解答题03 三角函数与解三角形（七大题型）（专项训练）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

解答题03 三角函数与解三角形 三角函数部分的题目难度中等，解三角形部分的题目难度属于中低档。整体上，上海高考三角函数与解三角形的题目以基础为主，中档兼顾，对熟练度要求较高，需要学生熟练背记公式，并能在临场快速选择合适的公式进行变换和计算。 题型一：三角恒等变形与三角函数图象与性质 【典例1-1】已知． (1)求函数在上的严格增区间； (2)将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，待到函数的图像，若函数的图像关于点对称，求的最小值． 【典例1-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）设常数，函数的部分图象如图所示. (1)求的值； (2)求函数，的最值. 1.熟记常用的部分三角公式 (1)1－cos α＝2sin2 1＋cos α＝2cos2 .(升幂公式) (2)1±sin α＝.(升幂公式) (3)sin2α＝cos2α＝tan2α＝.(降幂公式) (4)半角正切公式的有理化 tan. (5)万能公式 sin α＝cos α＝ tan α＝. (6)三角平方差公式 sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)； cos2α－sin2β＝cos(α＋β)cos(α－β). 2.运用倍角公式时谨记四个注意点 (1)要注意公式成立的条件； (2)要注意和、差、倍角的相对性； (3)要注意升幂、降幂的灵活运用； (4)要注意“1”的各种变形. 3.熟记与三角函数周期性、对称性、奇偶性有关的常用结论 (1)正弦型曲线、余弦型曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z). (3)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z). 4.谨防两个易误点 (1)要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况，避免出现增减区间的混淆. (2)对于y＝tan x，是在每个区间(k∈Z)上单调递增，不能认为其在定义域上为增函数. 【变式1-1】（24-25高三上·上海黄浦·期末）已知． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数，的单调减区间． 【变式1-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，，且函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)设，若函数与在上有相同的最大值，求a的取值范围. 题型二：三角形中边长及周长问题 【典例2-1】（24-25高三下·上海·阶段练习）在中，分别是角的对边. 若. (1)求的值； (2)求边长的值. 【典例2-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）在中，角的对边分别是，． (1)求； (2)若，的面积是，求的周长． 【典例2-3】在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【变式2-1】在中，已知点D是BC边上一点，且，. (1)若，且，求AD的长； (2)若，，求AD的长（结果精确到0.01）. 【变式2-2】（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）已知中，，，. (1)求a、c的值； (2)求的值. 【变式2-3】（24-25高三下·上海虹口·阶段练习）在中，角的对边分别为，若且． (1)求角的大小； (2)若，在边上取一点，使得，求线段的长． 【变式2-4】在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 题型三：三角形中面积问题 【典例3-1】在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 【典例3-2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 【典例3-3】已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 1.判断三角形形状的两种思路 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. ②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状. 2.三角形面积公式的应用原则 ①对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. ②与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【变式3-1】已知的内角所对边的长度分别为. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 【变式3-2】设，函数的表达式为. (1)若，求的单调增区间； (2)若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. 题型四：三角函数与平面向量综合 【典例4-1】（24-25高三下·上海静安·期中）已知向量、，记． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 【典例4-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、．已知． (1)求角的大小； (2)设为边的中点，若，，求的大小． 【典例4-3】（24-25高三上·上海·期中）平面向量，，函数． (1)若，求的值域； (2)在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，求的面积． 【变式4-1】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知复数，（，为虚数单位）. (1)若，且，求与的值； (2)设复数在复平面上对应的向量分别为，若，且，求的最小正周期和严格减区间. 【变式4-2】设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 【变式4-3】已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【变式4-4】已知向量，其中，若函数的最小正周期为. (1)求的单调增区间； (2)在中，若，求的值. 题型五：三角函数与数列综合 【典例5-1】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)如果函数在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前12项和. 【典例5-2】（24-25高三下·上海虹口·期中）已知函数的表达式为，. (1)解不等式：； (2)若存在实数，使得，，成等比数列，求实数的最小值. 【变式5-1】已知对任意正整数n，都存在n次多项式函数，使得对一切恒成立．例如“，” (1)求； (2)求证：当n为偶数时，不存在函数使得对一切恒成立； (3)求证：当n为奇数时，存在多项式函数使得对一切恒成立，并求其最高次项系数． 【变式5-2】若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列． (1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由； (2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”． 题型六：三角函数与导数综合 【例6】（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知的最小正周期为． (1)求的值以及函数的单调减区间； (2)函数的导函数是，求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值． 【变式7】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数和，其中，，. (1)若，求函数的图象的对称中心并说明理由. (2)定义， 即为.若存在正整数，使得对一切均成立，求证：只能为 . (3)若函数和的图象在上有三个不同的交点，求的取值范围. 题型七：解三角形的实际应用 【典例7-1】“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我.”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块平面四边形的麦田里成为守望者.如图所示，为了分割麦田，他将B、D连接，经测量知，. (1)霍尔顿发现无论多长，都为一个定值.请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值； (2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系.记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值. 【典例7-2】如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切. (1)若，，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积； (2)若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？ 【变式7-1】如图，某公园有一三角形的花坛，已知围栏长5米，长7米，，拟在该花坛中修建一条直围栏（即线段，点分别在三角形的两边上），以种植两种不同颜色的菊花供游客观赏，花坛设计者希望通过围栏实现两种菊花的种植面积相等且同一时刻花坛边游客近距离赏花的人数的最大值相等.试问：在的边上是否存在两点，使得线段既平分的面积又平分其周长？若存在，求出所有满足要求的点的位置（结果精确到0.1米）；若不存在，请说明理由. 【变式7-2】近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设. (1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度; (2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元） 【变式7-3】如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆，公园内的小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪 （如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的激光投射在物体表面上的光点之间的距离）．      (1)甲同学来到通往山脚下的笔直小路上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量数据（字母表示）表示出小山的高度； (2)乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆似乎是由于在根部处松动产生了倾斜．她提出的问题是：如何检验旗杆是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决问题的独立测量方案．请你写出她的方案，并说明理由； (3)已知（1）中的小路是东西方向，且与点所确定的平面垂直于地平面．又已知在（2）中的乙同学已经断定旗杆大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）． 1．（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 2．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为. (1)若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. (2)对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间. 3．（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 4．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 6．（2025·上海·三模）在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足 (1)求角的值； (2)若，求周长的最大值. 6．（2025·上海松江·三模）已知函数的图像相邻两个零点之间的距离为. (1)求的值及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 7．（2025·上海青浦·三模）在中，，. (1)求的值； (2)若，求的周长和面积. 8．（2025·上海·三模）设函数，其中向量，，，. (1)求函数的最大值及相应的值； (2)将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 9．（2025·上海宝山·二模）定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知. (1)若，，求的值及的固着点； (2)若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； (3)若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：. 10．（2025·上海·三模）已知定义在上的函数的图像上存在，两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（，为切点），且对上的任意的，均有，则称函数为“切线支撑”函数. (1)试判断函数是否为“切线支撑”函数.若是，写出一组点，；否则，请说明理由； (2)证明：函数为“切线支撑”函数； (3)已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围 1．（2020·上海·高考真题）已知. (1)函数的最小正周期是，求，并求此时的解集； (2)已知，，求函数，的值域. 2．（2021·上海·高考真题）已知A、B、C为的三个内角，a、b、c是其三条边，﹒ (1)若，求b、c； (2)若，求c． 3．（2022·上海·高考真题）在如图所示的五边形中，，O为AB中点，曲线CMD上任一点到O距离相等，角，P，Q关于OM对称； (1)若点P与点C重合，求的大小； (2)求五边形面积S的最大值， 9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 解答题03 三角函数与解三角形 三角函数部分的题目难度中等，解三角形部分的题目难度属于中低档。整体上，上海高考三角函数与解三角形的题目以基础为主，中档兼顾，对熟练度要求较高，需要学生熟练背记公式，并能在临场快速选择合适的公式进行变换和计算。 题型一：三角恒等变形与三角函数图象与性质 【典例1-1】已知． (1)求函数在上的严格增区间； (2)将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，待到函数的图像，若函数的图像关于点对称，求的最小值． 【详解】（1）， 因为，所以， 因为在上单调递增，所以， 解得：， 故函数在上的严格增区间为； （2）， 的图像关于点对称，故， ， 故，解得：， 因为，所以当时，取得最小值， 故的最小值为. 【典例1-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）设常数，函数的部分图象如图所示. (1)求的值； (2)求函数，的最值. 【详解】（1）由图可得，， ， 又时，，则， . （2）由（1）得， ， 由正弦函数的单调性可得最大值为，最小值为. 1.熟记常用的部分三角公式 (1)1－cos α＝2sin2 1＋cos α＝2cos2 .(升幂公式) (2)1±sin α＝.(升幂公式) (3)sin2α＝cos2α＝tan2α＝.(降幂公式) (4)半角正切公式的有理化 tan. (5)万能公式 sin α＝cos α＝ tan α＝. (6)三角平方差公式 sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)； cos2α－sin2β＝cos(α＋β)cos(α－β). 2.运用倍角公式时谨记四个注意点 (1)要注意公式成立的条件； (2)要注意和、差、倍角的相对性； (3)要注意升幂、降幂的灵活运用； (4)要注意“1”的各种变形. 3.熟记与三角函数周期性、对称性、奇偶性有关的常用结论 (1)正弦型曲线、余弦型曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z). (3)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z). 4.谨防两个易误点 (1)要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况，避免出现增减区间的混淆. (2)对于y＝tan x，是在每个区间(k∈Z)上单调递增，不能认为其在定义域上为增函数. 【变式1-1】（24-25高三上·上海黄浦·期末）已知． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数，的单调减区间． 【详解】（1）由，得， 则函数， 故最小正周期为. （2）由，得，； 由，得， 令，解得； 故单调减区间为. 【变式1-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，，且函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)设，若函数与在上有相同的最大值，求a的取值范围. 【详解】（1） ， 因为且函数的最小正周期为，故. （2）由（1）可知. 若，时，， 当时，函数取得最大值，即. 而函数与存在相同的最大值， 故当时，函数在内取得最大值， 因此可得. ①当时，可得，则有，解得； ②当时，可得，，则有，解得. 当时，，此时，， 当时，，此时，. 综上所述，a的取值范围为. 题型二：三角形中边长及周长问题 【典例2-1】（24-25高三下·上海·阶段练习）在中，分别是角的对边. 若. (1)求的值； (2)求边长的值. 【详解】（1）在中，由正弦定理，，，可得， 因为，所以，即， 显然，解得． （2）在中，由余弦定理， 得，解得或， 当时，又，所以，又，， 所以，则，与矛盾，所以舍去； 所以． 【典例2-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）在中，角的对边分别是，． (1)求； (2)若，的面积是，求的周长． 【详解】（1）由题意在中，得， 故 ， 由于，所以. （2）由（1）及题意可知的面积是，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 于是的周长为. 【典例2-3】在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【详解】（1）由，可得， 所以， 又，所以. （2）由（1）得，所以， 则由正弦定理可得， 即，， 所以的周长， 又在中，， 则， 又在中，，所以， 所以当时，周长取最大值为. 【变式2-1】在中，已知点D是BC边上一点，且，. (1)若，且，求AD的长； (2)若，，求AD的长（结果精确到0.01）. 【详解】（1）因为，所以，， 又，所以 即，解得. （2）在中，，由正弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得 . 【变式2-2】（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）已知中，，，. (1)求a、c的值； (2)求的值. 【详解】（1）设，，， 则根据余弦定理得， 即， 解得（负舍）； 则，. （2）因为B为三角形内角， 所以， ， 因为，则 则， 【变式2-3】（24-25高三下·上海虹口·阶段练习）在中，角的对边分别为，若且． (1)求角的大小； (2)若，在边上取一点，使得，求线段的长． 【详解】（1）在中，由，得， 由，得为锐角，即，则，而， 所以. （2）由，得， 在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，而，解得， 所以线段的长为. 【变式2-4】在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【详解】（1）由正弦定理得，所以 所以，整理得， 因为，所以，因此，所以， 所以. （2）由的面积为，得，解得， 又,则，. 由余弦定理得，解得，， 所以的周长为. 题型三：三角形中面积问题 【典例3-1】在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得，又，从而，         由得，            从而，                               所以的面积. （2）由，            又，当且仅当时取等号，       从而，所以，                        又因为中，，从而，                       所以的范围是. 【典例3-2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）由正弦定理可得, 因为，所以，,所以. （2）, 所以, 由余弦定理，得, 即，解得, 所以是等边三角形. 【典例3-3】已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 【详解】（1）由题意可知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 即. （2）由（1）可知， 所以或. 在中，由余弦定理得 ， 当时，， ， 当且仅当时取等号，即， 故的面积. 当时，， ， 当且仅当时取等号，即， 故的面积. 综上所述，的面积最大值为. 1.判断三角形形状的两种思路 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. ②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状. 2.三角形面积公式的应用原则 ①对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. ②与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【变式3-1】已知的内角所对边的长度分别为. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得，即， 所以，即， 所以的面积为. （2）由，由正弦定理得， 可得， 则， 因为，所以， 则，又， 所以. 【变式3-2】设，函数的表达式为. (1)若，求的单调增区间； (2)若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. 【详解】（1）若时，则， 由， 得， 故的单调增区间为： （2）若时，则，则， 因为，所以， 则或，得或， 结合题意，可知，所以，即， 由余弦定理得， 所以， 可得的面积为：． 题型四：三角函数与平面向量综合 【典例4-1】（24-25高三下·上海静安·期中）已知向量、，记． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 【详解】（1）， 所以函数的最小正周期； （2）， 因为函数为奇函数， 所以，解得， 又因为，所以. 【典例4-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、．已知． (1)求角的大小； (2)设为边的中点，若，，求的大小． 【详解】（1）, , , , ， . （2）在中, 由余弦定理得, , 又因为， 所以， 联立解得， 因为为边的中点，所以, 所以， 即， 所以.    【典例4-3】（24-25高三上·上海·期中）平面向量，，函数． (1)若，求的值域； (2)在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，求的面积． 【详解】（1）因为， 所以 ， 由，可得，解得， 所以函数的值域为. （2）因为，所以，所以， 因为，所以，所以，即， 因为，所以， 整理得，解得或(舍去）， 所以的面积为. 【变式4-1】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知复数，（，为虚数单位）. (1)若，且，求与的值； (2)设复数在复平面上对应的向量分别为，若，且，求的最小正周期和严格减区间. 【详解】（1）若，且， 则， ，解得或. （2）由题得， 若，且，则， 即， 所以函数的最小正周期为； 令， 所以函数的严格减区间为. 【变式4-2】设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 【详解】（1）因为且函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 则， 由，则， 所以当，即时取得最大值. （2）当时，，则， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理， 得，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 【变式4-3】已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【详解】（1）由题意得， 由于 则 ， 因为，所以. （2）， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值. 【变式4-4】已知向量，其中，若函数的最小正周期为. (1)求的单调增区间； (2)在中，若，求的值. 【详解】（1） 的最小正周期为. 故， 令，解得， 故函数的单调增区间为 （2）设中角所对的边分别是. ，即，解得. ， ， . 题型五：三角函数与数列综合 【典例5-1】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)如果函数在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前12项和. 【详解】（1）. 令 得. 因此，函数的减区间是. （2）函数的最小正周期为， 当时，， 令，即， 故或，解得或， 所以函数在上的零点分别为，. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； 数列是以为首项，为公差的等差数列， 则 所以的前12项和为. 【典例5-2】（24-25高三下·上海虹口·期中）已知函数的表达式为，. (1)解不等式：； (2)若存在实数，使得，，成等比数列，求实数的最小值. 【详解】（1）由已知代入可得不等式：， 根据对数函数的单调性可得：且， 则且， 解得： （2）由已知可得： 则 令， 因为，所以，即， 则， 此时在上单调递增，则， 要使得等式，则， 故的最小值为. 【变式5-1】已知对任意正整数n，都存在n次多项式函数，使得对一切恒成立．例如“，” (1)求； (2)求证：当n为偶数时，不存在函数使得对一切恒成立； (3)求证：当n为奇数时，存在多项式函数使得对一切恒成立，并求其最高次项系数． 【详解】（1）∵， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故. （2）n为偶数，假设存在函数使得对一切恒成立， 将带入，有， 注意到，所以， 故对一切恒成立，显然矛盾． 故当n为偶数时，不存在定义在上的函数，使得对一切恒成立． （3）将代入，有， 记，则， 当时，， 当时，， 即． 故函数，满足题意． 由，可知， 从而对一切恒成立， 设n次多项式最高次项系数为，则， 数列是以公比为2的等比数列， 结合，可知，则， 故n次多项式最高次项系数为． 从而当时，最高次项系数为， 从而当时，最高次项系数为． 【变式5-2】若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列． (1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由； (2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”． 【详解】（1）因为， 所以是周期为的周期数列． （2）①当时，，， 所以当时，是周期为1的周期数列， ②当时，记，则， ，当且仅当时等号成立， 即，所以在上严格增， 若，则，即，进而可得，即是严格增数列，不是周期数列； 同理，若，可得是严格减数列，不是周期数列． 综上，当时，是周期为1的周期数列；当时，不是周期数列． （3）必要性： 若存在，使得是周期数列，设的周期为， 则，所以是周期为的周期数列， 充分性： 若是周期数列，设它的周期为，记，则 ，是关于x的连续函数； ，是关于x的连续函数； … ，是关于x的连续函数； ， 令，则是连续函数， 且，， 所以存在零点，于是， 取，则， 从而， ， …… 一般地，对任何正整数n都成立，即是周期为T的周期数列． （说明：关于函数连续性的说明不作要求） 题型六：三角函数与导数综合 【例6】（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知的最小正周期为． (1)求的值以及函数的单调减区间； (2)函数的导函数是，求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值． 【详解】（1）由题意得，，∴. 由得，， ∴函数的单调减区间为. （2）由（1）得，， ∴， ∴函数的最小值为， 由得，， 综上得，函数的最小值为，对应的取值为. 【变式7】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数和，其中，，. (1)若，求函数的图象的对称中心并说明理由. (2)定义， 即为.若存在正整数，使得对一切均成立，求证：只能为 . (3)若函数和的图象在上有三个不同的交点，求的取值范围. 【详解】（1）猜函数的图象的对称中心为 在图象上任取点，关于的对称点为， 因为，所以即点也在函数的图象上. 所以，为所求. （2），  ，  ，， ，，， 从第三项起，每隔四项重复出现，且连续四项均为不同函数. 若要符合题意，唯有，于是恒成立， 所以且是唯一可能的值. 总之，存在，使对一切正整数均成立，只可能为. （3）原问题等价于：方程在上有三个不同的解， 等价于：曲线和直线有三个不同的交点. ，由，得， 如下列表 … … … 极值所成数列，正负交替且绝对值单调递减，极限为，横轴为渐近线.另一方面，当时， 综上，如图所示，    于是或，解得或为所求. 题型七：解三角形的实际应用 【典例7-1】“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我.”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块平面四边形的麦田里成为守望者.如图所示，为了分割麦田，他将B、D连接，经测量知，. (1)霍尔顿发现无论多长，都为一个定值.请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值； (2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系.记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值. 【详解】（1）在中， 在中， 则为定值. （2） ， 因为设 则， 所以，当时，取得最大值， 即时，的最大值为. 【典例7-2】如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切. (1)若，，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积； (2)若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？ 【详解】（1）由余弦定理，，故，又由正弦定理有，故，所以扇形的半径，故种植花卉区域的面积 （2）设，则，故，，故平行四边形绿地占地面积，因为，故要面积最小，则当，即，时面积取得最小值，即多大时，平行四边形绿地占地面积最小 【变式7-1】如图，某公园有一三角形的花坛，已知围栏长5米，长7米，，拟在该花坛中修建一条直围栏（即线段，点分别在三角形的两边上），以种植两种不同颜色的菊花供游客观赏，花坛设计者希望通过围栏实现两种菊花的种植面积相等且同一时刻花坛边游客近距离赏花的人数的最大值相等.试问：在的边上是否存在两点，使得线段既平分的面积又平分其周长？若存在，求出所有满足要求的点的位置（结果精确到0.1米）；若不存在，请说明理由. 【详解】由余弦定理，，可得：，解得：. 所以，周长为20. 由余弦定理可知：，， 则，， 若点分别在上，设，于是有，则，该方程组无解. 若点分别在上，设，于是有，则，解得. 若点分别在上，设，，于是有，则，该方程组无解. 综上，存在上点和上点，其中长约7.2米，长约2.8米满足题意. 【变式7-2】近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设. (1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度; (2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元） 【详解】（1）解:由题, ,同理,故, 由于点P位于弧BC的中点,所以点P位于的角平分线上, 则, , 因为,, 所以为等边三角形, 则, 因此三条街道的总长度为（米）. （2）由图可知, , , , 在中由余弦定理可知: , 则, 设三条步行道每年能产生的经济总效益,则 , 当即时取最大值, 最大值为. 答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元. 【变式7-3】如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆，公园内的小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪 （如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的激光投射在物体表面上的光点之间的距离）．      (1)甲同学来到通往山脚下的笔直小路上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量数据（字母表示）表示出小山的高度； (2)乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆似乎是由于在根部处松动产生了倾斜．她提出的问题是：如何检验旗杆是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决问题的独立测量方案．请你写出她的方案，并说明理由； (3)已知（1）中的小路是东西方向，且与点所确定的平面垂直于地平面．又已知在（2）中的乙同学已经断定旗杆大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）． 【详解】（1）解一：(1) 如图1，设点在水平面的投影点为． 用测距仪测得，． 在中，， 在中，， 所以．    解二：如图2，在平面上，以点为原点，向量为轴，建立平面直角坐标系， 设点，则， 用测距仪测得，，则， 解得    （2）如图，用电子尺测得，，    在广场上从点移动至点，使得， 再移至点，使得，此时再测量， 若，则可知旗杆垂直于地面，否则就是倾斜了． 理由如下： 已知，，设点是的中点， 则在等腰中，． 同理，又平面，所以平面； 又因为平面，故． 同理可证． 综上所述，旗杆垂直于地面． （3）提问：旗杆向哪个方向倾斜多少角度？ 说明：用在地平面上的投影来刻画的倾斜方向是合理的， 也可以采用在广场上确定一个位于在地平面上投影上的点来刻画， 用与小路的夹角刻画扣1分．关于如何刻画倾斜多少角 度的问题，既可以用与垂直于地面的直线所成角的大小，也 可以用与地平面所成角的大小来刻画． 解答方案1： 如图，    在地面画出离点距离相等的点的轨迹圆， 再在圆上找到离点距离最近的点， 作垂直于地面，垂足为， 则的大小就是旗杆倾斜角度． 理由如下： 先证明与圆的交点既是点． 只需证明：对于圆上任意一点，． 因为在中，， 所以， 故． 如图5，从图4中的点向点的方向走到点，    放置一个物体，测得、、的长， 利用余弦定理可得的大小．     同理可得的大小．     因此，可以求得图4中的、、、的长． 在中，三边已知，利用余弦定理可求得， 即旗杆向西偏南的方向倾斜． 又由于、已求得， 故倾斜角度为． 测量倾斜角的大小方案2： 如图5，从点向点的方向走到点，测得、、的长， 利用余弦定理可得的大小，从而求得点的高度． 同理可求得点的高度． 如图，即是由于旗杆倾斜旗杆顶点所下降的高度．    所以，                                    在中，即为所求， 测量倾斜角的大小方案3： 在图5中，以点为原点，以为y轴建立平面直角坐标系， 则容易求出点与点的坐标与， 故的倾斜角为． 1．（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 【详解】（1）因为图像经过，， 所以得周期，由得，. 又得，， 又因为， 所以，所以． （2）因为，又， 结合图像对称性可知：，则， 又，由正弦定理得：， 则， 所以 ， 由，，可得， 所以，则， 故， 于是可得的面积为， 故面积的取值范围为. 2．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为. (1)若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. (2)对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得或， 所以或， 若，则，不符；所以， 所以，所以， 由， 得，所以， ； （2）由，得，所以，， 令，因为，所以， 又函数在无最小值，所以函数的最小正周期,所以， 所以，则，此时，符合题意， 所以， 令，所以， 当时，， 因为， 所以在单调递减，在单调递增. 3．（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 【详解】（1）已知当时函数取得最大值4， 因为，所以.此时， 又，解得， 所以函数的表达式为. （2）由（1）知，则，. 因为是等差数列，设公差为，则，解得，， 所以. 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， 可得. 4．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【详解】（1）， 令，则，其中， 故函数的单调递减区间为，. （2）由题设有在有两个不同的零点， 而，故在有两个不同的解， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故， 故. 6．（2025·上海·三模）在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足 (1)求角的值； (2)若，求周长的最大值. 【详解】（1）因 ， 利用正弦定理：整理得 由于故 （2）由于利用余弦定理： ， 所以利用基本不等式： 整理得：，(当且仅当 时，等号成立） 所以 故三角形的周长的最大值为 6．（2025·上海松江·三模）已知函数的图像相邻两个零点之间的距离为. (1)求的值及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 【详解】（1）由题设，则， 令或，， 所以或，，故解集为． （2）由题设，即，， 所以，，又是三角形内角，故， 由，即， 由，则，所以， 易得，所以周长为． 7．（2025·上海青浦·三模）在中，，. (1)求的值； (2)若，求的周长和面积. 【详解】（1）在中，，又， 则， 则. （2），又，， 则由正弦定理得， 则的周长为 的面积为． 8．（2025·上海·三模）设函数，其中向量，，，. (1)求函数的最大值及相应的值； (2)将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 【详解】（1）， 故函数的最大值为，相应的值为，； （2）设，则平移后的函数为， 为奇函数，故，，得，， 于是，当时，最小，此时. 9．（2025·上海宝山·二模）定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知. (1)若，，求的值及的固着点； (2)若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； (3)若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：. 【详解】（1）由题得，所以， 因为，所以，解得， 所以，固着点. （2）由题得，则， 所以，因为是上的严格增函数， 所以在区间上恒成立， 由，得到，所以， 所以，因此的最大值是. （3）（方法一）由题得，， 所以， 因为，且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解， 记，则，所以在是严格减函数， 从而，又当时，，故的值域是， 所以，即， 记，则由上述可知是的严格减函数且， ， 因为，所以，所以  ① 又， 记，则， 因为，所以，所以， 所以是上的严格增函数， 故，从而  ② 由①②可知，，即， 又是的严格减函数，所以，故. （方法二） 由题得，，所以， 因为且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解 求导得， 当时，，是上的严格减函数， 所以，所以方程（*）无解； 当时， （ⅰ）当时，在恒成立，故是上的严格增函数， 所以，所以方程（*）无解； （ⅱ）当时，如下表 - 0 + 严格减 极小值 严格增 可知在严格减，在严格增， 又，，当时，， 所以方程（*）在无解，在有唯一解，满足题意的的取值范围， 因为是的唯一解，所以， 又，令， 则，所以是上的严格减函数， 所以，即， 又当时，，所以， 又在上有唯一的零点，则， 综上，，此时. 10．（2025·上海·三模）已知定义在上的函数的图像上存在，两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（，为切点），且对上的任意的，均有，则称函数为“切线支撑”函数. (1)试判断函数是否为“切线支撑”函数.若是，写出一组点，；否则，请说明理由； (2)证明：函数为“切线支撑”函数； (3)已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围 【详解】（1）， 显然， 令，得，，即， 所以，是的极小值点，且为曲线的一条切线， 所以函数是“切线支撑”函数， 可取，． （2）证明：因为，设，， 所以，点处的切线方程为和， 所以， 所以，， 不妨取，，则，即，， 所以，不妨取．则切线的方程为， 又，所以函数为“切线支撑”函数． （3）当时，，所以在上为增函数，所以切点，不可能都在轴的右侧； 当时，，所以在上为增函数，所以切点，不可能都在轴的左侧； 所以切点，必在轴的两侧． 不妨设，，， 当时，，所以点处的切线方程为， 即； 当时，，所以点处的切线方程为， 即， 因为，两点处的切线重合，所以， 设，，则， 所以在上单调递增， 又当时，，所以，即， 设点处的切线方程为， 设， 则， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，所以， 设点处的切线方程为， 则，即， 所以为“切线支撑”函数， 综上可得，实数的取值范围为． 1．（2020·上海·高考真题）已知. (1)函数的最小正周期是，求，并求此时的解集； (2)已知，，求函数，的值域. 【详解】（1）依题意，，解得，则，由，得， 解得或，即或 所以的解集为或. （2）依题意，， ， 当时，，则有，， 所以函数，的值域为. 2．（2021·上海·高考真题）已知A、B、C为的三个内角，a、b、c是其三条边，﹒ (1)若，求b、c； (2)若，求c． 【详解】（1）∵，由正弦定理得， 又，可得， 由于，可得． （2）∵，0＜C＜π， ∴，C＞＞A， . ∵， ∴， 又， 可解得或(舍)， 由正弦定理，可得． 3．（2022·上海·高考真题）在如图所示的五边形中，，O为AB中点，曲线CMD上任一点到O距离相等，角，P，Q关于OM对称； (1)若点P与点C重合，求的大小； (2)求五边形面积S的最大值， 【详解】（1）解：若点P与点C重合，连接， ， 在中，， 所以， 因为， 所以， 所以； （2）解：连接， 因为曲线CMD上任一点到O距离相等， 所以， 因为P，Q关于OM对称， 所以， 设，则， 则 ，其中， 当时，取得最大值， 所以五边形面积S的最大值为. 9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$