精品解析：四川省安岳中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

安岳中学高2023级第三期入学考试 数 学 试 题 考试时间:150分钟；满分:150分； 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知三条直线，，的一个方向向量分别为，，，则（ ） A. ，但与不垂直 B. ，但与不垂直 C. ，但与不垂直 D. ，，两两互相垂直 2. 已知非零向量，，若，则（ ） A. 8 B. C. 6 D. 3. 已知复数z满足（i为虚数单位），其中为的共轭复数，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 4. 如图，在中，，若，则的值为 A. B. C. D. 5. 设的内角对边分别为，若，则的值可以是（ ） A B. C. D. 或 6. 已知m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　） A. 若，，，则 B. 若，，且，则 C. 若，，则 D. 若，，且，则 7. 下图为国家统计局给出的2016-2020年福利彩票销售额、增长率及筹集公益金情况统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 2016-2020年福利彩票销售额呈递减趋势 B. 2016-2020年福利彩票销售额的年增长率呈递减趋势 C. 2016-2020年福利彩票销售额、筹集公益金均在2018年取得最大值 D. 2017-2018年福利彩票销售额增长的最多 8. 已知正方体，的中点为M，过，D、M的平面把正方体分成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（答对一个6分，答错0分，未选全得2分，共18分） 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若为锐角三角形，则 C. 若为斜三角形，则 D. 若，则三角形ABC为等腰直角三角形 10. 已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 在平行六面体中，分别是的中点，是线段上的两个动点，且，以为顶点的三条棱长都是1，，则（ ） A. 平面 B. C. 三棱锥的体积是定值 D. 三棱锥的外接球的表面积是 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 内角、、的对边分别为、、．若满足，的三角形有两个，则边长的取值范围是_________． 13. 如图，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，，，且二面角为，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为______． 14. 已知点是的重心，点是内一点，若，则的取值范围是______. 四、解答题（共5小题，共计77分） 15. 已知复数，，. （1）若为纯虚数，求实数值； （2）在复平面内，若对应的点在第四象限，对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 16. 某次数学考试后，抽取了20名同学的成绩作为样本绘制了频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中值； （2）求20位同学成绩的平均分； （3）估计样本数据的第一四分位数和第80百分位数（保留三位有效数字）． 17. 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角； （2）过点A作，连接，使，，，四点组成四边形，若，求的长． 18. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 作为一种新的出游方式，近郊露营在疫情之后成为市民休闲度假的“新风尚”.我市城市规划管理局拟将近郊的一直角三角形区域按如图所示规划成三个功能区：区域为自由活动区，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓，区域规划供游客餐饮休息用.为安全起见，预在鱼塘四周围筑护栏.已知，，，. （1）若时，求护栏的长度（的周长）； （2）若鱼塘的面积是“餐饮休息区”的面积的倍，求； （3）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安岳中学高2023级第三期入学考试 数 学 试 题 考试时间:150分钟；满分:150分； 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知三条直线，，的一个方向向量分别为，，，则（ ） A. ，但与不垂直 B. ，但与不垂直 C. ，但与不垂直 D. ，，两两互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】根据方向向量的数量积可判断，，但不垂直于，故可得正确选项. 【详解】∵， ， ， ∴，与不垂直，，∴，，但不垂直于． 故选：A. 2. 已知非零向量，，若，则（ ） A. 8 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示求出，即可得到的坐标，从而求出其模. 【详解】因为非零向量，且， 所以，（舍去）或，，即． 故选：C 3. 已知复数z满足（i为虚数单位），其中为的共轭复数，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等的充要条件得到方程，即可求出复数，从而判断可得. 【详解】设，则， 由，可得， 化简得，所以，解得，故， 所以复数的虚部为. 故选：A. 4. 如图，在中，，若，则的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量减法整理可得：，结合可得：，问题得解. 【详解】由得： 整理得： 又，所以 所以 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量的减法运算及平面向量基本定理的应用，考查转化能力，属于中档题. 5. 设的内角对边分别为，若，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求出，再由大边对大角确定角的范围求解即可. 【详解】由正弦定理得，即， 解得， 因为，所以, 所以. 故选：A 6. 已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　） A. 若，，，则 B. 若，，且，则 C. 若，，则 D. 若，，且，则 【答案】B 【解析】 【分析】题目考查立体几何线面位置关系的性质和判定，A选项中，缺少线在面内的条件，错误；B选项是线面垂直的性质，正确；C选项中，缺少线不在面内的条件，错误；D选项中，面面平行推出线线平行缺少第三个面，错误 【详解】选项A中，考查面面垂直的性质定理，面面垂直时，其中一个面内垂直于交线的线，垂直于另外一个面，选项中垂直于交线的线，没有说明在面内，所以不正确 选项B中，考查线面垂直的性质定理，，，则，所以垂直于面内所有的线，，所以，B选项正确 选项C中，没有说明不在面内，所以不一定平行，可能是在面内的 选项D中，已知面面平行，两个平面内的线，或者与面平行的线，线线的位置关系是任意的，不能推出线线平行，推出线线平行需要借助第三个面 故选：B 7. 下图为国家统计局给出的2016-2020年福利彩票销售额、增长率及筹集公益金情况统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 2016-2020年福利彩票销售额呈递减趋势 B. 2016-2020年福利彩票销售额的年增长率呈递减趋势 C. 2016-2020年福利彩票销售额、筹集公益金均在2018年取得最大值 D. 2017-2018年福利彩票销售额增长的最多 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的条形图及折线图，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，2016-2020年福利彩票销售额先递增后递减，A错误； 对于B，2016-2020年福利彩票销售额的年增长率先递增后递减，B错误； 对于C，2016-2020年福利彩票销售额、筹集公益金均在2018年取得最大值，C正确； 对于D，2017-2018年福利彩票销售额增长75.8亿元，2016-2017年福利彩票销售额增长104.9亿元，D错误. 故选：C 8. 已知正方体，的中点为M，过，D、M的平面把正方体分成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由面面平行的性质定理确定截面的位置，再用锥体体积公式求较小部分的体积，由此可得两部分的比值. 【详解】设平面与平面的交线为，则直线过点， 因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，又，所以，连接，为的中点， 则，故直线与重合，即过，D、M的截面为四边形，连接，较小部分的几何体可分为三棱锥和四棱锥, 设三棱锥和四棱锥,的高分别为，设正方体的边长为, 三棱锥的体积， 四棱锥的体积， 所以较小部分的体积为，即， 所以较大部分的体积为，所以较小部分与较大部分的体积之比为， 故选：B. 二、多选题（答对一个6分，答错0分，未选全得2分，共18分） 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若为锐角三角形，则 C. 若为斜三角形，则 D. 若，则三角形ABC等腰直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦定理和正弦函数单调性，以及两角和的正切公式，以及三角恒等变换的公式，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，在中，由，可得，由正弦定理得， 所以，所以A正确； 对于B中，因为为锐角三角形，可得，可得， 因为，可得，所以，所以B错误； 对于C中，在中，可知A，B，C，均不为直角，且， 可得， 即，即， 所以，所以C正确； 对于D中，由，可得，且， 由正弦定理得，且， 因为，可得，所以且， 可得且，即，则，所以为等腰直角三角形，所以D正确. 故选：ACD. 10. 已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用复数的几何意义可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数模的三角不等式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，因为，则，A对； 对于B选项，由共轭复数的定义可得，B对； 对于C选项，，则， ， 当且仅当时，等号成立，即的最大值为，C对； 对于D选项，， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为，D错. 故选：ABC. 11. 在平行六面体中，分别是的中点，是线段上的两个动点，且，以为顶点的三条棱长都是1，，则（ ） A. 平面 B. C. 三棱锥的体积是定值 D. 三棱锥的外接球的表面积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】连接，四边形为平行四边形可得，再由线面平行的判定定理可判断A；对两边平方求值可判断B；根据之间的距离为定值， 点到平面的距离为定值可判断C；在底面的射影是的中心，三棱锥外接球的球心设为，设外接球的半径为，利用、解得，求出表面积可判断D. 【详解】对于A，连接，则，四边形为平行四边形，所以， 所以，因为平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，因为，由， 得， 所以，可得，故B错误； 对于C，因为，所以之间的距离为定值，即为的高， 又，所以为定值，且点到平面距离为定值， 所以三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于D，因为以为顶点的三条棱长都是1，， 所以在底面的射影是的中心，连接， 且三棱锥外接球的球心在上，设为，连接， 设外接球的半径为，则， ，所以， ，即，解得， 可得三棱锥的外接球的表面积是，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 的内角、、的对边分别为、、．若满足，的三角形有两个，则边长的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，根据已知条件可得出关于的不等式，由此可解得的取值范围. 【详解】如下图所示，已知，， 由于满足条件的有两个，则，即. 故答案为：. 13. 如图，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，，，且二面角为，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为______． 【答案】##0.7 【解析】 【分析】取中点，根据二面角平面角定义可知，得到为等边三角形；根据三角形中位线性质和异面直线所成角定义可知或其补角即为所求角，结合长度关系，利用余弦定理可求得，进而得到结果. 【详解】连接，，取中点，连接， 四边形为矩形，，， 平面平面，平面，平面， 即为二面角的平面角，， 又，，，为等边三角形，； 分别为中点，，， 或其补角即为异面直线与所成角， ，， ， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 已知点是的重心，点是内一点，若，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量基本定理及三点共线的充要条件可知：当点在线段上时，，当与重合时，最小为. 【详解】由平面向量基本定理及三点共线的充要条件可知：当点在线段上时，. 点是内一点，. 设线段中点为，则. 当与重合时，最小， 此时，. 点是内一点，. 故答案为：. 【点睛】本题考查平面向量基本定理及三点共线的充要条件，属中档题． 四、解答题（共5小题，共计77分） 15. 已知复数，，. （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）在复平面内，若对应的点在第四象限，对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由纯虚数的概念列方程组求解 （2）由复数的几何意义列不等式组求解 【小问1详解】 ∵为纯虚数，∴，解得. 【小问2详解】 ∵对应的点在第四象限，∴，解得：. ∵对应的点在第二象限，∴，解得：. 综上得，实数的取值范围为 16. 某次数学考试后，抽取了20名同学的成绩作为样本绘制了频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中的值； （2）求20位同学成绩的平均分； （3）估计样本数据的第一四分位数和第80百分位数（保留三位有效数字）． 【答案】（1）；（2）；（3）第一四分位数为70.0；第80分位数为． 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图中的频率之和为1即可求解； (2)根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解； (3)根据题意，结合百分位数的概念与计算公式，即可求解. 详解】(1)依图可得：，解得：． (2)根据题意得，． (3)由图可知，，，，，对应频率分别为：0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，前两组频率之和恰为0.25，故第一四分位数为70.0． 前三组频率之和为0.6，前四组频率之和为0.9，所以第80分位数在第四组． 设第80分位数为，则，解得：． 17. 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角； （2）过点A作，连接，使，，，四点组成四边形，若，求的长． 【答案】（1） （2）1或 【解析】 【分析】（1）由题意利用正弦定理，两角和的正弦公式可求，结合，可求B的值； （2）由题意利用正弦定理可得，可求，进而利用同角三角函数基本关系式以及余弦定理即可求解的值． 【小问1详解】 由， 所以由正弦定理可得，故， 而， 所以，又，所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理可得， 因为，所以， 在中，因为， 所以为锐角，所以， 由余弦定理可得，解得或. 18. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，此时点是线段的中点且 【解析】 【分析】（1）首先根据已知条件并结合线面垂直的判定定理证明平面，再证明即可证出结论； （2）根据（1）中线面垂直的结论并结合线面角的概念找出所求角，再结合已知条件即可求解； （3）首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点的具体位置，即可求解. 【小问1详解】 如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为 E是BC 的中点， 所以，又因为，且， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着AE翻折成后，平面，因为平面， 则有，又平面， 所以平面， 由题意，易知,所以四边形是平行四边形，故， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面，所以线段在平面内的射影为线段， 所以与平面所成的角为， 由已知条件，可知，， 所以是正三角形，所以平分，所以， 所以与平面所成的角为. 【小问3详解】 假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，所以四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 19. 作为一种新的出游方式，近郊露营在疫情之后成为市民休闲度假的“新风尚”.我市城市规划管理局拟将近郊的一直角三角形区域按如图所示规划成三个功能区：区域为自由活动区，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓，区域规划供游客餐饮休息用.为安全起见，预在鱼塘四周围筑护栏.已知，，，. （1）若时，求护栏的长度（的周长）； （2）若鱼塘的面积是“餐饮休息区”的面积的倍，求； （3）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中求出，，再在中，利用余弦定理求出，进而由得，从而求，可得护栏的长度（的周长）； （2）设（），利用三角形的面积公式可得，又在中，由正弦定理得，从而由可求； （3）设，在中，利用正弦定理求出，再利用三角形的面积公式和三角恒等变换即可求解. 【小问1详解】 由，，， 得，又，则，， 所以， 在中， 由余弦定理可得 ，则， 因为，所以， ∵，∴， ∴， ∴护栏的长度（的周长）为. 【小问2详解】 设， 因为鱼塘的面积是“餐饮休息区”的面积的倍 所以，即， 在中，， 由，得， 从而，即，而， 由，得，所以，即. 【小问3详解】 设，由（2）知， 又在中，由，得， 所以 ， 所以当且仅当， 即时，的面积取最小值为. 【点睛】思路点睛：本题考查余弦定理、正弦定理的应用与三角恒等变换的综合问题，在解题此类问题时，认真观察转化为解三角形问题，在应用正弦定理和余弦定理时候要注意具体在用哪一个三角形，要善于结合三角恒等变换化简求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $