专题01 集合（11大考点66题）（期中真题汇编，福建专用）高一数学上学期

专题01 集合 11大高频考点概览 考点01 判断元素与集合的关系 考点02 集合中元素的特性 考点03 集合的表示方法 考点04 子集、真子集的个数 考点05 由集合的包含关系求参数 考点06 交集的运算 考点07 根据交集的运算求参数 考点08 并集的计算及求参数 考点09 补集及交并补的混合运算 考点10 Venn图的相关计算 考点11 集合中的新定义问题 地 城 考点01 判断元素与集合的关系 一、单选题 1．(24-25高一上·福建三明永安九中等四校联考·期中)已知集合，则1与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·福建莆田第十五中学·期中)下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25高一上·福建宁德·期中)用符号“”或“”填空：（1）若为所有亚洲国家组成的集合，则泰国 ；（2） ， . 4．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)已知，则的取值范围是 地 城 考点02 集合中元素的特性 5．(24-25高一上·福建福州第八中学·期中)已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 地 城 考点03 集合的表示方法 一、单选题 6．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)已知集合，则（   ） A． B． C． D． 二、解答题 7．(24-25高一上·福建宁德·期中)（1）若为奇函数，当时，，求； （2）用列举法表示集合：； （3）求不等式组的解集. 地 城 考点04 子集、真子集的个数 一、单选题 8．(24-25高一上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)满足的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 9．(24-25高一上·福建漳州漳浦道周中学·调研)已知集合满足⫋，则集合的个数为 ． 三、解答题 10．(24-25高一上·福建福州福清·期中)已知集合，，， (1)若，求实数a的值. (2)请写出所有满足A的集合M. 地 城 考点05 由集合的包含关系求参数 一、单选题 11．(24-25高一上·福建莆田第十五中学·期中)已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．(24-25高一上·福建福州八县（）协作校·期中)已知集合，，且，则实数m的取值范围是 ． 三、解答题 13．(24-25高一上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 14．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知全集，集合，. (1)求； (2)设集合，若，求实数的取值范围. 15．(24-25高一上·福建厦门一中集美分校·期中)已知集合，集合． (1)当时，求，． (2)若，求的取值范围． 16．(24-25高一上·福建三明第一中学·期中)已知集合. (1)求. (2)已知集合，且，求实数的取值范围. 17．(24-25高一上·福建泉州现代中学·期中)已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 18．(24-25高一上·福建福州八县（）协作校·期中)已知集合，． (1)求集合； (2)设集合，且，求实数a的取值范围． 19．(24-25高一上·福建漳州十校联盟·期中)已知集合，. (1)求; (2)若，且，求实数的取值范围. 20．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 21．(24-25高一上·福建泉州四校联考·期中)已知集合. (1)当，求； (2)当且，求的范围. 地 城 考点06 交集的运算 一、单选题 22．(24-25高一上·福建福州青鸟北附高级中学·期中)集合（    ） A． B． C． D． 23．(24-25高一上·福建浦城第一中学·期中)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 24．(24-25高三上·福建名校联盟部分中学·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 25．(24-25高一上·福建三明第二中学·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 26．(24-25高一上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 27．(24-25高一上·福建泉州安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学·期中)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 28．(24-25高一上·福建莆田第九中学·期中)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 29．(24-25高一上·福建莆田莆田第六中学·期中)设集合，，若，则中元素个数为（    ） A． B． C． D．至少个 二、解答题 30．(24-25高一上·福建三明永安九中、沙县金沙高级中学二校协作·期中)已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 31．(24-25高一上·福建厦门英才学校·期中)已知全集，，．求： (1)和； (2)和． 地 城 考点07 根据交集的运算求参数 一、单选题 32．(24-25高一上·福建福州八县（）协作校·期中)集合或，，若（R为实数集），则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、解答题 33．(24-25高一上·福建福宁古五校教学联合体·期中)已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 34．(24-25高一上·福建福州第八中学·期中)设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 地 城 考点08 并集的计算及求参数 一、单选题 35．(24-25高一上·福建龙岩侨育中学·期中)若集合，，则（    ） A． B． C． D． 36．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期中)设集合，则（   ） A． B． C． D． 二、解答题 37．(24-25高一上·福建漳州乙丙校联盟·期中)已知全集，集合，或. (1)求，； (2)求. 38．(24-25高一上·福建三明永安九中等四校联考·期中)设全集，集合，． (1)求，； (2)若集合，，求实数的取值范围． 地 城 考点09 补集及交并补的混合运算 一、单选题 39．(24-25高一上·福建厦门双十中学·期中)已知集合，则（    ） A． B． C．[0，1] D． 40．(24-25高一上·福建泉州德化第二中学·期中)设全集，集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 41．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 42．(24-25高一上·福建泉州四校联考·期中)设集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 43．(24-25高一上·福建福州十校·期中)已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的不同真子集个数为8 44．(24-25高一上·福建福州青鸟北附高级中学·期中)全集，，，，则下列判断正确的有（    ） A． B．或 C．若，则或 D．若，则或 三、填空题 45．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)设集合，则 四、解答题 46．(24-25高一上·福建福州第十八中学、华侨中学等校·期中)设全集，集合，. (1)若，求，. (2)若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 47．(24-25高一上·福建福州福九联盟·期中)已知集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 48．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)已知集合，，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 49．(24-25高一上·福建泉州安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学·期中)已知函数的定义域为集合A，集合 (1)求集合A； (2)设全集，求 ， 50．(24-25高一上·福建莆田第五中学·期中)已知集合，. (1)当时，求； (2)求集合. 51．(24-25高一上·福建福州十校·期中)已知集合，. (1)当时，求，； (2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若_______，求实数的取值范围. 52．(24-25高一上·福建泉州泉州科技中学·期中)设集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 地 城 考点10 Venn图的相关计算 一、单选题 53．(24-25高一上·福建漳州十校联盟·期中)设全集是实数集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 54．(24-25高一上·福建福州高级中学·期中)已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 55．(24-25高一上·福建福州山海联盟教学协作体·期中)设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 56．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)设全集为，集合，如图所示，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 57．(24-25高一上·福建厦门一中集美分校·期中)某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如表所示：若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为 人． 优秀 合格 合计 语文 20 28 48 英语 30 18 48 地 城 考点11 集合中的新定义问题 一、单选题 58．(24-25高一上·福建莆田第二中学·期中)非空集合，且满足如下性质： 性质一：若、，则；性质二：若，则则称集合为一个“群”． 以下叙述正确的个数为（    ） ①若为一个“群”，则必为无限集； ②若为一个“群”，且、，则； ③若、都是“群”，则必定是“群”； A． B． C． D． 二、填空题 59．(24-25高一上·福建三明永安九中、沙县金沙高级中学二校协作·期中)对于，规定：，已知集合，则中元素的个数为 个. 60．(24-25高一上·福建福州福九联盟·期中)已知集合，其中且，，若对任意的，，都有，则称集合具有性质，若集合具有性质，则的最小值为 . 三、解答题 61．(24-25高一上·福建福州福清·期中)若一个集合仅有2个元素，且这2个元素之和等于这2个元素之积，则称该集合为2元“完美集”.例如就是一个2元“完美集”，这是因为. (1)请再写出一个不同于的2元“完美集”（无需写出求解过程）； (2)求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4； (3)是否存在某个2元“完美集”，其元素均为正整数？若存在，求出所有符合条件的2元“完美集”；若不存在，说明理由. 62．(24-25高一上·福建福宁古五校教学联合体·期中)对于集合，，定义运算“”：{，两式恰有一式成立}，表示集合中元素的个数.    (1)设，，在图1的韦恩图中填入集合，，并求； (2)设，，求； (3)对于有限集合，，，证明，并求当集合，是确定集合时，使该式取等号的集合的数量（用含，的式子表示）. 63．(24-25高一上·福建福州福建师范大学附属中学·期中)已知集合，其中，新定义1个性质G：若对任意的，必有，则称集合A具有性质G．由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素． (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； (2)集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ (3)试判断：集合A具有性质G是的什么条件（写出结论即可）． 64．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)设为非空数集，定义，. (1)若，求，； (2)已知，，若，求证：； (3)若，且，求的元素个数的最大值，并写出满足条件的一个集合. 65．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知非空数集A中最大元素为M，最小元素为m，定义集合A的差值，当集合A中只有一个元素时，规定. (1)若集合，集合，分别求，； (2)若，，（i，，2，3，4，），，求的最大值，并写出取最大值时的一组集合，，，； (3)若，，，…，是正整数集合的非空真子集，，，，…，的元素个数均不相同，且，当时，求n的最大值. 66．(24-25高一上·福建泉州四校联考·期中)有限集中元素均为正整数，设中的元素.当，都存在，使得，则称中的元素是“完全可拆”；当，则称中的元素是“完全不可拆”. (1)判断集合且中的元素是“完全可拆”或“完全不可拆”，并说明理由； (2)若，且中的元素“完全可拆”，求的最小值； (3)若为奇数，且中的元素“完全不可拆”，求的最大值（用表示）. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合 11大高频考点概览 考点01 判断元素与集合的关系 考点02 集合中元素的特性 考点03 集合的表示方法 考点04 子集、真子集的个数 考点05 由集合的包含关系求参数 考点06 交集的运算 考点07 根据交集的运算求参数 考点08 并集的计算及求参数 考点09 补集及交并补的混合运算 考点10 Venn图的相关计算 考点11 集合中的新定义问题 地 城 考点01 判断元素与集合的关系 一、单选题 1．(24-25高一上·福建三明永安九中等四校联考·期中)已知集合，则1与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入判断不属于，从而得到不包含于，然后分别考查四个选项即可. 【详解】因为，所以，这也意味着，从而只有选项A正确. 故选：A. 2．(24-25高一上·福建莆田第十五中学·期中)下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断. 【详解】对于选项，元素是集合中的元素，即，则 错误； 对于选项，元素是集合中的元素，即，则错误；正确； 对于选项，集合是集合的子集，即，则错误； 故选： . 二、填空题 3．(24-25高一上·福建宁德·期中)用符号“”或“”填空：（1）若为所有亚洲国家组成的集合，则泰国 ；（2） ， . 【答案】 【分析】根据各集合的定义，判断各元素与集合间的关系. 【详解】因为泰国属于亚洲，所以泰国； 因为表示有理数，不是有理数，是有理数， 所以，， 故答案为：，，. 4．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)已知，则的取值范围是 【答案】 【分析】代入得到不等式，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 地 城 考点02 集合中元素的特性 5．(24-25高一上·福建福州第八中学·期中)已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 地 城 考点03 集合的表示方法 一、单选题 6．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合中元素的特点用描述法表示即可. 【详解】因为集合， 根据集合中5个元素的特点知，. 所以， 故选：C. 二、解答题 7．(24-25高一上·福建宁德·期中)（1）若为奇函数，当时，，求； （2）用列举法表示集合：； （3）求不等式组的解集. 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）求出的值，利用奇函数的定义可求得的值； （2）求出的取值集合，可得出的取值集合，即可得出集合； （3）利用二次不等式的解法可得出原不等式组的解集. 【详解】解：（1）因为为奇函数，所以， 因为当时，，所以，所以. （2）若，则，且， 因为，则，解得， 所以，； （3）由，得，得或. 由，得，得. 故不等式组的解集为或. 地 城 考点04 子集、真子集的个数 一、单选题 8．(24-25高一上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)满足的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】首先要解出方程的根，得到集合的元素.然后根据子集关系确定满足条件的集合的个数. 【详解】解方程的根，，则. 因为  . 那么A中一定含有元素和，可能含有元素，，（但不全有）， 所以集合的个数即为集合的真子集个数，共有个. 故选：C. 二、填空题 9．(24-25高一上·福建漳州漳浦道周中学·调研)已知集合满足⫋，则集合的个数为 ． 【答案】3 【分析】根据题目中的包含关系，可得集合的构成，可得答案. 【详解】设集合的真子集为，由题意可得， 集合的真子集个数为，集合的个数为. 故答案为：. 三、解答题 10．(24-25高一上·福建福州福清·期中)已知集合，，， (1)若，求实数a的值. (2)请写出所有满足A的集合M. 【答案】(1)a的值为0或或1 (2)，，，，，， 【分析】（1）由题意可知，结合包含关系列式求解即可； （2）根据包含关系分析集合M的元素构成，即可得结果. 【详解】（1）集合， 对于集合， 当时，，满足； 当时，集合， 而，则或，可得或； 综上所述：实数a的值为0或或1． （2）因为，且A， 可知集合M必含有元素1，2，元素3，4，5中至少含有1个， 所以集合M可以是，，，，，，. 地 城 考点05 由集合的包含关系求参数 一、单选题 11．(24-25高一上·福建莆田第十五中学·期中)已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可得，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围. 【详解】因为集合，，且，则， 所以，. 故选：D. 二、填空题 12．(24-25高一上·福建福州八县（）协作校·期中)已知集合，，且，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】化简集合A，求出，再根据求出m的取值范围． 【详解】解：集合或， ∴， ∵集合，且， ∴，解得， ∴实数m的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题 13．(24-25高一上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出集合，再求出集合在上的补集，再求即可； （2）由题意得，分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，. ，， . （2）， . 当时，符合题意，此时有，解得； 当时，要使，只需，解得. 综上，. 故实数的取值范围为. 14．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知全集，集合，. (1)求； (2)设集合，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先解指数不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得； （2）依题意可得，分、两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解. 【详解】（1）由，即，所以， 即， 所以，又， 所以； （2）因为，所以， 又，， 当，即时，，符合题意； 当，则或，解得或； 综上可得：或，即实数的取值范围为. 15．(24-25高一上·福建厦门一中集美分校·期中)已知集合，集合． (1)当时，求，． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）先得到，再利用集合的并集，交集和补集运算求解； （2）由，分和求解. 【详解】（1）解：由题设，则， ，则； （2）由， 若时，，满足题意； 若时，； 综上，． 16．(24-25高一上·福建三明第一中学·期中)已知集合. (1)求. (2)已知集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）先解不等式求得集合，再进行集合的交集、并集； （2）由集合的关系确定集合端点位置，建立关于的不等式关系，即可求出结论. 【详解】（1）由，解得，所以， 所以， . （2）因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为：. 17．(24-25高一上·福建泉州现代中学·期中)已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）把代入，利用并集、补集的定义求解. （2）由给定交集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【详解】（1）当时，，而，则， 所以或. （2）由，得， 当，即时，，满足，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 18．(24-25高一上·福建福州八县（）协作校·期中)已知集合，． (1)求集合； (2)设集合，且，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的基本运算即可求解结论； （2）由，可得，进而求解结论． 【详解】（1）因为集合，， 所以， 所以； （2）因为，可得， 故，解得， 即实数a的取值范围为：． 19．(24-25高一上·福建漳州十校联盟·期中)已知集合，. (1)求; (2)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)[4，6] 【分析】（1）先化简集合A，B，再利用集合的并集和补集运算求解； （2）由，得到求解. 【详解】（1）解：由，得. 所以， 由，得:. 所以， . 所以，； （2）由，得， 所以， 解得即. 所以实数的取值范围[4，6]. 20．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由一元二次不等式的求解和集合的运算求解即可； （2）讨论当时和，当时由集合间的包含关系求解即可； 【详解】（1）由可得，所以， 当时，， 所以. （2）若，则， 当时，即，解得； 当时，，解得， 综上，. 21．(24-25高一上·福建泉州四校联考·期中)已知集合. (1)当，求； (2)当且，求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，解出，，由集合的运算求出； （2）由，或，由，求得，即可得到的范围. 【详解】（1）由已知， ， 当时，， 所以. （2）因为，即， 当时，，，则， 所以，则，解得， 则，得， 因为，所以，解得， 综上，的范围为. 地 城 考点06 交集的运算 一、单选题 22．(24-25高一上·福建福州青鸟北附高级中学·期中)集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集的定义可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选： 23．(24-25高一上·福建浦城第一中学·期中)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义直接计算即可. 【详解】因为集合，，所以. 故选：B. 24．(24-25高三上·福建名校联盟部分中学·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数解出集合，再求交集即可； 【详解】由可得，所以， 所以 故选：B. 25．(24-25高一上·福建三明第二中学·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【分析】因为，， 所以， 故选：B 26．(24-25高一上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式化简，即可根据交集的定义求解. 【详解】由可得， 故， 故选：B 27．(24-25高一上·福建泉州安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学·期中)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式求得解集，表示出集合的元素，利用交集的定义，可得答案. 【详解】由，解得，则； 由，则. 故选：D. 28．(24-25高一上·福建莆田第九中学·期中)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】或， ， 所以. 故选：D. 29．(24-25高一上·福建莆田莆田第六中学·期中)设集合，，若，则中元素个数为（    ） A． B． C． D．至少个 【答案】C 【分析】由，可得，可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出集合，即可得解. 【详解】由，可得， 因为、，必有，且， 所以，或，解得或， 因此，. 故选：C. 二、解答题 30．(24-25高一上·福建三明永安九中、沙县金沙高级中学二校协作·期中)已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得； （2）依题意集合是集合的子集，即可得到，解得即可. 【详解】（1）由，即，解得。 所以 当时，集合，        ∴； （2）因为“”是“”的充分条件，所以集合是集合的子集， 又，， ∴，解得， 所以实数的取值范围为. 31．(24-25高一上·福建厦门英才学校·期中)已知全集，，．求： (1)和； (2)和． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）解一元二次不等式即可求出集合，再根据交集的定义计算可得； （2）根据补集、并集的定义计算可得. 【详解】（1）由，即，解得， 所以， 又，所以； （2）因为全集，所以， . 地 城 考点07 根据交集的运算求参数 一、单选题 32．(24-25高一上·福建福州八县（）协作校·期中)集合或，，若（R为实数集），则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】表示出N中不等式的解集，确定出N，根据N与M的补集不为空集，找出a的范围即可，进而求解结论． 【详解】解：∵全集R，或，，， ∴， 结合数轴可知，当时，， 故（R为实数集）时，a的取值范围为， 故选：C． 二、解答题 33．(24-25高一上·福建福宁古五校教学联合体·期中)已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1){或} (2) 【分析】（1）解不等式化简集合，根据交集结果求得参数，进一步即可得解； （2）由题意得，分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】（1）由，解得，或， 所以{，或}， 又，所以，解得. 此时. 所以{，或}. （2）因为， 所以， 因为{，或}，所以， 又， 当时，，此时，解得， 当时，由，可得，解得， 综上的取值范围为. 34．(24-25高一上·福建福州第八中学·期中)设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得； （2）先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【详解】（1）图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 地 城 考点08 并集的计算及求参数 一、单选题 35．(24-25高一上·福建龙岩侨育中学·期中)若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的概念求解. 【详解】集合，，则. 故选：C. 36．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期中)设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解. 【详解】解不等式，即，解得， 则，而， 所以. 故选：D 二、解答题 37．(24-25高一上·福建漳州乙丙校联盟·期中)已知全集，集合，或. (1)求，； (2)求. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）求出集合，利用并集的定义可求得集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）利用交集和补集的定义可求得集合. 【详解】（1）解：因为，或， 则或，或， 故或. （2）解：因为或，则， 因此，. 38．(24-25高一上·福建三明永安九中等四校联考·期中)设全集，集合，． (1)求，； (2)若集合，，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求解出不等式的解集为集合，然后根据交集、并集、补集的概念完成计算； （2）先讨论是否为，然后根据条件列出不等式组求解出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 因为且在上单调递增，所以，所以， 所以，且， 所以. （2）因为，所以， 当时，显然不满足，所以； 因为，所以，解得， 所以的取值范围是. 地 城 考点09 补集及交并补的混合运算 一、单选题 39．(24-25高一上·福建厦门双十中学·期中)已知集合，则（    ） A． B． C．[0，1] D． 【答案】B 【分析】根据集合运算的定义计算． 【详解】由已知 所以或， 故选：B． 40．(24-25高一上·福建泉州德化第二中学·期中)设全集，集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用并集和补集的定义可求得集合. 【详解】因为全集，集合，，则， 故. 故选：B. 41．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】，则. 故选：C. 42．(24-25高一上·福建泉州四校联考·期中)设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先解指数不等式求出集合，解一元高次不等式求出集合，最后根据补集的定义计算可得. 【详解】由，即，所以，即， 由，即，等价于，解得或， 所以， 所以. 故选：A 二、多选题 43．(24-25高一上·福建福州十校·期中)已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的不同真子集个数为8 【答案】BC 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又，说明， 综上，画出维恩图如下： 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，的不同真子集个数为7，故D错误， 故选：BC. 44．(24-25高一上·福建福州青鸟北附高级中学·期中)全集，，，，则下列判断正确的有（    ） A． B．或 C．若，则或 D．若，则或 【答案】AD 【分析】由已知可得集合，根据并集的定义即可判断；先求解，再根据补集的运算即可判断；由已知分和两种情况分别列不等式求解即可判断；先求解，再分和两种情况分别列不等式求解即可判断. 【详解】因为，所以， 所以，故正确； 因为，所以或，故错误； 因为， 当时，所以，即， 当时，所以或，解得或， 综上，的取值范围是或，故错误； 因为，所以或， 因为， 当时，所以，即， 当时，所以或，解得或， 综上，的取值范围是或，故正确. 故选：. 三、填空题 45．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)设集合，则 【答案】 【分析】根据补集和交集的知识求得正确答案. 【详解】由于，， 所以. 故答案为： 四、解答题 46．(24-25高一上·福建福州第十八中学、华侨中学等校·期中)设全集，集合，. (1)若，求，. (2)若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据交集，并集，补集的定义计算即可； （2）根据是成立的充分条件得到，根据集合是否为空集分类讨论，列不等式组，求解即可. 【详解】（1）由，得，又，， 所以，或， 则. （2）因为是成立的充分条件，所以； 当时，，解得，此时满足题意； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 47．(24-25高一上·福建福州福九联盟·期中)已知集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意求出两个集合的取值范围，再根据集合的运算可求得结果； （2）根据得到，分和两种情况讨论即可求得结果. 【详解】（1）当时，， 又， 或， ，； （2），， 当时，即符合题意， 当时，则    ， 综上所述：. 48．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)已知集合，，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先根据指数函数的单调性解不等式求出集合B，然后再利用集合的交、并、补运算即可求解. （2）根据题意可得，再对分是否为空集讨论即可. 【详解】（1）∵或， ∴或，， 又∵， ∴，. （2）：∵， 当时，，解得， 当时，∴，解得， 综上实数m的取值范围是. 49．(24-25高一上·福建泉州安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学·期中)已知函数的定义域为集合A，集合 (1)求集合A； (2)设全集，求 ， 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据具体函数有意义的条件列不等式计算； （2）求出集合B，再根据交并补概念计算. 【详解】（1）要使函数有意义，则有， 解之可得：，所以集合. （2）由可得：，解得或， ,则,则. 50．(24-25高一上·福建莆田第五中学·期中)已知集合，. (1)当时，求； (2)求集合. 【答案】(1)，. (2)当时，；当时，；当时，. 【分析】（1）当时，明确集合、，根据集合的运算法则进行运算. （2）分类讨论二次不等式的解集. 【详解】（1）由，所以. 当时，由，所以. 所以， ，所以. （2）由. 若，则； 若，则不等式无解； 若，则. 故：当时，；当时，；当时，. 51．(24-25高一上·福建福州十校·期中)已知集合，. (1)当时，求，； (2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若_______，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2)答案见解析 【分析】（1）由集合的交并补混合运算求解即可； （2）选①，由题意得到是的真子集，再分集合是否为空集讨论即可；选②，因为，所以，再分集合是否为空集讨论即可；选③，，所以，再分集合是否为空集讨论即可； 【详解】（1）当时，，又， ∴， 又或 ， ∴或； （2）选①，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 若，则，解得； 若，则且等号不能同时成立，解得， 综上，或，即的取值范围为 选②，因为，所以，下同选①. 选③，，所以，下同选①. 52．(24-25高一上·福建泉州泉州科技中学·期中)设集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解分式不等式得集合A，利用补集运算求得集合A的补集，然后解一元二次不等式求解集合B，最后利用交集运算求解即可. （2）解法一：根据充分条件转化为，再根据一元二次方程根的分布列不等式即可； 解法二：根据，根据一元二次函数的性质得，解不等式即可； 解法三：求出方程的解，根据二次函数根的分布列不等式求解即可. 【详解】（1）由，解得，故， 所以， ， 故. （2）解法一：因为“”是“”的充分条件，所以，， 所以方程的一个根小于等于，一个根大于等于1， 所以，得. 解法二：因为“”是“”的充分条件，所以， 因为的图象的对称轴方程是， 由图可知，只需即，解得. 解法三：方程有解，且， 从而，得，解得． 地 城 考点10 Venn图的相关计算 一、单选题 53．(24-25高一上·福建漳州十校联盟·期中)设全集是实数集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由阴影部分表示的集合求解. 【详解】解：阴影部分表示的集合为：， 故选：A 54．(24-25高一上·福建福州高级中学·期中)已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式得到，利用交集和补集的概念求出答案. 【详解】，， 则图中阴影部分表示的集合为. 故选：B 55．(24-25高一上·福建福州山海联盟教学协作体·期中)设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断阴影部分表示，然后求解，再根据并集的概念求解即可. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为， 因为， 所以或， 所以， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：. 二、多选题 56．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)设全集为，集合，如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的交并补和维恩图的关系即可得到答案. 【详解】对A，由图知，故A正确； 对B，由图知不是的子集，故B错误； 对C，由图知，故C正确； 对D，由图知，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 57．(24-25高一上·福建厦门一中集美分校·期中)某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如表所示：若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为 人． 优秀 合格 合计 语文 20 28 48 英语 30 18 48 【答案】12 【分析】利用Venn图求解. 【详解】解：由题意得：设语文合格的为集合A，英语合格的为集合B， 由题意画出Venn图，如图所示： 则， 所以， 即两项比赛中都评定为优秀的同学最多为人， 故答案为：12 地 城 考点11 集合中的新定义问题 一、单选题 58．(24-25高一上·福建莆田第二中学·期中)非空集合，且满足如下性质： 性质一：若、，则；性质二：若，则则称集合为一个“群”． 以下叙述正确的个数为（    ） ①若为一个“群”，则必为无限集； ②若为一个“群”，且、，则； ③若、都是“群”，则必定是“群”； A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据性质，运用特例法逐一判断即可. 【详解】对于①，设集合，显然，符合性质一， 同时也符合性质二，因此集合是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确； 对于②，根据群的性质，由可得：，因此可得，故本叙述正确； 对于③，设， 若，一定有，， 因为、都是“群”， 所以，， 因此，若，所以，，，故本叙述正确. 故选：C. 【点睛】关键点睛：正确理解群的性质是解题的关键. 二、填空题 59．(24-25高一上·福建三明永安九中、沙县金沙高级中学二校协作·期中)对于，规定：，已知集合，则中元素的个数为 个. 【答案】 【分析】由的定义，分类考虑和一奇一偶，与和同奇偶两种情况，结合列出满足条件的所有可能情况，再考虑点的个数即可. 【详解】因为， 若和一奇一偶，则，满足此条件的有，故点有个； 若和同奇偶，则， 满足此条件的有共组，故点有个， 所以满足条件的个数为个. 故答案为：. 60．(24-25高一上·福建福州福九联盟·期中)已知集合，其中且，，若对任意的，，都有，则称集合具有性质，若集合具有性质，则的最小值为 . 【答案】14 【分析】根据新定义列不等式组求解即可. 【详解】不妨设， ①当时，由，不满足题意； ②当时，由性质定义知： ，且， 所以m的最小值为，经检验符合题意. 故答案为：14. 三、解答题 61．(24-25高一上·福建福州福清·期中)若一个集合仅有2个元素，且这2个元素之和等于这2个元素之积，则称该集合为2元“完美集”.例如就是一个2元“完美集”，这是因为. (1)请再写出一个不同于的2元“完美集”（无需写出求解过程）； (2)求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4； (3)是否存在某个2元“完美集”，其元素均为正整数？若存在，求出所有符合条件的2元“完美集”；若不存在，说明理由. 【答案】(1)（答案不唯一，满足均可）． (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据“复活集”的定义写出一个2元“复活集”； （2）利用基本不等式证得结论成立； （3）根据题意可得，根据整数性分析判断即可. 【详解】（1）因为， 所以2元“完美集”可以为（答案不唯一，满足均可）． （2）设2元“完美集”为，其中，则， 由得，， 因为，所以． （3）若为2元“完美集”，x，，且， 则， 由x，得，或， 即或这与矛盾， 故不存在满足题意的2元“完美集”． 62．(24-25高一上·福建福宁古五校教学联合体·期中)对于集合，，定义运算“”：{，两式恰有一式成立}，表示集合中元素的个数.    (1)设，，在图1的韦恩图中填入集合，，并求； (2)设，，求； (3)对于有限集合，，，证明，并求当集合，是确定集合时，使该式取等号的集合的数量（用含，的式子表示）. 【答案】(1)韦恩图见解析， (2). (3)证明见解析，集合的数量为个. 【分析】（1）画出韦恩图，根据新定义运算即可求解； （2）根据新定义运算求解即可； （3）画出韦恩图，将适当划分，根据新定义即可证明. 【详解】（1）如图1.   . （2），， . （3）画出韦恩图，如图2，将划分成7个集合，，，    则 故不等式成立 当且仅当时，上式取等号. 等价于，等价于， 故当且仅当取等号. 故此时，如图3，集合，其中是确定的集合 是的子集，所以满足要求的集合的数量为个.    【点睛】关键点点睛：解题的关键在于理解新定义，只有理解了定义，方可顺利得解. 63．(24-25高一上·福建福州福建师范大学附属中学·期中)已知集合，其中，新定义1个性质G：若对任意的，必有，则称集合A具有性质G．由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素． (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； (2)集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ (3)试判断：集合A具有性质G是的什么条件（写出结论即可）． 【答案】(1)答案见解析 (2)4950 (3)充分不必要条件 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【详解】（1）由于，不符合定义故不具有性质； 集合具有性质，对应集合，； 集合不是整数集，所以不具有性质. （2）由题意可知集合A的元素构成有序数对，共有个， 因为，所以 又因为时，，所以时，， 所以集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为4950个， 故中元素的个数最多4950. （3）充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知. 若，则， ， 满足，而集合不具有性质. 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 64．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)设为非空数集，定义，. (1)若，求，； (2)已知，，若，求证：； (3)若，且，求的元素个数的最大值，并写出满足条件的一个集合. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1350， 【分析】（1）根据新定义和集合绝对值及集合的互异性直接求解即可； （2）由题意可得且，即可证明； （3）由新定义可得、，由题意和容斥原理得，最小的元素为0，最大的元素为，则，求出的范围，设且，求出的最小值即可. 【详解】（1）由， ，故 ， 故. （2）由于集合且， 所以中也只包含三个元素，即 剩下的，所以. （3）设满足题意，其中， ， 所以，，所以， 因为，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为， 所以，则，所以， 当时满足题意，证明如下： 设且，则， ， 依题意有，故的最小值为675， 于是当时A中元素最多，即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350. 【点睛】方法点睛：本题考查集合新定义问题，处理问题的关键是充分把握，再研究集合元素最多时元素个数. 65．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知非空数集A中最大元素为M，最小元素为m，定义集合A的差值，当集合A中只有一个元素时，规定. (1)若集合，集合，分别求，； (2)若，，（i，，2，3，4，），，求的最大值，并写出取最大值时的一组集合，，，； (3)若，，，…，是正整数集合的非空真子集，，，，…，的元素个数均不相同，且，当时，求n的最大值. 【答案】(1)； (2)详见解析 (3) 【分析】（1）对于集合，直接根据定义运算即可; 对于集合，易知，根据在单调递增，可判断，再根据定义运算即可. （2）因为，（i，，2，3，4，），，所以只有当且分布在4个集合中，分布在4个集合中，其他元素随机分布时，才会使得差值最大，从而总体有最大值.再代入定义式运算即可求解. （3）要使得的值最大，则每个集合的差值要尽量小，且，，，…，是元素个数均不相同的集合的非空真子集，所以，从而可得，再代入求解运算即可. 【详解】（1）由集合，知，，所以. 由集合， 易知，， 所以； 因为，易知当时为增函数， 所以，所以， 故. （2）因为，， （i，，2，3，4，），， 所以集合，，，中各有个元素，且完全不相同， 根据定义，若取得最大值， 则只需集合，，，中元素不同，且分布在4个集合中，分布在4个集合中，其他元素随机分布， 才会使得差值最大，从而总体有最大值， 所以的最大值为. 此时各集合的一种可能如下： ，，，. （3）设集合的元素个数为， 因为集合，，，…，的元素个数均不相同， 不妨设， 又是正整数集合的非空真子集，则， 所以， 所以. 当时，有，解得， 所以n的最大值为. 【点睛】思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题. 关于新定义试题的思路可以参考以下方法： （1）根据题意确定新定义所涉及的元素及元素相应的意义； （2）根据已知条件，将文字问题数学化； （3）对数学化的问题采取相应的知识进行解答. 66．(24-25高一上·福建泉州四校联考·期中)有限集中元素均为正整数，设中的元素.当，都存在，使得，则称中的元素是“完全可拆”；当，则称中的元素是“完全不可拆”. (1)判断集合且中的元素是“完全可拆”或“完全不可拆”，并说明理由； (2)若，且中的元素“完全可拆”，求的最小值； (3)若为奇数，且中的元素“完全不可拆”，求的最大值（用表示）. 【答案】(1)中的元素是“完全可拆”；中的元素是“完全不可拆” (2)9 (3) 【分析】（1）利用“完全可拆”定义将中除外的元素进行“分拆”可得；由“完全不可拆”定义证明集合中任意的两个不同元素之和都不是的元素即可得； （2）根据“完全可拆”定义得中元素，需满足条件，找到满足条件的含有个元素的集合，再证明时不满足条件； （3）先证明预备结论“对任意，若，则”，由此推得中元素最多个，再找到满足题意的含有个元素的集合即可. 【详解】（1）集合， 因为， 满足定义，所以中的元素是“完全可拆”； 集合且， 设任意，则，其中，且，， 则， 故中的元素是“完全不可拆”. （2）由题意，，则，， 又中的元素是“完全可拆”， 可知，都存在，使得， 则，（） 且，由中元素均为正整数，. 所以，，. ①当时，， 由， . 所以中的元素是“完全可拆”，此时，； ②下面证明，不符合题意. 若，即集合满足，且中的元素是“完全可拆”，. 由上已知，，. 故由，可知，故； 依此类推，可知. 因为， 若，则，故不可能. 若，则，则，所以； 若， 若，则，故不可能. 若，则，，所以， 同理，由，； 又因为为奇数，故也不成立，即不存在满足题意的. 故不存在这样的集合满足， 故. 同理依次可得，若，均不存在这样的集合，满足. 综上所述，的最小值为. （3）由题意，中的元素，则，. 中元素均为正整数，则，又为奇数，即. ①先证明：若集合中的元素“完全不可拆”，为奇数，则. 预备结论：集合中的元素“完全不可拆”，对任意， 若，则.下面用反证法证明该结论成立. 证明：假设， 因为为奇数，所以，即. 由中的元素是“完全不可拆”，则当， 因为，，且， 所以，这与矛盾. 故假设错误，所以若，则，得证. ①先证明：若集合中的元素“完全不可拆”，，则. 由上所证结论可知，将（为奇数，且）这个自然数分组： ， 前组数中每组至多1个是集合的元素， 又，故集合中至多个元素. 即若，则，得证. ②给出集合，即， 集合满足，且. 下面证明中的元素“完全不可拆”. 证明：，，且， 则， ，故中的元素“完全不可拆”. 综上所述，的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于探究集合中元素之间的关联，如第（2）问中探究相邻元素间的关系，，；再如第（3）问中探究每组中两元素的“排斥”规律，即任意，若，则. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$