专题03 分段函数的性质5种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题03分段函数的性质 目录 类型一、分段函数的值域或最值 类型二、，函数问题 类型三、根据分段函数的单调性求参数 类型四、分段函数的不等式问题 类型五、求分段函数的值 压轴专练 类型一、分段函数的值域或最值 （1）求分段函数的值域或最值：①求每一段的值域（最值）②将每段值域求并集（比较每段最值） （2）根据分段函数的值域求参数：分类讨论每段的值域 例1．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】; 【分析】根据时，，由值域为判断出，再求出时的范围，从而 ，解不等式即可. 【详解】当时，，因为值域为， 所以，即， 此时时，，即， 由值域为得：， 综上：， 故答案为：. 变式1-1．已知函数 若无最大值，则实数的一个取值为 ; 若存在最大值，则的取值范围是 . 【答案】 （答案不唯一，满足即可）； 【分析】由一次函数单调性以及值域问题可得即可；再对二次函数单调区间进行分类讨论解不等式即可得出结果. 【详解】易知当时，函数单调递减，此时不存在最大值， 因此只需满足即可，可取； 若存在最大值，则， 当时，此时的最大值为， 而单调递增，需满足，解得； 当时，此时的最大值为， 而单调递增，需满足，即； 综上可得，. 故答案为：（答案不唯一，满足即可）；； 变式1-2．已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为 . 【答案】3 【分析】根据给定的分段函数，分段探讨函数的取值，画出函数的图象，数形结合可得的范围，即可得解. 【详解】当时，， 则在上单调递减，此时， 当时，， 则函数在上单调递增，此时， 在上单调递减，此时， 当时，由，即，得， 当时，由，即，得， 画出函数的图象，如图， 若在区间上既有最大值，又有最小值， 得，因此， 则的最大值为3. 故答案为：3. 变式1-3． 已知函数若是的最小值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时探讨函数的最小值，再探讨当时，函数的取值范围，列式求解作答. 【详解】当时，若，即，有， 在上递减，在上递增， 则与是的最小值矛盾， 若，即，有在上递减， 所以，，则， 当时，函数， 当且仅当，即时等号成立， 因是的最小值，则有，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 类型二、，函数问题 图象法： 对与，可通过画出，的图象，找到图象的交点，并取出的图象，根据图象求解（类似） 例2、定义，若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【答案】 3 【分析】根据已知得，画出函数图象，数形结合求函数最大值，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以，作出的图象如图所示： 由图知：当时有最大值，所以， 当时，令，注意，解得或， 令，注意，解得， 当时，令，注意，解得， 令，注意，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 由上知，的最大值为. 故答案为：3， 变式2-1．（多选）对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （      ） A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 【答案】BC 【分析】根据题意作出的函数图像，利用图像即可判断ABD，先求，再利用图像即可解，进而判断C. 【详解】作出函数的图象， 如图： 对于A：由图象可得无最大值，无最小值，故A错误； 对于B：由图象可得，当时，的最大值为，故B正确; 对于C：由， 解得， 由图象可得，不等式的解集为， 故C正确; 对于D： 由图象可得，的单调递增区间为， 故D错误. 故选：BC. 变式2-2．定义其中表示中较大的数．对，设，函数，则：（1） ；（2）若，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数新定义分别判断计算可得，再由定义得出函数的解析式并判断出其单调性，解不等式可得结果. 【详解】当时，， 所以，， 所以； 因为，所以， 当时，解得， 当时，即，解得或； 所以当时，； 当时，，，可得， 当时，，，可得； 当时，，，可得； 可得， 因为在上单调递增，在上单调递增，且函数在处连续，因此在上单调递增， 要使，则，解得， 所以实数x的取值范围是 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数新定义得出函数的解析式，再由分段函数单调性解不等式可得结果. 变式2-3．记，分别表示函数在上的最大值和最小值．则 ． 【答案】2 【分析】根据题意，由，设为变量，可通过分类讨论求出，再求出当时的最小值；或由在时的最大值只可能在或或处取得，结合图象可得原式的最小值． 【详解】由，设为变量， ， 令，当时，，当时，，当时，， 最大值只可能在或或处取得， 所以的最大值为， 所以， 当时，原式的最小值为2． 或者由在时的最大值只可能在或 或处取得，令，当时，，当时，， 当时，，结合图象可得原式的最小值为2． 故答案为：2. 【点睛】关键点睛：读懂题意，分析，最大值只可能在或或处取得，所以的最大值为. 类型三、根据分段函数的单调性求参数 （1）已知 在上单调递减特别注意考虑分段点的大小比较 （2）已知 在上单调递增特别注意考虑分段点的大小比较 例3．设为非零实数，函数若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据可构造出是单调递减函数，然后根据分段函数的单调性求解参数范围即可. 【详解】不妨设，则对任意，， 都有，即成立， 从而函数在上是减函数， 故实数应满足解得， 故答案为：． 变式3-1．已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数单调性结合二次函数性质列式求解即可. 【详解】若函数在定义域上是减函数， 则,解得, 故选：B 变式3-2．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，是单调递减的，即有，解得；当时，函数是单调递减的，分界点处的值应满足，解得．综上，． 变式3-3．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数以及幂函数的单调性，结合分界点处两函数的单调性与整体保持一致列不等式求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以只需要 解得． 故选：D． 类型四、分段函数的不等式问题 ①图象法或单调性法：直接画出分段函数的图象（单调性），根据图象直接解不等式 ②分类讨论：将每段解析式代入不等式中解，求出解后求并集 ③借助单调性和奇偶性求解 例4．已知函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，根据分段函数的解析式，求出时，的取值范围，进而再分类讨论求出的范围即可. 【详解】令，则，原不等式化为， 当时，，解得，即； 当时，，解得，即， ①， 当时，，解得；当时，，无解， 因此， ②， 当时，，解得；当时，，解得， 因此或， 所以a的取值范围是：. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设，分类讨论求出t的范围是求解的关键. 变式4-1．设函数，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数，分情况求解不等式，结合一元二次不等式的解法，可得答案. 【详解】当时，由，可得，，解得，则； 当时，由，可得，解得，则. 综上所述，由，解得， 当时，由，可得，，解得，则； 当时，由，可得，显然成立，则； 当时，由，可得，，解得或，则. 综上所述，，解得. 故选：C. 变式4-2．已知函数.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论并结合解析式，列不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故选：A 变式4-3．已知函数，则满足的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分，，三种情况，结合函数单调性，得到不等式，求出取值范围. 【详解】当时，，， 故， 故，不成立； 当时，，，不成立， 当时，要使得， 有两种情况：第一种情况，，即， 此时由于在上单调递增， 只需，解得， 第二种情况，，即时， 只需，解得， 与取交集得， 综上，的取值范围是． 故答案为： 类型五、求分段函数的值 ①直接法：直接带入求解 ②借助周期求分段含数的值 例5．如果函数那么（  ） A．2020 B．2021 C．2023 D．2025 【答案】B 【分析】记，，根据的定义可求的周期，根据周期性求解即可. 【详解】记，， 根据可得， ， 而， ，， ， ， ， 所以的周期为5，取值分别为2023，2024，2020，2021，2022， . 故选：B 变式5-1已知函数，则（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，分别代入数值计算即可求解. 【详解】由题意， . 故选：B. 变式5-2．已知则方程的解集是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的性质讨论和时代入求解即可； 【详解】当时，，若，，此方程恒成立，故； 若，， 因为，，所以方程在时无解； 当时，，，即，解得， 所以方程的解集是. 故答案为：. 变式5-3．已知函数，则 ． 【答案】/-0.5 【分析】先计算内层函数的值，再将其作为自变量代入函数计算外层函数的值. 【详解】因为，所以将代入中，可得 因为，所以将代入中，可得. 故答案为:. 压轴专练 1．设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 【答案】D 【分析】依题意得，再根据分段函数求值即可. 【详解】令，解得，则 因此8，故． 故选：D. 2．已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别考虑函数在每一段上的单调性，结合端点函数值列出不等式求解即得. 【详解】当时，， 其对称轴为，依题意，，即，此时 当时，显然在上单调递减，且. 综上可得. 故选：A. 3．已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由区间，考虑函数的第二个分段和第三个分段，再根据单调区间分，和三种情况讨论． 【详解】由已知， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 当时，在上单调递增，即函数的最大值为，符合； 当时，在上单调递增，在上单调递减，即函数的最大值为，不符合； 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 此时的最大值为，则，即，解得． 综上所述，. 故选：D 4．设函数，使得的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况解不等式即可得解. 【详解】当时，，即显然恒成立，所以； 当时，，解得； 综上，的取值范围是． 故选：A. 5．Dirichlet函数是近代分析学的重要研究对象，在微积分中有着非常广泛应用．已知Dirichlet函数的定义为，若，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC，依次取，，即可逐一判断各个选项；对于D，分是无理数、有理数讨论即可判断. 【详解】若，当时，取，则，此时，A错误； 若，当时，取，则，此时，B错误； 若，当时，取，则，此时，C错误； 若，当时，，此时恒成立，即． 当时，，此时恒成立，即，故任意，均有，D正确． 故选：D. 6．设函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意有，作出函数的图象，利用图象得函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】因为 ，所以，， 则，即， 的函数图象如图所示：    由函数图象可知当时，且在上单调递减， 所以等价于，即， 解得，即. 故选：A. 7．已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对成立，可知函数在定义域内单调递减，结合分段函数单调性可列不等式，即可求解. 【详解】∵对任意的实数，都有成立，不妨设， ∴，，∴函数在上单调递减. 当时，单调递减，∴，解得； 当时，单调递减，∴，即； 又函数在上单调递减，∴，解得， 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：B. 8．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】当时， 若，则， 若，则， 函数的值域不可能为； 当时，， 在上单调递增， 在上单调递增，， 若函数的值域为，则，解得； 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：B. 9．（多选）表示不超过x的最大整数，已知函数，则下列结论正确的是（      ） A．的定义域为R； B．的值域为； C．是偶函数； D．的单调增区间为. 【答案】AD 【分析】对A，由解析式判断；对B，举反例说明；对 C，举反例说明；对D，因为，只需考虑的情况，判断单调性得解. 【详解】对于A，的定义域为R，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，，， 所以不是偶函数，故C错误； 对于D，当时，，表示的小数部分， 作出函数图象如图所示：    所以的单调递增区间为，故D正确. 故选：AD. 10．已知定义在上的函数则使得成立的整数的集合为 ． 【答案】 【分析】应用分段函数计算结合解为整数计算求解. 【详解】设，则由解得或． 当时，，即． 当时，，则或， 又因为为整数，所以为0，1，3，4. 综上所述，整数的取值集合为． 故答案为：． 11．设，则函数的最小值为 . 【答案】0 【分析】由，求出解集，确定函数解析式，即可判断； 【详解】令，解得， 当或，， 所以， . 故答案为：0 12．已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用函数是奇函数求出时，函数的解析式，并求出函数的单调性；利用单调递增及奇函数化简可得，分类讨论解不等式即可得解． 【详解】由为奇函数，得， 当时，，故， 故当时，，所以； 又当时，的开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递增，根据奇函数的性质可知函数在上单调递增， 故， 所以或， 解得或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数奇偶性的应用及分段函数不等式，解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式，结合奇偶性利用单调性求解. 13．已知函数，． (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)定义：对作出函数的图象，并求函数的解析式，写出的值域（不需要证明）． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，，的值域为 【分析】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线，作出相应图象. （2）令，分段讨论得出和，结合图象和已知条件讨论得出，作出函数图象，根据图象得出的值域. 【详解】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线. 所以图象如图所示． （2）令，即， 当时，，得； 当时，，得； 则当时，； 当时，； 当时，． 图象法表示的图象如图． 由图象可知，和时函数取得最大值，即， 所以的值域为． 14．已知函数. (1)当时，在同一直角坐标系中画出函数的图象； (2)，用表示中的较小者，记为.当时，求的解析式； (3)设，记的最小值为，求的最小值. 【答案】(1)图象见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用二次函数的图象性质作出的图象，从而得解； （2）利用（1）中的图象，结合函数新定义即可得解； （3）先得到的解析式，再分类讨论与两种情况，结合二次函数的性质得到的最小值情况，再分类讨论的取值情况即可得解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 又，所以的图象大致如图， （2）因为，， 结合（1）中图象，可知当时，， 当或时，， 所以，即. （3）因为， 所以， 当时，， 则的图象开口向上，对称轴为， 若，则在处取得最小值， 若，则在处取得最小值； 当时，， 则的图象开口向上，对称轴为， 若，则在处取得最小值， 若，则在处取得最小值； 综上，当时，， 又，所以， 此时在时取得最小值； 当时，，此时在时取得最小值； 当时，， 又，所以， 此时在时取得最小值； 综上，的最小值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03分段函数的性质 目录 类型一、分段函数的值域或最值 类型二、，函数问题 类型三、根据分段函数的单调性求参数 类型四、分段函数的不等式问题 类型五、求分段函数的值 压轴专练 类型一、分段函数的值域或最值 （1）求分段函数的值域或最值：①求每一段的值域（最值）②将每段值域求并集（比较每段最值） （2）根据分段函数的值域求参数：分类讨论每段的值域 例1．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 变式1-1．已知函数 若无最大值，则实数的一个取值为 ; 若存在最大值，则的取值范围是 . 变式1-2．已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为 . 变式1-3． 已知函数若是的最小值，则实数a的取值范围是 ． 类型二、，函数问题 图象法： 对与，可通过画出，的图象，找到图象的交点，并取出的图象，根据图象求解（类似） 例2、定义，若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 变式2-1．（多选）对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （      ） A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 变式2-2．定义其中表示中较大的数．对，设，函数，则：（1） ；（2）若，则实数x的取值范围是 ． 变式2-3．记，分别表示函数在上的最大值和最小值．则 ． 类型三、根据分段函数的单调性求参数 （1）已知 在上单调递减特别注意考虑分段点的大小比较 （2）已知 在上单调递增特别注意考虑分段点的大小比较 例3．设为非零实数，函数若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为 ． 变式3-1．已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3-3．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型四、分段函数的不等式问题 ①图象法或单调性法：直接画出分段函数的图象（单调性），根据图象直接解不等式 ②分类讨论：将每段解析式代入不等式中解，求出解后求并集 ③借助单调性和奇偶性求解 例4．已知函数，若，则的取值范围是 . 变式4-1．设函数，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式4-2．已知函数.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式4-3．已知函数，则满足的的取值范围是 ． 类型五、求分段函数的值 ①直接法：直接带入求解 ②借助周期求分段含数的值 例5．如果函数那么（  ） A．2020 B．2021 C．2023 D．2025 变式5-1已知函数，则（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 变式5-2．已知则方程的解集是 . 变式5-3．已知函数，则 ． 压轴专练 1．设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 2．已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设函数，使得的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．Dirichlet函数是近代分析学的重要研究对象，在微积分中有着非常广泛应用．已知Dirichlet函数的定义为，若，则可以是（    ） A． B． C． D． 6．设函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 9．（多选）表示不超过x的最大整数，已知函数，则下列结论正确的是（      ） A．的定义域为R； B．的值域为； C．是偶函数； D．的单调增区间为. 10．已知定义在上的函数则使得成立的整数的集合为 ． 11．设，则函数的最小值为 . 12．已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 13．已知函数，． (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)定义：对作出函数的图象，并求函数的解析式，写出的值域（不需要证明）． 14．已知函数. (1)当时，在同一直角坐标系中画出函数的图象； (2)，用表示中的较小者，记为.当时，求的解析式； (3)设，记的最小值为，求的最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$