专题01 函数8种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题01函数 目录 类型一、具体函数的定义域 类型二、抽象含数的定义域 类型三、复合函数的定义域 类型四、待定系数法求解析式 类型五、换元法求解析式 类型六、方程组法求解析式 类型七、分式型求值域 类型八、根式型 压轴专练 类型一、具体函数的定义域 求函数的定义域： 函数有意义的准则一般有： ①分式的分母不为0； ②偶次根式的被开方数非负； ③y＝x0要求x≠0； 例1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据代数式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】因为， 所以， 所以函数的定义域为， 故选：C． 变式1-1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解析式有意义列出不等式组求解即可. 【详解】要使函数有意义，则， 解得且， 故函数的定义域为， 故选：C 变式1-2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，将函数变形成，再结合二次函数值域求解. 【详解】函数中，，， 则 ， 而，因此， 所以函数的值域为. 故选：A 变式1-3．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分式不等式及偶次根式有意义，再结合函数定义域即可转化 为不等式恒成立问题，利用一元二次不等式的性质即可求解. 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立. 当时， 在上恒成立， 当时，则满足，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 类型二、抽象含数的定义域 （1）若已知函数的定义域为[a，b]，则复合函数的定义域由求出： ①函数的定义域为[a，b]是指中的的范围为： ②的定义域中g(x)的范围等同于中的的范围，即： ③根据求出的范围。（注意定义域都是指单个的取值范围） （2）若已知函数的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为在x∈[a，b]时的值域 ①函数f (g(x))的定义域为[a，b]是指f (g(x))中单个的范围，即： ②根据，求出的范围， ③的定义域是指中单个的范围，此的范围等同于中的范围， 例2、（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域． 【答案】（1）；（2） ． 【分析】根据抽象函数定义域的整体性代换求解即可. 【详解】（1）因为函数中的相当于函数中的， 所以，所以， 所以所以 的定义域为 （2）因为 的定义域为， 即，所以， 所以的定义域为 即所以， 所以的定义域为． 变式2-1．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用抽象函数定义域的确定方法，先确定的定义域，即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，则， 由，解得，所以函数的定义域为， 故选：D. 变式2-2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据抽象函数求定义域的方法求解即可. 【详解】由，得，所以的定义域为， 令，得，所以的定义域为， 故答案为：. 变式2-3．若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由函数满足得函数满足，解该不等式即可求解. 【详解】由题可知，对于函数满足，所以， 所以对于函数有，所以， 所以函数定义域为. 故答案为：. 类型三、复合函数的定义域 当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合. 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接. 例3．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】整体代入法求函数的定义域，再由有意义的条件，求定义域. 【详解】因为函数的定义域是，由，解得， 所以函数的定义域为. 要使有意义，则，解得， 所以的定义域是. 故选：. 变式3-1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义域的概念得到中的范围，再由分母有意义得到分母中的范围，取交集即可得到的定义域. 【详解】要使有意义，则解得，所以的定义域为 故选：C. 变式3-2．函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数定义域的性质，结合二次根式的性质，分母不为零的性质进行求解即可. 【详解】由函数的定义域为，可得 函数的定义域为，函数， 可得 解得， 所以函数定义域为． 故选：D． 变式3-3．若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据题意，得出不等式组，即可求得函数的定义域，得到答案. 【详解】由函数的定义域为，则函数有意义，则满足， 解得，即函数的定义域为. 故答案为：. 类型四、待定系数法求解析式 待定系数法 ：针对已知函数类型；如一次函数；二次函数 ①根据题意设出函数的解析式； ②根据条件求函数解析式 例4．已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】设（）， 对任意均有成立， 则， 即恒成立，则有，解得， 又，得， 所以． 变式4-1．设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式． 【答案】 【分析】根据题意设二次函数的解析式.由得 ； ，得；以及.即可得出解析式. 【详解】设 . 由，得 得；① 设的根为， 则， 所以② 又由已知得.③ 由①②③解得， 所以． 变式4-2．求下列函数的解析式 (1)已知函数是一次函数，满足，求； (2)已知是二次函数，且，，，求． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设，代入后利用恒等可求参数的值，从而得到解析式； （2）设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】（1）设，则 ， 所以，解得或， 所以或. （2）设， 根据题意得，解得 所以． 变式4-3．已知是一次函数．且．求函数的解析式． 【答案】 【分析】设函数解析式为，应用待定系数法计算求参即可求解. 【详解】设， 由，得， 即，所以且． 解得或， 当时，，故，所以， 当是，，无解， 综上，． 类型五、换元法求解析式 已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意换元必换范围 ①令根据，求出关于的表达式 ②根据求出的取值范围 ③将求出的关于的表达式代入的表达式中，求出的表达式，再换元为 例5．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得，表示出即可得到的解析式． 【详解】令，则，， 由， ∴， ∴． 故选：B． 变式5-1．已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【详解】令，则， ， 所以. 故选：D. 变式5-2．已知函数，则 ． 【答案】（且） 【分析】运用换元法求解即可. 【详解】由于，（且）， 则， 所以,且，所以（且）． 故答案为：（且）． 变式5-3．已知，求的解析式． 【答案】 【分析】先把函数进行化简，运用换元法令，将等式右边整理成关于的式子，再整体换元即得. 【详解】， 令，则， 所以， 即． 类型六、方程组法求解析式 方程组法：针对与或形成的表达式 ,一些比较复杂的形式，需要观察赋值，消元后求解析式。 例6．已知定义域为且的函数满足，求的解析式． 【答案】（且） 【分析】利用解方程组法，依次用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【详解】由题意知，① 用代换①式中的，得， 即，② 用代换①式中的，得， 即，③ 由①②③，得 则（且）． 变式6-1．设定义在上的函数满足，则的最小值是（    ） A．16 B．25 C．20 D．36 【答案】B 【分析】应用换元法求解析式，再结合基本不等式计算求解最小值即可. 【详解】对于，以代替，得， 则， 得，则， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值是25． 故选：B. 变式6-2．（多选）若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】运用解方程组求出解析式，再赋值计算即可. 【详解】令为代入计算，得到， 结合，两式联立解得. 对于A，令，则，则A正确； 对于B，令，则，则B正确； 对于C，令，则，令，则.，则C错误； 对于D，令，代入原已知式子，则，即，则D正确. 故选：ABD. 变式6-3．根据下列条件，求的解析式. (1)是一次函数，且满足； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用待定系数法确定函数解析式； （2）将原式中的x与互换，建立方程组，求解即可. 【详解】（1）由题意，设 因为， 所以， 即， 由恒等式性质，得， 解得， 则所求函数解析式为. （2）因为，将原式中的x与互换，得， 于是得关于的方程组：， 解得. 类型七、分式型求值域 ①形如：：分离常数法 ②形如：：换元法，令 ③形如：，综合运用换元法或分离常数法 例7．求函数，的值域. 【答案】 【分析】令， ，则，当时，得，当时，，令，由对勾函数的单调性进行求解. 【详解】令，因为，所以， 则， 当时，得， 当时，， 令，由对勾函数的单调性知， 函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 得或， 即，或， 得，或， 综上知，函数，的值域为： 变式7-1．求函数的值域. 【答案】 【分析】由判别式法求函数的值域. 【详解】由得， ，解得， 故函数的值域为：. 变式7-2．求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】选用分离常数法和反表示法即可求解； 【详解】（1）解法1：，因为，所以． 解法2：由于，则，故． （2）解法1：，因为，所以，故． 解法2：由于，则，因为，所以，解得，即． 类型八、根式型 形如：，换元法，令，从而化为一元二次函数求值域；注意换元必换范围 例8．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】解法1：利用换元法，转化为二次函数，利用二次函数的性质求解即可；解法2：利用函数的单调性求解. 【详解】解法1：设（），则， 原函数转化为（）， 因为二次函数图象的对称轴为，且抛物线开口向上， 所以在上单调递增， 所以， 所以函数的值域为． 解法2：函数的定义域为， 因为和在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以， 所以函数的值域为． 故答案为：. 变式8-1．求函数的值域． 【答案】 【分析】利用换元法将函数进行化简，然后根据二次函数的性质求值域即可. 【详解】令， 所以在单调递增， 所以． 所以函数的值域为. 变式8-2．求函数的值域． 【答案】 【分析】根据解析式求函数定义域，分类讨论不同区间上函数的单调性，并求出对应值域，即可得. 【详解】由，可得或，即定义域为， 当时，单调递增，， 当时，单调递减，， 所以. 变式8-3．求函数的值域． 【答案】 【分析】换元，令，则，由复合函数的单调性可得结果. 【详解】由，解得，所以函数的定义域为， 令，则，则， 由复合函数的单调性分析可得，函数在上单调递增， 当时，；当时，， 故值域为. 轴专练 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程，用表示，解得的范围，即为值域. 【详解】设，则， 两边同时平方得，即， 当时，不成立，所以，所以， 所以即整理得，即， 解得或， 故选：B． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的定义域以及分式中分母不为0和平方根式下大于0即可直接计算出结果. 【详解】因为函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 故选：D. 3．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【详解】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 4．函数的定义域是（    ） A．R B． C． D． 【答案】D 【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可. 【详解】根据题意，得到，解得且.故定义域是. 故选：D. 5．已知函数的定义域为，则函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数的定义域求法列不等式得到，然后解不等式即可. 【详解】中，令，则， 所以中， 解得或. 故选：D. 6．函数的定义域为，函数，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的定义域可得，即可根据分式以及根式的性质求解. 【详解】由于的定义域为，故， 因此的定义域满足，解得且， 故定义域为， 故选：C 7．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】令，换元得，再求二次函数的值域即可. 【详解】， 令，则， 得， 当时，取得最小值为， 则函数的值域为 故答案为： 8．函数在上的值域为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，按分类，结合基本不等式求出值域. 【详解】当时，； 当时，令，，则， ，当且仅当，即时取等号，此时， 所以所求值域为. 故答案为： 9．求函数的值域． 【答案】 【分析】首先确定函数的定义域，再由分类讨论不同区间上函数的单调性并求对应的值域，即可得. 【详解】由题设，函数的定义域为R， 当时，单调递增，则值域为， 当时，单调递增，则值域为， 综上，. 10．求函数的值域. 【答案】 【分析】令，则，利用函数的单调性求解． 【详解】令， ， 因为，由对勾函数的单调性知，所以， 则， 故函数的值域为： 11．求函数的值域. 【答案】 【分析】令，则，得，当时，得，当时，得，再利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以定义域为， 令，则， 得， 当时，得， 当时，得， 则， 得，或，等号成立时，分别对应和， 因为， 则，或， 得，或， 则，或， 综上知，函数的值域为： 12．已知函数的值域是，求实数m，n的值． 【答案】，或， 【分析】将函数的值域问题转化为一元二次方程有解问题进行求解即可. 【详解】由可得，，即， 此方程一定有解，则，即， 因为函数的值域是， 所以不等式的解集为， 所以和是方程的两根， 所以，解得或. 13．求下列函数的值域： (1)； (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分离常数法可得解； （2）换元，令，，，再由二次函数的性质即可得解； （3）根据分式函数的特点，因定义域为R，可将其化成关于的一元二次方程恒有实根的情况，通过根的判别式即可求得函数的值域. 【详解】（1）， 显然，所以， 故函数的值域为：. （2）设，则，且， 所以，， 结合函数的图象可得原函数的值域为. （3）因为恒成立，故， 则由可得，， 当时，，符合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 14．已知函数. (1)若，求函数在的值域； (2)若，求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过分离常数法可得，令，则.由对勾函数性质即可求解； （2）根据判别式法即可求解. 【详解】（1）若，则. 令，∵，∴，故. 由对勾函数性质可知，∴. ∴函数的值域为. （2）若，则函数. 因为恒成立，故， 则由可得， 当时，，符合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01函数 目录 类型一、具体函数的定义域 类型二、抽象含数的定义域 类型三、复合函数的定义域 类型四、待定系数法求解析式 类型五、换元法求解析式 类型六、方程组法求解析式 类型七、分式型求值域 类型八、根式型 压轴专练 类型一、具体函数的定义域 求函数的定义域： 函数有意义的准则一般有： ①分式的分母不为0； ②偶次根式的被开方数非负； ③y＝x0要求x≠0； 例1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 类型二、抽象含数的定义域 （1）若已知函数的定义域为[a，b]，则复合函数的定义域由求出： ①函数的定义域为[a，b]是指中的的范围为： ②的定义域中g(x)的范围等同于中的的范围，即： ③根据求出的范围。（注意定义域都是指单个的取值范围） （2）若已知函数的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为在x∈[a，b]时的值域 ①函数f (g(x))的定义域为[a，b]是指f (g(x))中单个的范围，即： ②根据，求出的范围， ③的定义域是指中单个的范围，此的范围等同于中的范围， 例2、（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域． 变式2-1．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 变式2-3．若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 类型三、复合函数的定义域 当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合. 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接. 例3．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 变式3-2．函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 类型四、待定系数法求解析式 待定系数法 ：针对已知函数类型；如一次函数；二次函数 ①根据题意设出函数的解析式； ②根据条件求函数解析式 例4．已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． 变式4-1．设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式． 变式4-2．求下列函数的解析式 (1)已知函数是一次函数，满足，求； (2)已知是二次函数，且，，，求． 变式4-3．已知是一次函数．且．求函数的解析式． 类型五、换元法求解析式 已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意换元必换范围 ①令根据，求出关于的表达式 ②根据求出的取值范围 ③将求出的关于的表达式代入的表达式中，求出的表达式，再换元为 例5．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 变式5-2．已知函数，则 ． 变式5-3．已知，求的解析式． 类型六、方程组法求解析式 方程组法：针对与或形成的表达式 ,一些比较复杂的形式，需要观察赋值，消元后求解析式。 例6．已知定义域为且的函数满足，求的解析式． 变式6-1．设定义在上的函数满足，则的最小值是（    ） A．16 B．25 C．20 D．36 变式6-2．（多选）若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 变式6-3．根据下列条件，求的解析式. (1)是一次函数，且满足； (2). 类型七、分式型求值域 ①形如：：分离常数法 ②形如：：换元法，令 ③形如：，综合运用换元法或分离常数法 例7．求函数，的值域. 变式7-1．求函数的值域. 变式7-2．求下列函数的值域： (1)； (2)． 类型八、根式型 形如：，换元法，令，从而化为一元二次函数求值域；注意换元必换范围 例8．函数的值域为 ． 变式8-1．求函数的值域． 变式8-2．求函数的值域． 变式8-3．求函数的值域． 轴专练 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域是（    ） A．R B． C． D． 5．已知函数的定义域为，则函数定义域为（    ） A． B． C． D． 6．函数的定义域为，函数，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．函数的值域为 ． 8．函数在上的值域为 . 9．求函数的值域． 10．求函数的值域. 11．求函数的值域. 12．已知函数的值域是，求实数m，n的值． 13．求下列函数的值域： (1)； (2) (3) 14．已知函数. (1)若，求函数在的值域； (2)若，求函数在上的值域. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$