14.3 导学案 2025-2026学年人教版（2024）初中数学八年级上册

14.1　全等三角形及其性质 素养目标 1.认识全等形和全等三角形. 2.掌握全等三角形的定义和符号表示,能找出全等三角形中对应的元素. 3.知道全等三角形的性质,并能用其进行简单的推理和计算. 全等三角形的性质、用全等三角形的性质进行简单的推理和计算. 【自主预习】 1.满足什么条件的两个图形是全等形? 2.满足什么条件的两个三角形全等? 3.全等三角形的对应边和对应角有什么数量关系? 1.下列各组给出的两个图形中,是全等形的是 ( ) A. B. C. D. 2.如图,△ACE≌△DBF,点A,B,C,D在同一条直线上,AB=3,BC=2,则AD的长为 ( ) A.2 B.8 C.9 D.10 3.如图,已知△ABC≌△EDC,则下列结论正确的是 ( ) A.CB=CE B.∠A=∠D C.AC=CD D.∠E=∠A 【合作探究】 知识点一：全等形的概念 　　阅读课本本课时前两段的内容,解答下列问题. 1.概念:能够 的两个图形叫作全等形.  2.把一个图形平移、翻折、旋转后,什么发生了变化?什么没有变化? 下列各选项中的两个图形属于全等形的是( ) A.　　　B.　　　C.　　　D. 知识点二：全等三角形的概念 　　阅读课本本课时第二个“思考”及前一段的内容,解答下列问题. 1.定义:能够完全 的两个三角形叫作全等三角形.  2.全等三角形的对应元素:两个三角形重合时,重合的顶点叫作 ,重合的边叫作 ,重合的角叫作 .  3.全等三角形的表示方法: (1)“全等”用符号“ ”表示,读作“ ”.  (2)记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的 写在对应的位置上.  下列说法正确的是 ( ) A.能够完全重合的两个三角形全等　　　 B.两个等边三角形全等 C.大小相同的两个三角形全等　　　　　　　 D.面积相等的两个三角形全等 知识点三：全等三角形的性质 　　阅读课本本课时第二个“思考”及“例”的内容,解答下列问题. 全等三角形 对应边 对应角 数量关系 如图,△ABC≌△DEF AB= AC= BC= ∠A=∠ ∠B=∠ ∠C=∠ 　　全等三角形的对应边　　　　,全等三角形的对应角　　　　.  已知图中的两个三角形全等,则∠α的度数为 ( ) A.50° B.60° C.70° D.80° 题型 全等三角形性质的应用 例　如图,A,D,E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE. (1)猜想BD,DE,CE之间的数量关系,并说明理由. (2)猜想△ABD满足什么条件时,BD∥CE,并说明理由. 变式训练 如图,△ABC≌△DEB,点E在边AB上,边DE与边AC相交于点F. (1)若DE=10,BC=4,求AE的长. (2)若∠D=20°,∠C=60°,求∠DBC和∠DFC的度数. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.解:能够完全重合的两个图形是全等形. 2.解:能够完全重合的两个三角形全等. 3.解:全等三角形的对应边相等,对应角相等. 自学检测 1.C　2.B　3.D 【合作探究】 知识生成 知识点一 揭示概念 1.完全重合 2.解:位置变化了,形状、大小都没有变. 对点训练 A 知识点二 1.重合　2.对应顶点　对应边　对应角 3.(1)≌　全等于　(2)字母 对点训练 A 知识点三 相等　相等　DE　DF　EF　D　E　F 归纳总结 相等　相等 对点训练 C 题型精讲 例 解:(1)BD=DE+CE. 理由:∵△BAD≌△ACE, ∴BD=AE,AD=CE, ∴BD=AE=AD+DE=CE+DE, 即BD=DE+CE. (2)△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE. 理由:∵△BAD≌△ACE, ∴∠E=∠ADB=90°(添加的条件是∠ADB=90°), ∴∠BDE=180°-90°=90°=∠E, ∴BD∥CE. 变式训练 解:(1)∵△ABC≌△DEB,BC=4,DE=10, ∴AB=DE=10,BE=BC=4, ∴AE=AB-BE=10-4=6. (2)∵△ABC≌△DEB,∠D=20°,∠C=60°, ∴∠DBA=∠C=60°,∠A=∠D=20°, ∴∠ABC=180°-∠C-∠A=180°-60°-20°=100°, ∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=100°-60°=40°. ∵∠C+∠DBC=∠D+∠DFC, ∴∠DFC=∠C+∠DBC-∠D=60°+40°-20°=80°. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.2　第5课时　直角三角形全等的判定:斜边、直角边(HL) 素养目标 1.经历探索判定直角三角形全等的方法的过程,理解“斜边、直角边”. 2.会应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等. 3.树立探索、发现隐含条件的意识. 应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等. 【自主预习】 我们知道已知两边及一边的对角分别相等,不能判定两个三角形全等,那么当一边的对角是直角时,即斜边和一直角边分别相等,能确定两个直角三角形全等吗? 如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,要使△ABD≌△ACD,且根据“HL”判定,还需添加的条件是　　　　.  【合作探究】 知识点：用“HL”判定直角三角形全等 　　阅读课本本课时全部内容,解答下列问题. 和一条 分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“ ”或“ ”).  1.判定两个直角三角形全等的方法不正确的是 ( ) A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等 2.如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC,判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是 ( ) A.AAS　　B.SAS　　C.ASA　　D.HL 3.如图,BD,CE都是△ABC的高,且BE=CD,求证:△BEC≌△CDB. 题型1 添加条件后“斜边、直角边”证明直角三角形全等 例1　如图,∠C,∠D是直角,添加一个条件使得△ABC≌△ABD,并根据你添加的条件给出证明. 【方法归纳交流】(1)“HL”是判定 三角形全等的特殊方法,只对 三角形适用,在证明直角三角形全等时,先考虑运用“ ”,再考虑其他方法.  (2)运用“HL”的前提条件是在 三角形中,且必须是 、 边分别相等.  变式训练　如图,已知点A,B,C,D在同一条直线上,EA⊥AB,FD⊥AD,AB=CD,若用“HL”证明Rt△AEC≌△Rt△DFB,请添加一个条件,并写出你的证明过程. 题型2 “斜边、直角边”证明直角三角形全等与全等三角形性质的综合应用 例2　如图,AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点F,且有BF=AC,FD=CD.求证:BE⊥AC. 变式训练　如图,已知AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足.求证:CF=DF. 题型3 其他判定方法证明直角三角形全等 例3　如图,E是正方形ABCD的边DC上一点,过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F.求证:BF=DE. 【方法归纳交流】因为直角三角形是特殊的三角形,所以不仅可以用一般三角形判定全等的方法: , , , ,还能用直角三角形特殊的判定方法: .  变式训练　如图,AD∥BC,∠BAD=90°,以点B为圆心,BC的长为半径画弧,与射线AD相交于点E,连接BE,过点C作CF⊥BE,垂足为F. 不添加辅助线找出图中与BF相等的线段,然后再加以证明. (1)结论:BF=　　　　.  (2)请写出(1)中结论的证明过程. 参考答案 【自主预习】 预学思考 解:能. 自学检测 AB=AC 【合作探究】 知识点 斜边　直角边　斜边、直角边　HL 对点训练 1.D　2.D 3.证明:∵BD,CE分别是△ABC的高, ∴∠BEC=∠CDB=90°. 在Rt△BEC和Rt△CDB中, ∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL). 题型精讲 题型1 例1 解:添加的条件①AC=AD或②BC=BD. ①证明:在Rt△ABC和Rt△ABD中, ∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL). ②证明:在Rt△ABC与Rt△ABD中, ∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL). 方法归纳交流 (1)直角　直角　HL　(2)直角　斜边　直角 变式训练 解:条件是EC=BF. 证明:∵AB=CD, ∴AB+BC=CD+BC, ∴AC=BD. ∵EA⊥AB,FD⊥AD, ∴∠A=∠D=90°. 在Rt△AEC和Rt△DFB中, ∴Rt△AEC≌Rt△DFB(HL). 题型2 例2 证明:在Rt△ACD和Rt△BFD中, ∴Rt△ACD≌Rt△BFD(HL), ∴∠CAD=∠FBD. ∵∠FBD+∠BFD=90°,∠BFD=∠AFE, ∴∠CAD+∠AFE=90°, ∴∠AEF=90°, ∴BE⊥AC. 变式训练 证明:如图,连接AC,AD. 在△ABC和△AED中, ∴△ABC≌△AED(SAS), ∴AC=AD. 又∵AF⊥CD,∴∠AFC=∠AFD=90°, 在Rt△ACF和Rt△ADF中, ∴Rt△ACF≌Rt△ADF(HL), ∴CF=FD. 题型3 例3 证明:∵FA⊥AE,∴∠FAB+∠EAB=90°. 又∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAD=90°, ∴∠EAB+∠DAE=90°,∴∠FAB=∠EAD. 又∵四边形ABCD为正方形,∴∠ADE=∠ABC=∠FBA=90°,且AB=AD, ∴△ABF≌△ADE(ASA), ∴BF=DE. 方法归纳交流　SAS　ASA　AAS　SSS　HL 变式训练 解:(1)AE. (2)证明:根据题意,以点B为圆心,BC的长为半径画弧,与射线AD相交于点E, ∴BE=BC. ∵CF⊥BE,∴∠CFB=90°. 又∵∠BAD=90°, ∴∠BAD=∠CFB=90°. ∵AD∥BC,∴∠AEB=∠FBC. 在△ABE和△FCB中, ∴△ABE≌△FCB(AAS), ∴AE=BF. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.3　第2课时　角的平分线的判定 素养目标 　　1.会叙述角的平分线的判定方法,并能应用这个判定方法解决一些简单的问题. 2.通过画图、文字及符号的翻译活动,增强概括归纳的能力. 正确运用角的平分线的判定方法. 【自主预习】 角的内部到角的两边的距离相等的点一定在什么线上? 1.如图,P是△ABC内一点,PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,若PD=PE,则 ( ) A.点P在∠A的平分线上 B.点P在∠B的平分线上 C.点P在∠C的平分线上 D.点P是∠A,∠B,∠C平分线的交点 2.如图,∠AOB=50°,CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E,且CD=CE,则∠DOC= °.  【合作探究】 知识点：角的平分线的判定 　　阅读课本本课时的全部内容,解答下列问题. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的 上.  【温馨提示】在应用角的平分线的判定方法时,一定要注意“距离”是点到直线的垂线段的长度. 1.人们常用两个全等的三角尺平分一个任意角, 做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,使这两个三角尺的一直角边分别与OA,OB重合,移动三角尺使两个直角顶点分别与M,N重合,三角尺的另两条直角边相交于点C,作射线OC,可证得△MOC≌△NOC,从而得OC平分∠AOB.在上述过程中,判定两个三角形全等的方法是 ( ) A.HL B.ASA C.SAS D.SSS 2.如图,已知BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点D.若BD=CD,求证:AD平分∠BAC. 题型1 角的平分线判定的实际运用 例1　(真情境)如图,点O为码头,OM,ON为海岸线,A,B两个灯塔与码头的距离相等.一艘轮船从码头开出,计划沿∠MON的平分线航行,航行途中,某时刻测得轮船所在的位置C与灯塔A,B的距离相等,问此时轮船是否偏离航线?请说明理由. 【方法归纳交流】这个题目能不能用角的平分线的判定方法直接判定?如果不能,为什么? 变式训练　(真情境)如图,有三条公路l1,l2,l3两两相交,要选择一地点建一座加油站,使加油站到三条公路的距离相等,这样的位置有 ( ) A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 题型2 角的平分线的性质与判定的综合运用 例2　如图,在△ABC中,∠ACB的平分线CP与∠ABC的平分线BP相交于点P,连接AP. (1)求证:AP平分∠CAB. (2)若△ABC的周长为22,面积为,求点P到AB的距离. 变式训练　如图,点D在边BC的延长线上,∠ACE=α,∠ABC的平分线交AD于点E,过点E作EH⊥BD于点H,且∠CEH=90°-α. (1)求证:AE平分∠CAF. (2)若AB=8,CD=10,AC=6,且S△ABE=16,求△ACD的面积. 参考答案 【自主预习】 预学思考 解:在角的平分线上. 自学检测 1.B 2.25 【合作探究】 知识生成 知识点 平分线 对点训练 1.A　 2.证明:在△BDF和△CDE中, ∴△BDF≌△CDE(AAS), ∴DF=DE. ∵DF⊥AB,DE⊥AC, ∴点D在∠BAC的平分线上,即AD平分∠BAC. 题型精讲 题型1 例1 解:此时轮船没有偏离航线. 理由:连接OC(图略). 由题意得OA=OB,AC=BC. 在△AOC和△BOC中, ∴△AOC≌△BOC(SSS), ∴∠AOC=∠BOC, ∴OC平分∠MON, ∴此时轮船没有偏离航线. 方法归纳交流　解:不能.AC,BC不是点C到角两边的距离,所以不能直接利用角的平分线判定方法来直接判定. 变式训练 D 题型2 例2 解:(1)证明:如图,过点P作PD⊥AB于点D,作PE⊥BC于点E,作PF⊥AC于点F,则PD,PE,PF分别是P到AB,BC,CA的距离. ∵CP平分∠ACB,BP平分∠ABC, ∴PE=PF,PD=PE, ∴PF=PD, ∴AP平分∠CAB. (2)∵△ABC的周长为22, ∴AB+AC+BC=22. ∵△ABC的面积为, ∴S△ABC=S△APB+S△BPC+S△CPA=, ∴AB·PD+BC·PE+CA·PF=. 由(1)得PE=PF=PD, ∴(AB+BC+CA)·PD=, ∴×22×PD=, 解得PD=, 即点P到AB的距离为. 变式训练 解:(1)证明:如图,过点E作EM⊥BF于点M,EN⊥AC与点N. ∵BE平分∠ABC, ∴EM=EH. ∵∠ACE=α,∠CEH=90°-α,EH⊥BD, ∴∠HCE=90°-∠CEH=α=∠ACE, ∴CE平分∠ACD,∴EN=EH,∴EM=EN, ∴AE平分∠CAF. (2)∵AB=8,CD=10,AC=6,且S△ABE=16, ∴16=S△ABE=AB·EM=×8×EM,∴EM=4, ∴EN=EH=EM=4, ∴S△ACD=S△ACE+S△CED=AC·EN+CD·EH =×6×4+×10×4=32, ∴△ACD的面积为32. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.2 第2课时 三角形全等的判定：角边角(ASA)和角角边(AAS) 素养目标 1.经历探索三角形全等的判定方法“ASA”“AAS”的过程. 2.应用“AAS”“ASA”判定两个三角形全等. 3.能根据题目中的已知条件,选择不同的判定方法判定两个三角形全等. 利用“ASA”“AAS”判定两个三角形全等. 【自主预习】 1.两个三角形的两角和它们的夹边满足怎样的数量关系,这两个三角形就会全等? 2.两个三角形的两角和一角的对边满足怎样的数量关系,这两个三角形就会全等? 1.如图,∠CAD=∠BAD,若依据“ASA”证明 △ACD≌△ABD,则需添加的一个条件是( ) A.∠CDE=∠CAB B.∠ADC=∠ADB C.AC=AB D.∠CDB=2∠CAB 2.如图,AD,BC相交于点O,已知∠A=∠C,要根据“AAS”证明△AOB≌△COD,还要添加的一个条件是　　　　.  【合作探究】 知识点一：全等三角形的判定方法2“角边角” 　　阅读课本本课时“探究3”至“例2”的内容,解答下列问题. 　　两角和它们的夹边分别相等的两个三角形 ,简写为“ ”或“ ”.  1.如图,点B,F,C,E在同一直线上,AB=DE,∠B=∠E,要运用“ASA”判定△ABC≌△DEF,还需补充一个条件,可以是 ( ) A.BF=EC B.AC=FE C.∠A=∠DFE D.∠A=∠D 2.如图,已知BD平分∠ABC,运用“ASA”判定△ABD≌△CBD,还需要添加的一个条件是　　　　.  知识点二：全等三角形的判定方法3“角角边” 　　阅读课本本课时“思考”至“练习”之前的内容,解答下列问题. 1.如图,在△ABC和△A'B'C'中,若∠A=∠A',∠B=∠B',BC=B'C',则∠C和∠C'有什么数量关系?请判断并说明理由. 2.上题中的△ABC和△A'B'C'全等吗?若全等,写出你的证明过程. 　　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形 ,简写为“ ”或“ ”.  【讨论】如果两个三角形的三个角对应相等,那么这两个三角形全等吗?如果两个三角形有两个角和一边分别相等,那么这两个三角形一定全等吗?为什么? 如图,在△ABC中,∠C=2∠B,AD是△ABC的角平分线,∠EDB=∠B. 求证:AC=AE. 题型1 “角边角”“角角边”与全等三角形性质的综合应用 例1　如图,在△ABC中,E是AB上一点,AC与DE相交于点F,F是AC的中点,AB∥CD. (1)求证:△AEF≌△CDF. (2)若AB=8,CD=5,求BE的长. 题型2 “角边角”“角角边”与全等三角形性质的实际应用 例2　(跨学科)小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后,对其作了进一步的探究:如图1,在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动,如图2,OA表示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠近小球时,小球从OA摆到OB位置,此时过点B作BD⊥OA于点D,当小球摆到OC位置时,OB与OC恰好垂直(图2中的A,B,O,C在同一平面上),过点C作CE⊥OA于点E,测得CE= 15 cm,AD=2 cm. (1)求证:OE=BD. (2)求OB的长. 　图1　　　　　图2 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.解:两个三角形的两角和它们的夹边分别相等,这两个三角形就会全等. 2.解:两个三角形的两角和一角的对边分别相等,这两个三角形就会全等. 自学检测 1.B　2.AB=CD或OB=OD 【合作探究】 知识生成 知识点一 全等　角边角　ASA 对点训练 1.D　2.∠ADB=∠CDB 知识点二 1.解:∠C=∠C'. 理由:∵∠A=∠A',∠B=∠B', ∴180°-∠A-∠B=180°-∠A'-∠B', ∴∠C=∠C'. 2.解:△ABC≌△A'B'C'. 证明:∵∠A=∠A',∠B=∠B', ∴180°-∠A-∠B=180°-∠A'-∠B', ∴∠C=∠C'. 在△ABC和△A'B'C'中, ∴△ABC≌△A'B'C'(ASA). 归纳总结　全等　角角边　AAS 讨论　不一定全等;一定全等;原因略. 对点训练 证明:∵∠EDB=∠B, ∴∠AED=2∠B. ∵∠C=2∠B,∴∠C=∠AED. ∵AD平分∠BAC, ∴∠CAD=∠EAD. 在△ACD和△AED中, ∴△ACD≌△AED(AAS), ∴AC=AE. 题型精讲 题型1 例1 解:(1)证明:∵F是AC的中点,AB∥CD, ∴AF=CF,∠A=∠DCF, 在△AEF和△CDF中, ∴△AEF≌△CDF(ASA). (2)由(1)得△AEF≌△CDF,∴AE=CD. ∵AB=8,CD=5, ∴BE=AB-AE=AB-CD=8-5=3. 题型2 例2 解:(1)证明:∵OB⊥OC, ∴∠BOD+∠COE=90°. 又∵CE⊥OA,BD⊥OA, ∴∠CEO=∠ODB=90°, ∴∠BOD+∠B=90°, ∴∠COE=∠B. 在△COE和△OBD中, ∴△COE≌△OBD(AAS), ∴OE=BD. (2)∵△COE≌△OBD, ∴CE=OD=15 cm. ∵AD=2 cm, ∴OB=OA=OD+AD=17 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.2　第4课时　三角形全等的判定与尺规作图 素养目标 1.已知一个角,会用直尺和圆规作一个与它相等的角. 2.会用直尺和圆规过直线外一点作该直线的平行线. 3.已知两边及其夹角,会用直尺和圆规作三角形. 用直尺和圆规作一个角等于已知角. 【自主预习】 1.用直尺和圆规作一个角等于已知角,其依据是什么? 2.用直尺和圆规过直线外一点作已知直线的平行线,考虑平行线的判定定理,将问题转化为作同位角或内错角　　　,进一步转化为作一个角等于已知角的问题.  1.如图,用直尺和圆规作一个角等于已知角,能得出的依据是 ( ) A.SAS B.SSS C.AAS D.ASA 2.如图1,要过直线AB外一点P作直线AB的平行线,用尺规作图的方法作出如图2所示的图形,则图2的作法中判定两直线平行的依据是　　　　　　　　.  【合作探究】 知识点一：作一个角等于已知角 　　阅读课本本课时“思考”的内容,解答下列问题. 1.如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧交OA于点C,交OB于点D,则△OCD的三条边是否都固定为一个常数? 2.如图,要作△O'C'D'与△OCD全等,应怎样作?类比上一节课的已知三边作三角形,你有什么发现? 3.如图,作出△O'C'D'之后,则∠A'O'B'与∠AOB有怎样的数量关系? 　　作一个角等于已知角的数学依据是全等三角形判定中的　　　　,与已知三边作三角形的数学依据　　　　.  知识点二：过直线外一点作直线的平行线 　　阅读课本本课时“例4”的内容,解答下列问题. 如图1,已知直线AB及直线外一点C,利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD. 图1 1.如图2,过点C任意画一条直线EF,此时∠FEB的大小确定吗? 图2 2.由同位角相等,两直线平行可知,要作∠FCD=∠FEB,应怎样作?并在图2中作出直线CD. 知识点三：已知两边及其夹角作三角形 　　阅读课本本课时“例5”的内容,解答下列问题. 如图,已知线段a,b和∠α,求作△ABC,使得AB=a,AC=b,∠A=∠α. 1.要作满足条件的△ABC,应怎样作? 2.按作图步骤作出的三角形△ABC是否唯一?依据是什么? 　　已知两边及其夹角作三角形,应先作三角形的一个角等于　　　　,再在角的两边分别截取线段长度等于　　　　.  题型 尺规作图综合问题 例　如图,在△ABC中,AD是△ABC的角平分线. (1)在AC上求作一点E,连接DE,使△ABD≌△AED(不要求写作法,保留作图痕迹);根据三角形全等的有关知识,作图依据是　　　　.(提示:填“SSS”“SAS”“ASA”或“AAS”)  (2)在(1)的条件下,求证:∠AED=∠ABD. (3)在(1)的条件下,若AB=9,△CDE的周长为15,求△ABC的周长. 变式训练　如图,在△ABC中,延长BC至点D,请用尺规作图法作射线CE,使得CE∥AB,且点E在BD的上方.(保留作图痕迹,不写作法) 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.解:用尺规作一个角等于已知角,其依据是全等三角形的判定“SSS”. 2.相等 自学检测 1.B　 2.同位角相等,两直线平行 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.是.　 2.可用圆规截取△OCD的三边长;步骤基本相同.　 3.∠A'O'B'=∠AOB. 归纳总结 SSS　相同 知识点二 1.确定. 2.作法与作一个角等于已知角相同;作图略. 知识点三 1.先用直尺和圆规作∠DAE=∠α,再用圆规分别在∠DAE的两边上截取AB=a,AC=b. 2.是唯一的;依据是全等三角形的判定SAS. 归纳总结 已知角　已知两边的长度 题型精讲 题型 例 解:(1)(作法及依据不唯一,但要对应)作图如图所示: SAS. (2)证明:∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠BAD=∠DAE. 在△ABD和△AED中, ∴△ABD≌△AED(SAS), ∴∠AED=∠ABD. (3)∵△ADE≌△ADB, ∴AE=AB=9,BD=DE, ∴△ABC的周长为AB+BC+AC =AB+BD+DC+CE+AE =AB+(DE+DC+CE)+AE =9+15+9=33. 变式训练 解:如图,CE即所求. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.2　第1课时　三角形全等的判定:边角边(SAS) 素养目标 1.经历三角形全等的判定方法“边角边”的探索过程. 2.知道不能用“边边角”来判定两个三角形全等. 3.会应用“边角边”判定两个三角形全等,并能进行简单的推理和证明. 会运用“边角边”判定两个三角形全等. 【自主预习】 两个三角形的两边和它们的夹角满足怎样的数量关系,这两个三角形就会全等? 1.如图,在△ABC中,∠1=∠2,若要根据“SAS”判断△ABD≌△ACD,还要添加条件 ( ) A.AB=BC B.AB=AC C.BC=CD D.∠B=∠BAC 2.如图,已知∠ACB=∠CAD,若以“SAS”判定△ABC≌△CDA,需添加的条件是　　　　.  【合作探究】 知识点：全等三角形的判定方法1“边角边” 　　阅读课本本课时所有的内容,解答下列问题. 和它们的 分别相等的两个三角形全等(简写:“ ”或“ ”).  【讨论】阅读课本练习前的“思考”,根据下面的条件画图:两条边分别为2.5 cm,3.5 cm,长度为2.5 cm的边所对的角为40°,剪下你画出的三角形,与其他同学剪的三角形进行比较,这些三角形一定能重合吗?由此你发现了什么? 1.如图,∠1=∠2,要利用“SAS”证明△ABD≌△ACD,需添加的条件是　　　　.  2.在下列推理中,填写需要补充的条件,使结论成立. (1)如图1,AB=DC,BE=CF,只需补充∠ =∠ ,就可以证明△ABE≌△DCF(SAS).  (2)如图2,AC,BD相交于点O,只要补充 = 和 = ,就可以证明△ADO≌△BCO(SAS).  题型1 用“边角边”判定两个三角形全等 例1　如图,点A,B,D在同一条直线上,AB=ED,BC=DB,且∠CBE=∠E.求证:△ABC≌△EDB. 题型2 “边角边”与全等三角形性质的综合应用 例2　如图,AB⊥BD,DE⊥BD,AB=CD,BC=DE,试猜想线段AC与CE的数量与位置关系,并证明你的结论. 变式训练　如图,AE=AC,AD=AB,∠EAC=∠DAB,且点C在DE上. 求证:(1)△EAD≌△CAB. (2)∠DCB=∠BAD. 题型3 “边角边”与全等三角形性质的实际应用 例3　(真情境)某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳,图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长度相等,O是AB,CD的中点,为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35 cm.由以上信息,请求出BC的长度. 变式训练　如图,公园有一条“Z”字形道路AB-BC-CD,其中AB∥CD,在点E,M,F处各有一个小石凳,且BE=CF,M为BC的中点,连接EM,MF,石凳M与石凳E,F的距离ME,MF是否相等?请判断并说明理由. 参考答案 【自主预习】 预学思考 解:两个三角形的两边和它们的夹角分别相等,这两个三角形就会全等. 自学检测 1.B　2.BC=DA 【合作探究】 知识点 归纳总结　两边　夹角　边角边　SAS 讨论　解:不一定重合.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 对点训练 1.CD=BD 2.(1)B　C　(2)AO　BO　DO　CO 题型精讲 题型1 例1 证明:∵∠CBE=∠E, ∴BC∥DE. ∵点A,B,D在同一直线上, ∴∠ABC=∠D. 在△ABC和△EDB中, ∴△ABC≌△EDB(SAS). 题型2 例2 解:AC=CE,AC⊥CE. 证明:∵AB⊥BD,DE⊥BD,∴∠B=∠D=90°. 在△ABC和△CDE中, ∴△ABC≌△CDE(SAS), ∴AC=CE,∠A=∠ECD. 又∵∠A+∠ACB=90°, ∴∠ECD+∠ACB=90°, ∴∠ACE=90°, ∴AC⊥CE. 变式训练 证明:(1)∵∠EAC=∠DAB, ∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD,即∠EAD=∠CAB. 在△EAD和△CAB中, , ∴△EAD≌△CAB(SAS). (2)∵△EAD≌△CAB,∴∠D=∠B. ∵∠DCB+∠D=∠BAD+∠B, ∴∠DCB=∠BAD. 题型3 例3 解:∵O是AB,CD的中点, ∴OA=OB,OC=OD. 在△AOD和△BOC中, ∴△AOD≌△BOC(SAS), ∴BC=AD. ∵AD=35 cm,∴BC=35 cm. 答:BC的长度为35 cm. 变式训练 解:石凳M与石凳E,F的距离ME,MF相等. 理由:∵AB∥CD,∴∠B=∠C. ∵M为BC的中点,∴BM=CM. 在△BEM和△CFM中, , ∴△BEM≌△CFM(SAS), ∴ME=MF, ∴石凳M与石凳E,F的距离ME,MF相等. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.2　第3课时　三角形全等的判定:边边边(SSS) 素养目标 1.通过画图或测量的方法认识到利用三边分别相等可以判定两个三角形全等. 2.会利用“边边边”证明两个三角形全等. 3.已知三边会用尺规作图法作三角形. 运用“边边边”判定两个三角形全等. 【自主预习】 1.两个三角形的三边满足怎样的数量关系,这两个三角形就会全等? 2.已知三边作三角形的依据是什么? 如图,已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上,利用“SSS”判断△ABC≌△FDE,还要添加一个条件,这个条件可以是　　　　(只需填写一个即可).  【合作探究】 知识点一：全等三角形的判定方法4“边边边” 　　阅读课本本课时“探究4”的内容,解答下列问题. 在△ABC和△A'B'C'中,满足AB=A'B',AC=A'C',BC=B'C',这两个三角形　　　　.  　　三边分别相等的两个三角形全等(简写:“ ”或“ ”).  如图,AB=AD,只要再添加一个条件: ,就可以通过“SSS”判定△ABC≌△ADC.  知识点二：已知三边作三角形 　　阅读课本本课时“探究4”后面至“例3”前面之间的内容,解答下列问题. 1.如图,已知三条线段a,b,c(其中任意两条线段的和大于第三条线段),求作△ABC,使其三边分别为a,b,c. 思考:(1)作一条线段AB=c,即先用　　　　作一条射线,再用　　　　在射线上截取AB=c.  (2)要使得三角形的边AC=b,BC=a,用圆规分别截取线段b,a的长,分别以A,B为圆心画弧,两弧的交点即点　　　　.  (3)用　　　　连接AC,BC.  2.已知三边作三角形的关键在于确定第三个顶点,用　　　　　可以得到.  如图,已知△ABC,用直尺和圆规按以下步骤作出△DEF. (1)画射线DM,以点D为圆心,AB的长为半径画弧,与DM交于点E; (2)分别以D,E为圆心,线段AC,BC的长为半径画弧,两弧相交于点F; (3)连接DF,EF. 则能用于证明△ABC≌△DEF的依据是( ) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 知识点三：“边边边”判定在实际中的应用 　　阅读课本本课时“例3”的内容,解答下列问题. 课本“例3”中的△ABD和△ACD具备“　　　　”的条件,从而可得△ABD≌　　　　,得到∠ADB=　　　　,进而可得AD⊥BC.  (真情境)如图,工人师傅要检查“人字梁”的∠B和∠C是否相等,但他手边没有量角器,只有一个刻度尺.他是这样操作的: ①分别在BA和CA上截取BE=CG; ②在BC上截取BD=CF; ③连接DE,FG,量出DE的长等于FG的长,就能说明∠B和∠C是相等的. 他的这种做法合理吗?为什么? 题型1 “边边边”判定的应用 例1　如图,点C,D在AB上,AC=BD,AE=BF,ED=FC.求证:∠ADE=∠BCF. 题型2 “边边边”与其他三角形全等判定的综合应用 例2　如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AE=CF,BF=DE. 求证:(1)△ABE≌△CDF. (2)∠DAE=∠BCF. 变式训练　如图,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AB=DE,AC=FD. 求证:(1)△ABC≌△DEF. (2)AF=CD. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.解:两个三角形的三边分别相等,这两个三角形就会全等. 2.解:已知三边作三角形的依据是全等三角形的“边边边”判定法. 自学检测 AB=FD(答案不唯一) 【合作探究】 知识生成 知识点一 全等 归纳总结　边边边　SSS 对点训练 BC=DC 知识点二 1.(1)无刻度的直尺　圆规 (2)C (3)无刻度的直尺 2.两弧的交点 对点训练 A 知识点三 边边边　△ACD　∠ADC 对点训练 解:他的这种做法合理. 理由:在△BDE和△CFG中, ∴△BDE≌△CFG(SSS), ∴∠B=∠C. 题型精讲 题型1 例1 证明:∵AC=BD, ∴AC+CD=BD+CD, ∴AD=BC. 在△ADE和△BCF中, ∴△ADE≌△BCF(SSS), ∴∠ADE=∠BCF. 题型2 例2 证明:(1)∵BF=DE, ∴BF-EF=DE-EF,即BE=DF. 在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(SSS). (2)由(1)可知,△ABE≌△CDF, ∴∠ABE=∠CDF,∠BAE=∠DCF. 在△ABD和△CDB中, , ∴△ABD≌△CDB(SAS), ∴∠BAD=∠DCB, ∴∠BAD-∠BAE=∠DCB-∠DCF, 即∠DAE=∠BCF. 变式训练 证明:(1)∵FB=CE, ∴FB+FC=CE+FC, ∴BC=EF. 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(SSS). (2)由(1)可知△ABC≌△DEF, ∴∠B=∠E. 在△ABF和△DEC中, , ∴△ABF≌△DEC(SAS), ∴AF=CD. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.3　第1课时　角的平分线的性质 素养目标 1.能够利用直尺和圆规作一个已知角的平分线,并能证明它的正确性. 2.会应用角的平分线的性质进行计算或推理. 3.通过画图、用符号表示已知和求证,提高分析、推理的能力. 用直尺和圆规作角的平分线,正确运用角的平分线的性质. 【自主预习】 1.用直尺和圆规作角的平分线的依据是什么? 2.角的平分线上一点到角的两边距离有什么样的数量关系? 1.如图,BG平分∠ABC,D为BG上一点,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,DE=5,则DF的长度是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.(新考法)如图1,用直尺和圆规作∠AOB的平分线.图2是用直尺和圆规作它的角平分线的过程.其中第二步是分别以点D,E为圆心,长度a为半径画弧,两弧在∠AOB内交于点P.则关于a的说法正确的是 ( ) A.a<DE的长　　　 B.a>DE的长 C.a<OD的长 D.a<OE的长 【合作探究】 知识点一：作一个角的平分线 　　阅读课本本课时第一个“探究”至第二个“探究”前的内容,解答下列问题. 1.为了作出∠AOB的平分线,点O　　　　(填“在”或“不在”)该角平分线上,只要确定该角平分线上　　　　.  2.课本“思考”下面的作法中第(1)步使得OM　　　ON.(填“>”“<”或“=”)  第(2)步确定点C,使得CM=CN,再由公共边OC=OC,可得到△OCM≌△OCN,理由是　　　　,于是可得∠AOC=∠BOC.  　　作角的平分线,关键是确定角的平分线上的一个　　　　,常常用　　　　截取到.  如图,∠AOB为已知角,按下列步骤用直尺和圆规可准确地作出∠AOB的平分线. 第一步:在射线OA,OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. 第二步:分别以点D和点E为圆心,适当长(大于线段DE长的一半)为半径作圆弧,在∠AOB内,两弧交于点C. 第三步:作射线OC. 射线OC就是所要求作的∠AOB的平分线. 用尺规作角平分线时,用到的三角形全等的判定方法是 ( ) A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA 知识点二：角的平分线的性质 　　阅读课本本课时第二个“探究”及后面的内容,解答下列问题. 角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离 .  符号语言:∵点P在∠AOB的平分线上,且PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E, ∴ .  一般情况下,证明几何命题的步骤: 1.明确命题中的已知和求证; 2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证; 3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程. 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,若AC=10,AD=7,则点D到AB的距离为 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 2.如图,点C在∠AOB的平分线上,CD⊥OA于点D,且CD=2,如果E是射线OB上一点,那么CE长度的最小值是 .  题型1 角的平分线的性质的应用 例1　如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF. 求证:(1)CF=EB. (2)AB=AF+2EB. 题型2 与角的平分线有关的尺规作图 例2　如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,AC=6. (1)尺规作图:作∠C的平分线,交边AB于点D(保留作图痕迹,不写作法). (2)在(1)的条件下,求点D到BC的距离. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.解:先通过“SSS”判定两个三角形全等,再得到对应角相等. 2.解:相等. 自学检测 1.C　2.B 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.在　另一个点　 2.=　SSS 归纳总结 点　圆规 对点训练 C 知识点二 相等　PD=PE 对点训练 1.D　 2.2 题型精讲 题型1 例1 证明:(1)∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC, ∴DE=DC. 在Rt△CDF和Rt△EDB中, ∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL). ∴CF=EB. (2)由(1)可得CD=DE. 在Rt△ADC与Rt△ADE中, ∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL), ∴AC=AE, ∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB, ∴AB=AF+2EB. 题型2 例2 解:(1)如图,射线CD即所求. (2)如图,过点D作DE⊥BC于点E,过D作DF⊥AC于点F,∴DE=DF. ∵S△ABC=S△BCD+S△ACD, ∴AC·BC=DE·BC+DF·AC,即6×8=8DE+6DE, 解得DE=, ∴点D到BC的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$