A 是假命题，求实数m的取值范围. 13.已知集合  1 3A x x   ，集合  2 1B x m x m    ． （1）若“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，求实数m的取值范围； （2）若命题“ x B  ，都有 x A ”是真命题，求实数m的取值范围； （3）若命题“ x A  ， x B ”是真命题，求实数m的取值范围． ❊1.5 全称量词与存在量词 思维导图 题型精析 一．全称量词 含义 符号表示 全称量词 “所有的”“任意一个”“全部”在逻辑中通常叫做全称量词. 全称命题 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. 二．存在量词 含义 符号表示 存在量词 “存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词. 特称命题 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. 题型一 全称、特称命题的判断 下列命题是全称量词命题的是（ ）例1 A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【答案】B 【分析】由全称量词的定义逐项判断即可． 【详解】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 下列命题中，是存在量词命题的是（ ）例2 A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的定义即可得出答案． 【详解】D含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题， ABC含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题. 故选：D 下列语句不是存在量词命题的是（ ）变1 A．至少有一个x，使成立 B．有的无理数的平方不是有理数 C．存在，是偶数 D．梯形有两边平行 【答案】D 【解析】对于A，至少有一个x，使成立，有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题； 对于B，有的无理数的平方不是有理数，有存在量词“有的”，是存在量词命题； 对于C，存在，是偶数，有存在量词“存在”，是存在量词命题； 对于D，梯形有两边平行，为梯形几何性质，省略了全称量词“所有”，是全称量词命题． 故选：D. （多选）下列命题中是全称量词命题的是（ ）变2 A．任意一个自然数都是正整数 B．有的菱形是正方形 C．梯形有两边平行 D．， 【答案】AC 【分析】根据全称命题的定义逐一判断即可. 【详解】根据全称命题和存在命题的定义可以判断选项AC是全称命题， BD是存在命题， 故选：AC 题型二 全称、特称命题的真假 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）例1 A． B．为奇数 C．所有菱形的四条边都相等 D．是无理数 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的定义，结合真假判断逐项分析即可. 【详解】对于A，因为，该命题是全称量词命题，不是真命题，不符合题意； 对于B，该命题是存在量词命题，不是全称量词命题，不符合题意； 对于C，易知该命题是全称量词命题，且是真命题，符合题意； 对于D，该命题不是全称量词命题，不符合题意． 故选：C． 下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有（ ）例2 A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 【答案】C 【分析】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解. 【详解】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意， 选项A：因为，所以命题为假命题； 选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题； 选项C：，故命题为真命题，故C正确. 故选：C． 下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（ ）变1 A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【答案】A 【分析】分别判断各命题是否为全称量词命题，是否为真命题. 【详解】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确； 对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误； CD选项都为存在量词命题，不合题意. 故选：A. 下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ）变2 A．所有正方形都是菱形 B．，使 C．至少有一个实数，使 D．，使 【答案】C 【分析】先判断量词，再判断量词命题的真假即可得解. 【详解】A，所有正方形都是菱形为全称量词命题，故A错误； B，，使为存在量词命题， 而恒成立，该命题为假命题，故B错误； C，至少有一个实数，使为存在量词命题， 当时，方程成立，该命题为真命题，故C正确； D，，使为存在量词命题， 而恒成立，该命题为假命题，故D错误； 故选：C. 题型三 将命题改写为全、特称命题 用量词符号“”“”表示下列命题：例1 （1）有理数都能写成分数形式； （2）方程有实数解； （3）有一个实数乘以任意一个实数都等于0． 【答案】(1)一个有理数都能写成分数形式 (2)，使方程成立 (3)，它乘以任意一个实数都等于0 【分析】（1）根据全称量词命题书写形式进行书写； （2）（3）根据存在量词命题书写形式进行书写. 【详解】（1）这是全称量词命题，一个有理数都能写成分数形式． （2）这是存在量词命题，，使方程成立． （3）这是存在量词命题，，它乘以任意一个实数都等于0． 用量词符号“”“”表示下列命题：变1 （1）存在一个多边形，其内角和是； （2）任何一个实数乘以后，都等于这个实数的相反数； （3）存在实数，. 【答案】(1)，的内角和是 (2)，表示的相反数 (3)， 【分析】（1）使用特称量词直接转换即可；（2）使用全称量词直接转换即可；（3）使用特称量词直接转换即可. 【详解】（1）由题意“存在一个多边形，其内角和是”，因此使用特称量词可直接转换为“，的内角和是”. （2）由题意“任何一个实数乘以后，都等于这个实数的相反数”，因此使用全称量词可直接转换为“，表示的相反数”. （3）由题意“存在实数，”，因此使用特称量词可直接转换为“，”. 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．变2 （1）任意两个等边三角形都相似； （2）存在一个实数，它的绝对值不是正数； （3）对任意实数，，若，都有； （4）存在一个实数x，使得． 【答案】(1)全称量词命题，真命题； (2)存在量词命题，真命题； (3)全称量词命题，假命题； (4)存在量词命题，假命题. 【分析】（1）（2）（3）（4）根据命题的描述判断全称、存在量词命题，进而确定其真假. 【详解】（1）全称量词命题，所有的等边三角形都有三边对应成比例，该命题是真命题． （2）存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，该命题是真命题． （3）全称量词命题，存在，但，该命题是假命题． （4）存在量词命题，由于，则，因此使得的实数x不存在，该命题是假命题． 三．全称、特称命题的否定 命题 命题的否定 全称命题 特称命题 题型四 全称、特称命题的否定 已知命题p：，，则是（ ）例1 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】对全称（存在）量词命题进行否定的方法：全称量词命题，的否定为：，．存在量词命题，的否定为：，． 【详解】命题：，的否定为：，． 故选：C 命题“”的否定是（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可求得答案. 【详解】命题“”为存在量词命题,它的否定为全称量词命题, 即, 故选：A 已知命题，使，其否定命题为（ ）变1 A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 【答案】B 【分析】由特称命题的否定是将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由特称命题的否定是全称命题，则原命题的否定，使. 故选：B 若命题，则是 .变2 【答案】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，直接“改量词，否结论”即得答案. 【详解】因为命题是全称命题， 所以改量词，否结论得是：. 故答案为：. 四．根据全称、特称命题求参数 问题 方法 全称命题 恒成立问题 1.若，则； 2.若，则. 特称命题 能成立问题 1.若，则； 2.若，则. 五．求最值的方法 类型 方法 一次函数的最值问题 根据一次函数的增减性求最值. 二次函数的最值问题 利用配方法或者对称轴法求最值. 二次函数在区间内的最值问题 先参变分离，再求函数的最值.（一般是利用基本不等式求最值） 其他最值问题 先参变分离，再求函数的最值.（一般是利用基本不等式求最值） 六．二次函数的恒成立问题 类型 方法 二次函数在R上的恒成立问题 1.若二次函数在R上恒大于0，则； 2.若二次函数在R上恒小于0，则. 二次函数在区间内的恒成立问题 参变分离法. 题型五 根据全称、特称命题求参数 若命题“，”是真命题，则不能等于（ ）例1 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据命题为真分离参数求得在上的最大值，可得结果. 【详解】由，可得， 即. 故选：D. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用判别式列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】由于命题“，使”是假命题， 所以， 解得. 故选：B 若命题“”为真命题，则m的取值范围是_______.变1 【答案】或， 【分析】根据判别式大于等于，可求参数的取值范围. 【详解】因为命题“”为真命题， 所以即或， 若命题“”是假命题，则的值可以为（ ）变2 A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定的真假性，对进行分类讨论来求得的取值范围. 【详解】由题知是真命题， 当，即时，恒成立，时，不恒成立； 当时，，解得， 综上得. 故选：B. 已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ）变3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题是真命题的意思求解即可. 【详解】因为命题“”为真命题， 所以命题“”为真命题， 所以时，. 因为， 所以当时，，此时. 所以时，，即实数的取值范围是. 故选：C. 已知p：关于x的方程有实数根，．例3 （1）若命题是真命题，求实数a的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答. （2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答. 【小问1详解】 因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知，命题是真命题，即， 因为命题是命题的必要不充分条件，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 已知命题，命题变4 （1）若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； （2）若两个命题只有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据分离常数法、判别式求得为真命题时实数的取值范围； （2）根据“真假”，或“假真”求得实数的取值范围. 【详解】（1）若为真命题，则对任意，恒成立，所以； 若为真命题，则，解得或； 若都是真命题，则实数应同时满足上述条件，即． 综上，当都为真命题时，实数的取值范围为． （2）当为真命题，为假命题时，，解得； 当为假命题，为真命题时，，解得． 综上，当只有一个为真命题时，实数的取值范围为或． 已知，，；，使得.变5 （1）若是真命题，求的最大值； （2）若p，q一个为真命题，一个为假命题，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2)或. 【分析】（1）由，利用全称命题为真命题即可求得； （2）先求出命题q为真时a的取值范围，进而分类讨论：真假时和假真时，分别求出对应a的取值范围即可求解. 【详解】（1）要使，为真命题，只需，即的最大值为1. （2）若使，使得为真命题，则，解得. ①真假时，只需所以； ②假真时，只需所以， 所以或. 综上，的取值范围为或. 七．全称、特称命题与集合的关系 结论 集合是集合的子集，即. 集合与集合的有交集，即.（“正难则反”） 题型六 全、特称命题与集合的关系 已知集合，，且．例1 （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解. 【详解】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 已知集合，非空集合变1 （1）若“命题”是真命题，求的取值范围； （2）若“命题”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据且列不等式组求解； （2）由求解． 【详解】（1）解得，则， “命题”是真命题，且， ，解得; （2）； 由为真，则， . 设全集，集合，，其中．变2 （1）若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据条件可知，列不等式，即可求解； （2）首先求当时的取值范围，再求其补集. 【详解】（1）， “”是“”的必要而不充分条件，  ，解得， 即实数的取值范围为； （2）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 课后强化 1.（多选）下列命题中，是全称量词命题的是（ ） A．至少有一个x，使成立 B．对任意的x，都有成立 C．对任意的x，都有不成立 D．存在x，使成立 【答案】BC 【分析】根据全称量词和存在量词命题的定义判断即可. 【详解】A选项中有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题，故A错误； BC选项中有全称量词“任意的”，是全称量词命题，故BC正确； D选项中有存在量词“存在”，是存在量词命题，故D错误. 故选：BC. 2.下列命题与“，”的表述意义一致的是（ ） A．有且只有一个实数，使得成立 B．有些实数，使得成立 C．不存在实数，使得成立 D．有无数个实数，使得成立 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的描述方法即可得解. 【详解】与“，”表述一致的是“不存在实数，使得成立”. 故选：C. 3.用数学符号“”“”表示下列命题，并判断命题的真假性． （1）当时，； （2）自然数不都是正整数； （3）至少存在一个实数，使得. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）应用数学语言、描述已知命题，进而判断其真假. 【详解】（1）命题表示为“，”． 因为，所以该命题为真命题． （2）命题表示为“，”． 因为，，所以该命题为真命题． （3）命题表示为“，”． 因为，所以该命题为真命题． 4.已知命题，则是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解即可. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知： 命题的否定：. 故选：B 5.已知命题：，则（ ） A．是真命题， B．是真命题， C．是假命题， D．是假命题， 【答案】C 【分析】根据命题的否定和存在量词和全称量词的否定求解. 【详解】由，得或，则当时，，故是假命题，. 故选：C 6.“，使”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】分、、三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】当时，有解； 当时，二次函数开口向上，所以有解； 当时，有解，则，解得； 综上可得； 因为真包含于， 所以“，使”的一个充分不必要条件是. 故选：C. 7.命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得，令，，结合二次函数的性质求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则， 令，， 因为， 所以在上单调递增，所以的最大值是， 故，则的一个必要不充分条件是，故D正确； 、、均为命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故A、B、C错误. 故选：D． 8.（多选）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对进行讨论，求解为真命题的充要条件是，即可根据充分不必要条件的定义求解. 【详解】当时，显然，使得； 当时，，. 综上，命题为真命题的充要条件是， 故选：. 9.已知命题为假命题，则实数λ的取值范围是_______. 【答案】 【分析】由题可知命题的否定为真命题，是一个存在性问题，据此求解. 【详解】因为命题为假命题， 所以为真命题， 因此，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 10.已知命题，命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用全称量词命题为真求出的范围，再由为真求得答案. （2）由存在量词命题为真求出命题，进而求出，再结合（1）的信息求出结果. 【详解】（1）对于任意，不等式恒成立，而，则， 即命题，则命题， 所以实数的取值范围是. （2）由，得，解得， 即命题，则命题，由（1）知命题， 由命题和均为真命题，得， 所以实数的取值范围是. 11.命题：，使得；命题：，函数至少与轴有一个交点. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若，有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式即可求出的范围； （2）由（1）为假命题时，的范围，再分别求出为真命题和假命题时的范围，最后分类讨论即可得到答案. 【详解】（1）当为真命题时， 则，解得， ∴的取值范围为. （2）由（1）得当为假命题时，则 若命题q为真命题， 当时，函数有一个零点，则p真， 当且，则p真， ∴命题q为真时，； ∴命题q为假命题时，则或， ∵p，q有且只有一个真命题， ∴p真q假，或p假q真， 当p真q假时，且或，解得：， 当p假q真时，，解得：， 综上可知，或， 故所求实数m的取值范围是. 12.已知集合，，且. （1）若命题，是真命题，求实数的取值范围； （2）若命题，是假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题为真命题可得，且，再根据子集列不等式求解范围即可； （2）由，是假命题，则，是真命题，即，再列不等式求解即可. 【详解】（1）由命题为真命题可得，且 则，解得. 即实数的取值范围为. （2），是假命题 ，是真命题，即 ，解得， 即实数的取值范围为. 13.已知集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； （3）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得是的真子集，然后根据真子集关系列不等式组求解即可. （2）由已知条件得集合的关系，然后按照和分类讨论，根据子集关系列不等式组求解即可. （3）方法一：由题意，然后根据集合关系列不等式组求解即可． 方法二：由题意，先求时的取值范围，求解时按照和分类讨论，根据集合关系列不等式组求解，最后利用补集思想求解即可. 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集． 当时，满足，此时，得； 当时，若，则，不等式组无解． 综上，实数的取值范围为． （3）方法一：“，”是真命题，则，所以，所以． 所以，解得，所以实数的取值范围为． 方法二：“，”是真命题，则． 当时，若，则； 若，则或，解得． 综上，当时，． 所以当时，，即实数的取值范围为． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ❊1.5 全称量词与存在量词 思维导图 题型精析 一．全称量词 含义 符号表示 全称量词 “所有的”“任意一个”“全部”在逻辑中通常叫做全称量词. 全称命题 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. 二．存在量词 含义 符号表示 存在量词 “存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词. 特称命题 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. 题型一 全称、特称命题的判断 下列命题是全称量词命题的是（ ）例1 A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 下列命题中，是存在量词命题的是（ ）例2 A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 下列语句不是存在量词命题的是（ ）变1 A．至少有一个x，使成立 B．有的无理数的平方不是有理数 C．存在，是偶数 D．梯形有两边平行 （多选）下列命题中是全称量词命题的是（ ）变2 A．任意一个自然数都是正整数 B．有的菱形是正方形 C．梯形有两边平行 D．， 题型二 全称、特称命题的真假 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）例1 A． B．为奇数 C．所有菱形的四条边都相等 D．是无理数 下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有（ ）例2 A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（ ）变1 A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ）变2 A．所有正方形都是菱形 B．，使 C．至少有一个实数，使 D．，使 题型三 将命题改写为全、特称命题 用量词符号“”“”表示下列命题：例1 （1）有理数都能写成分数形式； （2）方程有实数解； （3）有一个实数乘以任意一个实数都等于0． 用量词符号“”“”表示下列命题：变1 （1）存在一个多边形，其内角和是； （2）任何一个实数乘以后，都等于这个实数的相反数； （3）存在实数，. 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．变2 （1）任意两个等边三角形都相似； （2）存在一个实数，它的绝对值不是正数； （3）对任意实数，，若，都有； （4）存在一个实数x，使得． 三．全称、特称命题的否定 命题 命题的否定 全称命题 特称命题 题型四 全称、特称命题的否定 已知命题p：，，则是（ ）例1 A．， B．， C．， D．， 命题“”的否定是（ ）例2 A． B． C． D． 已知命题，使，其否定命题为（ ）变1 A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 若命题，则是 .变2 四．根据全称、特称命题求参数 问题 方法 全称命题 恒成立问题 1.若，则； 2.若，则. 特称命题 能成立问题 1.若，则； 2.若，则. 五．求最值的方法 类型 方法 一次函数的最值问题 根据一次函数的增减性求最值. 二次函数的最值问题 利用配方法或者对称轴法求最值. 二次函数在区间内的最值问题 先参变分离，再求函数的最值.（一般是利用基本不等式求最值） 其他最值问题 先参变分离，再求函数的最值.（一般是利用基本不等式求最值） 六．二次函数的恒成立问题 类型 方法 二次函数在R上的恒成立问题 1.若二次函数在R上恒大于0，则； 2.若二次函数在R上恒小于0，则. 二次函数在区间内的恒成立问题 参变分离法. 题型五 根据全称、特称命题求参数 若命题“，”是真命题，则不能等于（ ）例1 A．0 B．1 C．2 D．3 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）例2 A． B． C． D． 若命题“”为真命题，则m的取值范围是_______.变1 若命题“”是假命题，则的值可以为（ ）变2 A． B．1 C．2 D．3 已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ）变3 A． B． C． D． 已知p：关于x的方程有实数根，．例3 （1）若命题是真命题，求实数a的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 已知命题，命题变4 （1）若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； （2）若两个命题只有一个为真命题，求实数的取值范围． 已知，，；，使得.变5 （1）若是真命题，求的最大值； （2）若p，q一个为真命题，一个为假命题，求的取值范围. 七．全称、特称命题与集合的关系 结论 集合是集合的子集，即. 集合与集合的有交集，即.（“正难则反”） 题型六 全、特称命题与集合的关系 已知集合，，且．例1 （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若是真命题，求实数的取值范围． 已知集合，非空集合变1 （1）若“命题”是真命题，求的取值范围； （2）若“命题”是真命题，求的取值范围. 设全集，集合，，其中．变2 （1）若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 课后强化 1.（多选）下列命题中，是全称量词命题的是（ ） A．至少有一个x，使成立 B．对任意的x，都有成立 C．对任意的x，都有不成立 D．存在x，使成立 2.下列命题与“，”的表述意义一致的是（ ） A．有且只有一个实数，使得成立 B．有些实数，使得成立 C．不存在实数，使得成立 D．有无数个实数，使得成立 3.用数学符号“”“”表示下列命题，并判断命题的真假性． （1）当时，； （2）自然数不都是正整数； （3）至少存在一个实数，使得. 4.已知命题，则是（ ） A． B． C． D． 5.已知命题：，则（ ） A．是真命题， B．是真命题， C．是假命题， D．是假命题， 6.“，使”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D．或 7.命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 8.（多选）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 9.已知命题为假命题，则实数λ的取值范围是_______. 10.已知命题，命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 11.命题：，使得；命题：，函数至少与轴有一个交点. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若，有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 12.已知集合，，且. （1）若命题，是真命题，求实数的取值范围； （2）若命题，是假命题，求实数的取值范围. 13.已知集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； （3）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$