第三章 代数式与代数式的值 暑假预习讲义 2025--2026学年人教版七年级数学上册

第九讲 代数式及代数式的值 第三章 代数式及代数式的值 知识点1：代数式 1．定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式. 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“＝、＞、＜、≠”等符号.等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义. 2．列代数式 把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式.同一个问题中同一个字母表示同一个量. ➽思考：（1）工人工作一个小时可以完成5件产品，问工作了8个小时可以完成几件？那完成了n个小时呢？ （2）某工程队负责铺设一条长 2 km的地下管道，经过 d 天完成，用式子表示这支工程队平均每天铺设的管道长度。 知识点2：代数式的书写格式 1．数与数相乘必须写“x”，数与字母相乘，字母与字母相乘时把“x”用“．”代替或直接省略，如vt； 2．在数与字母相乘中，数字写在前，字母写在后，单项式写在多项式的前面．如5a； 3．带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如1应写作 4．在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷(a-4)应写作注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用. 5． 在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如（a2-b2）平方米． 6． 乘数是“1”或“-1”,“1”省略不写,如 1×a 写成 a；-1×ab 写成 -ab 7． 列代数式时要厘清运算顺序，一般按先读先写的原则确定其先后顺序. ➽例题 （1） 苹果原价是 p 元/kg，现在按九折优惠出售，用代数式表示苹果的售价； （2） 一个长方形的长是 0.9 m，宽是 p m，用代数式表示这个长方形的面积； （3） 某产品前年的产量是 n 件，去年的产量比前年产量的 2 倍少 10 件，用代数式表示去年的产量； （4） 一个长方体水池底面的长和宽都是 a m，高是 h m，池内水的体积占水池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积. ➽练习： 1．用代数式表示“a的平方的4倍与b的平方的差”为 ． 2．某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年的产量的5倍少20件，用代数式表示去年的产量为 件. 3．一支钢笔a元，一支圆珠笔b元，购买3支钢笔和5支圆珠笔需要 元． 4．佳佳今年a岁，妈妈的年龄比佳佳年龄的3倍多2岁，用含有字母的式子表示妈妈的年龄是 岁. 知识点2：代数式的意义 代数式表示的意义包括三种： （1）运算意义：几个字母加、减、乘、除、乘方等运算的结果； （2） 实际意义：表示实际问题中的数量或数量关系； （3） 几何意义：主要从图形的周长、面积和体积三个方面考虑. ➽例题 说出下列代数式的意义 （1）2a+3；（2）2(a+3)；（3） ；（4）x2+2x+8. 1. 说出下列代数式的意义： （1）2a + 5； （2）2(a + 5)； ➽小练笔：1、在π， 2-3x=0,ab, a>5,0,中，代数式有( ) A．6个 B． 5个 C．4个 D． 3个 2、下列各式中，不是代数式的是( ) A. x=1 B. 5 C. D. x-2y+3 3、在式子n-2 a、7、 80%t、S=ab中，代数式的个数有（ ） A．2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个 4、下列各式：3x-1, a=4，s=100t+5，5xy-3，5mn，2-b>6，-2，7x+8y-1中，代数式有( ) A． 1个 B．2个 C．3个 D． 5个 5、下列各式：(1)，(2)3(a+b) (3)20%x (4)-b÷c ；其中符合代数式书写要求的有( ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6、下列各式中，符合代数式书写规则的是( ) A. x×5 B. C. xy D. x-1÷y 7、下列代数式符合书写规范的是( ) A. a4b B. C. D. abc 8、有下列各式：下列代数式中，符合代数式书写要求的有( ) (1)1 (3) (5)mb4; (6)-1ab; (7)aab A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个 9、联系实际背景，说明代数式6a2的意义 10、．对代数式“可以赋予实际意义：如果一支铅笔的价格是a元，那么4a表示4支铅笔的总价．请你再对“4a”赋予一个实际意义： 11、 对代数式“3a”可以赋予实际意义：如果一天读书a页，那么3a表示3天读书的总页数．请你对代式“”赋予一个实际意义： 12、 用代数式表示： （1）比 a 的 2 倍大 1 的数； （2）a 的相反数与 b 的一半的差； （3）a 的平方除以 b 的商. 13、商店对商品尾货进行亏本促销活动，促销的方法是将成本为x元的商品提价50％后标价，再以（0.9x-30（元的促销价出售，则下列说法中，①标价减去30元后再打9折；②标价打9折后再减去30元；③标价减去50元后再打6折；④标价打6折后再减去30元．能正确表达该商店促销方法的是 .（填序号） 知识点3：列代数式表示规律 ➽例题：有一组按规律排列的数：1，-2，3，-4，5，-6，… . （1）这组数的第 100 个数是_______； （2）用代数式表示第 n 个数为_____________. （3）2026 在这组数中吗？ 1 学科网（北京）股份有限公司 ➽练习：观察一组数： ......... 根据你发现的规律，用代数式表示这组数中的第 n 个数为 ✱程序流程图与代数式求值 1、如图是某算法的程序框图，若开始输入的x=2,，则最后输出的结果为 . 2、在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为5，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，···，则第2025次输出的结果为 3、 开始输入的值为1，则第1次输出的结果为3，第2次输出的结果为2，···．请你探索第2024次输出结果为 知识点4：反比例关系两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系交做反比例关系。 如果用字母 x 和 y 表示两个相关联的量，用 k 表示它们的积（k 是一个确定的值，且 k ≠ 0），反比例关系可以 用 xy = k 或 来表示，其中 k 叫作比例系数. ✱注意以下两点： 1　 两个量变化的方向相反 2　 两个量的乘积一定 ➽例题： 1、 下面各题中的两种量成反比例关系的是( ) A. 平行四边形的面积一定，它的底与相对应的高 B. 《指导丛书》的单价一定，订购的总价与订购的数量 C. 书的总页数一定，已读的页数与未读的页数 D. 汽车行驶的速度一定，它的路程和时间 2、 下面各数量关系中，成反比例关系的是( ) A. 汽车行驶的时间一定，汽车行驶的路程与速度 B. 购买钢笔和铅笔的总费用一定，钢笔的费用与铅笔的费用 C. 圆的周长和它的半径 D. 运送一批货物，平均每天运的吨数和需要的天数 3、 下列几组量中，不成反比例的是( ) A. 工作总量一定，工作效率和工作时间 B. 减数一定，被减数和差 C. 面积一定，平行四边形的底和高 D. 食堂运回一批煤，每月烧的吨数和烧的月数 4、下列选项中的两个量成反比例关系的是( ) A. 三角形的高一定，三角形的面积和底 B. 总路程一定，已走的路程和剩下的路程 C. 圆柱的底面积一定，它的体积和高 D. 工作总量一定，工作时间和工作效率 知识点5：代数式的值 ：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值. 求代数式的值的步骤: （1）代入：用具体数值代替代数式中的字母； （2）计算：按照代数式指明的运算顺序计算得出结果. 注意：代数式中的字母可以取不同的数值，但要满足以下两点： ①必须使代数式有意义，如代数式 中的 a 不能取 1，否则代数式没有意义； ②要符合实际意义，如李明买了 n 个足球，则 n 必须是非负整数. ➽例题 1. 某动物园的门票价格是：成人票每张 10 元，学生票每张 5 元. 一个旅游团有成人 x 元，学生 y 人，那么该旅游团应付___________元门票费. 2. 如果该旅游团有 37 人成人、15 个学生，那么他们应付_______元门票费. 3. 根据下列 x，y 的值，分别求代数式 x2 + xy - y2 的值。 （1）x = 4，y = 2； （2）x = -1，y = ➽练习 1、当m=2,n=-5时，求的值。 知识点6：数学思想之整体代入法 1．整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理. 2．根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化. ➽例题：1、已知代数式 2x2 -3x + 2 的值为 5，求代数式-5 + 2x2 -3x 的值. ➽练习：【阅读材料】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，运用“整体思想”的方法在求代数值中非常重要，有这样一道题： 代数式： 的值为y，则代数式的值为. 小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得，则有 所以 =2×6-3=9 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则 （2）若代数式的值为15，求代数式的值. 【能力提升】 1、若，求代数式的值。 知识点7代数式与几何图形的关系 ➽例题 某学生家里购买了一套商品房，准备将地面铺上相同的瓷砖，地面结构如图，根据图中的 数据 (单位：米)，解答下列问题： （1）用x 、y 的代数式表示地面总面积； （2）已知铺 1 平方米地砖的平均费用为200 元，当x = 7 ，y = 4 时，铺这一套商品房所需地 砖的总费用为多少元？ 4 y 卧室 卫生间 3 厨房 3 客厅 x Y 8 ➽练习 某窗户的形状如图所示 (图中长度单位： cm)，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个 小正方形，已知下部小正方形的边长和半圆的半径均为 acm ．计算： （1）用含 a 的式子表示窗户的面积； （2）用含 a 的式子表示制作这种窗户所需材料的总长度 （重合部分忽略不计）； （3）若 a =35cm，求这种窗户所需材料的总长度（π取3）．a a a 1 学科网（北京）股份有限公司 ·63·1 学科网（北京）股份有限公司 $$