5.3.2函数的极值与最大(小)值课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

人教2019 A版 选择性必修二 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 第五章 一元函数的导数及其应 1 学习目标 1．了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值 与导数的关系、函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系 2．初步掌握求函数极值的方法与掌握求函数最值的方法． 3．体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系、体会数形结合、化归转化的数学思想 增 减 温故知新 3 定义域 零点 零点 正负 4 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减。如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 问题思考 探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律? 问题探究 放大,如图，可以看出，在的附近，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，.这就是说，在附近，函数值先增（当时，）后减（当时，）这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有. 对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？ 以a，b为例进行说明. 探究2：观察下图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处的导数值时多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？ （1）函数的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，而且在点附近的左侧，右侧; （2）函数的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，而且在点附近的左侧，右侧 0 概念解析 9 0 极值点 极值 10 小试牛刀 11 12 例5. 求函数的极值. 解：因为 的定义域为R，所以 令0,解得： 当变化时， ，的变化情况如下表 因此，当时，有极大值，极大值为= 当时，有极小值，极小值为=- . 典例解析 函数的图像如图所示. 问题1：函数的极大值一定大于极小值吗？ 归纳总结 15 16 问题思考 17 跟踪训练 18 19 20 21 极大值 极小值 课堂小结 22 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大（小）值点，那么在x=x0附近找不到比f (x0)更大的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关注函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大（小）值点，那么f (x0)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上所有的函数值。 提出问题 探究1：函数y=f(x)的在区间[a,b]的图像，你能找出它的极大值、极小值吗？ 探究2：那么f (x)在区间[a,b]的内最大值、最小值呢? 极大值：f(x2)、f(x4)、f(x6) 极小值： f(x1)、f(x3)、f(x5) 最大值：f(a);最小值：f(x3) 问题探究 探究3：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ 最大值：f(b);最小值：f(a) 最大值：f(x3);最小值：f(x4) 连续不断 归纳总结 26 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 27 极值 各极值 端点 最大值 最小值 28 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．(　 ) (2)开区间上的单调连续函数无最值． ( 　) (3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小 值就是最大(小)值． (　　) (4)若函数y＝f (x)在区间[a，b]上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点． (　　) 小试牛刀 29 30 又因为f(0)=4,f(3)=1 所以,当x=0时，函数f(x)在[0,3]上取得最大值4， 当x=2时，函数f(x)在[0,3]上取得最小值- . 例6: 求在[0,3]的最大值与最小值. 解：因为 令0,解得： 典例解析 归纳总结 32 跟踪训练 33 34 35 36 例7: 给定. （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图像； （3）求出方程= ()的解的个数. 典例解析 解：（1）函数的定义域为 因为 令0,解得： 、的变化情况如表所示 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增。 当时，有极小值= （2）令=0，解得： 当时， 0;当时， 0. 所以的图像经过特殊点A( ),B,C. 当时，与一次函数相比，指数函数 呈爆炸性增长，从而 当时， , 根据以上信息，我们画出的大致图像如图所示 （3）方程=()的解的个数为函数的图像与直线的交点个数。 由（1）及图可得，当时，有最小值 所以，方程= 的解得个数有如下结论； 当< 时，解为0个 当 或时，解为1个 当<0时，解为2个 归纳总结 函数的图像直观地反映了函数的性质，通常可以按如下步骤画出函数的大致图像 （1）求出函数的定义域； （2）求导数及函数的零点； （3）用零点将的定义域为若干个区间，列表给出在各个区间上的正负，并得出单调性与极值； （4）确定图像经过的一些特殊点，以及图像的变化趋势； （5）画出的大致图像. 41 课堂小结 求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： （1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值； （2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 42 1.函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)： f ′(x)的正负 f (x)的单调性 f ′(x)＞0 单调递____ f ′(x)＜0 单调递____ 2．判断函数y＝f (x)的单调性 第1步：确定函数的______； 第2步：求出导数f ′(x)的____； 第3步：用f ′(x)的____将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的____，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性． f ′(x)＞0 f (a) 1．极值点与极值 (1)极小值点与极小值 若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝__，而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧_______，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，_____叫做函数y＝f (x)的极小值． f ′(x)＜0 f ′(x)＜0 f (b) (2)极大值点与极大值 若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝__，而且在点x＝b附近的左侧_________，右侧_______，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，______叫做函数y＝f (x)的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为______；极大值、极小值统称为_____． f ′(x)＞0 A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 1．函数f (x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)(　　) C　[设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f (x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值， 在x＝x2，x＝x4处取得极小值．] 一般地，求函数y＝fx的极值的步骤 1求出函数的定义域及导数f′x； 2解方程f′x＝0，得方程的根x0可能不止一个； 3用方程f′x＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′x，fx在每个区间内的变化情况列在同一个表格中； 4由f′x在各个开区间内的符号，判断fx在f′x＝0的各个根处的极值情况： 如果左正右负，那么函数fx在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么函数fx在这个根处取得极小值； 如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点. 问题2：导数为0的点一定是极值点吗？ [提示]　不一定，如f (x)＝x3，f ′(0)＝0， 但x＝0不是f (x)＝x3的极值点． 所以，当f ′(x0)＝0时， 要判断x＝x0是否为f (x)的极值点， 还要看f ′(x)在x0两侧的符号是否相反． 跟踪训练1 求下列函数的极值： (1)y＝x3－3x2－9x＋5； (2)y＝x3(x－5)2. [解]　(1)∵y′＝3x2－6x－9， 令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) y′ ＋ 0 － 0 ＋ y ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴当x＝－1时，函数y＝f (x)有极大值，且f (－1)＝10； 当x＝3时，函数y＝f (x)有极小值，且f (3)＝－22. (2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5) ＝5x2(x－3)(x－5)． 令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0， 解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，3) 3 (3，5) 5 (5，＋∞) y′ ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋ y ↗ 无极值 ↗ 极大值 108 ↘ 极小值0 ↗ ∴x＝0不是y的极值点； x＝3是y的极大值点，y极大值＝f (3)＝108； x＝5是y的极小值点，y极小值＝f (5)＝0. 求可导函数y＝f (x)的极值的方法 解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是______； (2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是________． 1．函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值． 问题1：函数的极值与最值的区别是什么？ 2．求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的____； (2)将函数y＝f (x)的______与____处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是______，最小的一个是______． 解析：　(1)函数在闭区间[a，b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得． (2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确． (3)因为y最大值≥y极值，y最小值≤y极值，故错误． (4)正确． [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 求函数最值的着眼点 1从极值点和端点处找最值,求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值. 2单调区间取端点,当图象连续不断的函数fx在[a，b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. 跟踪训练1.　求下列各函数的最值． (1)f (x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]； (2)f (x)＝sin 2x－x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))). [解]　(1)f ′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)， 令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝1. 当x变化时，f ′(x)，f (x)变化状态如下表： x －2 (－2，－1) －1 (－1，1) 1 (1，2) 2 f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) －1 ↗ 11 ↘ －1 ↗ 11 从表中可以看出，当x＝－2时或x＝1时， 函数f (x)取得最小值－1. 当x＝－1或x＝2时，函数f (x)取得最大值11. (2)f ′(x)＝2cos 2x－1，令f ′(x)＝0，得cos 2x＝eq \f(1,2)， 又∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴2x∈[－π，π]． ∴2x＝±eq \f(π,3).∴x＝±eq \f(π,6). ∴函数f (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的两个极值分别为 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)－eq \f(π,6)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),2)＋eq \f(π,6). 又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq \f(π,2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq \f(π,2). 比较以上函数值可得f (x)max＝eq \f(π,2)，f (x)min＝－eq \f(π,2). $$