第1章 有理数 章节（25知识点回顾+44题型巩固）2025-2026学年七年级数学上册同步讲义与测试（沪科版2024）

第1章 有理数 章节（25知识点回顾+44题型巩固） 目录 知识梳理 1.正数和负数 2.具有相反意义的量 3.有理数及其分类 4.数轴 5.数轴上的点与有理数的关系 6.相反数 7.绝对值 8.利用数轴比较有理数的大小 9.利用绝对值比较两个负数的大小 9.有理数的加法法则 11.有理数的加法运算律 12.有理数的减法 13.加减法统一成加法 14.有理数加减混合运算 15.有理数的乘法法则 16.倒数 17.乘法运算律 18.多个有理数相乘 19.有理数的除法法则 20.乘方的意义 21.乘方的运算法则 22.有理数的混合运算 23.用科学记数法表示数 24.近似数 25.精确度 题型巩固 一、正负数的定义 二、正负数的实际应用 三、有理数的定义 四、用数轴上的点表示有理数 五、相反数的定义 六、绝对值的几何意义 七、绝对值非负性 八、绝对值的其他应用 九、数轴上两点之间的距离 十、化简多重符号 十一、有理数大小比较 十二、有理数大小比较的实际应用 十三、利用数轴比较有理数的大小 十四、有理数加法运算 十五、有理数加法中的符号问题 十六、有理数加法运算律 十七、有理数加法在生活中的应用 十八、有理数的减法运算 十九、有理数减法的实际应用 二十、有理数的加减混合运算 二十一、有理数加减中的简便运算 二十二、有理数加减混合运算的应用 二十三、两个有理数的乘法运算 二十四、多个有理数的乘法运算 二十五、有理数乘法的实际应用 二十六、倒数 二十七、有理数乘法运算律 二十八、有理数的除法运算 二十九、有理数除法的应用 三十、有理数乘除混合运算 三十一、有理数四则混合运算 三十二、有理数四则混合运算的实际应用 三十三、根据点在数轴的位置判断式子的正负 三十四、有理数幂的概念理解 三十五、有理数的乘方运算 三十六、乘方运算的符号规律 三十七、乘方的应用 三十八、含乘方的有理数混合运算 三十九、用科学记数法表示绝对值大于1的数 四十、程序流程图与有理数计算 四十一、有理数乘方逆运算 四十二、求一个数的近似数 四十三、求近似数的精确度 四十四、近似数推断取值范围 知识梳理 知识点1.正数和负数 1.定义  正数： 大于 0 的数叫作正数 . 负数： 在正数前面添上负号“ -”的数叫作负数 . 2.数的符号 一个数前面的“ +”“ -”号叫作它的符号，其中 “ +”号可以省略不写，而“ -”号不能省略不写 . 3.符号 “+”“－”的双重含义 (1)作为运算符号是加减号； (2) 作为数的性质符号是正负号 . 4. 0 的意义 (1) 数 0 既不是正数，也不是负数 . (2) 在计数时，数 0 可以表示没有，如 0 个 . (3) 0 还常用来表示某种量的基准，例如 0℃ 不能理解成没有温度，它是实际温度为冰点时的计量结果，用来作为计量温度的基准 . (4) 0 比任何正数小，比任何负数大，它是正数与负数的分界 . 知识点2.具有相反意义的量 1. 定义  在生活中存在各种各样的量，其中有一种量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫作具有相反意义的量 . 2.用正数、负数表示具有相反意义的量  为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 . 知识点3.有理数及其分类 1.有理数的相关概念 (1)整数：正整数、 0 和负整数统称为整数，如 －3、 －2、 0、 1、2、 3、… . (2)分数：正分数、负分数统称分数，如 3 、 0.3、 －1.25、－、… . (3)有理数： 整数和分数统称有理数 . 2. 有理数的分类 知识点4.数轴 1.定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 . 2.画数轴的步骤 (1) 画直线， 取原点： 画一条直线，在这条直线上任取一个点表示数 0，这个点叫作原点； (2) 标正方向： 通常规定直线上从原点向右为正方向，则相反方向为负方向； (3) 选取单位长度， 标数： 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2， 3，… ；从原点向左，用类似方法依次表示 －1， －2，－3，… . 知识点5.数轴上的点与有理数的关系 一般地，任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示. 示例 数 (>1)和－ 在数轴上的表示 表示 － 的点到原点的距离  表示 的点到原点的距离 －是负数，在原点的左边  是正数，在原点的右边 知识点6.相反数 1.相反数的定义 只有符号不同的两个数互为相反数，这就是说，其中一个数是另一个数的相反数，如 2 与 －2 互为相反数，即 2 的相反数是 －2， －2 的相反数是 2. 2. 数的相反数是－，这里表示任意一个数，它可以是正数、负数或者0. 3. 任何一个数都有相反数，而且只有一个；正数的相反数是负数；负数的相反数是正数； 0 的相反数是 0. 知识点7.绝对值 1. 定义　在数轴上，表示数 的点与原点的距离叫作数 的绝对值，记作| |，读作“ 的绝对值” . 2.性质 一个正数的绝对值是它本身；任何数都有绝对值， 并且只有一个. 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0，即| | 3. 绝对值与相反数的关系  绝对值相等、符号相反的两个数互为相反数. 知识点8.利用数轴比较有理数的大小 1. 数轴上不同的两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 . 2. 正数大于 0， 0 大于负数，正数大于负数 . 3. 利用数轴比较几个数大小的方法 先在数轴上标出表示这些数的点的位置，再确定它们之间的大小关系 . 知识点9.利用绝对值比较两个负数的大小 1. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小 . 2. 利用绝对值比较两个负数大小的步骤 第一步，分别求出两个负数的绝对值； 第二步，比较这两个负数的绝对值的大小； 第三步，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”进行判断. 3. 比较两个有理数的大小的方法总结 根据法则比较 利用数轴比较 两数同号 同为正号，绝对值大的数大 数轴上左边的点表示的数 小于数轴上右边的点表示 的数 同为负号，绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 一数为 0 正数与 0，正数大于 0 负数与 0，负数小于 0 知识点10.有理数的加法法则 1. 有理数的加法法则 (1) 同号两数相加，取加数的符号，并把绝对值相加 . (2) 异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 . (3) 一个数与 0 相加，仍得这个数 . 2. 有理数加法的运算步骤 3. 有理数加法运算的各种情况 加数 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取加数的符号 相加 若 >0， >0，则 +=+( ||+||) 若 <0， <0，则 +=－ ( ||+||) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大加数的符号 相减 (大减小) 若 >0， <0，且 ||>||，则 +=+( ||－||) 若 <0， >0，且 ||>||，则 +=－ ( ||－||) 互为相反数 0 若 >0， <0，且 ||=||，则 +=0 一个数与0 相加 仍得这个数 +0= 知识点11.有理数的加法运算律 1. 有理数的加法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 +=+ 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加再和第三个数相加，或先把后两个数相加再和第一个数相加，和不变 (+) +c=+(+c) 2. 常见的可以利用加法运算律进行简便计算的技巧 相反数结合法 把互为相反数的数相加 同号结合法 把符号相同的数相加 同形结合法 把整数与整数、小数与小数、分母相同或容易通分的分数分别相加 凑整法 把和为整数的数相加 拆项结合法 把带分数拆分为整数和真分数，再分别相加 知识点12.有理数的减法 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数 . 用字母表示： －=+(－)，其中 ， 表示任意有理数 . 特别提醒： 有理数的减法是有理数的加法的逆运算，做减法运算时，常将减法转化为加法再计算，转化过程中，应注意“两变一不变”“两变”是指运算符号. “－”变成“ +”，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数不变 . 2. 两数相减差的符号 (1) 较大的数－较小的数 = 正数，即若 >，则 －>0. (2) 较小的数－较大的数 = 负数，即若 <，则 －<0. (3) 相等的两个数的差为 0，即若 =，则 －=0. 知识点13.加减法统一成加法 1. 在一个含有有理数加减混合运算的式子中，我们可以将减法转化为加法后，再按照有理数的加法法则来进行运算 . 2. 统一成加法运算后，通常把各个加数的括号及其前面的运算符号“ +”省略不写，写成省略加号的形式 . 3. 算式的读法 省略加号和括号的求和算式(如“－9－12－3＋7”)通常有两种读法，一 种是按代数和所表示的意义读，读作 “负 9，负12，负 3 与正 7 的和”，另一种是按运算意义读，读作“负 9 减 12 减 3 加 7”. 知识点14.有理数加减混合运算 有理数加减混合运算的步骤 (1) 利用减法法则将减法转化为加法； (2) 把加减混合算式写成省略括号和加号的和的形式； (3) 进行有理数的加法运算 . 知识点15.有理数的乘法法则 1. 有理数的乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 . (2)任何数与 0 相乘仍得 0. 特别解读  1.“同号得正，异号得负” 是确定积的符号，不能与加法中确定和的符号相混淆 . 2.有理数乘法的运算步骤： (1)确定积的符号； (2)确定积的绝对值 . 3. 1 与任何数相乘，仍得原数，－1 与任何数相乘，得到的是原数的相反数 . 2. 有理数的乘法符号法则(拓展) (1) 如果两个数的积为正数，那么这两个数同正或同负，反之亦然，即：>0 ⇔>0， >0 或 <0， <0. (2) 如果两个数的积为负数，那么这两个数一正一负，反之亦然，即： <0 ⇔>0， <0 或 <0， >0. (3) 如果两个数的积为 0，那么这两个数中至少有一个数是 0，反之亦然，即： =0 ⇔=0 或 =0. 知识点16.倒数 1.定义 如果两个有理数的乘积为 1，我们称这两个有理数互为倒数 . 2. 求倒数的方法 类型 方法 示例 m 为非零整数 把这个数写成的形式，则得到 m 的倒数 2 的倒数是 m 为分数 颠倒 m 的分子和分母位置，则得到 m 的倒数 的倒数是 m 为带分数 把 m 化为假分数，再把分子和分母颠倒求倒数 因为 1= ，所以 1的倒数是 m 为小数 把 m 化为分数，再把分子和分母颠倒求倒数 因为 0.25= ，所以 0.25 的倒数是 4 3. 倒数与相反数间的关系 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是 1的两个数互为倒数 ( ≠ 0)的倒数是 若 ， b 互为倒数，则· b=1 若· b=1，则 ， b 互为倒数 成对出现 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 的相反数是 － 若 ， b 互为相反数，则 +b=0 若+b=0，则 ，b 互为相反数 知识点17.乘法运算律 运算律 文字表示 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变 b=b 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 (b) c=(bc) 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 (b+c) =b+c 乘法运算律的推广 (1) 乘法交换律和乘法结合律的推广：三个或三个以上的有理数相乘，任意交换因数的位置，或者任意先把其中几个因数相乘，积不变 . (2) 乘法对加法的分配律对于两个以上的有理数相加的情况仍然适用，即 (b+c+…+m) =b+c+…+m. 知识点18.多个有理数相乘 1. 几个不为 0 的数相乘的法则 几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正 .确定符号后，再把这几个有理数的绝对值相乘 . 2. 有因数为 0 的几个数相乘的法则 几个数相乘，如果有一个因数为 0，积就为 0.同样，若积为 0，则至少有一个因数为 0. 知识点19.有理数的除法法则 1. 有理数除法法则一 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 . 0 除以任何一个不等于 0 的数仍得 0. 0 不能作除数 . 例如： 2.有理数除法法则二  除以一个不为 0 的数，等于乘以这个数的倒数 . 用字母表示： ÷ b=• (b ≠ 0) . 例如： 3÷(－ ) =3×(－  ) = － 5.乘它的倒数 除以一个数 3.乘除混合运算中的注意事项 (1) 除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法运算律简化运算． (2) 积的符号由负因数的个数决定，口诀为“偶正奇负，见 0为 0”． (3)结果要化为最简分数或整数． (4) 有理数的乘除运算是同级运算，若没有括号，则按照从左到右的顺序计算 . 知识点20.乘方的意义 1. 乘方 求个相同因数的积的运算叫作乘方 ， 乘方的结果叫作幂 . 一般地， 个记作 ， 读作“的次方” ，其中 叫作底数， 叫作指数.当看作是 的 次方的结果时，也可读作“ 的 次幂” . 2. 乘方的意义 表示 个相同因数 的积，其中相同的因数是底数，因数的个数是指数，因此，可以把相同因数的乘法转化为乘方或把乘方转化为乘法 . 知识点21.乘方的运算法则 1. 有理数的乘方运算法则 求非 0 有理数的乘方，将其绝对值乘方，并取符号：正数的任意次幂都取正号；负数的奇次幂取负号，负数的偶次幂取正号 . 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值 . 特别地，当底数较大时，可借助于计算器计算 . 3. ， － 及(－) 的区别与联系 － (－) 相同点 指数都是 n 不同点 意义不同 n 个 相乘的积 n 个 相 乘 的积的相反数 n 个 －相乘的积 底数不同 － 联系 n 为奇数 － =(－) ，且 － (－)都与 互为相反数( ≠ 0) n 为偶数 =(－)，且，(－)都与 －互为相反数( ≠ 0) n 为正整数 =－ =(－) =0( =0) 知识点22.有理数的混合运算 1. 有理数运算的种类 有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方与开方(将在以后学习到) . 通常把六种基本的代数运算分为三级： 加与减是第一级运算；乘与除是第二级运算； 乘方与开方是第三级运算 . 2. 有理数混合运算的顺序 (1)先算高级运算，再算低级运算，即：先乘方，再乘除，最后加减； (2) 同级运算，按从左到右的顺序进行； (3) 如有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 . 知识点23.用科学记数法表示数 1. 科学记数法 一般地，绝对值大于10的数可以记成 的形式，其中， 等于原数的整数位数减1. 2. 科学记数法中的 和 (1)将原数的小数点移到最高数位的数字的后边即可得到 的值 . (2)确定 的两种方法： ①根据原数的整数位数来确定 ， 等于原数的整数位数减 1. 例如 2 024 是一个四位整数，用科学记数法表示为 2.024× ，其中 =4-1=3； ②按小数点移动的位数来确定 ，小数点向左移动了几位， 就等于几 . 知识点24.近似数 1. 准确数 与实际完全符合的数，称为准确数 . 2. 近似数 由于受测量工具、测量方法、测量者等因素的影响，测量的结果一般只是一个与实际数值很接近的数，我们称此数为近似数 . 3. 误差 近似值与它的准确值的差叫作误差，即 误差 = 近似值－准确值 . 知识拓展： 近似数的几种常见情况 (1) 计算产生的近似数，如除不尽的数、含有圆周率 π 的计算结果； (2) 用测量工具测出的结果一般都是近似数 , 如长度、质量； (3) 不容易得到或不可能得到准确数时，只能得到近似数，如人口普查的结果只能是一个近似数； (4) 没有必要知道准确数而产生的近似数 , 如估测某场地的面积 . 知识点25.精确度 1. 近似数的精确度 近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度 . 近似数的精确度的表述方法： (1) 用数位表示，如精确到千位、精确到千分位等； (2) 用小数表示，如精确到 0.1、精确到 0.01 等； (3) 对带有单位的数用单位表示，如精确到 1 kg，1 m 等 . 2. 取近似数的方法 通常用四舍五入法；特殊情况下使用去尾法、进一法 . 3.“去尾法”和“进一法”取近似数(拓展) 去尾法： 在取近似数时，不管截去部分最高位上的数是多少，一概去掉 ，这种方法叫作去尾法，用去尾法得到的近似数总比准确值小 . 进一法： 在取近似数时，不管截去部分最高位上的数是多少，都向前一位进 1，这种方法叫作进一法 . 用进一法得到的近似数总比准确值大 . 题型巩固 题型一、正负数的定义 1．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）中国是世界上最早提出和采用“正负数表示相反意义的量”的国家，关于正负数的记载最早见于公元一世纪的中国数学著作《九章算术》中，比欧洲早一千余年．如果将“向东走40米”记作“米”，那么“向西走30米”记作（    ） A．米 B．米 C．米 D．10米 【答案】A 【知识点】正负数的定义、相反意义的量 【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，根据向东走记为正，则向西走就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：∵向东走40米记作米， ∴向西走30米可记作米， 故选A． 题型二、正负数的实际应用 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如果向东行走为正，那么向西行走8米表示为 米． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中表示的实际含义．根据正负数的意义，结合向东为正，向西为负即可得解． 【详解】解：向东行走为正， 则向西行走8米表示为米， 故答案为：． 题型三、有理数的定义 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列说法中正确的是（    ）． A．一个有理数不是正数就是负数 B．正整数与负整数统称为整数 C．可以写成正分数形式的数为正有理数 D．最小的整数是 【答案】C 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的概念和分类，掌握有理数的分类是解题关键．根据 【详解】解：A、有理数分为正数、负数和0，原说法错误，不符合题意； B、正整数与负整数和0统称为整数，原说法错误，不符合题意； C、可以写成正分数形式的数为正有理数，原说法正确，符合题意； D、没有最小的整数，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型四、用数轴上的点表示有理数 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）画数轴，将下列各数在数轴上表示出来，并用“<”连接几个有理数． ，，0， 【答案】数轴见解析， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】此题考查了有理数的大小比较，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，先把各数进行化简，再在数轴上找出对应的点，最后比较大小即可． 【详解】解：，， ∴把，，0，在数轴上的位置如图：   ， ∴． 题型五、相反数的定义 5．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，相反数的定义等知识点，熟练掌握绝对值的意义和相反数的定义是解题的关键． 根据绝对值的意义和相反数的定义进行解答即可． 【详解】解：， 的相反数是， 的相反数是， 故选：． 题型六、绝对值的几何意义 6．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为 ． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为 【答案】 2 14 【知识点】绝对值的几何意义、求一个数的绝对值 【分析】（1）根据，，，得解答即可． （2）分类计算即可． 本题考查了绝对值的计算，熟练掌握绝对值的计算是解题的关键． 【详解】解：（1）根据，，，得， ， 故答案为：2． （2）解：根据是双重绝对值运算， 故三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，得或或， 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， ，，此时最小值是18； 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， 时， 当时，，不符合题意； 当时，，，最小值为：， 当时， 当时，，最小值为18， 当时，，，最小值为：， 同理可证的最小值也是14或18， 综上所述，最小值为14， 故答案为：14． 题型七、绝对值非负性 7．（2024七年级上·全国·专题练习）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． （1）已知，则的值是 ； （2）当 时，有最小值，最小值是 ． 【答案】 3 1 2 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值的意义： （1）由绝对值的非负性可以得出，由此可解． （2）根据绝对值的非负性解题即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3； （2）∵， ∴当时，，此时有最小值， ∴当时有最小值，最小值是2， 故答案为：1，2． 题型八、绝对值的其他应用 8．有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 【答案】(1)周正 (2)李嘉，见解析 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用 【分析】本题考查有理数的大小比较，绝对值的性质： （1）找出直径超过的零件，即可得出答案； （2）通过比较绝对值，得出，可知张琪同学加工的零件直径比标准直径误差最小，得出答案． 【详解】（1）∵零件直径比标准直径可以有的误差， 而， ∴周正同学加工的零件不符合标准； （2）∵， ∴李嘉同学加工的零件直径比标准直径误差最小， ∴李嘉的最好． 题型九、数轴上两点之间的距离 9．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在数轴上与所对应的点的距离等于4的点表示的数是（    ） A．2 B． C．2或 D．无法确定 【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上点的平移计算，熟练掌握左减右加是解题的关键． 根据数轴上点的平移解答即可． 【详解】解：当点在表示的点的右边时， 该点表示的数是：； 当点在表示的点的左边时， 该点表示的数是：； 故该点表示的数是2或， 故选：C． 题型十、化简多重符号 10．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列各数中互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】相反数的定义、化简多重符号 【分析】此题考查了相反数的判断，化简多重符号，先分别化简多重符号，再根据相反数定义判断即可 【详解】解：A. ，故与相等，不是互为相反数，故不符合题意； B. ，故与相等，不是互为相反数，故不符合题意； C. ，，故与相等，不是互为相反数，故不符合题意； D. ，故与是互为相反数，故符合题意； 故选：D 题型十一、有理数大小比较 11．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）比较下列每对数的大小（写出比较过程） (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． （1）分别利用绝对值、相反数的定义化简，再比较大小即可； （2）根据负数的大小比较方法即可求解． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴； （2）解：，， ∵，，， ∴， 即． 题型十二、有理数大小比较的实际应用 12．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）某一天，哈尔滨，北京，杭州，金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是 ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数比较大小，绝对值越大的数反而越小，得最低气温是，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则最低气温是， 故答案为： 题型十三、利用数轴比较有理数的大小 13．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，1的大小关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查数轴定义与性质，涉及利用数轴比较有理数的大小，理解数轴定义与性质是解决问题的关键．根据数轴左边点对应的数小于右边的点对应的数即可得到答案． 【详解】解：由图可知，，且， ∴， 故选：A． 题型十四、有理数加法运算 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)8 (3) (4) 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法运算： （1）直接利用异号两数相加的运算法则计算即可； （2）直接利用异号两数相加的运算法则计算即可； （3）直接利用同号两数相加的运算法则计算即可； （4）直接利用同号两数相加的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， （3）解：； （4）解：． 题型十五、有理数加法中的符号问题 15．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法中的符号问题 【分析】根据加法交换律逐项判断即可． 【详解】A．，故A错误． B．，故B错误． C．，故C错误． D．，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加法运算律．注意在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动． 题型十六、有理数加法运算律 16．在计算时，下面四种方法运算过程正确且比较简便的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法运算律 【分析】有理数的加减混合运算，运用加法交换律和结合律，将同分母的结合即可简便计算． 【详解】解：． 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加减法混合运算，涉及加法交换律和加法结合律的运用，注意到题目的特征是解决问题的关键． 题型十七、有理数加法在生活中的应用 17．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有一口深2.6米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这7次跳跃除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是____厘米；青蛙距离井口的最近距离是_____厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一循环，若青蛙之后的每个循环跳跃下滑情况都和第一循环相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【答案】(1)17；152 (2)160厘米 (3)青蛙在第18次跳出了井口 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查正数和负数、有理数加法、有理数减法的应用，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． （1）以井底为起点0，正数加负数可以计算出青蛙距离井底和井口的距离即可求解； （2）用井深减去青蛙第七次跳跃并下滑稳定后距离井底的距离，就可以计算青蛙距离井口的距离； （3）在跳完七次的基础上，进行循环计算，就可以计算出第几次可以跳出井口． 【详解】（1）解： 井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住，正数表示上跳，负数表示下滑， 第一次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底17厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第二次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底26厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第三次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底41厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第四次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底64厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第五次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底80厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第六次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底90厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第七次跳跃以后没有下滑前：，表示青蛙在距离井底108厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 当青蛙跳完第一次以后距离井底最近为17厘米，当调完第七次后示下滑时，青蛙在距离井口最近152厘米处， 故答案为：17，152； （2）解：第七次跳跃并下滑稳定后：，表示青蛙在距离井底100厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 答：在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有160厘米． （3）解：每7次跳跃下滑记为一周，青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同， 当青蛙跳完2周以后，距离井口的距离（厘米），此时青蛙完成了14次跳跃， 青蛙继续跳跃情况为：（厘米）， ∵ ∴青蛙又继续跳跃4次就跳出了井口， ∴青蛙在第18次跳出了井口． 题型十八、有理数的减法运算 18．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列选项中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的加法、减法，根据有理数的加法、减法法则计算，并逐项判定即可． 【详解】解：A．，不符合题意； B． ，不符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意， 故选：D． 题型十九、有理数减法的实际应用 19．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…，，… （2），，，，…，，… 利用以上规律计算： ． 【答案】 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 根据题目中的式子的运算法则从而可以求得所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， ． 故答案为：． 题型二十、有理数的加减混合运算 20．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算题： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】（1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （2）先化为省略加号的和的形式，再通分计算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； 【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，熟记有理数的加减混合运算的运算顺序是解本题的关键． 题型二十一、有理数加减中的简便运算 21．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加法运算律、有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键． （1）运用加法的交换律和结合律进行计算即可； （2）运用加法的交换律和结合律进行简便计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二十二、有理数加减混合运算的应用 （24-25七年级上·安徽滁州·期中）小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有A，B，C，D四点，其中点A在点B的左侧，点B在原点处，点C，D分别与5和8对应，A，B之间的距离与C，D之间的距离相等．    (1)点A表示的数为________． (2)小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，……，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离． 【答案】(1) (2)①5次后落点所对应的数轴上的数为2，第3次跳动后落在原点处；②108 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、有理数加减混合运算的应用、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上两点间距离、数轴上的动点问题，清楚电子蟋蟀的运动规律是解题的关键． （1）先计算出C，D之间的距离，再根据点B表示的数及点A与点B的相对位置，即可求解； （2）①电子蟋蟀从点A处开始，奇数次时向右跳，偶数次时向左跳，第n次时跳个单位长度，由此列式进行加减运算即可；②根据电子蟋蟀的运动规律求出跳动100次后的落点对应的数，再利用数轴上两点间距离公式计算即可． 【详解】（1）解：点C，D分别与5和8对应， ， 由题意得， 点A在点B的左侧，点B在原点处， 点A表示的数为: ， 故答案为：． （2）解：①由题意知，电子蟋蟀从点A处开始，奇数次时向右跳，偶数次时向左跳，第n次时跳个单位长度，点A表示的数为， 第5次后落点所对应的数轴上的数为：， ， 第3次跳动后落在原点处． ②第100次后落点所对应的数轴上的数为： ， 又点C与5对应， ． 电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离为108． 题型二十三、两个有理数的乘法运算 23．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）若，则b 0（填“”，“”或“”）． 【答案】< 【知识点】有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，有理数的减法运算，先根据，可得，再根据，可得答案． 【详解】因为， 所以． 因为， 所以． 故答案为：． 题型二十四、多个有理数的乘法运算 24． ． ． 【答案】 / 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的乘法运算．分别根据绝对值的性质和有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：；． 题型二十五、有理数乘法的实际应用 25．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）近年来，我县以“庄子故里·逍遥蒙城”为载体，扎实推进全县文化旅游工作高质量发展．十一期间，一旅游接待车从P处出发，在东西走向的公路上来回行驶，如果规定该车向东行驶为正，向西行驶为负，则该车一天上午的行驶记录如下：（单位：千米）． ． (1)当该车将最后一名乘客送达目的地后，他在P处的哪个方向？距离P处多远？ (2)若该车耗油量为0.06升/千米，若该车将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问该车今天上午总共消耗了多少升油？ 【答案】(1)西方，2千米 (2)7.2升 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，有理数的混合运算，明确题意，正确列式，是解题的关键． （1）通过计算这10次车辆行驶记录结果的和就能得到此题结果； （2）计算出该车的路程之和，再乘以每千米耗油量即可． 【详解】（1）解：（千米）， 所以当该车将最后一名乘客送达目的地后，他在P处的西方，距离P处2千米； （2）解： （升）， 答：该车今天上午总共消耗了7.2升油． 题型二十六、倒数 26．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列两个数互为倒数的是（   ） A．和 B．1和 C．20和 D．和2 【答案】A 【知识点】倒数、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此根据有理数乘法计算法则求出四个选项中对应数的乘积即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴和互为倒数，故A符合题意； B、∵， ∴1和不互为倒数，故B不符合题意； C、∵， ∴20和不互为倒数，故C不符合题意； D、∵， ∴和2不互为倒数，故D不符合题意； 故选：A． 题型二十七、有理数乘法运算律 27．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）计算：． 【答案】4 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： 题型二十八、有理数的除法运算 28．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算：； 【答案】50 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数计算．根据题意先整理算式，再利用乘法分配律运算即可得到本题答案． 【详解】解：． 题型二十九、有理数除法的应用 29．（22-23七年级上·安徽亳州·阶段练习）神舟十三号飞船在太空中绕地球飞行，地球半径约为6400千米，神舟十三号飞船飞行时离地面高度约400千米． (1)神舟十三号绕地球飞行一圈飞行约多少千米？（取） (2)如果神舟十三号的飞行速度为每秒钟约飞行千米，求飞船绕地球飞行一周大约需要多少小时．（结果保留两位小数） 【答案】(1)神舟十三号绕地球飞行一圈飞行约42704千米 (2)飞船绕地球飞行一周大约需要小时 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用 【分析】（1）根据圆的周长计算公式进行计算即可； （2）根据速度、路程、时间列式计算即可． 【详解】（1）解：， 答：神舟十三号绕地球飞行一圈飞行约42704千米． （2）解：（小时）， 答：飞船绕地球飞行一周大约需要小时． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 题型三十、有理数乘除混合运算 30．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算； （1）利用运算律进行简便运算即可； （2）先确定运算符号，再把除法化为乘法运算即可； （3）利用分配律先计算乘法运算，再计算加减运算即可； （4）逆用分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型三十一、有理数四则混合运算 31．（2025七年级上·安徽·专题练习）我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某自来水公司采用价格调控的手段来达到节约用水的目的．规定如表用水收费标准：每户每月的用水不超过20立方米时，水费按“基本价”收费；超过20立方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费．某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示： 月份 用水量/立方米 水费/元 4 19 66.50 5 25 92.5 (1)自来水公司水费的“调节价”是每立方米多少元？ (2)预计该户居民6月份用水量约为30立方米．请你算一算，6月份的水费是多少元？ 【答案】(1)自来水公司水费的“调节价”是每立方米4.5元 (2)6月份的水费是115元 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数四则混合运算的应用，理解题意，正确列出算式是解答的关键． （1）先由4月份水费和用水量求得“基本价”，再由5月份水费和用水量，结合收费规则列式计算即可； （2）根据6月份用水量，结合收费规则列式计算即可． 【详解】（1）解：（元） （元） 答：自来水公司水费的“调节价”是每立方米4.5元； （2）解： （元）， 答：6月份的水费是115元． 题型三十二、有理数四则混合运算的实际应用 32．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为，据此可求出每增加一个碗，高度的增加量，再在4个碗的基础上加上增加的4个碗的高度即可得到答案． 【详解】解：， ∴这个消毒柜的内置高度至少有， 故选：C． 题型三十三、根据点在数轴的位置判断式子的正负 33．有理数a、b、c在数轴上对应点位置如下图所示，则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示及有理数的运算，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的运算是解题的关键；由数轴可知，且，然后问题可求解． 【详解】解：由数轴可知：，且， ∴，，； 故选A． 题型三十四、有理数幂的概念理解 34．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）表示（    ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 【答案】B 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查有理数幂的概念理解，掌握表示个相乘，进行判断即可． 【详解】解：表示3个5相乘的相反数； 故选B． 题型三十五、有理数的乘方运算 35．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘方运算法则计算即可判定． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B ． 题型三十六、乘方运算的符号规律 36．下列各组数中，数值相等的一组是（    ） A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23 C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】根据乘方的定义逐一计算判断即可，注意符号． 【详解】解：A．32＝9，23＝8，故选项A不符合题意； B．（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故选项B符合题意； C．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故选项C不符合题意； D．﹣（2×3）2＝﹣36，﹣2×32＝﹣2×9＝﹣18，故选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查乘方的定义，根据乘方的定义准确计算是解题的关键． 题型三十七、乘方的应用 37．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）分形几何在大自然中随处可见．如图，从长度为1的线段开始，取走其中间三分之一达到第一阶段，然后从每一条余下的线段中再各取走其中间三分之一达到第二阶段，无限地重复这一过程，余下的无穷点集称做康托尔分形集，上图是其最初几个阶段，当达到第个阶段时，被取走的所有线段的长度之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】乘方的应用、图形类规律探索 【分析】题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系是解题的关键．线表示出剩余的长度，然后用原来的长度减去剩余的长度即可． 【详解】解：根据题意知：第一阶段时，余下的线段的长度为， 第二阶段时，余下的线段的长度为， 第三阶段时，余下的线段的长度为， …， ∴当达到第n个阶段时，余下的线段的长度为 ∴当达到第个阶段时，被取走的所有线段的长度之和为． 故选：D． 题型三十八、含乘方的有理数混合运算 38．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算． 【答案】2 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】解： ． 题型三十九、用科学记数法表示绝对值大于1的数 39．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）六尺巷位于安徽省桐城市区西后街与五亩园之间．六尺巷全长100m，宽2m，巷南为宰相府，巷北为吴氏宅，总用地面积约为万m2，2007年被评为国家AAA级旅游景区．请将“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：万； 故选C． 题型四十、程序流程图与有理数计算 40．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，某同学设计了一种计算程序流程图，按要求完成下列任务： (1)当输入的值为时，求输出的值； (2)若输出的值为380，直接写出输入的值为__________； (3)若输入的值为0，求输出的值． 【答案】(1)输出的值为124 (2)5或 (3)6380 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数混合计算： （1）根据流程图可得算式，计算出该结果，若大于100，则输出，若不大于100，则计算的结果作为新输入的数，再计算，如此反复，直至能输出对应的结果即可； （2）根据输出的结果为380，得到平方后的结果为400，根据的平方为400，得到x乘以负4的结果为，据此求解即可； （3）同（1）求解即可． 【详解】（1）解：）当时，，故输出的值为124． （2）解：，的平方为400， 或． （3）解：当时，，， 此时输出的值为6380． 题型四十一、有理数乘方逆运算 41．2021年第十四届国际数学教育大会（ICME－14）在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“ ”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7 共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，2021表示 ICME－14 的举办年份．【注：】某同学设计了一个n进制数501 ，换算成十进制数是406 ，则n的值为 ． 【答案】9/九 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题考查了乘方的逆运算；根据题意得：，即可求得n的值． 【详解】解：501转换成n进制数为：， 由题意得：， 即； 由于，不考虑负值； 故； 故答案为：9． 题型四十二、求一个数的近似数 42．（24-25七年级上·安徽淮北）地球到月球的平均距离是三亿八千四百四十万三千九百米，横线上的数写作： ，改写成用“万”作单位的数是 万，四舍五入到亿位是 亿． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了大数的写法、改写以及求近似数，改写和求近似数，要注意带计数单位．整数写法∶从高位到低位一级一级的写，哪一个数位上一个单位也没有就补“0”；改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；省略亿位后面的尾数就是四舍五入到万位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字． 【详解】解：横线上的数写作： 万 亿 故答案为：；； 题型四十三、求近似数的精确度 43．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）由四舍五入得到的近似数2.40万精确到了（　　） A．十分位 B．百分位 C．千位 D．百位 【答案】D 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查近似数和有效数字，观察题目中的数据最后一位所在的位置，即可得到该数据精确到哪一位． 【详解】解：近似数2.40万精确到了百位， 故选：D． 题型四十四、近似数推断取值范围 44．（2025七年级上·全国·专题练习）一个三位小数，精确到百分位约是6.50，则这个数最小是6.455．( ) 【答案】× 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题主要考查了近似数的知识，理解并掌握“四舍五入”规则是解题关键．根据题意，精确到百分位时，三位小数的取值范围需考虑四舍五入规则，据此分析判断即可． 【详解】解：一个三位小数精确到百分位为6.50，说明原数可能通过“四舍”或“五入”得到， 当千分位数字时，需向百分位进1，此时原数范围为， 当千分位数字时，直接舍去，此时原数范围为， 比较两种情况，最小的数为，而明显小于，且的千分位是5， 精确到百分位应为6.46，与题目中的6.50矛盾，因此原题错误． 故答案为：×． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数 章节（25知识点回顾+44题型巩固） 目录 知识梳理 1.正数和负数 2.具有相反意义的量 3.有理数及其分类 4.数轴 5.数轴上的点与有理数的关系 6.相反数 7.绝对值 8.利用数轴比较有理数的大小 9.利用绝对值比较两个负数的大小 9.有理数的加法法则 11.有理数的加法运算律 12.有理数的减法 13.加减法统一成加法 14.有理数加减混合运算 15.有理数的乘法法则 16.倒数 17.乘法运算律 18.多个有理数相乘 19.有理数的除法法则 20.乘方的意义 21.乘方的运算法则 22.有理数的混合运算 23.用科学记数法表示数 24.近似数 25.精确度 题型巩固 一、正负数的定义 二、正负数的实际应用 三、有理数的定义 四、用数轴上的点表示有理数 五、相反数的定义 六、绝对值的几何意义 七、绝对值非负性 八、绝对值的其他应用 九、数轴上两点之间的距离 十、化简多重符号 十一、有理数大小比较 十二、有理数大小比较的实际应用 十三、利用数轴比较有理数的大小 十四、有理数加法运算 十五、有理数加法中的符号问题 十六、有理数加法运算律 十七、有理数加法在生活中的应用 十八、有理数的减法运算 十九、有理数减法的实际应用 二十、有理数的加减混合运算 二十一、有理数加减中的简便运算 二十二、有理数加减混合运算的应用 二十三、两个有理数的乘法运算 二十四、多个有理数的乘法运算 二十五、有理数乘法的实际应用 二十六、倒数 二十七、有理数乘法运算律 二十八、有理数的除法运算 二十九、有理数除法的应用 三十、有理数乘除混合运算 三十一、有理数四则混合运算 三十二、有理数四则混合运算的实际应用 三十三、根据点在数轴的位置判断式子的正负 三十四、有理数幂的概念理解 三十五、有理数的乘方运算 三十六、乘方运算的符号规律 三十七、乘方的应用 三十八、含乘方的有理数混合运算 三十九、用科学记数法表示绝对值大于1的数 四十、程序流程图与有理数计算 四十一、有理数乘方逆运算 四十二、求一个数的近似数 四十三、求近似数的精确度 四十四、近似数推断取值范围 知识梳理 知识点1.正数和负数 1.定义  正数： 大于 0 的数叫作正数 . 负数： 在正数前面添上负号“ -”的数叫作负数 . 2.数的符号 一个数前面的“ +”“ -”号叫作它的符号，其中 “ +”号可以省略不写，而“ -”号不能省略不写 . 3.符号 “+”“－”的双重含义 (1)作为运算符号是加减号； (2) 作为数的性质符号是正负号 . 4. 0 的意义 (1) 数 0 既不是正数，也不是负数 . (2) 在计数时，数 0 可以表示没有，如 0 个 . (3) 0 还常用来表示某种量的基准，例如 0℃ 不能理解成没有温度，它是实际温度为冰点时的计量结果，用来作为计量温度的基准 . (4) 0 比任何正数小，比任何负数大，它是正数与负数的分界 . 知识点2.具有相反意义的量 1. 定义  在生活中存在各种各样的量，其中有一种量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫作具有相反意义的量 . 2.用正数、负数表示具有相反意义的量  为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 . 知识点3.有理数及其分类 1.有理数的相关概念 (1)整数：正整数、 0 和负整数统称为整数，如 －3、 －2、 0、 1、2、 3、… . (2)分数：正分数、负分数统称分数，如 3 、 0.3、 －1.25、－、… . (3)有理数： 整数和分数统称有理数 . 2. 有理数的分类 知识点4.数轴 1.定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 . 2.画数轴的步骤 (1) 画直线， 取原点： 画一条直线，在这条直线上任取一个点表示数 0，这个点叫作原点； (2) 标正方向： 通常规定直线上从原点向右为正方向，则相反方向为负方向； (3) 选取单位长度， 标数： 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2， 3，… ；从原点向左，用类似方法依次表示 －1， －2，－3，… . 知识点5.数轴上的点与有理数的关系 一般地，任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示. 示例 数 (>1)和－ 在数轴上的表示 表示 － 的点到原点的距离  表示 的点到原点的距离 －是负数，在原点的左边  是正数，在原点的右边 知识点6.相反数 1.相反数的定义 只有符号不同的两个数互为相反数，这就是说，其中一个数是另一个数的相反数，如 2 与 －2 互为相反数，即 2 的相反数是 －2， －2 的相反数是 2. 2. 数的相反数是－，这里表示任意一个数，它可以是正数、负数或者0. 3. 任何一个数都有相反数，而且只有一个；正数的相反数是负数；负数的相反数是正数； 0 的相反数是 0. 知识点7.绝对值 1. 定义　在数轴上，表示数 的点与原点的距离叫作数 的绝对值，记作| |，读作“ 的绝对值” . 2.性质 一个正数的绝对值是它本身；任何数都有绝对值， 并且只有一个. 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0，即| | 3. 绝对值与相反数的关系  绝对值相等、符号相反的两个数互为相反数. 知识点8.利用数轴比较有理数的大小 1. 数轴上不同的两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 . 2. 正数大于 0， 0 大于负数，正数大于负数 . 3. 利用数轴比较几个数大小的方法 先在数轴上标出表示这些数的点的位置，再确定它们之间的大小关系 . 知识点9.利用绝对值比较两个负数的大小 1. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小 . 2. 利用绝对值比较两个负数大小的步骤 第一步，分别求出两个负数的绝对值； 第二步，比较这两个负数的绝对值的大小； 第三步，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”进行判断. 3. 比较两个有理数的大小的方法总结 根据法则比较 利用数轴比较 两数同号 同为正号，绝对值大的数大 数轴上左边的点表示的数 小于数轴上右边的点表示 的数 同为负号，绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 一数为 0 正数与 0，正数大于 0 负数与 0，负数小于 0 知识点10.有理数的加法法则 1. 有理数的加法法则 (1) 同号两数相加，取加数的符号，并把绝对值相加 . (2) 异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 . (3) 一个数与 0 相加，仍得这个数 . 2. 有理数加法的运算步骤 3. 有理数加法运算的各种情况 加数 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取加数的符号 相加 若 >0， >0，则 +=+( ||+||) 若 <0， <0，则 +=－ ( ||+||) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大加数的符号 相减 (大减小) 若 >0， <0，且 ||>||，则 +=+( ||－||) 若 <0， >0，且 ||>||，则 +=－ ( ||－||) 互为相反数 0 若 >0， <0，且 ||=||，则 +=0 一个数与0 相加 仍得这个数 +0= 知识点11.有理数的加法运算律 1. 有理数的加法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 +=+ 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加再和第三个数相加，或先把后两个数相加再和第一个数相加，和不变 (+) +c=+(+c) 2. 常见的可以利用加法运算律进行简便计算的技巧 相反数结合法 把互为相反数的数相加 同号结合法 把符号相同的数相加 同形结合法 把整数与整数、小数与小数、分母相同或容易通分的分数分别相加 凑整法 把和为整数的数相加 拆项结合法 把带分数拆分为整数和真分数，再分别相加 知识点12.有理数的减法 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数 . 用字母表示： －=+(－)，其中 ， 表示任意有理数 . 特别提醒： 有理数的减法是有理数的加法的逆运算，做减法运算时，常将减法转化为加法再计算，转化过程中，应注意“两变一不变”“两变”是指运算符号. “－”变成“ +”，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数不变 . 2. 两数相减差的符号 (1) 较大的数－较小的数 = 正数，即若 >，则 －>0. (2) 较小的数－较大的数 = 负数，即若 <，则 －<0. (3) 相等的两个数的差为 0，即若 =，则 －=0. 知识点13.加减法统一成加法 1. 在一个含有有理数加减混合运算的式子中，我们可以将减法转化为加法后，再按照有理数的加法法则来进行运算 . 2. 统一成加法运算后，通常把各个加数的括号及其前面的运算符号“ +”省略不写，写成省略加号的形式 . 3. 算式的读法 省略加号和括号的求和算式(如“－9－12－3＋7”)通常有两种读法，一 种是按代数和所表示的意义读，读作 “负 9，负12，负 3 与正 7 的和”，另一种是按运算意义读，读作“负 9 减 12 减 3 加 7”. 知识点14.有理数加减混合运算 有理数加减混合运算的步骤 (1) 利用减法法则将减法转化为加法； (2) 把加减混合算式写成省略括号和加号的和的形式； (3) 进行有理数的加法运算 . 知识点15.有理数的乘法法则 1. 有理数的乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 . (2)任何数与 0 相乘仍得 0. 特别解读  1.“同号得正，异号得负” 是确定积的符号，不能与加法中确定和的符号相混淆 . 2.有理数乘法的运算步骤： (1)确定积的符号； (2)确定积的绝对值 . 3. 1 与任何数相乘，仍得原数，－1 与任何数相乘，得到的是原数的相反数 . 2. 有理数的乘法符号法则(拓展) (1) 如果两个数的积为正数，那么这两个数同正或同负，反之亦然，即：>0 ⇔>0， >0 或 <0， <0. (2) 如果两个数的积为负数，那么这两个数一正一负，反之亦然，即： <0 ⇔>0， <0 或 <0， >0. (3) 如果两个数的积为 0，那么这两个数中至少有一个数是 0，反之亦然，即： =0 ⇔=0 或 =0. 知识点16.倒数 1.定义 如果两个有理数的乘积为 1，我们称这两个有理数互为倒数 . 2. 求倒数的方法 类型 方法 示例 m 为非零整数 把这个数写成的形式，则得到 m 的倒数 2 的倒数是 m 为分数 颠倒 m 的分子和分母位置，则得到 m 的倒数 的倒数是 m 为带分数 把 m 化为假分数，再把分子和分母颠倒求倒数 因为 1= ，所以 1的倒数是 m 为小数 把 m 化为分数，再把分子和分母颠倒求倒数 因为 0.25= ，所以 0.25 的倒数是 4 3. 倒数与相反数间的关系 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是 1的两个数互为倒数 ( ≠ 0)的倒数是 若 ， b 互为倒数，则· b=1 若· b=1，则 ， b 互为倒数 成对出现 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 的相反数是 － 若 ， b 互为相反数，则 +b=0 若+b=0，则 ，b 互为相反数 知识点17.乘法运算律 运算律 文字表示 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变 b=b 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 (b) c=(bc) 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 (b+c) =b+c 乘法运算律的推广 (1) 乘法交换律和乘法结合律的推广：三个或三个以上的有理数相乘，任意交换因数的位置，或者任意先把其中几个因数相乘，积不变 . (2) 乘法对加法的分配律对于两个以上的有理数相加的情况仍然适用，即 (b+c+…+m) =b+c+…+m. 知识点18.多个有理数相乘 1. 几个不为 0 的数相乘的法则 几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正 .确定符号后，再把这几个有理数的绝对值相乘 . 2. 有因数为 0 的几个数相乘的法则 几个数相乘，如果有一个因数为 0，积就为 0.同样，若积为 0，则至少有一个因数为 0. 知识点19.有理数的除法法则 1. 有理数除法法则一 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 . 0 除以任何一个不等于 0 的数仍得 0. 0 不能作除数 . 例如： 2.有理数除法法则二  除以一个不为 0 的数，等于乘以这个数的倒数 . 用字母表示： ÷ b=• (b ≠ 0) . 例如： 3÷(－ ) =3×(－  ) = － 5.乘它的倒数 除以一个数 3.乘除混合运算中的注意事项 (1) 除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法运算律简化运算． (2) 积的符号由负因数的个数决定，口诀为“偶正奇负，见 0为 0”． (3)结果要化为最简分数或整数． (4) 有理数的乘除运算是同级运算，若没有括号，则按照从左到右的顺序计算 . 知识点20.乘方的意义 1. 乘方 求个相同因数的积的运算叫作乘方 ， 乘方的结果叫作幂 . 一般地， 个记作 ， 读作“的次方” ，其中 叫作底数， 叫作指数.当看作是 的 次方的结果时，也可读作“ 的 次幂” . 2. 乘方的意义 表示 个相同因数 的积，其中相同的因数是底数，因数的个数是指数，因此，可以把相同因数的乘法转化为乘方或把乘方转化为乘法 . 知识点21.乘方的运算法则 1. 有理数的乘方运算法则 求非 0 有理数的乘方，将其绝对值乘方，并取符号：正数的任意次幂都取正号；负数的奇次幂取负号，负数的偶次幂取正号 . 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值 . 特别地，当底数较大时，可借助于计算器计算 . 3. ， － 及(－) 的区别与联系 － (－) 相同点 指数都是 n 不同点 意义不同 n 个 相乘的积 n 个 相 乘 的积的相反数 n 个 －相乘的积 底数不同 － 联系 n 为奇数 － =(－) ，且 － (－)都与 互为相反数( ≠ 0) n 为偶数 =(－)，且，(－)都与 －互为相反数( ≠ 0) n 为正整数 =－ =(－) =0( =0) 知识点22.有理数的混合运算 1. 有理数运算的种类 有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方与开方(将在以后学习到) . 通常把六种基本的代数运算分为三级： 加与减是第一级运算；乘与除是第二级运算； 乘方与开方是第三级运算 . 2. 有理数混合运算的顺序 (1)先算高级运算，再算低级运算，即：先乘方，再乘除，最后加减； (2) 同级运算，按从左到右的顺序进行； (3) 如有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 . 知识点23.用科学记数法表示数 1. 科学记数法 一般地，绝对值大于10的数可以记成 的形式，其中， 等于原数的整数位数减1. 2. 科学记数法中的 和 (1)将原数的小数点移到最高数位的数字的后边即可得到 的值 . (2)确定 的两种方法： ①根据原数的整数位数来确定 ， 等于原数的整数位数减 1. 例如 2 024 是一个四位整数，用科学记数法表示为 2.024× ，其中 =4-1=3； ②按小数点移动的位数来确定 ，小数点向左移动了几位， 就等于几 . 知识点24.近似数 1. 准确数 与实际完全符合的数，称为准确数 . 2. 近似数 由于受测量工具、测量方法、测量者等因素的影响，测量的结果一般只是一个与实际数值很接近的数，我们称此数为近似数 . 3. 误差 近似值与它的准确值的差叫作误差，即 误差 = 近似值－准确值 . 知识拓展： 近似数的几种常见情况 (1) 计算产生的近似数，如除不尽的数、含有圆周率 π 的计算结果； (2) 用测量工具测出的结果一般都是近似数 , 如长度、质量； (3) 不容易得到或不可能得到准确数时，只能得到近似数，如人口普查的结果只能是一个近似数； (4) 没有必要知道准确数而产生的近似数 , 如估测某场地的面积 . 知识点25.精确度 1. 近似数的精确度 近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度 . 近似数的精确度的表述方法： (1) 用数位表示，如精确到千位、精确到千分位等； (2) 用小数表示，如精确到 0.1、精确到 0.01 等； (3) 对带有单位的数用单位表示，如精确到 1 kg，1 m 等 . 2. 取近似数的方法 通常用四舍五入法；特殊情况下使用去尾法、进一法 . 3.“去尾法”和“进一法”取近似数(拓展) 去尾法： 在取近似数时，不管截去部分最高位上的数是多少，一概去掉 ，这种方法叫作去尾法，用去尾法得到的近似数总比准确值小 . 进一法： 在取近似数时，不管截去部分最高位上的数是多少，都向前一位进 1，这种方法叫作进一法 . 用进一法得到的近似数总比准确值大 . 题型巩固 题型一、正负数的定义 1．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）中国是世界上最早提出和采用“正负数表示相反意义的量”的国家，关于正负数的记载最早见于公元一世纪的中国数学著作《九章算术》中，比欧洲早一千余年．如果将“向东走40米”记作“米”，那么“向西走30米”记作（    ） A．米 B．米 C．米 D．10米 题型二、正负数的实际应用 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如果向东行走为正，那么向西行走8米表示为 米． 题型三、有理数的定义 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列说法中正确的是（    ）． A．一个有理数不是正数就是负数 B．正整数与负整数统称为整数 C．可以写成正分数形式的数为正有理数 D．最小的整数是 题型四、用数轴上的点表示有理数 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）画数轴，将下列各数在数轴上表示出来，并用“<”连接几个有理数． ，，0， 题型五、相反数的定义 5．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D．3 题型六、绝对值的几何意义 6．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为 ． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为 题型七、绝对值非负性 7．（2024七年级上·全国·专题练习）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． （1）已知，则的值是 ； （2）当 时，有最小值，最小值是 ． 题型八、绝对值的其他应用 8．有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 题型九、数轴上两点之间的距离 9．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在数轴上与所对应的点的距离等于4的点表示的数是（    ） A．2 B． C．2或 D．无法确定 题型十、化简多重符号 10．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列各数中互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型十一、有理数大小比较 11．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）比较下列每对数的大小（写出比较过程） (1)与 (2)与 题型十二、有理数大小比较的实际应用 12．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）某一天，哈尔滨，北京，杭州，金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是 ． 题型十三、利用数轴比较有理数的大小 13．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，1的大小关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十四、有理数加法运算 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 题型十五、有理数加法中的符号问题 15．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十六、有理数加法运算律 16．在计算时，下面四种方法运算过程正确且比较简便的是（    ） A． B． C． D． 题型十七、有理数加法在生活中的应用 17．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有一口深2.6米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这7次跳跃除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是____厘米；青蛙距离井口的最近距离是_____厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一循环，若青蛙之后的每个循环跳跃下滑情况都和第一循环相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 题型十八、有理数的减法运算 18．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列选项中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 题型十九、有理数减法的实际应用 19．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…，，… （2），，，，…，，… 利用以上规律计算： ． 题型二十、有理数的加减混合运算 20．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算题： (1) (2) 题型二十一、有理数加减中的简便运算 21．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）计算： (1) (2) 题型二十二、有理数加减混合运算的应用 （24-25七年级上·安徽滁州·期中）小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有A，B，C，D四点，其中点A在点B的左侧，点B在原点处，点C，D分别与5和8对应，A，B之间的距离与C，D之间的距离相等．    (1)点A表示的数为________． (2)小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，……，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离． 题型二十三、两个有理数的乘法运算 23．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）若，则b 0（填“”，“”或“”）． 题型二十四、多个有理数的乘法运算 24． ． ． 题型二十五、有理数乘法的实际应用 25．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）近年来，我县以“庄子故里·逍遥蒙城”为载体，扎实推进全县文化旅游工作高质量发展．十一期间，一旅游接待车从P处出发，在东西走向的公路上来回行驶，如果规定该车向东行驶为正，向西行驶为负，则该车一天上午的行驶记录如下：（单位：千米）． ． (1)当该车将最后一名乘客送达目的地后，他在P处的哪个方向？距离P处多远？ (2)若该车耗油量为0.06升/千米，若该车将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问该车今天上午总共消耗了多少升油？ 题型二十六、倒数 26．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列两个数互为倒数的是（   ） A．和 B．1和 C．20和 D．和2 题型二十七、有理数乘法运算律 27．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）计算：． 题型二十八、有理数的除法运算 28．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算：； 题型二十九、有理数除法的应用 29．（22-23七年级上·安徽亳州·阶段练习）神舟十三号飞船在太空中绕地球飞行，地球半径约为6400千米，神舟十三号飞船飞行时离地面高度约400千米． (1)神舟十三号绕地球飞行一圈飞行约多少千米？（取） (2)如果神舟十三号的飞行速度为每秒钟约飞行千米，求飞船绕地球飞行一周大约需要多少小时．（结果保留两位小数） 题型三十、有理数乘除混合运算 30．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 题型三十一、有理数四则混合运算 31．（2025七年级上·安徽·专题练习）我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某自来水公司采用价格调控的手段来达到节约用水的目的．规定如表用水收费标准：每户每月的用水不超过20立方米时，水费按“基本价”收费；超过20立方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费．某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示： 月份 用水量/立方米 水费/元 4 19 66.50 5 25 92.5 (1)自来水公司水费的“调节价”是每立方米多少元？ (2)预计该户居民6月份用水量约为30立方米．请你算一算，6月份的水费是多少元？ 题型三十二、有理数四则混合运算的实际应用 32．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 题型三十三、根据点在数轴的位置判断式子的正负 33．有理数a、b、c在数轴上对应点位置如下图所示，则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 题型三十四、有理数幂的概念理解 34．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）表示（    ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 题型三十五、有理数的乘方运算 35．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三十六、乘方运算的符号规律 36．下列各组数中，数值相等的一组是（    ） A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23 C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32 题型三十七、乘方的应用 37．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）分形几何在大自然中随处可见．如图，从长度为1的线段开始，取走其中间三分之一达到第一阶段，然后从每一条余下的线段中再各取走其中间三分之一达到第二阶段，无限地重复这一过程，余下的无穷点集称做康托尔分形集，上图是其最初几个阶段，当达到第个阶段时，被取走的所有线段的长度之和为（    ） A． B． C． D． 题型三十八、含乘方的有理数混合运算 38．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算． 题型三十九、用科学记数法表示绝对值大于1的数 39．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）六尺巷位于安徽省桐城市区西后街与五亩园之间．六尺巷全长100m，宽2m，巷南为宰相府，巷北为吴氏宅，总用地面积约为万m2，2007年被评为国家AAA级旅游景区．请将“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 题型四十、程序流程图与有理数计算 40．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，某同学设计了一种计算程序流程图，按要求完成下列任务： (1)当输入的值为时，求输出的值； (2)若输出的值为380，直接写出输入的值为__________； (3)若输入的值为0，求输出的值． 题型四十一、有理数乘方逆运算 41．2021年第十四届国际数学教育大会（ICME－14）在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“ ”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7 共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，2021表示 ICME－14 的举办年份．【注：】某同学设计了一个n进制数501 ，换算成十进制数是406 ，则n的值为 ． 题型四十二、求一个数的近似数 42．（24-25七年级上·安徽淮北）地球到月球的平均距离是三亿八千四百四十万三千九百米，横线上的数写作： ，改写成用“万”作单位的数是 万，四舍五入到亿位是 亿． 题型四十三、求近似数的精确度 43．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）由四舍五入得到的近似数2.40万精确到了（　　） A．十分位 B．百分位 C．千位 D．百位 题型四十四、近似数推断取值范围 44．（2025七年级上·全国·专题练习）一个三位小数，精确到百分位约是6.50，则这个数最小是6.455．( ) 学科网（北京）股份有限公司 $$